# Matrice nilpotente

Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d'endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel de dimension finie.
Cette notion facilite souvent le calcul matriciel. En effet, si le polynôme caractéristique d'une matrice est scindé (c'est-à-dire décomposable en produit de facteurs du premier degré, ce qui est le cas par exemple si le corps des coefficients est algébriquement clos), alors l'endomorphisme associé possède une décomposition de Dunford. Ceci permet de se ramener, dans les calculs, à une matrice semblable (obtenue par changement de base via une matrice de passage) plus simple, somme de deux matrices qui commutent, l'une diagonale et l'autre nilpotente. Cette réduction des matrices joue un rôle important dans la résolution de système d'équations linéaires et la résolution d'équations différentielles linéaires.
Les aspects théoriques, ainsi que l'essentiel des démonstrations des propositions énoncées, sont traitées dans l'article Endomorphisme nilpotent.

## Définition

On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice A$^p$ soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p.
Les notions de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent sont très liées :
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme et A sa matrice dans une certaine base. A est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme est nilpotent, c'est-à-dire qu'il existe un entier p > 0 tel que u$^p$ = 0, où u$^p$ désigne $u\circ ...\circ u$ et 0 l'endomorphisme nul. La plus petite valeur de p vérifiant cela est appelée indice (de nilpotence). L'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul. Par exemple, la matrice $A=\left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right)$ est nilpotente d'indice 2, c'est-à-dire que A est non nulle mais A$^2$ = 0.

## Approche par l'exemple

Considérons un espace vectoriel réel de dimension 3 avec pour base B = (e$_1$, e$_2$, e$_3$). Considérons alors un endomorphisme u défini par sa représentation matricielle suivante dans la base B :
    $u:\;{\begin{pmatrix}3&9&-9\\2&0&0\\3&3&-3\end{pmatrix}}$
En calculant la représentation matricielle de u$^2$ puis celle de u$^3$, on trouve :
    $u^{2}:\;{\begin{pmatrix}0&0&0\\6&18&-18\\6&18&-18\end{pmatrix}}\quad et\quad u^{3}:\;{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$
Puisque u$^3$ est l'endomorphisme nul, u est bien nilpotent d'indice 3.

### Nilpotence et polynômes

Déterminons alors le polynôme caractéristique P de l'endomorphisme u :
    $P(X)=\det(u-XI)=\;{\begin{vmatrix}3-X&9&-9\\2&-X&0\\3&3&-3-X\end{vmatrix}}=-X(3-X)(-3-X)-2(9(-3-X)+27)-27X=-X^{3}.$
Nous avons l'égalité P(X) = –X$^3$. Dans le cas où la dimension de l'espace vectoriel est égale à n, une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme caractéristique soit égal à (–X)$^n$.
La théorie des polynômes minimaux nous indique que le calcul du polynôme caractéristique est inutile dans cet exemple. Le polynôme X$^3$ annule l'endomorphisme. Le polynôme minimal est alors un diviseur de ce polynôme. Or le seul diviseur normalisé (c'est-à-dire dont le monôme de plus haut degré est égal à 1) de –X$^3$ qui annule u est lui-même. Le théorème de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique. Il suffit alors de constater que le polynôme caractéristique est de degré égal à la dimension de l'espace, pour l'obtenir sans calcul. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'endomorphisme soit nilpotent est que son polynôme minimal soit de la forme X$^p$.

### Nilpotence et base réduite

Considérons alors le vecteur e$_1$. L'indice de ce vecteur est 3 et la famille (e$_1$, u(e$_1$), u$^2$(e$_1$)) est libre. De plus, son cardinal est la dimension de l'espace. Cette famille est donc une base. Dans cette base, la représentation matricielle de u prend alors la forme suivante :
    $u:\;{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$
Là encore, ces propriétés sont génériques pour un endomorphisme nilpotent. Dans le cas général de dimension n, si x est un vecteur d'indice p alors p est inférieur ou égal à n et la famille (x, u(x), … , u$^{p-1}$(x)) est libre. De plus, il existe toujours une base (e$_1$, e$_2$, … , e$_n$) telle que u(e$_i$) soit égal, soit à 0 soit à e$_{i+1}$, avec u(e$_n$) = 0. C'est la base réduite pour l'endomorphisme nilpotent.

## Propriétés

Pour tout anneau R, une matrice A ∈ M$_n$(R) strictement triangulaire, c'est-à-dire triangulaire et de diagonale nulle, est nilpotente car A$^n$ = 0.

### Représentation réduite

Les matrices nilpotentes possèdent une forme réduite particulièrement simple.
* Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice qui ne contient que des 0, sauf pour les coefficients où j est égal à i + 1 qui, eux, valent 1. Alors toute matrice nilpotente est semblable à une matrice bloc diagonale composé de matrices de Jordan nilpotentes. Si A est une matrice nilpotente, alors A est semblable à B avec :
    $B={\begin{pmatrix}{\mathcal {J}}_{1}&&&&\\&{\mathcal {J}}_{2}&&&\\&&\ddots &&\\&&&\ddots &\\&&&&{\mathcal {J}}_{r}\\\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{avec}}\qquad {\mathcal {J}}_{i}={\begin{pmatrix}0&1&&&&\\&0&1&&(0)&\\&&\ddots &\ddots &&\\&&&\ddots &\ddots &\\&(0)&&&0&1\\&&&&&0\\\end{pmatrix}}.$
Ce résultat est la conséquence directe de la représentation matricielle d'un endomorphisme nilpotent pour la réduction en dimension finie.

### Indice, déterminant, trace

Une autre conséquence des propriétés des endomorphismes nilpotents est la suivante :
* L'indice d'une matrice nilpotente est égal à la dimension de sa plus grande matrice de Jordan.
Sa représentation réduite permet de calculer immédiatement son déterminant et sa trace :
* Le déterminant et la trace d'une matrice nilpotente sont nuls. Par conséquent, les matrices nilpotentes ne sont pas inversibles et, sur ℝ ou ℂ, forment un ensemble négligeable.

### Produit et combinaisons linéaires

Si A et B sont deux matrices carrés de même dimension et qui commutent, alors si elles sont nilpotentes, il en est de même de leurs produits et de toutes combinaisons linéaires.
En effet, soit p le plus grand des deux indices de A et B. Alors :
$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}=0$
et, comme soit i soit 2p – i est supérieur ou égal à p :
$(\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum _{i\in [0,2p]}C_{2p}^{i}\alpha ^{i}\beta ^{2p-i}A^{i}B^{2p-i}=0.$

## Exponentielle d'une matrice nilpotente

Pour toute matrice carrée complexe A, on pose :
    $\exp(A):=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {1}{p!}}A^{p}.$
Cette définition a un sens, puisqu'en considérant une norme matricielle quelconque, cette série est absolument convergente. De plus, si A et B commutent alors $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$. En particulier, la matrice exp(A) est inversible et son inverse est exp(–A).
On peut remarquer que si A est nilpotente d'indice q alors –A l'est aussi et
    $\exp(A)=\sum _{p=0}^{q-1}{\frac {1}{p!}}A^{p}$.

### Exemples

* L'exponentielle de la matrice de Jordan nilpotente B ci-dessus est
    $\exp(B)={\begin{pmatrix}\exp({\mathcal {J}}_{1})&&&&\\&\exp({\mathcal {J}}_{2})&&&\\&&\ddots &&\\&&&\ddots &\\&&&&\exp({\mathcal {J}}_{r})\\\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{avec}}\qquad \exp({\mathcal {J}}_{i})={\begin{pmatrix}1&1&{\frac {1}{2}}&&&{\frac {1}{p_{i}!}}\\&1&1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{j!}}&\\&&\ddots &\ddots &&\\&&&\ddots &\ddots &{\frac {1}{2}}\\&(0)&&&1&1\\&&&&&1\\\end{pmatrix}}.$
* Pour tout entier naturel n, l'espace $\mathbb {R} _{n}[X]$ des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n est de dimension n + 1. L'endomorphisme D de $\mathbb {R} _{n}[X]$ qui associe à tout polynôme P son polynôme dérivé D(P) = P' est nilpotent d'indice n + 1. Pour tout réel $a$, désignons par $T_{a}$ l'endomorphisme $\exp(aD)$. On déduit de la formule de Taylor que $T_{a}(P(X))=P(X+a)$. On peut aussi le démontrer en considérant les matrices de D et de $T_{a}$ dans la base canonique $(1,X,X^{2},...,X^{n}).$

## Note

* ↑ Si R est commutatif, c'est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton. Mais on peut le démontrer bien plus élémentairement, et pour R quelconque, comme dans cet exercice corrigé de la leçon « Matrice » sur Wikiversité.