# Groupe quotient

Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. À partir d'un groupe G et d'un sous-groupe H de G, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que le sous-groupe H soit normal, c'est-à-dire que les classes à droite soient égales aux classes à gauche (gH = Hg).

## Partition d'un groupe en classes modulo un sous-groupe

Étant donné un élément g de G, nous définissons la classe à gauche gH = {gh | h ∈ H}. Comme g possède un élément symétrique, l'ensemble gH a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H ; les classes à gauche sont les classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par g$_1$ ~ g$_2$ si et seulement si g$_1$$^{–1}$g$_2$ ∈ H. Le nombre de classes à gauche de H est appelé l'indice de H dans G et est noté [G : H]. Dans le cas d'un groupe fini, le théorème de Lagrange sur la cardinalité des sous-groupes, et la formule des classes permettent de voir que cet indice est fini et est un diviseur de l'ordre du groupe G.
Les classes à droite sont définies de manière analogue : Hg = {hg | h ∈ H}. Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur nombre est aussi égal à [G : H].

## Définition

Si pour tout g ∈ G, gH = Hg, alors le sous-groupe H est dit normal. Dans ce cas (et dans ce cas seulement), la loi de groupe de G est compatible avec ~, ce qui permet de définir une multiplication sur les classes par
$(g_{1}H)\cdot (g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H$
Cela donne à l'ensemble quotient une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient de G par H (ou parfois groupe des facteurs) et est noté G/H. L'application f : G → G/H, g ↦ gH est alors un morphisme de groupes. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G/H, à savoir la classe eH = H. L'application f est appelée morphisme canonique ou projection canonique.
Les sous-quotients d'un groupe G sont par définition les quotients de sous-groupes de G. Les sous-groupes de quotients de G en font partie.

## Exemples

* Considérons l'ensemble ℤ des entiers relatifs et le sous-groupe 2ℤ constitué des entiers pairs. Alors le groupe quotient ℤ/2ℤ est constitué de deux éléments (pour la relation de congruence), représentant la classe des nombres pairs et la classe des nombres impairs.
* L'ensemble ℝ des nombres réels, considéré comme groupe additif, et son sous-groupe 2πℤ permettent de définir un groupe quotient utilisé pour la mesure des angles orientés.

## Propriétés

* G/G est un groupe trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.
* Si {e} désigne le sous-groupe trivial de G, G/{e} est canoniquement isomorphe à G.
* Si H est normal, l'application de G dans G/H est un morphisme surjectif, appelé projection canonique de G sur G/H . Son noyau est H.
* Plus généralement, si f : G → G' est un morphisme de groupes, il existe une suite exacte : G → G'→ G'/Imf → 1.
* Si G est abélien, cyclique, nilpotent ou résoluble, il en sera de même pour G/H.
* Le produit C$_1$∙C$_2$ de deux classes (défini ci-dessus en écrivant C$_i$ sous la forme g$_i$H) coïncide avec l'ensemble des produits d'un élément de C$_1$ par un élément de C$_2$.
* G/H est abélien si, et seulement si, H contient tous les éléments de la forme xyx$^{-1}$y$^{-1}$, où x,y appartiennent à G, autrement dit tous les commutateurs de G.

### Factorisation des morphismes

On peut caractériser les groupes quotients par la propriété fondamentale suivante :
   Soit f : G → G' un morphisme de groupes. Soit H le noyau de f. Alors H est distingué et f se « factorise » en un morphisme injectif f : G/H → G' tel que f ∘ p = f, où p est la projection de G sur G/H.

## Histoire

D'après Bourbaki, c'est chez Jordan que la notion de groupe quotient apparaît pour la première fois.
L'expression « quotient des groupes G et H » a été introduite en 1889 par Otto Hölder, qui proposait la notation G|H.