OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Tour Blanche (Hradec Králové)

La Tour Blanche (en tchèque : Bílá věž) est la plus haute construction de la ville de Hradec Králové en République tchèque. Depuis les galeries de la tour, il y a une vue unique non seulement sur Hradec Králové, mais aussi sur les sommets lointains des Monts des Géants et des Monts Orlické. Ces dernières années, la tour a repris vie avec des expositions et est devenue le centre d'événements touristiques et culturels. La Tour Blanche abrite la troisième plus grande et la plus lourde cloche de République tchèque - la cloche Augustine.

## Histoire

Le 7 juin 1574, la construction de la Tour Blanche a commencé au milieu du côté ouest de la Grande Place à Hradec Králové. La construction a été financée par des dons de charité des citoyens de la ville. Au cours des six années suivantes, une tour de 72 mètres de haut a été construite.
La Tour Blanche est le monument le plus haut de la ville de Hradec Králové et probablement le plus haut bâtiment de la Bohême orientale. En mai 1581 l'impressionnante cloche Augustine, de 169 centimètres de haut et 206 centimètres de large a été accrochée au quatrième étage de la tour lors d'une célébration festive. La cloche a déjà été coulée en 1509 par le célèbre fondeur de cloches Hradec Ondřej Žáček. Il n'y a qu'une cloche en Bohême qui soit plus grosse. Il s'agit de la célèbre cloche de Zikmund que l'on peut trouver dans la cathédrale Saint-Guy du château de Prague.

## Anecdotes

La Tour Blanche a été nommée d'après son matériau de construction, qui est la pierre blanche. La cloche Augustine pèse 10 tonnes. Lors d'occasions spéciales, elle sonne encore de nos jours.
Si les aiguilles de l'horloge semblent être à l'envers, alors vos yeux ne vous trompent pas. L'une des explications est que les minutes passées n'étaient pas aussi importantes à l'époque et qu'il était possible de voir la grande aiguille d'une plus grande distance – par exemple d'un champ proche.
# Société des chemins de fer vicinaux belges

La Société des chemins de fer vicinaux belges est une compagnie de tramway créée en Belgique, pour construire et exploiter deux lignes de tramways dans celle de Charleroi en 1881.

## Histoire

Son siège initialement à Bruxelles est transféré à Charleroi en 1881.
En 1903, la Société des chemins de fer vicinaux belges disparait. Elle cède ses actifs à la société des Railways économiques de Liège-Seraing et extensions (RELSE) qui transforme les deux lignes à voie métrique et les électrifie.

## Lignes

* Charleroi à Gilly, ouverture septembre 1881
* Charleroi et Montignies-sur-Sambre, ouverture 1882
# Augustus Hervey (1837-1875)

Augustus Henry Charles Hervey (2 août 1837 - 28 mai 1875) est un homme politique du parti conservateur britannique.

## Biographie

Il est le deuxième fils de Frederick Hervey (2e marquis de Bristol), et de Katherine Isabella, fille de John Manners (5e duc de Rutland). Il est le frère de Frederick Hervey (3e marquis de Bristol) et Francis Hervey.
Il est élu en tant que député pour West Suffolk à une élection partielle en 1864, succédant à son frère aîné Frédéric. Il est réélu lors des trois élections générales suivantes et occupe le siège jusqu'à sa mort en 1875.

## Famille

Il épouse Mariana, fille de William P. Hodnett et veuve d’Ashton Benyon, en 1861. Ils se sont rencontrés pour la première fois à Isckworth lors de sa visite, présentés par le duc de Rutland. Elle n'a encore que dix-huit ans et a récemment perdu son premier mari.
Ils ont cinq fils et deux filles. Deux de ses fils, Frederick Hervey (4e marquis de Bristol) et Herbert Hervey (5e marquis de Bristol), deviennent tous deux marquis. Sa deuxième fille Maria épouse Charles Welby (en), 5e baronnet.
Il décède en mai 1875, à l'âge de 37 ans. Lady Augustus Hervey reste veuve jusqu'à sa mort en janvier 1920.
# Teodorovac

Teodorovac est un village de la municipalité de Đurđenovac (comitat d'Osijek-Baranja) en Croatie. Au recensement de 2011, le village comptait 77 habitants.
# Jakob Schneider

Jakob Schneider, né le 18 avril 1994, est un rameur allemand.

## Palmarès
### Championnats du monde

* 2015 à Aiguebelette (France)
** Médaille d'or en deux avec barreur
* 2017 à Sarasota (États-Unis)
** Médaille d'or en huit
* 2018 à Plovdiv (Bulgarie)
** Médaille d'or en huit
* 2019 à Ottensheim (Autriche)
** Médaille d'or en huit

### Championnats d'Europe

* 2017 à Račice (République tchèque)
** Médaille d'or en huit
* 2018 à Glasgow (Royaume-Uni)
** Médaille d'or en huit
* 2019 à Lucerne (Suisse)
** Médaille d'or en huit
# Krzywiń

Krzywiń (prononciation : [ˈkʂɨvʲiɲ], en allemand : Kriewen) est une ville de la Voïvodie de Grande-Pologne et du powiat de Kościan.
Elle est située à environ 18 kilomètres au sud-est de Kościan, siège du powiat, et à 49 kilomètres au sud de Poznań, capitale de la voïvodie de Grande-Pologne. Elle est le siège administratif de la gmina de Krzywiń.
Elle s'étend sur 2,27 km$^2$.

## Géographie

La ville de Krzywiń est située au centre de la voïvodie de Grande-Pologne, au milieu de grandes plaines agricoles. Le canal de l'Obra passe par la ville. Celle-ci est située dans la région géographique des lacs de Leszno (Pojezierze Leszczyńskie). Le parc naturel du général Chłapowski s'étend sur 17 200 hectares au nord de la ville.

## Histoire

Krzywiń a obtenu ses droits de ville en 1257. De 1815 à 1919, Kriewen fait partie de l'arrondissement de Kosten dans le district de Posen de la province de Posnanie. De 1975 à 1998, la ville faisait partie du territoire de la voïvodie de Leszno. Depuis 1999, la ville fait partie du territoire de la voïvodie de Grande-Pologne.

## Monuments

* l'église gothique saint Nicolas, construite aux XVe et XVIe siècles ;
* l'église évangélique, construite au XIXe et XXe siècles ;
* deux moulins du XVIIe et XIXe siècles.
* L'église saint Nicolas.
* L'église évangélique.
* Le moulin.

## Voies de communication

La route voïvodale 432 (pl) (qui relie Września à Leszno) passe par la ville.

## Personnalités liées à la commune

* Stanisław Kochowicz, militant pour l'indépendance de la Pologne, y est né en 1873.
# Championnat d'Angleterre de football 1977-1978

La 79e édition du championnat d'Angleterre de football est remportée par Nottingham Forest. Le club de Nottingham crée la surprise en remportant le titre en tant que promu avec sept points d'avance sur le double tenant Liverpool FC.
Nottingham Forest se qualifie pour la Coupe des clubs champions en tant que champion d'Angleterre, Liverpool FC en tant que tenant du trophée. Ipswich Town, vainqueur de la coupe se qualifie pour la Coupe des vainqueurs de coupe. Everton FC, Manchester City, Arsenal FC et West Bromwich Albion se qualifient pour la Coupe UEFA au titre de leur classement en championnat.
Le système de promotion/relégation ne change pas : descente et montée automatique, sans matchs de barrage pour les trois derniers de première division et les trois premiers de deuxième division. À la fin de la saison West Ham United, Newcastle United et Leicester City, sont relégués en deuxième division. Ils sont remplacés par Bolton Wanderers, Southampton FC et Tottenham Hotspur.
L'attaquant anglais Bob Latchford, d'Everton FC, remporte le titre de meilleur buteur du championnat avec 30 réalisations.

## Classement

| | Équipe | Points | Joués | Victoires | Nuls | Défaites | Buts pour | Buts contre | +/- | Spectateurs |
| 1 | Nottingham Forest | 64 | 42 | 25 | 14 | 3 | 69 | 24 | 45 | 32 501 |
| 2 | Liverpool FC | 57 | 42 | 24 | 9 | 9 | 65 | 34 | 31 | 45 546 |
| 3 | Everton FC | 55 | 42 | 22 | 11 | 9 | 76 | 45 | 31 | 39 513 |
| 4 | Manchester City | 52 | 42 | 20 | 12 | 10 | 74 | 51 | 23 | 41 687 |
| 5 | Arsenal FC | 52 | 42 | 21 | 10 | 11 | 60 | 37 | 23 | 35 446 |
| 6 | West Bromwich Albion | 50 | 42 | 18 | 14 | 10 | 62 | 53 | 9 | 24 126 |
| 7 | Coventry City | 48 | 42 | 18 | 12 | 12 | 75 | 62 | 13 | 23 353 |
| 8 | Aston Villa | 46 | 42 | 18 | 10 | 14 | 57 | 42 | 15 | 35 464 |
| 9 | Leeds United | 46 | 42 | 18 | 10 | 14 | 63 | 53 | 10 | 29 186 |
| 10 | Manchester United | 42 | 42 | 16 | 10 | 16 | 67 | 63 | 4 | 51 860 |
| 11 | Birmingham City | 41 | 42 | 16 | 9 | 17 | 55 | 60 | -5 | 23 911 |
| 12 | Derby County | 41 | 42 | 14 | 13 | 15 | 54 | 59 | -5 | 23 345 |
| 13 | Norwich City | 40 | 42 | 11 | 18 | 13 | 52 | 66 | -14 | 19 366 |
| 14 | Middlesbrough FC | 39 | 42 | 12 | 15 | 15 | 42 | 54 | -12 | 19 874 |
| 15 | Wolverhampton Wanderers | 36 | 42 | 12 | 12 | 18 | 51 | 64 | -13 | 22 311 |
| 16 | Chelsea FC | 36 | 42 | 11 | 14 | 17 | 46 | 69 | -23 | 28 734 |
| 17 | Bristol City | 35 | 42 | 11 | 13 | 18 | 49 | 53 | -4 | 23 357 |
| 18 | Ipswich Town | 35 | 42 | 11 | 13 | 18 | 47 | 61 | -14 | 23 586 |
| 19 | Queens Park Rangers | 33 | 42 | 9 | 15 | 18 | 47 | 64 | -17 | 19 941 |
| 20 | West Ham United | 32 | 42 | 12 | 8 | 22 | 52 | 69 | -17 | 25 620 |
| 21 | Newcastle United | 22 | 42 | 6 | 10 | 26 | 42 | 78 | -36 | 24 729 |
| 22 | Leicester City | 22 | 42 | 5 | 12 | 25 | 26 | 70 | -44 | 17 768 |

## Meilleur buteur

Avec 30 buts, l'attaquant anglais d'Everton FC, Bob Latchford remporte son unique titre de meilleur buteur du championnat d'Angleterre.
# Theope aureonitens

Theope aureonitens est une espèce d'insectes lépidoptères appartenant à la famille des Riodinidae et au genre Theope.

## Taxonomie

Theope aureonitens a été décrit par Henry Walter Bates en 1868.

### Sous-espèces

* Theope aureonitens aureonitens
* Theope aureonitens gratilis Brévignon, 2011.

## Description

Theope aureonitens est un papillon marron très foncé et bleu. Les ailes antérieures ont une bordure costale et une large bordure externe marron très foncé laissant une large bande bleue, alors que les ailes postérieures sont totalement de couleur bleue à violacé chez le mâle, avec un bord externe marron chez la femelle.
Le revers est jaune d'or et la frange est elle aussi jaune sauf sur le long du bord externe de l'aile antérieure.

## Écologie et distribution

Theope aureonitens est présent en Guyane, en Équateur et au Brésil$^,$.

### Biotope

Il réside en hauteur, le poste des mâles étant à 5 mètres de haut dans les arbres.

### Protection

Pas de statut de protection particulier.
# Tour Bismarck (Wuppertal)

La Tour Bismarck à Wuppertal est située entre les quartiers d'Elberfeld et de Barmen.
Haute de 22 mètres, la tour a été construite en 1907 en l'honneur du Chancelier impérial Otto von Bismarck. Sa construction a été financée principalement par des dons. C'est une des 47 tours Bismarck du modèle « crépuscule des dieux », qui ont été construites à partir de 1899 sur un projet de l'architecte Wilhelm Kreis à l'initiative de la fraternité des étudiants allemands. Elle a été inaugurée le 19 octobre 1907.
# Teodoros Mitiku

Teodoros Mitiku est un boxeur éthiopien né le 10 juin 1967 en Éthiopie.

## Carrière

Teodoros Mitiku est médaillé d'argent aux Jeux africains de Nairobi en 1987, perdant en finale de la catégorie des poids super-légers contre le Kényan David Kamau.
# L'Atelier du peintre (homonymie)

L'Atelier du peintre est le titre de plusieurs œuvres :
* L'Atelier du peintre, un tableau de Gustave Courbet ;
* L'Atelier du peintre, un tableau de Fleury François Richard ;
* L'Atelier du peintre, le onzième roman de Patrick Grainville, publié en 1988.
# Tour Bismarck (Wiesbaden)

La Tour Bismarck était une tour en bois construite en 1910 sur une hauteur à Bierstadt pres de Wiesbaden. Avec 50 mètres de hauteur, c'est le plus haut mémorial construit en l'honneur de Bismarck.
La tour Bismarck, surnommée la "Tour Eiffel de Wiesbaden" disposait d'une plateforme d'observation à 26 mètres, accessible par des escaliers, et d'une autre plateforme à 50 mètres accessible par une échelle. En 1916 la tour a été transformée en poste militaire puis démolie en 1918 en raison de son mauvais état, seulement huit ans après avoir été construite.
# Austrarchaea smithae

Austrarchaea smithae est une espèce d'araignées aranéomorphes de la famille des Archaeidae.

## Distribution

Cette espèce est endémique de Nouvelle-Galles du Sud en Australie. Elle se rencontre dans le parc national des Blue Mountains.

## Description

Le mâle holotype mesure 2,97 mm et la femelle paratype 4,00 mm.

## Étymologie

Cette espèce est nommée en l'honneur de Helen Motum Smith.

## Publication originale

* Rix & Harvey, 2011 : Australian assassins, Part I: A review of the assassin spiders (Araneae, Archaeidae) of mid-eastern Australia. ZooKeys, n$^o$ 123, p. 1-100 (texte intégral).
# Kuehn

* Louis Kuehn, policier français
* Louis Kuehn, plongeur américain
* Louis Kuehn, évêque catholique français
* Michel Kuehn, évêque catholique français
* Marta Kuehn-Jarek, joueuse de volley-ball polonaise
# Thulinius romanoi

Thulinius romanoi est une espèce de tardigrades de la famille des Isohypsibiidae.

## Distribution

Cette espèce est endémique du parc national des Great Smoky Mountains aux États-Unis.

## Publication originale

* Bertolani, Bartels, Guidetti, Cesari & Nelson, 2014 : Aquatic tardigrades in the Great Smoky Mountains National Park, North Carolina and Tennessee, U.S.A., with the description of a new species of Thulinius (Tardigrada, Isohypsibiidae). Zootaxa, n$^o$ 3764 (5), p. 524–536.
# Torrington (Alberta)

Torrington est un hameau (hamlet) du Comté de Kneehill, situé dans la province canadienne d'Alberta.

## Démographie

En tant que localité désignée dans le recensement de 2011, Torrington a une population de 179 habitants dans 81 de ses 90 logements, soit une variation de -2.7% par rapport à la population de 2006. Avec une superficie de 0,690 6 km$^2$, le hameau possède une densité de population de 259,194 9 hab/km$^2$ en 2011.
Concernant le recensement de 2006, Torrington abritait 184 habitants dans 86 de ses 92 logements. Avec une superficie de 0,690 6 km$^2$, le hameau possédait une densité de population de 266,4 hab/km$^2$ en 2006.
# Austroglossus microlepis

Sole australe occidentale
Austroglossus microlepis, communément appelé la Sole australe occidentale, est une espèce de poissons plats de la famille des Soleidae. On la trouve le long des côtes africaines de l'Atlantique sud (Afrique du Sud, Namibie), entre 100 et 400 m de profondeur.

## Description

Austroglossus microlepis peut mesurer jusqu'à 75 cm et peser jusqu'à 4 kg.

## Étymologie

Son nom spécifique, du latin micro, « petit, petite », et lepis, « écaille », lui a été donné en référence à ses écailles plus petites et plus nombreuses comparativement à l'espèce Austroglossus pectoralis.
# L'Eco di Bergamo

L'Echo of Bergamo est le principal journal quotidien de la province de Bergame, en Italie. Il a toujours tenu une ligne éditoriale centriste proche de l'Église catholique.
Fondé en 1880, il est principalement contrôlé par la curie de Bergame.

## Personnalités

* Giorgio Gori, député européen en 2024
# Thulin (homonymie)
## Patronymie

* Ingrid Thulin (1926-2004) est une actrice suédoise.
* Camilla Thulin (née en 1961) est une des stylistes les plus connues de Suède.

## Toponymie

* Thulin est une section de la commune belge de Hensies.
# Torrington (Wyoming)

La ville de Torrington est le siège du comté de Goshen, dans l’État du Wyoming, aux États-Unis. Sa population s’élevait à 6 501 habitants lors du recensement de 2010, estimée à 6 691 habitants en 2017.

## Presse

Le journal local est le Torrington Telegram.

## Galerie photographique

* Le bureau de poste
* Le dépôt ferroviaire

## Source

* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Torrington, Wyoming » (voir la liste des auteurs).
# Sous-groupe normal maximal

En théorie des groupes, on appelle sous-groupe normal maximal, ou encore sous-groupe distingué maximal, d'un groupe G tout élément maximal de l'ensemble des sous-groupes normaux propres de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (On entendra ici par « sous-groupe propre de G » un sous-groupe de G distinct de G.) Autrement dit, un sous-groupe normal maximal de G est un sous-groupe normal propre H de G tel qu'aucun sous-groupe normal de G ne soit strictement compris entre H et G.

## Quelques propriétés

* Si G désigne un groupe simple, le sous-groupe de G réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal de G (et c'est le seul).
* Un sous groupe normal H d'un groupe G est sous-groupe normal maximal de G si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. Les sous-groupes normaux maximaux jouent donc un rôle dans les suites de Jordan-Hölder
* Un sous-groupe normal maximal d'un groupe G n'est pas forcément un sous-groupe maximal de G. Par exemple, 1 est sous-groupe normal maximal du groupe simple A$_5$, mais n'en est pas sous-groupe maximal, car A$_5$ contient évidemment des sous-groupes propres non réduits à l'élément neutre.
* Si un sous-groupe maximal H d'un groupe G est normal, H est évidemment un sous-groupe normal maximal de G.
* Si G est un groupe résoluble, tout sous-groupe normal maximal de G est sous-groupe maximal de G. (Soit M un sous-groupe normal maximal de G. Alors G/M est à la fois simple et résoluble, donc est fini d'ordre premier. D'après la formule des indices, ceci entraîne que M est sous-groupe maximal de G.) D'après le point précédent, il en résulte que dans un groupe résoluble, les notions de sous-groupe normal maximal et de sous-groupe maximal normal coïncident.
* Soit G un groupe nilpotent. Alors tout sous-groupe maximal de G est normal dans G et est donc un sous-groupe normal maximal de G; réciproquement, si H est un sous-groupe normal maximal de G, alors, puisque tout groupe nilpotent est résoluble, H est un sous-groupe maximal de G d'après le point précédent. Donc, dans un groupe nilpotent, les notions de sous-groupe normal maximal, de sous-groupe maximal et de sous-groupe maximal normal coïncident.
# Austrogomphus

Austrogomphus est un genre de libellules dans la famille des Gomphidae appartenant au sous-ordre des Anisoptères dans l'ordre des Odonates.

## Liste d'espèces

Ce genre comprend 15 espèces :
* Austrogomphus amphiclitus (Selys, 1873)
* Austrogomphus angeli Tillyard, 1913
* Austrogomphus arbustorum Tillyard, 1906
* Austrogomphus australis Dale in Selys, 1854
* Austrogomphus bifurcatus Tillyard, 1909
* Austrogomphus collaris Hagen in Selys, 1854
* Austrogomphus cornutus Watson, 1991
* Austrogomphus divaricatus Watson, 1991
* Austrogomphus doddi Tillyard, 1909
* Austrogomphus guerini (Rambur, 1842)
* Austrogomphus mjobergi Sjöstedt, 1917
* Austrogomphus mouldsorum Theischinger, 1999
* Austrogomphus ochraceus (Selys, 1869)
* Austrogomphus prasinus Tillyard, 1906
* Austrogomphus pusillus Sjöstedt, 1917
# L'Eau à la bouche (chanson)

L'Eau à la bouche est une chanson écrite, interprétée par Serge Gainsbourg et composée par Gainsbourg et Alain Goraguer, pour le film homonyme de Jacques Doniol-Valcroze en 1960.

## Historique

Enregistré fin 1959, L'Eau à la bouche sort en single 4 titres le 27 janvier 1960, sept jours après la sortie du film.
Le single connaîtra un certain succès, le premier pour Gainsbourg, puisqu'il se vendra à 100 000 exemplaires$^,$, soit cinquante fois plus que ses quatre précédents EP.
La chanson est reprise en 2020 par Allan Vermeer. Elle a aussi été reprise par Yuri Buenaventura sur la compilation « Café de Flore - Rendez-vous à Saint-Germain-des-Prés ».
Claude Nougaro y fait une référence directe dans la chanson Eau douce enregistrée quelques semaines avant sa mort et publiée de son dernier album posthume La Note Bleue en décembre 2004.

## Classement

| Classement (1960) | Meilleure place |
| Belgique (Wallonie Ultratop 50 Singles) | 49 |
# Thoas fils d'Ornytion

Dans la mythologie grecque, Thoas (en grec ancien Θόας / Thóas), fils d'Ornytion, est roi de Corinthe.
Selon Pausanias, Thoas succède à son père comme maître de Corinthe, tandis que son frère Phocos mène une colonie à Tithorée$^,$. Thoas est le père de Damophon.
# Toui céleste

Forpus coelestis
Le Toui céleste (Forpus coelestis) est une espèce d'oiseaux appartenant à la famille des Psittacidae.

## Appellations

Le toui céleste possède diverses appellations locales. En Amérique, le nom approprié serait « perroquet forpus » du fait que c’est le plus petit perroquet du monde. En Europe, bien que cette espèce ne fasse pas partie des perruches, le nom utilisé serait « perruche moineau », et le nom le plus global, le plus commun, serait « toui céleste ».

## Description

Le toui céleste (Forpus coelestis) présente un plumage vert, tout comme le toui été (Forpus passerinus), mais il existe d'autres mutations artificielles, notamment le jaune américain et le bleu turquoise.
Cet oiseau présente un dimorphisme sexuel assez évident : le mâle possède une coloration bleue au niveau des rémiges et du croupion et formant une ligne en arrière des yeux.
Cet oiseau mesure 12 à 13 cm.

## Répartition

Cet oiseau vit en Équateur et au Pérou.

## Habitat

Cette espèce fréquente les zones boisées et sèches ainsi que les forêts secondaires.

## Nidification

La femelle pond entre 4 et 8 œufs qu'elle couve pendant 18 à 20 jours. Les jeunes quittent le nid vers l'âge de 30 jours. Le père aide la mère au nourrissage des oisillons. Les jeunes atteindront la maturité sexuelle à l'âge de 1 an. S'ils s'accouplent trop tôt, la femelle risque de mourir d'épuisement.

## Longévité

Cette espèce peut vivre entre 10 et 15 ans en captivité.

## Élevage

Ce sont des oiseaux très intelligents qui peuvent dire quelques mots et couvrir leur propriétaire d'une grande affection, mais ils sont aussi très territoriaux. Ce sont des animaux qui vivent en groupe ; en captivité, il vaut mieux prendre un couple, ou alors être avec eux le plus souvent possible pour qu'ils ne se sentent pas seuls. Les toui céleste sont peu bruyants, aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur. Même s'ils sont petits, ils ont besoin de voler, il faudra prévoir une cage assez grande.
# Sous-groupe sous-normal

En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant.

## Définition formelle

Formellement, $H$ est $k$-sous-normal dans $G$ s'il existe des sous-groupes
    $H=H_{0},H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}=G$
de $G$ tels que $H_{i}$ est normal dans $H_{i+1}$ pour chaque $i$.
Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est $k$-sous-normal pour un entier positif $k$.

## Historique

Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe de longueur finie (en particulier fini), le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc dans ce cas, que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis.

## Exemple

Le sous-groupe $Z=\{e,((12)(34))\}$ du groupe symétrique $S_{4}$ est un sous-groupe normal du groupe de Klein $V$ qui lui-même est un sous-groupe normal de $S_{4}$. Ainsi, $Z$ est un sous-groupe sous-normal de$S_{4}$, sans être un sous-groupe normal puisque $((12)(34))^{(123)}=(13)(24)$ n'est pas dans $Z$.

## Propriétés

Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux :
* Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement.
* Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
* Un sous-groupe quasi-normal (en) et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal.
* Un sous-groupe pronormal (en) qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal.
* Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués.
La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.

## Articles liés

* Sous-groupe caractéristique
* Cœur d'un sous-groupe
# Ubajara

Ubajara est une municipalité brésilienne de l’État du Ceará. En 2010, elle compte 31 792 habitants.