# Théorème de Bateman

Le théorème de Bateman, publié en 1972, fournit un développement asymptotique de la moyenne du nombre d'antécédents de la fonction indicatrice d'Euler, que l'on note $\varphi$ par la suite$^,$.

## Énoncé

Notons $a_{n}:={\text{card}}\{m\in \mathbb {N} ^{*},\varphi (m)=n\}$ pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et $\Phi (x):=\sum _{n\leqslant x}a_{n}$ pour $x\geqslant 0$, il existe alors une constante $c>0$ telle que
$\Phi (x)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}x+{\mathcal {O}}\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right)$
Notons que $a_{n}$ est fini pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$. En effet, d'après l'estimation $\varphi (m)>{\frac {e^{-\gamma }m}{\ln \ln m}}(1+o(1))$ où $\gamma$ désigne la constante d'Euler-Mascheroni, on a $\varphi (m)>n$ dès lors que $m>(e^{\gamma }+o(1))n\ln \ln n$ donc $a_{n}\leqslant (e^{\gamma }+o(1))n\ln \ln n$.

## Démonstration

Dans toute la suite, on désigne par $s$ un nombre complexe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont notées respectivement $\sigma$ et $\tau$.

### Série de Dirichlet associée

La série $\sum _{m\geqslant 1}{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}$ converge absolument sur le demi-plan complexe $\sigma >1$ d'après l'inégalité précédente. Notons $F$ la série de Dirichlet associée à $a_{n}$, la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets : $F(s)=\sum _{m\geqslant 1}{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}$, on en déduit que le produit eulérien de $F$ s'écrit
$F(s)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}(1-p^{-s})}}\right)$
où dans le produit $p$ parcourt l'ensemble des nombres premiers.

### Lien avec la fonction zêta de Riemann

En utilisant le produit eulérien de la fonction $\zeta$, on a $F(s)=\zeta (s)G(s)$ pour $\sigma >1$ où le produit $G(s)$ est défini par
$G(s)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$
Notons que le produit définissant $G(s)$ est absolument convergent dans le demi-plan complexe $\sigma >0$ d'après l'inégalité
$\left|{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right|\leqslant \min \left(2(p-1)^{-\sigma },|s|(p-1)^{-\sigma -1}\right)$
Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction $\zeta$ l'égalité $G(1)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}$.

### Majoration du produit G(s)

On se place ici dans le domaine défini par $|\tau |\geqslant 2$ et $\sigma \geqslant 1-{\frac {1}{\ln(2|\tau |)}}$. On a d'après l'inégalité précédente
$\ln |G(s)|\leqslant 4\sum _{p\leqslant 2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma }}}+(2+|\tau |)\sum _{p>2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma +1}}}+{\mathcal {O}}(1)$
D'une part ${\frac {1}{p^{\sigma }}}\ll {\frac {1}{p}}$ dès lors que $p\leqslant 2|\tau |$ donc $\sum _{p\leqslant 2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma }}}\ll \ln \ln(2|\tau |)$ d'après les estimations de Mertens. D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev, $\sum _{p>2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma +1}}}\ll {\frac {\ln \ln(2|\tau |)}{|\tau |}}$ de sorte que $\ln |G(s)|\ll \ln \ln(2|\tau |)$. Il existe ainsi une constante $A>0$ telle que $G(s)\ll (\ln |\tau |)^{A}$.

### Développement asymptotique de Φ

D'après la formule de Perron (voir Remarques)
$\int _{0}^{x}\Phi (t)dt={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }\zeta (s)G(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s(s+1)}}$
pour tout $\kappa >1$ où l'intégrale est semi-convergente pour $x$ non entier et converge en valeur principale pour $x$ entier. On choisit $\kappa =1+{\frac {1}{\ln x}}$ et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe $\sigma =1-{\frac {1}{\ln \max(4,2|\tau |)}}$. On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points $\tau =\pm e^{-c{\sqrt {\ln x}}}$ pour une constante convenable $c$, celle-ci est $\ll x^{2}e^{-c_{0}{\sqrt {\ln x}}}$ pour une constante $c_{0}>0$ d'après la majoration $|\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)$ (voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :
$\int _{0}^{x}\Phi (t)dt={\frac {G(1)}{2}}x^{2}+{\mathcal {O}}\left(x^{2}e^{-c_{0}{\sqrt {\ln x}}}\right)$
De la croissance de $\Phi$ on en déduit que
${\frac {1}{h}}\int _{x-h}^{x}\Phi (t)dt\leqslant \Phi (x)\leqslant {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\Phi (t)dt$
pour tout $0<h\leqslant x$. En choisissant $h=xe^{-{\frac {c_{0}}{2}}{\sqrt {\ln x}}}$ et en remplaçant $G(1)$ par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :
$\Phi (x)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}x+{\mathcal {O}}\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right)$
pour une constante $c>0$.

### Corollaire

D'après la relation $a_{n}=\Phi (n)-\Phi (n-1)$ on a $a_{n}\ll ne^{-c{\sqrt {\ln n}}}$.

## Remarques
### Formule de Perron

On pose $a_{x}=a_{n}$ lorsque $x=n\in \mathbb {N}$ et $a_{x}=0$ lorsque $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {N}$, on a alors d'après la formule de Perron
$\sum _{n<x}a_{n}+{\frac {a_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s}{\frac {ds}{s}}$
pour tout $\kappa >\max(0,\sigma _{c})$ où $\sigma _{c}$ désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet $F$. On en déduit que
$\sum _{n<x}na_{n}+{\frac {xa_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s+1}}$
$\sum _{n<x}xa_{n}+{\frac {xa_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s}}$
d'où
$\int _{0}^{x}\Phi (t)dt=\sum _{n\leqslant x}(x-n)a_{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s(s+1)}}$
pour tout $\kappa >\max(0,\sigma _{c})$ et $x\geqslant 1$.

### Majoration de la norme du logarithme ζ

On a la relation $|\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)$.

#### Lemme

Il existe une constante $c>0$ telle que $\zeta$ ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par $\sigma \geqslant 1-{\frac {8c}{\ln(2+|\tau |)}}$ (voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann). Ainsi tout zéro non trivial $\beta +i\gamma$ de $\zeta$ vérifie l'inégalité $\beta <1-{\frac {8c}{\ln(2+|\gamma |)}}$. Cela implique la minoration
$\min _{\rho }{\text{Re}}\left({\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{s-\rho }}\right)\geqslant 0$
où $\rho$ parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de $\zeta$, dans le domaine du plan complexe défini par $\tau \geqslant 4$ et $\sigma \geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}$. En effet, si $\rho$ est un zéro non trivial, alors
* si $|s-\rho |>{\frac {1}{2}}|\rho |$, alors en posant $\vartheta :={\frac {2|s-\rho |}{\rho }}\geqslant 1$,
${\text{Re}}\left({\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{s-\rho }}\right)={\frac {\beta }{|\rho |^{2}}}+{\frac {\sigma -\beta }{|s-\rho |^{2}}}={\frac {\vartheta ^{2}\beta -4(\sigma -\beta )}{4|s-\rho |^{2}}}\geqslant {\frac {4\sigma -3}{4|s-\rho |^{2}}}\geqslant 0$
$c$
* si $|s-\rho |\leqslant {\frac {1}{2}}|\rho |$, alors $|\tau -\gamma |\leqslant {\frac {1}{2}}\left(|\gamma |+1\right)$ d'où $|\gamma |\leqslant 2|\tau |+2$ et $\beta <1-{\frac {8c}{\ln(2\tau +4)}}\leqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}\leqslant \sigma$.
Le produit de Hadamard de $\zeta$ fournit
${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\gamma -1-{\frac {1}{s-1}}-{\frac {\Gamma '\left(1+{\frac {s}{2}}\right)}{2\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}+\sum _{\rho }\left({\frac {1}{s-\rho }}+{\frac {1}{\rho }}\right)$
où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de $\zeta$. On en déduit l'existence d'une constante $K>0$ telle que $-{\text{Re}}{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\leqslant K\ln \tau$ sur le domaine $\tau \geqslant 4$ et $\sigma \geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}$.

#### Démonstration de la majoration

On se place dorénavant dans le domaine défini par $\tau \geqslant 5$ et $\sigma \geqslant 1-{\frac {c}{\ln \tau }}$. Posons $\eta :={\frac {c}{\ln \tau }}$ et $s_{0}:=1+\eta +i\tau$, alors pour tout $w\in \mathbb {C}$ dans le disque $|w|\leqslant 4\eta$, le point $s_{0}+w=\sigma '+i\tau '$ vérifie $\tau '\geqslant 4$ et $\sigma '\geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau '}}$ donc
$-{\text{Re}}{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\leqslant 2K\ln \tau$
d'après le lemme. Posons $F(w):={\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}-{\frac {\zeta '(s_{0}+w)}{\zeta (s_{0}+w)}}$, alors ${\text{Re}}\,F(w)\leqslant 2K\ln \tau +\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|$ pour tout $w$ dans le disque $|w|\leqslant 4\eta$. Sachant que $|s-s_{0}|\leqslant 2\eta$, le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration
$\left|{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right|\leqslant 4K\ln \tau +3\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|$
On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de ${\frac {\zeta '}{\zeta }}$ :
$\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|\leqslant \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\Lambda (n)}{n^{1+\eta }}}={\frac {1}{\eta }}+{\mathcal {O}}(1)\ll \ln \tau$
où $\Lambda$ désigne la fonction de von Mangoldt, ce qui permet d'en déduire que ${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\ll \ln |\tau |$. On peut finalement conclure :
$\log {\frac {\zeta (s)}{\zeta (s_{0})}}=\int _{s_{0}}^{s}{\frac {\zeta '(w)}{\zeta (w)}}dw\ll |s-s_{0}|\ln \tau \ll 1$
et
$|\log \zeta (s_{0})|=\left|\sum _{n\geqslant 2}{\frac {\Lambda (n)}{(\ln n)n^{s_{0}}}}\right|\leqslant \sum _{n\geqslant 2}{\frac {\Lambda (n)}{(\ln n)n^{1+\eta }}}=\ln \zeta (1+\eta )=\ln {\frac {1}{\eta }}+{\mathcal {O}}(1)=\ln \ln \tau +{\mathcal {O}}(1)$
d'où finalement $|\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)$ dans le domaine du plan complexe défini par $|\tau |\geqslant 3$ et $\sigma \geqslant 1-{\frac {c}{\ln |\tau |}}$.