# Théorie de Kirchhoff

La théorie de Kirchhoff est une théorie de la diffraction qui permet, à l'aide du théorème de Green, de donner une formulation mathématique au principe de Huygens-Fresnel et de modéliser la propagation d'une onde à travers des ouvertures diffractantes. Elle a été introduite par le physicien Gustav Kirchhoff (1824-1887).

## Théorème intégral de Kirchhoff

Quelle que soit la nature de l'onde, pour une perturbation sinusoïdale (harmonique ou monochromatique selon le domaine) représentée par le champ $U$ qui est solution de l'équation d'onde, le théorème intégral de Kirchhoff permet d'exprimer la valeur du champ $U(M)$ en un point $M$ en fonction du champ $U$ et de son gradient ${\overrightarrow {\nabla }}U$ sur une surface incluant le point $M$ :
* $U(M)={\frac {1}{4\pi }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U-U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$.
La perturbation sinusoïdale (monochromatique ou harmonique, selon le domaine) $U_{P}$ d'une grandeur scalaire physique (totale) $U_{T}=U_{0}+U_{P}$ autour d'une valeur moyenne $U_{0}$, se propage à la vitesse $c$ de façon ondulatoire si cette grandeur respecte l'équation d'onde :
    $\Delta U_{T}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U_{T}}{\partial t^{2}}}$.
Elle peut être écrite sous la forme : $U_{P}=U\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kct}=U\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}$. L'équation d'onde peut alors prendre une expression plus simple, nommée équation de Helmoltz :
    $\Delta U+k^{2}\,U=0$.
Cette dernière peut-être résolu à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski : $\textstyle \int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\subset \!\!\!\!\supset \!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$. En posant ${\overrightarrow {F}}=U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1}$ et sachant que ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot (U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1})=U_{1}\,\Delta U_{2}-U_{2}\,\Delta U_{1}$ :
    $\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}(U_{1}\,\Delta U_{2}-U_{2}\,\Delta U_{1})\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}(U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1})\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$.
Si $U_{1}$ et $U_{2}$ sont solutions de l'équation de Helmoltz ($\Delta U_{1}+k^{2}\,U_{1}=0$ et $\Delta U_{2}+k^{2}\,U_{2}=0$) , alors $U_{1}\,\Delta U_{2}-U_{2}\,\Delta U_{1}=0$ et
    $\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}(U_{1}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{2}-U_{2}\,{\overrightarrow {\nabla }}U_{1})\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=0$.
En posant $U_{1}=U$, partie spatiale de $U_{P}$, et $U_{2}={\frac {\mathrm {e} ^{ikr}}{r}}$, elle-même solution de l'équation de Helmoltz, et en appliquant le résultat précédent au volume contenu entre une petite sphère $S'$ de centre $M$, et une surface $S$ fermée qui englobe la sphère $S'$, on peut écrire :
    $\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left(U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}+\underbrace {\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S'}\left(U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}} _{I'}=0$.
En coordonnées sphériques, ${\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}$ est orienté dans le sens de $-{\overrightarrow {e_{r}}}$ : ${\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}=-r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi \,{\overrightarrow {e_{r}}}$.
En observant que
    ${\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)=\left(-{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}$,
d'où
    ${\overrightarrow {\nabla }}U\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S'}}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$,
et en faisant tendre la sphère $S'$ vers le point $M$, $U=U(M)$ sur toute la surface de la sphère et $r\rightarrow 0$, l'intégrale sur la sphère $S'$ s'exprime :
    $I'=\int _{0}^{2\pi }\!\!\!\!\int _{0}^{\pi }\left(U-\mathrm {i} kr\,U+r\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =4\pi \,U(M)$.
Ceci aboutit enfin à l'expression du théorème intégral de Kirchhoff :
    $U(M)={\frac {1}{4\pi }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\overrightarrow {\nabla }}U-U\,{\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$.

## Formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point $M$ causée par une source ponctuelle en un point $S$ émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soit négligeable devant les distances de propagation :
* $U(M)=-{\frac {i\,u_{0}}{\lambda }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}K(\theta ){\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(r+s)}}{rs}}\mathrm {d} S$,
avec $K(\theta )={\frac {1}{2}}\left(\cos({\overrightarrow {\mathrm {d} S}},{\overrightarrow {e_{r}}})-\cos({\overrightarrow {\mathrm {d} S}},{\overrightarrow {e_{s}}})\right)$ nommé facteur d'oblicité ou facteur d'inclinaison.
Le champ issu d'une source ponctuelle $S$ est tel que $U_{S}=U\mathrm {e} ^{-i\omega t}={\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{iks}e^{-i\omega t}$ où $s$ est la distance à la source. On suppose que la surface d'intégration est telle que $\lambda \ll r$ et $\lambda \ll s$, les gradients peuvent alors être simplifiés :
    ${\overrightarrow {\nabla }}U={\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\right)=\left(-{\frac {1}{s^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} k}{s}}\right)u_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\,{\overrightarrow {e_{s}}}\simeq {\frac {\mathrm {i} k}{s}}\,u_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\,{\overrightarrow {e_{s}}}$,
et
    ${\overrightarrow {\nabla }}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\right)=\left(-{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}\simeq +{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}$.
La surface étudiée est quelconque mais fermée et ${\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\overrightarrow {n}}\,\mathrm {d} S$ de sorte que l'intégrale devienne :
    $U(M)={\frac {1}{4\pi }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\,{\frac {\mathrm {i} k}{s}}\,u_{0}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}\,{\overrightarrow {e_{s}}}-{\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{iks}\,{\frac {\mathrm {i} k}{r}}\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}\,{\overrightarrow {e_{r}}}\right)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$,
ce qui mène à la formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff :
    $U(M)=-{\frac {i\,u_{0}}{\lambda }}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}K(\theta ){\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k(r+s)}}{rs}}\mathrm {d} S$.

## Cas d'une ouverture diffractante

On effectue l'intégration sur les surfaces :
* $A_{1}$ la calotte sphérique du faisceau qui pénètre par l'ouverture ; le champ scalaire y est identique en tout point, ${\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$ et ${\overrightarrow {e_{s}}}$ y sont de même direction et de sens opposé ;
* $A_{2}$ sur les bords du faisceau, mais on considère son influence négligeable dès lors que la taille de l'ouverture est petite devant le rayon du front d'onde ;
* $A_{3}$ la partie non éclairée de l'obstacle ; le champ y est considéré nul ;
* $A_{4}$ une demi sphère de rayon tendant vers l'infini de sorte de le champ y soit nul (à la seule condition que son amplitude décroisse avec la distance).
Si $\theta =({\overrightarrow {\mathrm {d} S}},{\overrightarrow {e_{r}}})$ alors le facteur d'oblicité sur $A_{1}$, seule surface qui intervient dans le calcul, est :
* $K(\theta )={\frac {1}{2}}\left(\cos \theta +1\right)$.
Ce facteur indique que la diffraction se fait préférentiellement dans les sens de la propagation, tout particulièrement il montre le non-retour de l'onde lors de la diffraction $K(\pi )=0$.
Si l'onde incidente $U_{1}={\frac {u_{0}}{s}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ks}$ est considérée identique sur toute la surface l'ouverture, caractérisée par son coefficient de transmission $t$, alors :
    $U(M)=-{\frac {i}{\lambda }}\,U_{1}\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{A_{1}}\!\!\!\!K(\theta )\,t\,{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\mathrm {d} S$.
Dans le cas de l'étude de la diffraction en champ lointain (diffraction de Fraunhofer), l'angle $\theta$ est constant sur $A_{1}$, le facteur d'oblicité est donc constant et peut être sorti de l'intégrale. En posant $K'=-{\frac {i}{\lambda }}\,U_{1}\,K(\theta )$, on peut écrire :
    $U(M)=K'\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{A_{1}}\!\!\!\!t\,{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr}}{r}}\mathrm {d} S$.