# Théorème de Jordan-Hölder

Le théorème de Jordan-Hölder est un théorème de la théorie des groupes, qui fait partie de l'algèbre générale. Il permet notamment une démonstration très générale de la réduction de Jordan des matrices carrées.

## Définitions

Soient G un groupe et e son élément neutre.
* Rappelons qu'on appelle suite de composition de G toute suite finie (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) de sous-groupes de G telle que$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G$_{i+1}$ soit sous-groupe normal de G$_i$. Les quotients G$_i$/G$_{i+1}$ sont appelés les quotients de la suite.
* Soient Σ$_1$ = (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) et Σ$_2$ = (H$_0$, H$_1$, …, H$_s$) deux suites de composition de G. Rappelons qu'on dit que
** Σ$_2$ est un raffinement de Σ$_1$, ou encore que Σ$_2$ est plus fine que Σ$_1$, si Σ$_1$ est extraite de Σ$_2$, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G$_i$ = H$_{j(i)}$ pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
** Σ$_1$ et Σ$_2$ sont équivalentes$^,$ si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G$_i$/G$_{i+1}$ soit isomorphe au quotient H$_{σ(i)}$/H$_{σ(i)+1}$.
* Soit Σ = (G$_0$, G$_1$, …, G$_r$) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ; b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ; c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G$_{i+1}$ est un sous-groupe distingué maximal de G$_i$ (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G$_i$). On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).
Tout groupe fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder. Plus généralement, un groupe G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion; soit finalement, que le treillis des sous-groupes sous-normaux de G est complet.) En particulier, si un groupe satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes quelconques, il admet une suite de Jordan-Hölder.

## Le théorème de Jordan-Hölder

Le théorème de Jordan-Hölder dit que deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes. Ce théorème peut se démontrer à l'aide du théorème de raffinement de Schreier, lequel peut lui-même se démontrer à l'aide du lemme de Zassenhaus.

### Exemple

Pour le groupe des nombres modulo 6, on a les deux suites de Jordan-Hölder suivantes :
* $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \supset \{0,2,4\}\supset \{0\}$
* $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \supset \{0,3\}\supset \{0\}$
dont les quotients sont (à isomorphisme près) ℤ/2ℤ puis ℤ/3ℤ pour la première et ℤ/3ℤ puis ℤ/2ℤ pour la seconde.

## Généralisation

Le thèorème de Jordan se généralise utilement aux groupes à opérateurs.
Tout d'abord, on étend la notion de suite de Jordan-Hölder d'un groupe aux groupes à opérateurs : on appelle suite de Jordan-Hölder d'un Ω-groupe G toute suite finie (G$_0$, G$_1$, … , G$_r$) de Ω-sous-groupes de G telle que
$G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}$
que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, G$_{i+1}$ soit sous-groupe normal (et donc Ω-sous-groupe normal) de G$_i$ et que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, le Ω-groupe quotient G$_i$/G$_{i+1}$ soit Ω-simple.
Comme dans le cas des groupes ordinaires, tout groupe à opérateurs fini admet au moins une suite de Jordan-Hölder et, plus généralement, un groupe à opérateurs G admet une suite de Jordan-Hölder si et seulement s'il satisfait aux conditions de chaîne ascendante et descendante pour les sous-groupes stables sous-normaux, c'est-à-dire si toute suite croissante et toute suite décroissante de sous-groupes stables sous-normaux de G est stationnaire. (Cela revient encore à dire que tout ensemble non vide E de sous-groupes stables sous-normaux de G a un élément maximal dans E pour l'inclusion et un élément minimal dans E pour l'inclusion.)
Soit G un Ω-groupe, soient Σ$_1$ = (G$_0$, G$_1$, … , G$_r$) et Σ$_2$ = (H$_0$, H$_1$, … , H$_s$) deux suites de Jordan-Hölder de G. On dit que Σ$_1$ et Σ$_2$ sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, … , r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le Ω-groupe quotient G$_i$/G$_{i+1}$ soit Ω-isomorphe au Ω-groupe quotient H$_{σ(i)}$/H$_{σ(i)+1}$.
La démonstration du théorème de Jordan-Hölder s'étend alors immédiatement aux groupes à opérateurs : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe à opérateurs sont toujours équivalentes.

## Exemple d'utilisation de la forme généralisée

Soient A un anneau et M un A-module à gauche ou à droite sur A. L'addition des vecteurs de M est une loi de groupe et la loi externe de M est une opération
$\ A\times M\rightarrow M:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$
qui fait de M un groupe à opérateurs dans A (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).
Tout ceci est vrai en particulier dans le cas d'un espace vectoriel à gauche ou à droite V sur un corps (non forcément commutatif) K (le lecteur qui n'est pas familier avec les corps non commutatifs et les espaces vectoriels à gauche et à droite peut supposer que K est un corps commutatif et que V est un espace vectoriel sur K) : l'addition des vecteurs de V est une loi de groupe et la loi externe de V est une opération
$\ K\times V\rightarrow V:(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$
qui fait de V un groupe à opérateurs dans K (en raison de la distributivité de la loi externe par rapport à l'addition des vecteurs).
Un espace vectoriel à gauche ou à droite sur un corps K est donc un cas particulier de groupe à opérateurs dans K. Les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont les sous-espaces vectoriels de V. Comme le groupe à opérateurs V est commutatif, tous ses sous-groupes stables sont normaux. Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'espace vectoriel quotient de l'espace V par l'espace W est le groupe à opérateurs quotient du groupe à opérateurs V par son sous-groupe stable W. Le groupe à opérateurs V est simple si et seulement si l'espace vectoriel V est de dimension 1.
Nous allons tirer de ce qui précède que deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments. Soient (a$_1$, … , a$_r$) et (b$_1$, … , b$_s$) deux bases d'un même espace vectoriel V. Il s'agit de prouver que r = s. Pour chaque i (0 ≤ i ≤ r), désignons par V$_i$ le sous-espace vectoriel de V engendré par les a$_j$ avec j ≤ i (on a donc V$_0$ = 0). De même, pour chaque k (0 ≤ k ≤ s), désignons par W$_k$ le sous-espace vectoriel de V engendré par les b$_l$ avec l ≤ k. Alors (V$_r$, … , V$_0$) et (W$_s$, … , W$_0$) sont deux suites de Jordan-Hölder du groupe à opérateurs V. D'après le théorème de Jordan-Hölder étendu aux groupes à opérateurs, ces deux suites sont équivalentes. En particulier, elles ont la même longueur, donc r = s, comme annoncé.
Remarque. La démonstration qui précède montre qu'un espace vectoriel est de dimension finie si et seulement s'il est de longueur finie comme groupe à opérateurs et que sa longueur est alors égale à sa dimension. En revanche, si V est de dimension infinie, la longueur de V (qui est alors infinie elle aussi) n'est pas forcément égale à la dimension de V, car la longueur de V, comme la longueur de tout groupe à opérateurs de longueur infinie, est alors égale au plus petit cardinal infini, ce qui n'est pas forcément le cas de la dimension de V.

## Histoire

C. Jordan énonça en 1869 et démontra en 1870 que dans deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe fini, la suite des ordres (nombres d'éléments) des quotients est la même, à une permutation près. En 1889, O. Hölder renforça ce résultat en prouvant le théorème appelé depuis théorème de Jordan-Hölder.