# Modèle gravitaire

Le modèle gravitaire fait partie de la famille des modèles d'interactions spatiales. Il est utilisé dans l'estimation des interactions spatiales principalement par les masses des objets étudiés et la distance qui les sépare. Il est utilisé dans la modélisation de la géographie des flux et des interactions spatiales. Le modèle gravitaire permet de comparer une estimation de flux à une observation empirique de ces mêmes flux entre des lieux, dans le but de les caractériser et de savoir s'ils sont principalement dépendants de la distance et des masses ou non.

## Fonctionnement
### Équation du modèle

La formule du modèle la plus communément admise est la suivante :
    $F_{ij}=k.{M_{i}.M_{j} \over d_{ij}^{a}}$
où F$_{ij}$ est le flux à déterminer du lieu i vers le lieu j, M$_i$ et M$_j$ les masses des lieux i et j et d$_{ij}$ la distance entre les deux lieux. Le paramètre k est une variable ajustable. Ce paramètre vise soit à minimiser la somme des carrés des écarts entre les flux observés et estimés, soit à assurer l'égalité entre la somme des flux observés et celle des flux estimés. k est appelé constante de proportionnalité. Le paramètre a tente d'estimer le frein de la distance en observant le rapport entre le volume des interactions et la distance qui sépare les lieux concernés.
Cette formule est inspirée de la loi universelle de la gravitation d'Isaac Newton.

### Ajustement du paramètre a

Le paramètre a se calcule en transformant l'équation du modèle afin de la rendre équivalente à celle d'une fonction affine à l'aide d'une régression linéaire. Pour ce faire, il faut connaitre les distances considérées qui séparent les lieux entre eux, les masses de ces lieux et les interactions qu'ils opèrent. Le paramètre a se détermine en mettant en relation en ordonnée les relations F$_{ij}$ / M$_i$.M$_j$ et en abscisse les distances d$_{ij}$. Le problème est que ce type de graphique est une fonction exponentielle négative ce qui rend incorrect le tracé d'une droite de régression. Afin d'avoir un meilleur résultat, on utiliser les logarithmes pour pouvoir tracer la droite tel que : $\log(F_{ij}/M_{i}.M_{j})=-a\log(d_{ij})+\log(k)$.
Il faut ainsi réaliser un graphique avec en ordonnée $\log(F_{ij}/M_{i}.M_{j})$ et en abscisse $\log(d_{ij})$. On trace ensuite la droite de régression sur le graphique produisant une fonction affine dont le coefficient angulaire nous donne -a.

### Ajustement du paramètre k

Le paramètre a produit, si l'on ne calcule pas le paramètre k, des résultats considérablement supérieurs à l'observation empiriques des flux. Ce paramètre permet la mise en relation entre les flux observés et les flux estimés afin de produire une estimation correcte. Le paramètre k se calcule de la manière suivante :
$k={\frac {\sum _{i}\sum _{j}F_{ij}}{\sum _{i}\sum _{j}F'_{ij}}}$ soit la somme des flux observés divisée par la somme des flux estimées en prenant seulement en compte le paramètre a.

### Analyse résiduelle

Comme tous les modèles prévisionnels à caractère incertain, le modèle gravitaire doit s'accompagner d'une analyse des résidus. Les résidus dits statistiques sont ici calculés selon le même principe que dans une régression linéaire. Trois types de résidus peuvent ainsi être calculés, tous complémentaires :
* Résidu brut : $RB=M_{ij}-M_{ij}'$, où M$_{ij}$ est l'interaction observée et M'$_{ij}$ est l'interaction estimée par le modèle. Ce résidu donne une valeur brute peu adaptée si l'on veut comparer l'application du modèle à plusieurs espaces.
* Résidu relatif : $RR={\biggl{\frac {M_{ij}-M_{ij}'}{M_{ij}'}}{\biggl )}.100$. Ce résidu donne une valeur en pourcentage adaptée pour caractériser l'intensité de l'erreur.
* Résidu standardisée : $RS=\left({\frac {M_{ij}-M_{ij}'}{\bar {M_{ij}'}}}\right)$ où le dénominateur est la moyenne des interactions estimées par le modèle. Ce résidu est le plus adaptée si l'on veut comparer l'application du modèle à plusieurs espaces.

## Historique

Le modèle gravitaire a été formulé premièrement par William J. Reilly en 1931. Il a été formulé à l'époque dans un but économique, Reilly voulait analyser l'organisation des zones d'attraction commerciale. La paternité du modèle est attribuée à Reilly, mais l'auteur s'est appuyé sur les travaux de Ernst Georg Ravenstein qui dressa une carte des migrations en 1885 reposant sur la loi universelle de gravitation.

## Les avantages et critiques du modèle
### Avantages

Le modèle gravitaire est particulièrement efficace dans des milieux avec une accessibilité homogène. Par exemple, il est très efficace dans l'estimation des flux de mobilité domicile-travail en milieu urbain. Le modèle fonctionne bien dans ce genre de situation car il étudie des mobilités à grande échelle, soit des espaces à caractère relativement homogène surtout en milieu urbain pour ce qui est de l'accessibilité.
Un avantage majeur de ce modèle est sa pluralité de formes. Il existe une multitude de formules pour utiliser et adapter le modèle gravitaire dans différents domaines, par exemple en géomarketing.

### Limites

Le modèle est fortement influencé par les caractéristiques de l'espace étudié. Un espace très hétérogène est peu adapté à l'utilisation du modèle gravitaire dans un but prévisionnel. Les limites sont explicables par la formule en elle-même, une fois que les paramètres a et k sont ajustés la formule est fixe. Une formule fixe s'adapte mal à l'espace géographique qui est mouvant. De plus, le modèle tente d'estimer des interactions entre des entités géographiques aux limites illogiques. Les découpages administratifs sont des processus changeant, historiques et aux facteurs très nombreux ce qui en fait des processus complexes. Ainsi, le modèle gravitaire est grandement limité et influencé par un découpage administratif arbitraire et hiérarchisé.