# Distribution quasi-stationnaire

Une distribution quasi-stationnaire est une distribution mathématique qui décrit le comportement d'une chaîne de Markov absorbante avant que l'absorption n'ait lieu.

## Définition et propriétés en temps discret

Soit $(X_{n})$ une chaîne de Markov sur l'ensemble des entiers naturels $\mathbb {N}$. Supposons que l'état 0 soit absorbant et la chaîne soit absorbée en 0 presque sûrement. Soit $T_{0}=\inf\{n\geq 0,X_{n}=0\}$ le temps d'absorption en 0. On dit qu'une probabilité $\nu$ sur $\{1,2,3,...\}$ est une distribution quasi-stationnaire si pour tout $j\geq 1$ et pour tout $n\geq 1$,
       $\sum _{i\geq 1}\nu _{i}\mathbb {P} (X_{n}=j|X_{0}=i,T_{0}>n)=\nu _{j}.$
On dit qu'une probabilité $\mu$ sur $\{1,2,3,...\}$ est une limite de Yaglom si pour tout $i\geq 1$ et tout $j\geq 1$,
       $\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}=j|X_{0}=i,T_{0}>n)=\mu _{j}.$
Une limite de Yaglom est une distribution quasi-stationnaire. Si elle existe, la limite de Yaglom est unique. En revanche, il peut y avoir plusieurs distributions quasi-stationnaires.
Si $\nu$ est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel $\rho (\nu )\in ]0,1[$ tel que
       $\sum _{i}\nu _{i}\mathbb {P} (T_{0}>n|X_{0}=i)=\rho (\nu )^{n}$.
Soit $\theta (\nu )=-\log \rho (\nu )$. Alors pour tout $\theta <\theta (\nu )$
       $\sum _{i}\nu _{i}\mathbb {E} (e^{\theta T_{0}}|X_{0}=i)<\infty .$
Le nombre $\theta ^{*}=\sup\{\theta :\mathbb {E} (e^{\theta T}|X_{0}=i)<+\infty \}$ ne dépend pas de $i$. C'est le taux de survie du processus. S'il existe une distribution quasi-stationnaire, alors $\theta ^{*}>0$.
Soit $P$ la matrice de transition de la chaîne de Markov et $Q=(P_{i,j})_{i,j>0}$. Si $\nu$ est une distribution quasi-stationnaire, alors $\nu Q=\rho (\nu )\,\nu .$. Donc $\nu$ est un vecteur propre à gauche avec une valeur propre dans l'intervalle $]0,1[$.

## Définition et propriétés en temps continu

Soit un processus de Markov $(X_{t})_{t\geq 0}$ à valeurs dans $E$. Supposons qu'il y ait un ensemble mesurable $F$ d'états absorbants et posons $G=E\setminus F$. Notons $T$ le temps d'atteinte de $F$. Supposons que $F$ soit atteint presque sûrement : $\forall x\in {\mathcal {X}},\mathbb {P} (T<\infty |X_{0}=x)=1$.
Une probabilité $\nu$ sur $G$ est une distribution quasi-stationnaire si pour tout ensemble mesurable $B$ dans $G$,$\forall t\geq 0,\int _{G}\mathbb {P} (X_{t}\in B|X_{0}=x,T>t)\,\mathrm {d} \nu (x)=\nu (B)$
Si $\nu$ est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel $\theta (\nu )>0$ tel que $\int _{G}\mathbb {P} (T>t|X_{0}=x)\,\mathrm {d} \nu (x)=\exp(-\theta (\nu )t)$.

## Exemple

Soit $(X_{t})$ une chaîne de Markov en temps continu sur un espace d'états fini $I$, de générateur $Q$. Soit $J$ un sous-ensemble absorbant de $I$. Notons $K=I\setminus J$ et $R=(Q_{i,j})_{i,j\in K}$. Supposons que $R$ soit une matrice irréductible. Supposons aussi qu'il existe $i_{0}$ tel que $(Q\mathbf {1} )_{i_{0}}<0$, où $\mathbf {1}$ est le vecteur (1,...,1). D'après le théorème de Perron-Frobenius, il existe une unique valeur propre $-\theta <0$ de la matrice $R$ avec un vecteur propre à gauche $\nu$ dont toutes les composantes sont $>0$ et normalisé de sorte que $\sum _{i\in K}\nu _{i}=1$. Alors $\nu$ est l'unique distribution quasi-stationnaire. De plus, pour tout $i,j\in K$,
       $\theta =-\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\log \mathbb {P} (X_{t}=j|X_{0}=i).$

## Historique

Les travaux de Wright sur la fréquence des gènes en 1931 et de Yaglom en 1947 sur les processus de ramification contenaient déjà l'idée des distributions quasi-stationnaires. Le terme de quasi-stationnarité appliqué aux systèmes biologiques a ensuite été utilisé par Donald Barlett en 1957, qui a ensuite forgé le terme « distribution quasi-stationnaire ».
Les distributions quasi-stationnaires faisaient également partie de la classification des processus tués donnée par Vere-Jones en 1962. La définition pour les chaînes de Markov à espace d'états fini a été donnée en 1965 par Darroch et Seneta.

## Bibliographie en français

* Denis Villemonais, Distributions quasi-stationnaires et méthodes particulaires pour l'approximation de processus conditionnés, thèse, École polytechnique, 2011.
* Sylvie Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Springer, 2016.

## Bibliographie en anglais et en russe

* S. Wright, Evolution in Mendelian populations, Genetics, 1931, vol. 16, n$^o$ 2, pp. 97–159.
* A.M. Yaglom, Certains théorèmes limites dans la théorie des processus stochastiques de branchement (en russe), Dokl. Akad. Nauk. SSSR n$^o$ 56, 1947, p. 795-798.
* Maurice Bartlett, « On theoretical models for competitive and predatory biological systems », Biometrika, n$^o$ 44,‎ 1957, p. 27–42.
* M.S. Bartlett, Stochastic population models in ecology and epidemiology, 1960.
* D. Vere-Jones, Geometric ergodicity in denumerable Markov chains, Quarterly Journal of Mathematics n$^o$ 13, 1962, p. 7–28. doi:10.1093/qmath/13.1.7
* J.N. Darroch, E. Seneta, On Quasi-Stationary Distributions in Absorbing Discrete-Time Finite Markov Chains, Journal of Applied Probability n$^o$ 2, 1965, p. 88–100. doi:10.2307/3211876