# Principe fondamental d'Ehrenpreis

En mathématiques, le principe fondamental d'Ehrenpreis joue un rôle très important dans la théorie des systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles à coefficients constants. On dit d'un espace fonctionnel ${\mathcal {W}}$ qu'il vérifie le principe fondamental s'il est un ${\mathfrak {D}}$-module, où ${\mathfrak {D}}$ est l'anneau des opérateurs différentiels, et si les solutions exponentielles-polynômes du système homogène forment un sous-ensemble total de l'espace des solutions dans une puissance de ${\mathcal {W}}$. C'est le cas des fonctions indéfiniment dérivables et des distributions sur un ouvert convexe de $\mathbb {R} ^{n}$. Ce théorème a d'abord été énoncé par Leon Ehrenpreis (en)$^,$, puis démontré par Victor P. Palamodov et indépendamment par Bernard Malgrange$^,$, et enfin par Ehrenpreis lui-même ; on devrait donc l'appeler plus justement (malgré la tradition) « principe fondamental d'Ehrenpreis-Palamodov-Malgrange ».
Ce résultat, qui a son intérêt propre, a des conséquences très importantes : d'une part on en déduit que tout opérateur différentiel scalaire à coefficients constants admet une solution fondamentale (ou « fonction de Green »), résultat dû à Ehrenpreis et Malgrange (indépendamment et avec des méthodes différentes) ; d'autre part, il permet de déterminer de manière algébrique s'il existe des solutions, dans une puissance de ${\mathcal {W}}$, à un système différentiel linéaire aux dérivées partielles non homogène à coefficients constants : il faut et il suffit (lorsque ${\mathcal {W}}$ vérifie le principe fondamental) que le second membre vérifie des « conditions de compatibilité ». Les espaces ${\mathcal {W}}$ vérifiant le principe fondamental sont des ${\mathfrak {D}}$-modules injectifs. L'espace des fonctions indéfiniment dérivables et celui des distributions sur un ouvert convexe de $\mathbb {R} ^{n}$ ont donc cette dernière propriété ; il en va de même de l'espace des hyperfonctions sur un tel ouvert.

## Principe fondamental
### Introduction

Considérons tout d'abord une équation différentielle (ordinaire) linéaire à coefficients constants
    $R(D)u=0$
où $D=-i\partial$, $\partial ={\frac {d}{dx}}$ et où $R(D)\in {\mathfrak {D}}$ avec ${\mathfrak {D}}=\mathbb {C} \left[D\right]$. Soit la décomposition en facteur premiers de $R(\zeta )$ sur $\mathbb {C} \left[\zeta \right]$ :
    $R\left(\zeta \right)=\prod \limits _{\sigma =1}^{\mu }P_{\sigma }\left(\zeta \right)$
où $P_{\sigma }=p_{\sigma }^{\rho _{\sigma }}$ avec $p_{\sigma }(\zeta )=\zeta -\zeta _{\sigma }$ ($\zeta _{\sigma }\in \mathbb {C}$, $\rho _{\sigma }\geq 1$). La solution générale de $R(D)u=0$ est maintenant bien connue, mais en vue de la généralisation qui va suivre nous allons indiquer une méthode algébrique (ou, plus précisément, relevant de l'« analyse algébrique ») pour déterminer cette solution. Posons $N=\mathbb {C} \left[\zeta \right]R\left(\zeta \right)$ et $Q_{\sigma }=\mathbb {C} \left[\zeta \right]P_{\sigma }\left(\zeta \right)$. On a
    $N=\bigcap \limits _{\rho =1}^{\mu }Q_{\sigma }$
et cette expression est la décomposition primaire de l'idéal N de $\mathbb {C} \left[\zeta \right]$ (les idéaux primaires étant les $Q_{\sigma }$). On a d'après le théorème des restes chinois, puisque les $Q_{\sigma }$ sont premiers entre eux pris deux à deux,
    ${\frac {\mathbb {C} \left[\zeta \right]}{N}}=\bigoplus \limits _{\sigma =1}^{\mu }{\frac {\mathbb {C} \left[\zeta \right]}{Q_{\sigma }}}$.
D'autre part, l'espace des solutions dans un espace fonctionnel ${\mathcal {W}}$ (qu'on suppose être un ${\mathfrak {D}}$-module) de l'équation $R(D)u=0$ s'identifie à
    ${\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\frac {\mathfrak {D}}{{\mathfrak {D}}R\left(D\right)}},{\mathcal {W}}\right)={\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\rm {coker}}_{\mathfrak {D}}\left(\bullet R\right),{\mathcal {W}}\right)$
(voir l'article Module injectif). Or, on a d'après ce qui précède
    ${\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\frac {\mathfrak {D}}{{\mathfrak {D}}R}},{\mathcal {W}}\right)\cong \bigoplus \limits _{\sigma =1}^{\mu }{\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}\left({\frac {\mathfrak {D}}{{\mathfrak {D}}P_{\sigma }}},{\mathcal {W}}\right)$,
soit donc ${\rm {ker}}_{\mathcal {W}}\left(R\bullet \right)\cong \bigoplus \limits _{\sigma =1}^{\mu }{\rm {ker}}_{\mathcal {W}}\left(P_{\sigma }\bullet \right)$.
Prenons ${\mathcal {W}}={\mathcal {E}}\left(\mathbb {R} \right)$ (où ${\mathcal {E}}\left(\mathbb {R} \right)=C^{\infty }\left(\mathbb {R} \right)$). Comme il est bien connu, tout élément de ${\rm {ker}}_{\mathcal {W}}\left(P_{\sigma }\bullet \right)$ est de la forme
    $u_{\sigma }\left(x\right)=\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\lambda _{\sigma ,l}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta _{\sigma },x\right)e^{ix\zeta _{\sigma }}$
où $\lambda _{\sigma ,l}\in \mathbb {C}$ et ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta _{\sigma },x\right)=x^{l-1}$. On obtient donc le résultat classique
    $u\left(x\right)=\sum \limits _{\sigma =1}^{\mu }\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\lambda _{\sigma ,l}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta _{\sigma },x\right)e^{ix\zeta _{\sigma }}$.
Il en irait de même si l'on avait choisi pour ${\mathcal {W}}$ l'espace des distributions ${\mathcal {D}}^{\prime }\left(\mathbb {R} \right)$ ou l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes
    ${\mathcal {PE}}\left(\mathbb {R} \right)=\bigoplus \limits _{\zeta \in \mathbb {C} }\mathbb {C} \left[x\right]e^{ix\zeta }$
Soit ${\mathfrak {p}}_{\sigma }={\sqrt {Q_{\sigma }}}$ l'idéal premier appartenant à $Q_{\sigma }$ (i.e. ${\mathfrak {p}}_{\sigma }=\mathbb {C} \left[\zeta \right]\left(\zeta -\zeta _{\sigma }\right)$) et $V_{\sigma }={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{\sigma }\right)$ la variété algébrique associée à ${\mathfrak {p}}_{\sigma }$ (voir l'article Décomposition primaire). On a évidemment ici $V_{\sigma }=\left\{\zeta _{\sigma }\right\}$ et on peut écrire
    $u\left(x\right)=\sum \limits _{\sigma =1}^{\mu }\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\int _{V_{\sigma }}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,x\right)e^{ix\zeta }d\mu _{\sigma ,l}\left(\zeta \right)$
où $\mu _{\sigma ,l}$ est la mesure sur $V_{\sigma }$ donnée par $\mu _{\sigma ,l}\left\{V_{\sigma }\right\}=\lambda _{\sigma ,l}$. C'est sous cette forme que la solution est généralisée dans ce qui suit.
On appelle variété caractéristique du ${\mathfrak {D}}$-module ${\rm {coker}}_{\mathfrak {D}}\left(\bullet R\right)$ l'ensemble algébrique $V={\mathcal {Z}}\left(\mathbb {C} \left[\zeta \right]/N\right)$. On a
    $V=\bigcup \nolimits _{1\leq \sigma \leq \mu }V_{\sigma }$
où les $V_{\sigma }={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{\sigma }\right)$ sont les composantes irréductibles de V (voir l'article Décomposition primaire).
Notons encore que les polynômes ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,x\right)$ ont la propriété suivante : un polynôme $f\left(\zeta \right)\in \mathbb {C} \left[\zeta \right]$ appartient à $Q_{\sigma }$ si, et seulement si
    ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)f\left(\zeta \right)\in {\mathfrak {p}}_{\sigma }$ ($l=1,...,\rho _{\sigma }$).
Les ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\right)$ ($l=1,...,\rho _{\sigma }$) sont appelés des opérateurs noethériens attachés à l'idéal primaire $Q_{\sigma }$ (terminologie de Palamodov).

### Représentation intégrale des solutions

La représentation intégrale détaillée des solutions, telle que présentée ci-dessous, a tout d'abord été obtenue par Palamodov, dont la terminologie est réutilisée dans cet article.

#### Définition du système différentiel

Considérons à présent le système multidimentionnel d'équation
    $R(D)u=0$
où $D=(D_{1},...,D_{n})$, $D_{j}=-i\partial _{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$, $D^{\alpha }=\left(-i\right)^{\left\vert \alpha \right\vert }\partial ^{\alpha }$, $\alpha =(\alpha _{1},...,\alpha _{n})$, ${\mathfrak {D}}=\mathbb {C} \left[D\right]$ et $R(D)\in {\mathfrak {D}}^{q\times k}$ (voir l'article Opérateur différentiel). Soit alors $M={\rm {coker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R(D))$. Ce ${\mathfrak {D}}$-module M de présentation finie est une représentation intrinsèque du système considéré (voir l'article Système linéaire). L'anneau ${\mathfrak {D}}$ est noethérien d'après le théorème de la base de Hilbert.
Soit ${\mathcal {W}}$ un espace fonctionnel qui est un ${\mathfrak {D}}$-module. Le $\mathbb {C}$-espace vectoriel des solutions du système défini par M dans ${\mathcal {W}}^{k}$ s'identifie à
    ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {W}}={\rm {Hom}}_{\mathfrak {D}}(M,{\mathcal {W}})$.
(voir l'article Module injectif).

#### Variété caractéristique

La variété caractéristique associée au ${\mathfrak {D}}$-module M est par définition l'ensemble algébrique V associé au module ${\rm {coker}}_{\mathbb {C} \left[\zeta \right]}\left(\bullet R(\zeta )\right)$ où $\zeta =(\zeta _{1},...,\zeta _{n})$. Cet ensemble coïncide avec l'ensemble des $z\in \mathbb {C} ^{n}$ pour lesquels ${\rm {rang}}_{\mathbb {C} }R(z)<k$. La notion de variété caractéristique rend notamment possible la classification suivante des systèmes différentiels : le système est dit
* déterminé si ${\rm {dim}}V<n$ (où ${\rm {dim}}V$ est la dimension de V: voir l'article Décomposition primaire) ;
* surdéterminé si ${\rm {dim}}V<n-1$ ;
* sous-déterminé si ${\rm {dim}}V=n$, i.e. $V=\mathbb {C} ^{n}$.
Le cas d'un système sous-déterminé est écarté dans le reste de ce paragraphe. Généralisons les notations de l'introduction ci-dessus, en posant $N=\mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times q}R\left(\zeta \right)\subset \mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}$. Soit
    $N=\bigcap \limits _{\rho =1}^{\mu }Q_{\sigma }$
la décomposition primaire de N, ${\mathfrak {p}}_{\sigma }={\sqrt {Q_{\sigma }}}$ l'idéal premier appartenant à $Q_{\sigma }$ et $V_{\sigma }={\mathcal {Z}}\left({\mathfrak {p}}_{\sigma }\right)$ la variété algébrique associée à ${\mathfrak {p}}_{\sigma }$. On a de nouveau
    $V=\bigcup \nolimits _{1\leq \sigma \leq \mu }V_{\sigma }$.
Le lemme de normalisation de Noether entraîne qu'il existe un entier $n_{\sigma }^{\prime },0\leq n_{\sigma }^{\prime }\leq n-1$, tel que (i) ${\mathfrak {p}}_{\sigma }\cap \mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]=0$, où $\zeta _{\sigma }^{\prime }=(\zeta _{1},...,\zeta _{n_{\sigma }^{\prime }})$, et (ii) $\mathbb {C} \left[\zeta \right]/{\mathfrak {p}}_{\sigma }$ est un $\mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]$-module de type fini. Soit $K_{\sigma }$ le corps des fractions de l'anneau intègre $\mathbb {C} \left[\zeta \right]/{\mathfrak {p}}_{\sigma }$ et $e_{\sigma }={\rm {dim}}_{\mathbb {C} \left(\zeta _{\sigma }^{\prime }\right)}K_{\sigma }$.
Ce nombre $e_{\sigma }$ est la multiplicité de la variété algébrique $V_{\sigma }$, c'est-à-dire le nombre de points de $V_{\sigma }\cap A_{\sigma }$ où $A_{\sigma }$ est une variété affine de $\mathbb {C} ^{n}$ de dimension $n-n_{\sigma }^{\prime }$, en position générale.

#### Opérateurs noethériens et solutions exponentielles-polynômes

Le $\mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]$-module $\mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}/Q_{\sigma }$ est de type fini. Soit $r_{\sigma }$ son rang, i.e.
    $r_{\sigma }={\rm {dim_{\mathbb {C} \left(\zeta _{\sigma }^{\prime }\right)}\left(\mathbb {C} \left(\zeta _{\sigma }^{\prime }\right)\otimes _{\mathbb {C} \left[\zeta _{\sigma }^{\prime }\right]}(\mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}/Q_{\sigma })\right)}}$.
On montre que $\rho _{\sigma }=r_{\sigma }/e_{\sigma }$ est un entier. Pour tout $\sigma \in \left\{1,...,\mu \right\}$, il existe des opérateurs noethériens, dits attachés au $\mathbb {C} \left[\zeta \right]$-module $Q_{\sigma }$, et notés
    ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta _{\sigma }^{\prime \prime }}}\right)\in \mathbb {C} \left[\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right]^{1\times k}$ ($l=1,...,\rho _{\sigma }$)
où $\zeta _{\sigma }^{\prime \prime }=(\zeta _{n_{\sigma }^{\prime }+1},...,\zeta _{n})$, ayant la propriété caractéristique suivante :
    $f\left(\zeta \right)\in \mathbb {C} \left[\zeta \right]^{1\times k}$ et ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)f\left(\zeta \right)\in {\mathfrak {p}}_{\sigma }(l=1,...,\rho _{\sigma })\Longleftrightarrow f\left(\zeta \right)\in Q_{\sigma }$
où $\mathbf {ab} =\sum \nolimits _{1\leq i\leq k}a_{i}b_{i}$ lorsque $\mathbf {a} ,\mathbf {b\in \mathbb {C} } ^{1\times k}$.
Dans la suite, $\mathbb {C} \left[\zeta ,\zeta ^{\prime \prime }\right]$ est plongé dans $\mathbb {C} \left[\zeta ,x\right]$ où $x=(x_{1},...,x_{n})$ et on peut donc écrire ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}={\mathcal {B}}_{\sigma ,l}\left(\zeta ,x\right)$. Soit
    ${\mathcal {W}}_{0}=\bigoplus \limits _{\zeta \in \mathbb {C} ^{n}}\mathbb {C} \left[x\right]e^{i\left\langle x,\zeta \right\rangle }$
l'espace des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes sur $\mathbb {R} ^{n}$. On a le résultat suivant :
Théorème — Les fonctions $u:x\mapsto {\mathcal {B}}_{\sigma ,l}^{T}\left(\zeta ,x\right)e^{i\left\langle x,\zeta \right\rangle },\zeta \in V_{\sigma },l=1,...,\rho _{\sigma },\sigma =1,...,\mu$, sont des solutions du système différentiel dans ${\mathcal {W}}_{0}^{k}$.

#### Exemple

Considérons l'exemple suivant, dû à Palamodov, et détaillé par Hörmander et Björk :
    $R\left(D\right)=\left[{\begin{array}{ccc}D_{2}^{2}&D_{3}^{2}&D_{2}-D_{1}D_{3}\end{array}}\right]$
d'où $R\left(\zeta \right)=\left[{\begin{array}{ccc}\zeta _{2}^{2}&\zeta _{3}^{2}&\zeta _{2}-\zeta _{1}\zeta _{3}\end{array}}\right]$.
On vérifie que $N=\mathbb {C} \left[\zeta \right]R\left(\zeta \right)$ est un idéal primaire Q ; on peut donc dans ce qui suit omettre l'indice $\sigma$ puisqu'il ne prend que la valeur 1. La variété caractéristique V s'obtient en écrivant ${\rm {rang}}_{\mathbb {C} }R(z)<k$, soit encore $R(z)=0$, d'où $z_{2}=z_{3}=0$ ; il s'agit donc de l'axe $z_{1}$, et sa multiplicité est $e=1$. On vérifie aussi que ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}$ est l'idéal $\zeta _{2}\mathbb {C} \left[\zeta \right]+\zeta _{3}\mathbb {C} \left[\zeta \right]$ ; cet idéal est écrit pour plus de simplicité $\left[\zeta _{2},\zeta _{3}\right]$. Le quotient $\mathbb {C} \left[\zeta \right]/Q$ est engendré par les images canoniques ${\bar {\zeta }}_{2}$ et ${\bar {\zeta }}_{3}$ (ce qu'on écrira $\mathbb {C} \left[\zeta \right]/Q=\left[{\bar {\zeta }}_{2},{\bar {\zeta }}_{3}\right]$), on a $\zeta ^{\prime }=\zeta _{1}$, et le rang r de $\mathbb {C} \left[\zeta \right]/Q$ sur $\mathbb {C} \left[\zeta _{1}\right]/Q$ est égal à 2. Par conséquent, $\rho =r/e=2$. On peut choisir comme opérateurs noethériens ${\mathcal {B}}_{1}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)=1$ et ${\mathcal {B}}_{2}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)=\zeta _{1}{\frac {\partial }{\partial \zeta _{2}}}+{\frac {\partial }{\partial \zeta _{3}}}$ avec $\zeta ^{\prime \prime }=(\zeta _{2},\zeta _{3})$. En effet, on vérifie que
    $\left\{{\begin{array}{c}1.f\left(\zeta \right)\in \left[\varsigma _{2},\varsigma _{3}\right]\\\zeta _{1}{\frac {\partial f}{\partial \zeta _{2}}}+{\frac {\partial f}{\partial \zeta _{3}}}\in \left[\zeta _{2},\zeta _{3}\right]\end{array}}\right.\Longleftrightarrow f\left(\zeta \right)\in \left[\zeta _{2}^{2},\zeta _{3}^{2},\zeta _{2}-\zeta _{1}\zeta _{3}\right]$.
Les solutions exponentielles-polynômes du système différentiel forment donc le $\mathbb {C}$-espace vectoriel engendré par $u:x\mapsto u(x)$ où
    $u\left(x\right)=e^{ix_{1}\zeta _{1}}+\left(\zeta _{2}x_{2}+x_{3}\right)e^{ix_{1}\zeta _{1}}$
comme on le vérifie facilement a posteriori. On notera que ${\mathcal {B}}_{2}\left(\zeta ,{\frac {\partial }{\partial \zeta ^{\prime \prime }}}\right)$ dépend de $\zeta$ et cette dépendance est inévitable dans cet exemple. Une méthode systématique pour déterminer des opérateurs noethériens associés à un module primaire a été obtenue par Oberst.

#### Principe fondamental

Soit $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ un compact convexe. Nous caractérisons ici les solutions dans $C^{\nu }(K)$, l'espace des (germes de) fonctions $\nu$ fois continûment différentiables dans un voisinage ouvert de K. La fonction support de K est
    $H_{K}\left(\xi \right)=\sup \limits _{x\in K}\left\langle x,\xi \right\rangle$.
Soit
    $\nu =\sup _{1\leq \sigma \leq \mu }\left\{n-n_{\sigma }^{\prime }\right\}$.
Théorème — Soit
    $u\left(x\right)=\sum \limits _{\sigma =1}^{\mu }\sum \limits _{l=1}^{\rho _{\sigma }}\int _{V_{\sigma }}{\mathcal {B}}_{\sigma ,l}^{T}\left(\zeta ,x\right)e^{i\left\langle x,\zeta \right\rangle }d\mu _{\sigma ,l}\left(\zeta \right)$
où les $\mu _{\sigma ,l}$ sont des mesures complexes, de support est inclus dans $V_{\sigma }$. Supposons
    $\int \nolimits _{V_{\sigma }}\left(1+\left\vert \zeta \right\vert \right)^{q}\exp \left\{H_{K}\left(-\Im \left(\zeta \right)\right)\right\}d\left\vert \mu _{\sigma ,l}(\zeta )\right\vert <\infty$
où l'entier q est supérieur ou égal au degré de ${\mathcal {B}}_{\sigma ,l}$ en $\zeta$. Il existe un entier $\delta \geq 0$ tel que si $u\in C^{\nu +\delta }(K)^{k}$ est solution du système différentiel, alors l'intégrale apparaissant dans l'expression de $u\left(x\right)$ ci-dessus, ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre $\nu$, est convergente absolument et uniformément (par rapport à x). Réciproquement, cette expression définit une solution du système différentiel dans $C^{\nu }(K)^{k}$.
D'autres conditions fournissent les solutions dans des espaces de distributions ou d'hyperfonctions.
On suppose dans tout ce qui suit que l'anneau ${\mathfrak {D}}$ est muni de la topologie discrète, ce qui en fait un anneau topologique.
Définition - Principe fondamental — Soit ${\mathcal {W}}$ un ${\mathfrak {D}}$-module topologique qui contient l'espace vectoriel ${{\mathcal {W}}_{0}}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes (éventuellement restreintes à un ouvert non vide $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$). On dit que cet espace ${\mathcal {W}}$ qu'il vérifie le principe fondamental si pour toute matrice $R(D)\in {\mathfrak {D}}^{q\times k}$ (quels que soient les entiers q est k), l'adhérence dans ${\mathcal {W}}^{k}$ de ${\rm {ker}}_{{\mathcal {W}}_{0}}(R(D)\bullet )$ est égale à ${\rm {ker}}_{\mathcal {W}}(R(D)\bullet )$ et ${\rm {im}}_{\mathcal {W}}(R(D)\bullet )$ est fermée dans ${\mathcal {W}}^{q}$.
Le résultat suivant est clair :
Lemme — L'espace ${{\mathcal {W}}_{0}}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes restreintes à un ouvert connexe non vide $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$, muni de la topologie discrète, vérifie le principe fondamental.
On a d'autre part le résultat suivant$^,$$^,$ :
Théorème —
* Soit $\Omega$ un ouvert convexe de $\mathbb {R} ^{n}$. L'espace ${\mathcal {E}}(\Omega )$ des fonctions indéfiniment dérivables sur $\Omega$ (muni de sa topologie habituelle d'espace de Fréchet), l'espace ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ des distributions sur $\Omega$ (muni de sa topologie habituelle) et l'espace ${\mathcal {D}}^{\prime F}(\Omega )$ des distributions d'ordre fini sur $\Omega$ (muni de la topologie induite par celle de ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$) vérifient le principe fondamental.
* Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb {R} ^{n}$. Pour que ${\mathcal {E}}(\Omega )$ ou ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ vérifient le principe fondamental, il est nécessaire que $\Omega$ soit convexe.
* L'espace ${\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})$ des fonctions entières, muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (qui en fait un espace de Fréchet-Schwartz), et l'espace ${\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n};exp)$ des fonctions analytiques à croissance au plus exponentielle sur $\mathbb {C} ^{n}$, isomorphe au dual ${\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})^{\prime }$ via la transformée de Fourier-Laplace, vérifient le principe fondamental.
L'espace ${\mathcal {B}}(\Omega )$ des hyperfonctions sur un ouvert convexe $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$ n'est pas un espace vectoriel topologique, néanmoins une représentation intégrale telle que ci-dessus existe pour une hyperfonction $u(x)$, les intégrales devant être prises au sens des hyperfonctions (ce résultat est dû à Kaneto).

## Systèmes différentiels non homogènes
### Position du problème

Considérons maintenant le système multidimentionnel d'équation
    $R_{1}(D)u=f$
où l'opérateur D est défini comme plus haut ; ${\mathfrak {D}}$ désigne de nouveau l'anneau des opérateurs différentiels et $R_{1}(D)\in {\mathfrak {D}}^{q_{1}\times k_{1}}$. Le second membre v appartient à ${\mathcal {W}}^{q_{1}}$ où ${\mathcal {W}}$ un espace fonctionnel qui est un ${\mathfrak {D}}$-module. La question qui se pose est de savoir si ce système admet des solutions $u\in {\mathcal {W}}^{k_{1}}$.

### Condition de compatibilité

Puisque l'anneau ${\mathfrak {D}}$ est noethérien, il existe une matrice $R_{2}(D)\in {\mathfrak {D}}^{q_{2}\times k_{2}}$, avec $k_{2}=q_{1}$, pour laquelle la suite
    ${\mathfrak {D}}^{1\times q_{2}}{\overset {\bullet R_{2}(D)}{\longrightarrow }}{\mathfrak {D}}^{1\times q_{1}}{\overset {\bullet R_{1}(D)}{\longrightarrow }}{\mathfrak {D}}^{1\times k_{1}}$
est exacte, c'est-à-dire ${\rm {ker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{1}(D))={\rm {im}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{2}(D))$.
En effet, ${\rm {ker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{1}(D))\subset {\mathfrak {D}}^{1\times q_{1}}$ est de type fini, et il suffit donc de choisir une matrice $R_{2}(D)$ dont les lignes forment un ensemble générateur de ${\rm {ker}}_{\mathfrak {D}}(\bullet R_{1}(D))$ (ce raisonnement resterait valable si ${\mathfrak {D}}$ était seulement un anneau cohérent).
Puisque $R_{2}(D)R_{1}(D)=0$, pour que le système ci-dessus ait une solution, il faut évidemment que la condition de compatibilité
    $R_{2}(D)f=0$
soit satisfaite. La question qui se pose est de savoir si cette condition de compatibilité, qui est nécessaire, est suffisante pour que le système différentiel admette une solution, c'est-à-dire si l'on a
    ${\rm {im}}_{\mathcal {W}}(R_{1}(D)\bullet )={\rm {ker}}_{\mathcal {W}}(R_{2}(D)\bullet )$.

### Principe fondamental, injectivité et platitude

Théorème — Supposons que ${\mathcal {W}}$ vérifie le principe fondamental. Alors la suite
    ${\mathcal {W}}^{k_{1}}{\overset {R_{1}(D)\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}^{q_{1}}{\overset {R_{2}(D)\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}^{q_{2}}$
est exacte.
Cette démonstration reprend, en la détaillant et en la complétant, celle de Palamodov. Par commodité, la formulation ci-dessous utilise l'opérateur $\partial =\partial /\partial x$ plutôt que D. La discussion qui précède montre qu'on a toujours
    ${\rm {im}}_{\mathcal {W}}(R_{1}(\partial )\bullet )\subset {\rm {ker}}_{\mathcal {W}}(R_{2}(\partial )\bullet )$.
Il suffit donc de montrer que, si ${\mathcal {W}}$ vérifie le principe fondamental,
    ${\rm {ker}}_{{\mathcal {W}}_{0}}(R_{2}(\partial )\bullet )\subset {\rm {im}}_{\mathcal {W}}(R_{1}(\partial )\bullet )$.
En effet, le principe fondamental dit que ${\rm {im}}_{\mathcal {W}}(R_{1}(\partial )\bullet )$ est un sous-espace fermé de ${\mathcal {W}}^{k}$ et que l'adhérence dans ${\mathcal {W}}^{k}$ de ${\rm {ker}}_{{\mathcal {W}}_{0}}(R_{2}(\partial )\bullet )$ est égale à ${\rm {ker}}_{\mathcal {W}}(R_{2}(\partial )\bullet )$. Il suffit donc de montrer que
    ${\rm {ker}}_{{\mathcal {W}}_{0}}(R_{2}(\partial )\bullet )={\rm {im}}_{{\mathcal {W}}_{0}}(R_{1}(\partial )\bullet )$
autrement dit que la suite
    ${\mathcal {W}}_{0}^{k_{1}}{\overset {R_{1}(\partial )\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}_{0}^{q_{1}}{\overset {R_{2}(\partial )\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}_{0}^{q_{2}}$
est exacte. Il suffit que pour tout $z\in \mathbb {C} ^{n}$ la suite
    ${\mathcal {W}}_{0,z}^{k_{1}}{\overset {R_{1}(\partial )\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}_{0,z}^{q_{1}}{\overset {R_{2}(\partial )\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}_{0,z}^{q_{2}}$
soit exacte, où ${\mathcal {W}}_{0,z}=\mathbb {C} \left[x\right]e^{i\left\langle x,z\right\rangle }$. On se ramène au cas où $z=0$ par une translation appropriée des matrices $R_{1}(\zeta )$ et $R_{2}(\zeta )$, et ${\mathcal {W}}_{0,0}=\mathbb {C} \left[x\right]$. Soit $\mathbf {S} =\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]$ l'espace des séries formelles en $\xi$. Muni de la topologie de convergence simple des coefficients, $\mathbf {S}$ est un espace de Fréchet. Soit la forme bilinéaire $(\bullet ,\bullet ):\mathbb {C} \left[x\right]\times \mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]\rightarrow \mathbb {C}$ définie pour
    $f=\sum \limits _{finie}{\frac {f_{j}}{j!}}x^{j}\in \mathbb {C} \left[x\right],\phi =\sum \limits _{j}\phi _{j}\xi ^{j}\in \mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]$
par la relation
    $(f,\phi )=\sum \limits _{j}f_{j}\phi _{j}$.
Cette forme bilinéaire est séparante, i.e. si $(f,\phi )=0$ pour tout $\phi \in \mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]$ alors $f=0$, et si $(f,\phi )=0$ pour tout $f\in \mathbb {C} \left[x\right]$ alors $\phi =0$. Elle met donc les espaces vectoriels $\mathbb {C} \left[x\right]$ et $\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]$ en dualité séparante. On montre facilement que toute forme linéaire continue sur $\mathbf {S}$ est de la forme $(f,-)$ pour un $f\in \mathbb {C} \left[x\right]$, par conséquent $\mathbf {P} =\mathbb {C} \left[x\right]$ s'identifie au dual de l'espace de Fréchet $\mathbf {S}$ ; par ailleurs $\mathbf {P}$ est limite inductive stricte des espaces de dimension finie $\mathbf {P} _{m}$ formés des polynômes de degré inférieur ou égal à m. L'opérateur $\xi ^{j}\bullet :\mathbf {S} \rightarrow \mathbf {S}$ (multiplication par $\xi ^{j})$ est linéaire et continu, et
    $(\partial ^{j}f,\phi )=(f,\xi ^{j}\phi )$
i.e. la multiplication par $\xi ^{j}$ est le transposé de l'opérateur $\partial ^{j}$.
Or la suite
    $\mathbb {C} \left[\xi \right]^{1\times q_{2}}{\overset {\bullet R_{2}(\xi )}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \left[\xi \right]^{1\times q_{1}}{\overset {\bullet R_{1}(\xi )}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \left[\xi \right]^{1\times k_{1}}$
est exacte. Puisque $\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]$ est le complété de $\mathbb {C} \left[\xi \right]$ pour la topologie $(\xi )$-adique (où $(\xi )$ désigne l'idéal engendré par $(\xi )$), $\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]$ est un $\mathbb {C} \left[\xi \right]$-module plat. Par conséquent, la suite
    $\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]^{1\times q_{2}}{\overset {\bullet R_{2}(\xi )}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]^{1\times q_{1}}{\overset {\bullet R_{1}(\xi )}{\longrightarrow }}\mathbb {C} \left[\left[\xi \right]\right]^{1\times k_{1}}$
est exacte. Par dualité,
    ${\overline {{\rm {im}}_{\mathbf {P} }\left(R_{1}\left(\partial \right)\bullet \right)}}=\ker _{\mathbf {P} }\left(R_{2}\left(\partial \right)\bullet \right)$
et il reste donc à montrer que $V={\rm {im}}_{\mathbf {P} }\left(R_{1}\left(\partial \right)\bullet \right)$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E=\mathbf {P} ^{q_{1}}$. Or, E est limite inductive stricte de la suite strictement croissante des espaces de dimension finie $E_{m}=\mathbf {P} _{m}^{q_{1}}$. Soit $(x_{i})$ une suite généralisée de V convergeant dans E vers un point x. Il existe un entier m tel que $\left\{x_{i}\right\}\subset E_{m}$ et $(x_{i})$ converge vers x dans $E_{m}$. Puisque $E_{m}$ est de dimension finie, $V\cap E_{m}$ est fermé dans $E_{m}$, par conséquent x appartient à $V\cap E_{m}$, d'où il suit que V est fermé dans E. On en déduit que la suite
    $\mathbb {C} \left[x\right]^{k_{1}}{\overset {R_{1}(\partial )\bullet }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \left[x\right]^{q_{1}}{\overset {R_{2}(\partial )\bullet }{\longrightarrow }}\mathbb {C} \left[x\right]^{q_{2}}$
est exacte, ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire — Tout opérateur $R(D)\in {\mathfrak {D}}$ admet une solution fondamentale (ou « fonction de Green ») qui est une distribution d'ordre fini.
La suite
    $0\longrightarrow {\mathfrak {D}}{\overset {\bullet R\left(D\right)}{\longrightarrow }}{\mathfrak {D}}$
est exacte. Par conséquent, avec ${\mathcal {W}}={\mathcal {D}}^{\prime F}(\mathbb {R} ^{n})$, la suite
    ${\mathcal {W}}{\overset {R\left(D\right)\bullet }{\longrightarrow }}{\mathcal {W}}\longrightarrow 0$
est exacte, et il existe donc $u\in {\mathcal {D}}^{\prime F}(\mathbb {R} ^{n})$ telle que $R\left(D\right)u=\delta$. Le raisonnement et le résultat restent valides si l'on remplace ${\mathcal {D}}^{\prime F}(\mathbb {R} ^{n})$ par ${\mathcal {D}}^{\prime F}(\Omega )$ où $\Omega$ est un voisinage ouvert convexe de 0 dans $\mathbb {R} ^{n}$.
Oberst$^,$ a montré que l'espace ${\mathcal {W}}_{0}$ des combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes est le ${\mathfrak {D}}$-module cogénérateur canonique.
Corollaire — Si l'espace fonctionnel ${\mathcal {W}}$ vérifie le principe fondamental, c'est un ${\mathfrak {D}}$-module cogénérateur injectif. Si de plus ${\mathcal {W}}$ est un espace de Fréchet ou le dual d'un espace de Fréchet réflexif, son dual ${\mathcal {W}}^{\prime }$ est un ${\mathfrak {D}}$-module plat.
Le théorème ci-dessus prouve que le ${\mathfrak {D}}$-module ${\mathcal {W}}$ est injectif (voir l'article Module injectif) et puisqu'il contient ${\mathcal {W}}_{0}$ il est cogénérateur. Si ${\mathcal {W}}$ est un espace de Fréchet ou le dual d'un espace de Fréchet réflexif, son dual est un ${\mathfrak {D}}$-module plat.)
En outre, le module des hyperfonctions sur un ouvert convexe de $\mathbb {R} ^{n}$ est un cogénérateur injectif (d'après un résultat dû à Komatsu). Pour que ${\mathcal {E}}(\Omega )$ soit un ${\mathfrak {D}}$-module divisible, l'ouvert $\Omega$ étant connexe, il est nécessaire (et suffisant) que $\Omega$ soit convexe (résultat dû à Malgrange).
En liaison avec le corollaire ci-dessus, on obtient par dualité le résultat suivant :
Corollaire — Soit $\Omega$ un ouvert convexe non vide de $\mathbb {R} ^{n}$ ; les ${\mathfrak {D}}$-modules ${\mathcal {D}}(\Omega )$ et ${\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )$ sont plats. De même, les ${\mathfrak {D}}$-modules ${\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})$ et ${\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n};exp)$ sont plats.
On notera qu'un ${\mathfrak {D}}$-module injectif ne vérifie pas nécessairement le principe fondamental au sens précisé ci-dessus. Par exemple, l'espace ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ des distributions tempérées sur $\mathbb {R} ^{n}$ est un ${\mathfrak {D}}$-module injectif, mais ne contient pas les exponentielles-polynômes, et n'est donc pas cogénérateur. (Néanmoins, son dual ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$, à savoir l'espace de Schwartz des fonctions déclinantes, est un ${\mathfrak {D}}$-module plat, ce qu'on peut conclure aussi d'un résultat général sur la dualité entre injectivité et platitude.)