# Modèle d'Einstein

En physique statistique et en physique du solide, le modèle d’Einstein est un modèle permettant de décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d’un solide cristallin. Il repose sur les hypothèses suivantes :
* chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
* les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.
Ce modèle est nommé d’après Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907.

## Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées, c’est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes $\hbar \omega _{E}$. Ce modèle repose donc sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.
L’énergie interne U du solide est donnée par la formule :
    $U={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$
où ℏ est la constante de Planck réduite, ω$_E$ est la pulsation d’un oscillateur, N le nombre d’atomes qui constituent le système et $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$ où k$_B$ est la constante de Boltzmann et T la température absolue.
L’énergie d’un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence $\hbar \omega _{E}$ est donnée par :
    $E_{n}=\hbar \omega _{E}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(n\geq 0)$
où $n$ est un nombre quantique
On calcule la fonction de partition d’un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :
    $Z=\sum _{j}e^{-\beta E_{n}}=\sum _{j}e^{-\beta (n+{\frac {1}{2}})\hbar \omega _{E}}\;\;\left({\text{avec }}\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}\right)$
où k$_B$ est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l’oscillateur. Il y a un seul état par niveau d’énergie ; la somme devient donc :
    $Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\beta n\hbar \omega _{E}-\beta {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{E}}=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(e^{-\beta \hbar \omega _{E}})^{n}$
En appliquant la formule de la somme d’une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :
    $Z=e^{-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}}\cdot {\frac {1}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}$
On obtient alors l’énergie d’un oscillateur :
    ${\bar {\epsilon }}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}$
avec $\ln Z=-{\frac {\beta \hbar \omega _{E}}{2}}-\ln(1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}})$ ce qui donne
    ${\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}{1-e^{-\beta \hbar \omega _{E}}}}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}+{\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$
On remarque au passage que $\lim _{T\to 0}{\bar {\epsilon }}=\lim _{\beta \to +\infty }{\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{2}}$. Cette énergie correspond à l’énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d’incertitude d’Heisenberg. On ne tient pas compte de l’énergie de point zéro ce qui donne ${\bar {\epsilon }}={\frac {\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$ L’énergie interne du système est alors : $U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}$

## Capacité calorifique

La capacité calorifique C$_V$ est définie par :
    $c_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$
avec $\;U=3N{\bar {\epsilon }}={\frac {3N\hbar \omega _{E}}{e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1}}\,$, on obtient
    $c_{V}={\frac {3N\hbar ^{2}\omega _{E}^{2}}{k_{B}T^{2}}}\cdot {\frac {e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}=(\beta \hbar \omega _{E})^{2}\cdot {\frac {3Nk_{B}e^{\beta \hbar \omega _{E}}}{\left(e^{\beta \hbar \omega _{E}}-1\right)^{2}}}$
On peut définir la température d’Einstein comme $\Theta _{E}={\frac {\hbar \omega _{E}}{k_{B}}}$. Tout cela nous donne $c_{V}\left(T\right)=3Nk_{B}\cdot \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}\cdot {\frac {\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)}{\left[\exp \left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)-1\right]^{2}}}$

## Résultats du modèle

Le modèle d’Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :
    $\lim _{T\to +\infty }c_{V}=3Nk_{B}$
Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :
Lorsque $T\rightarrow 0{\text{ : }}c_{V}\propto 3Nk_{B}\left({\frac {\Theta _{E}}{T}}\right)^{2}e^{-\Theta _{E}/T}\rightarrow 0$
Cette discordance avec l’expérience peut s’expliquer en abandonnant l’hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.