# Coefficient de couplage électromécanique

Les coefficients de couplage électromécanique interviennent dans la physique des matériaux piézoélectriques. Ce sont des coefficients sans dimension dont la valeur est comprise entre 0 et 1 (elle peut aussi être exprimée en pourcents). Ils peuvent être vus comme une sorte de rendement : plus le coefficient s'approche de un, mieux le matériau convertit l'énergie électrique en énergie mécanique et inversement. Ces coefficients sont donc une caractéristique importante des matériaux piézoélectriques.

## Définitions

Dans ce qui suit, on utilisera les notations standard. On notera notamment :
* $E_{i}$ et $D_{i}$ le champ électrique et le déplacement électrique respectivement ;
* $\epsilon _{ij}$ le tenseur de permittivité diélectrique ;
* $T_{\alpha }$ et $S_{\alpha }$ le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations respectivement ;
* $c_{\alpha \beta }$ et $s_{\alpha \beta }$ les tenseurs de rigidité et de complaisance respectivement.

### À partir d'un cycle quasi statique

On peut définir le coefficient de couplage en considérant le cycle thermodynamique suivant. L'échantillon est préparé sous forme d'une plaquette sur laquelle on a déposé des électrodes sur deux faces opposées. La direction normale à la plaquette est noté 3 par commodité.
* Dans un premier temps, on place l'échantillon en conditions de court-circuit en connectant ses deux faces. Ceci permet d'assurer que le champ électrique aux bornes de l'échantillon reste nul. Puis on lui applique une contrainte de compression dans la direction 3 notée $-T_{3}$. On laisse par ailleurs l'échantillon mécaniquement libre, de sorte que $-T_{3}$ est la seule contrainte non nulle.
* On place ensuite l'échantillon en circuit ouvert, puis on relâche la force de compression. Lorsque la contrainte revient à zéro, l'échantillon ne revient pas dans l'état initial mais conserve une certaine déformation.
* Pour compléter le cycle, on connecte l'échantillon, qui forme maintenant un condensateur chargé, à une charge électrique idéale. En se déchargeant, l'échantillon revient à son état initial non déformé.
Le coefficient de couplage $k_{33}$ peut alors être défini comme le rapport de l'énergie électrique fournie sur l'énergie élastique totale emmagasinée. Le calcul montre alors que :
    $k_{33}^{2}={\frac {s_{33}^{E}-s_{33}^{D}}{s_{33}^{E}}}={\frac {d_{33}^{2}}{\epsilon _{33}^{T}\,s_{33}^{E}}}$

### Expression des principaux coefficients

Le tableau ci-dessous reprend les expressions des principaux coefficients de couplage, d'après les standards de la piézoélectricité.
| Expression | Conditions aux limites élastiques |
| $k_{31}={\frac {d_{31}}{\sqrt {\epsilon _{33}^{T}\,s_{11}^{E}}}}$ | Contraintes toutes nulles sauf $T_{1}$ |
| $k_{33}^{l}={\frac {d_{33}}{\sqrt {\epsilon _{33}^{T}\,s_{33}^{E}}}}$ | Contraintes toutes nulles sauf $T_{3}$ |
| $k_{31}^{t}={\frac {e_{33}}{\sqrt {\epsilon _{33}^{S}\,s_{33}^{D}}}}$ | Déformations toutes nulles sauf $S_{3}$ |

## Mesures des coefficients de couplage

Les coefficients de couplage électromécanique sont mesurés par la méthode de résonance-antirésonance qui consiste à faire une mesure de l'impédance électrique d'un échantillon. Si l'échantillon est taillé avec des dimensions adaptées, son spectre d'impédance fait apparaître un minimum et un maximum à des fréquences dites de résonance et d'antirésonance. Le coefficient de couplage pour le mode correspondant se calcule directement à partir de ces deux fréquences.

## Valeurs pour quelques matériaux

| Matériau | Forme | $k_{33}$ (%) |
| Quartz | cristal | 10 |
| BaTiO$_3$ | céramique | 52 |
| PZT (45/55) | céramique | 60 |
| LiNbO$_3$ | cristal | 17 |