# Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants

En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci) est une équation polynomiale dont dépend la solution de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée.
Une telle équation différentielle d'ordre n, avec $y$ comme variable dépendante et $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}$ comme constantes,
    $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0$
aura une équation caractéristique de degré n de la forme
    $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0$
dont les racines $r$ permettront de former la solution générale de l'équation différentielle$^,$$^,$.
Leonhard Euler a introduit l'équation caractéristique pour intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, étude prolongée par Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge$^,$.

## Principe

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}$,
    $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0.$
on peut voir que si $y(x)=e^{rx}$, chaque terme sera un multiple de $e^{rx}$ par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle $e^{rx}$ est un multiple d'elle-même. Par conséquent, $y'=re^{rx}$, $y''=r^{2}e^{rx}$ et $y^{(n)}=r^{n}e^{rx}$ sont toutes multiples de $e^{rx}$. On peut en déduire que certaines valeurs de $r$, permettront à des multiples de $e^{rx}$ d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène. Pour trouver les valeurs de $r$, on peut remplacer $y$ et ses dérivées par $e^{rx}$ et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :
    $a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0.$
Puisque $e^{rx}$ ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique
    $a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.$
En trouvant les racines $r$ de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle$^,$.

## Formation de la solution générale

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, $r_{1},\ldots ,r_{n}$, permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, $h$ racines réelles multiples et/ou $k$ racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales $y_{D}(x)$, $y_{R_{1}}(x),\ldots ,y_{R_{h}}(x)$, et $y_{C_{1}}(x),\ldots ,y_{C_{k}}(x)$, alors la solution générale de l'équation différentielle est
    $y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x).$

### Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants
    $y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0~$
a pour équation caractéristique
    $r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0.~$
En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :
    $(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0.~$
On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle $r_{1}=3$ et les racines doubles complexes $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$. Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles
    $y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)$
où $c_{1},\ldots ,c_{5}$ sont des constantes réelles arbitraires.

### Racines réelles simples

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si $u_{1},\ldots ,u_{n}$ sont $n$ des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors $c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}$ est aussi une solution pour toutes les valeurs $c_{1},\ldots ,c_{n}$. Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes $r_{1},\ldots ,r_{n}$, alors la solution générale sera de la forme
    $y_{D}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}.$

## Racines réelles multiples

Si l'équation caractéristique a une racine $r_{1}$ qui est répétée $k$ fois, alors il est clair que $y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$, au moins, est solution. Mais cela ne suffit pas : à cette racine $r_{1}$ d'ordre $k$ doivent correspondre $k$ solutions indépendantes. Puisque $r_{1}$ est racine multiple d'ordre $k$, l'équation différentielle peut être factorisée en :
    $\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0.$
Le fait que $y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}$ soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme $y(x)=u(x)e^{r_{1}x}$ où $u$ est une fonction à déterminer.
En remplaçant $y$ par $ue^{r_{1}x}$ on obtient :
    $\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}.$
En appliquant ce fait $k$ fois, il s'ensuit que
    $\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}.$
L'équation différentielle sur $y$ équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur $u$ :
    ${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.$
En divisant par $e^{r_{1}x}$, elle devient :
    ${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.$
Par conséquent, $u$ est solution si et seulement si c'est un polynôme de degré inférieur ou égal à $k-1$, soit
    $u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}.$
Puisque $y(x)=ue^{r_{1}x}$, la partie de la solution générale correspondant à la racine $r_{1}$ est
    $y_{R_{1}}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}).$

## Racines complexes

Dans le cas d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients réels constants, si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme $r_{1}=a+b\mathrm {i}$ et $r_{2}=a-b\mathrm {i}$, alors la solution générale à valeurs complexes est
    $y(x)=c_{1}\operatorname {e} ^{(a+b\mathrm {i} )x}+c_{2}\operatorname {e} ^{(a-b\mathrm {i} )x},\quad c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$
ou, ce qui est équivalent :
    $y(x)=\operatorname {e} ^{ax}\left(d_{1}\cos(bx)+d_{2}\sin(bx)\right),\quad d_{1},d_{2}\in \mathbb {C}$.
L'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes $d_{1},d_{2}$.