# Groupe fondamental

En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique. Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base d. C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs.
L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent être homéomorphes (c'est-à-dire topologiquement équivalents). Le groupe fondamental permet de classifier les revêtements d'un espace connexe par arcs, à un isomorphisme près.
Une généralisation des groupes fondamentaux est la suite des groupes d'homotopie supérieurs. Pour cette raison, le groupe fondamental est aussi appelé premier groupe d'homotopie.
Le groupe fondamental fut introduit par Henri Poincaré dans la douzième section de son article Analysis Situs, paru en 1895 et annoncé dans une note aux Comptes rendus de l'Académie des sciences, parue en 1892.

## Définition intuitive à travers l'exemple du tore

Tout d'abord, familiarisons-nous avec l'idée du groupe fondamental à travers l'exemple du tore bidimensionnel (qu'on peut se représenter comme étant la surface d'un donut ou d'une bouée). On fixe sur le tore un point de départ p.
À partir de ce point, on peut construire des lacets, i.e des courbes fermées, qui partent du point p, « se promènent » sur le tore et qui reviennent au point de départ. Imaginons que les lacets soient faits à partir de caoutchouc comme un élastique et qu'il soit ainsi possible de les étirer, les déformer de telle manière que le point de départ et le point d'arrivée soient toujours p et que les lacets se déplacent toujours sur le tore. Une telle déformation s'appelle une homotopie : on dit que deux lacets qui peuvent s'obtenir l'un à partir de l'autre par une homotopie sont homotopiquement équivalents. Ce sont les lacets à déformation près qui nous intéressent : on regroupe donc les lacets dans des classes d'homotopie. Le groupe fondamental du tore est l'ensemble des différentes classes d'homotopie des lacets.
Dans la figure ci-contre, les lacets a et b ne sont pas homotopiquement équivalents : on ne peut obtenir l'un en déformant continûment le second sans le « déchirer » à un moment, ils représentent deux éléments distincts du groupe fondamental. On obtient d'autres classes d'homotopie en faisant tourner les lacets plusieurs fois autour du trou.
Comme son nom l'indique, le groupe fondamental n'est pas un simple ensemble, il est muni d'une structure de groupe : la loi de composition interne est celle qui à deux lacets associe un troisième lacet obtenu en parcourant le premier puis le second (il n'y a pas de problèmes de définition puisque les lacets commencent et terminent avec le même point p). L'élément neutre du groupe fondamental est la classe d'homotopie du lacet qui reste au point p. On obtient un élément inverse en parcourant les lacets d'une classe d'homotopie dans le sens contraire.

## Définition
### Classe d'équivalence de lacets

Soit X un espace topologique. Un arc continu est une application continue γ : [0 1] → X.
Soit p un point fixé dans X. Un lacet basé en p est un arc continu vérifiant de plus γ(0) = γ(1) = p. Il peut s'interpréter comme une application continue du cercle unité S$^1$ dans X qui envoie 1 sur p.
Deux lacets γ$_0$ et γ$_1$ sont dits homotopes s'il existe une homotopie de l'un vers l'autre, c'est-à-dire une application continue H : [0 1]$^2$ → X telle que :
* $\forall t\in [0,1],\,H(t,0)=\gamma _{0}(t)$
* $\forall t\in [0,1],\,H(t,1)=\gamma _{1}(t)$
* $\forall x\in [0,1],\,H(0,x)=p=H(1,x).$
La dernière condition exprime que pour x fixé entre 0 et 1, t ↦ H(t, x) est un lacet basé en p.
Autrement dit, deux lacets sont dits homotopes si l'on peut passer continument de l'un à l'autre, à l'image de la figure de droite (le point p est situé en A sur la figure).
Le fait d'être homotopes est une relation d'équivalence entre lacets (basés en p). On notera [γ] la classe d'équivalence d'un lacet γ (aussi appelée classe d'homotopie).
L'ensemble π$_1$(X, p) de ces classes d'équivalences s'identifie à l'ensemble des composantes connexes par arcs de l'espace des lacets basés en p de X (muni de la topologie compacte-ouverte), noté Ω(X, p), et la structure de groupe dont on va le munir ci-dessous provient en fait de la structure de H-groupe de Ω(X, p) :
$\pi _{1}(X,p)=\pi _{0}(\Omega (X,p)).$

### Structure de groupe

On souhaite donner une structure de groupe à cet ensemble π$_1$(X, p). Si f et g sont deux lacets de X (basés en p), leur juxtaposition$^,$ ou composition est le lacet h appelé lacet composé de f et de g ou lacet produit fg, défini par :
$h(t)=\left\{{\begin{matrix}f(2t),&{\mbox{si }}t\in [0,1/2]\\g(2t-1),&{\mbox{si }}t\in [1/2,1]\end{matrix}}\right.$
Intuitivement, c'est le lacet qui parcourt f puis g (chacun deux fois plus rapidement, pour arriver à parcourir le lacet en un temps unité). On notera fg le composé de f et de g. On peut prouver que la classe d'homotopie [fg] ne dépend que de la classe d'homotopie de f, et de celle de g. Ainsi, on peut définir une loi de composition interne sur l'ensemble π$_1$(X, p) des classes d'homotopie des lacets basés en p de X, par [f][g] = [fg], encore appelée juxtaposition.
On peut alors prouver que l'on obtient une structure de groupe sur l'ensemble π$_1$(X, p) :
* la loi de juxtaposition est associative car les lacets (fg)h et f(gh) sont homotopes,
* l'élément neutre est la classe d'homotopie [γ] du lacet trivial γ défini par γ(t) = p pour tout t.
* L'inverse d'un lacet f est simplement le même lacet, mais parcouru dans l'autre sens, c'est-à-dire défini par f$^{−1}$(t) = f(1 – t).
Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe fondamental ou groupe de Poincaré$^,$$^,$ ou premier groupe d'homotopie de X basé en p, et est noté π$_1$(X, p).
Si X est un groupe topologique (ou plus généralement un H-espace) d'élément neutre p, le groupe π$_1$(X, p) est abélien et le lacet composé fg est homotope au lacet produit t ↦ f(t)g(t).

### Point base

Examinons le cas particulier où l'espace topologique X est connexe par arcs. Deux groupes fondamentaux basés en deux points p et q (π$_1$(X, p) et π$_1$(X, q)) sont isomorphes. En effet, il existe un chemin γ allant de p à q. On peut donc définir l'application suivante
       $[\alpha ]\mapsto [\gamma ][\alpha ][\gamma ]^{-1}$
qui réalise visiblement un isomorphisme du groupe fondamental π$_1$(X, q) vers le groupe fondamental π$_1$(X, p) dont l'isomorphisme réciproque est l'application :
       $[\alpha ]\mapsto [\gamma ]^{-1}[\alpha ][\gamma ]$
Ainsi, si X est connexe par arcs, par abus de langage, on parle du groupe fondamental (à un isomorphisme non unique près) de l'espace topologique X, sans préciser le point base, que l'on note π$_1$(X) = π$_1$(X, p). Cependant, l'isomorphisme entre les groupes π$_1$(X, p) et π$_1$(X, q) n'est pas unique et dépend du choix d'un chemin entre p et q . Ainsi on doit se souvenir que le groupe fondamental varie lorsque le point base varie dans l'espace X, les groupes restant toujours isomorphes.
Si X n'est pas connexe par arcs, les groupes fondamentaux de deux composantes connexes, sont différents. Par abus de langage, on parle néanmoins du groupe fondamental d'une composante connexe par arcs, sans préciser le point base, mais on doit se souvenir que le groupe fondamental varie lorsque le point base varie dans la composante connexe par arcs, les groupes restant toujours isomorphes.

## Exemples
### Espaces simplement connexes

Un espace connexe par arcs de groupe fondamental trivial est dit simplement connexe.
Par exemple tout espace contractile (c'est-à-dire qui se rétracte par déformation sur un point) en particulier tout convexe de ℝ$^n$, est simplement connexe. La sphère S$^n$ pour n ≥ 2 est aussi simplement connexe.

### Cercle

Le terme de cercle désigne ici un espace homéomorphe à un cercle du plan euclidien, comme le groupe topologique quotient ℝ/ℤ ou comme le cercle unité S$^1$ des nombres complexes de module 1.
   * Le groupe fondamental du cercle est isomorphe au groupe ℤ des nombres entiers.
(C'est un cas particulier des groupes d'homotopie des sphères : π$_n$(S$^n$) = ℤ.)
On considère ici π$_1$(S$^1$, 1), c'est-à-dire que le point de base est 1. On définit un morphisme de groupes μ de ℤ dans π$_1$(S$^1$, 1) qui, à chaque entier m, associe la classe d'un lacet e$_m$ qui fait |m| tours, dans le sens trigonométrique si m est positif, et dans le sens inverse sinon : $e_{m}:[0,1]\rightarrow S^{1}\quad e_{m}(t)=\exp(2\mathrm {i} \pi mt).$ C'est bien un morphisme car le lacet composé e$_m$e$_n$ est homotope au lacet produit, égal à e$_{m+n}$. Pour établir qu'il est bijectif, il faut montrer que le « nombre de tours » est bien défini pour tout lacet et ne dépend que de sa classe d'homotopie, et que tout lacet qui fait m tours est homotope à e$_m$.
Le problème est de construire un inverse pour $\mu$ :
$\nu :\pi _{1}(S^{1})\to \mathbb {Z} .$
On définit pour cela une application p par :
$p:\mathbb {R} \rightarrow S^{1}\quad p(t)=\exp(2\mathrm {i} \pi t).$
Pour établir un lemme, nécessaire à la démonstration, une remarque est utile. La restriction de e$_1$ à l'intervalle ]–1/2, 1/2[ est un homéomorphisme à valeurs dans S$^1$\{–1} ; il est illustré sur la figure de droite. Le caractère bijectif est évident, la restriction est continue et son inverse σ est continu car défini par :
       $\forall z\in S^{1}\setminus \{-1\},\;z=x+iy\quad \sigma (z)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {y}{1+x}}\right)$
   * Théorème de relèvement : Soit α : [0, 1] → S$^1$ une application continue telle que α(0) = 1. Il existe une unique application continue β : [0, 1] → ℝ telle que β(0) = 0 et p ∘ β = α :
Établissons l'unicité de β. Soient β$_1$ et β$_2$ deux applications qui vérifient la proposition. Leur différence est nulle car continue, nulle en 0, définie sur un connexe et à valeurs dans un ensemble discret (en l'occurrence ℤ).
Montrons son existence. Si α est à valeurs dans S$^1$\{–1}, le fait que σ soit un homéomorphisme permet de conclure. Si ce n'est pas le cas, on procède par « découpage » de l'intervalle [0, 1]. L'application α est définie sur un compact et est continue ; elle est donc uniformément continue, ce qui montre l'existence d'un réel strictement positif r tel que :
$\forall t_{1},t_{2}\in [0,1]\quad |t_{1}-t_{2}|<r\Rightarrow |\alpha (t_{1})-\alpha (t_{2})|<2{\text{ ou encore }}\left|{\frac {\alpha (t_{2})}{\alpha (t_{1})}}-1\right|<2{\text{ car }}|\alpha (t_{1})|=1.$
Autrement dit, si $t_{2}$ ne s'éloigne de $t_{1}$ de strictement moins que $r$, le rapport $\alpha (t_{2})/\alpha (t_{1})$ n'atteint jamais la valeur -1 sur laquelle $\sigma$ n'est pas définie. Cette propriété permet de définir la fonction $\beta$ par étapes. Soit M un entier strictement positif tel que 1/M soit strictement plus petit que $r$. Sur l'intervalle [0, 1/M], on définit la fonction $\beta$ comme égale à $\sigma o\alpha$. On dispose des égalités
       $\forall t\in [0,1/M]\quad \beta (t)=\sigma \circ \alpha (t)\quad {\text{et}}\quad p\circ \beta (t)=\alpha (t)$
Soit k un entier compris entre 1 et $M-1$, et $\alpha _{k}=\alpha (k/M)^{-1}$. Sur l'intervalle [k/M, (k + 1)/M], la fonction qui à t associe $\alpha _{k}.\alpha (t)$ vaut 1 en k/M et ses images ne quittent jamais le domaine de définition de $\sigma$. Cette situation est illustrée sur la figure de droite, sur chaque segment, le lacet est illustré d'une couleur différente, aucun segment ne s'éloigne d'exactement un demi-tour du point d'origine. Ce qui permet de définir $\beta$ sur cet intervalle par :
       $\forall t\in [k/M,(k+1)/M]\quad \beta (t)=\sigma \left(\alpha _{k}\alpha (t)\right)+\beta (k/M)$
Par construction, la fonction $\beta$ est continue et vérifie bien par, récurrence sur k, l'égalité recherchée :
       $\forall t\in [k/M,(k+1)/M]\quad p\circ \beta (t)=p\circ (\sigma \left(\alpha _{k}\alpha (t)\right))\cdot p\circ \beta (k/M)=\alpha _{k}\alpha (t)\alpha (k/M)=\alpha (t).$
On suppose maintenant que $\alpha$ est un lacet. On définit l'application $\nu$ comme celle qui à $\alpha$ associe l'extrémité $\beta (1)$, qui correspond intuitivement au nombre de tours effectué par $\alpha$. Comme $\alpha (1)$ est égal à 1, $\nu (\alpha )$ est un entier.
Encore faut-il montrer que l'application $\nu$ est compatible avec l'homotopie. Un premier lemme est utile.
   * Si deux lacets α$_1$ et α$_2$ de S$^1$ de base 1 vérifient la majoration suivante, ils ont même image par $\nu$ :
       $\forall t\in [0,1]\quad |\alpha _{1}(t)-\alpha _{2}(t)|<2$
On considère l'application quotient $\alpha _{c}=\alpha _{1}/\alpha _{2}$. Son image est incluse dans S$^1$\{–1}, c'est-à-dire le domaine de définition de $\sigma$. Par unicité du relèvement, on en déduit, avec les notations usuelles :
       $\beta _{1}-\beta _{2}=\beta _{c}=\sigma \circ \alpha _{c}$
en particulier
       $\nu (\alpha _{1})-\nu (\alpha _{2})=\beta _{1}(1)-\beta _{2}(1)\in \mathbb {Z} \cap {\rm {im}}(\sigma )=\mathbb {Z} \cap \left]-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right[=\{0\}.$
   * Soient α$_1$ et α$_2$ deux lacets de S$^1$ de base 1 et homotopes. Ils ont même image par $\nu$ :
Soit H une homotopie de lacets de base 1 de $\alpha _{1}$ à $\alpha _{2}$. L'application H, continue sur le compact [0, 1]$^2$, est uniformément continue. Il existe donc un entier M tel que :
       $\forall k\in \{1,\cdots M\},\;\forall t\in [0,1]\quad |H(t,(k-1)/M)-H(t,k/M)|<2$
D'après le lemme précédent, les lacets H( ,0/M), H( ,1/M), H( ,2/M), … , H( ,M/M) ont tous même image par $\nu$. Le premier et le dernier sont α$_1$ et α$_2$.
   * Conclusion :
On a bien défini une application $\nu$ de π$_1$(S$^1$, 1) dans ℤ, vérifiant par construction $\nu \circ \mu ={\rm {id}}_{\mathbb {Z} }$. Il reste encore à montrer que $\mu \circ \nu ={\rm {id}}_{\pi _{1}(S^{1})}$. Soient $[\alpha ]\in \pi _{1}(S^{1})$ et $m=\nu ([\alpha ])=\beta (1)$. L'application (t, x) ↦ p((1 – x)β(t) + xmt) réalise alors une homotopie de α à e$_m$.
La non-trivialité du groupe fondamental du cercle est à l'origine de plusieurs démonstrations de théorèmes non triviaux. Un exemple est celui de Borsuk-Ulam qui indique qu'une application continue de la sphère dans le plan possède toujours deux points antipodaux ayant même image. Ce résultat est la clé de la démonstration du théorème du sandwich au jambon qui indique qu'il existe toujours un plan qui divise en deux parties de volumes égaux trois solides bornés et mesurables.

### Espace produit

Si (X$_i$) est une famille d'espaces connexes par arcs, l'espace produit X = ∏X$_i$ est aussi connexe par arcs donc son groupe fondamental est indépendant du point base choisi dans X. De plus :
Le groupe fondamental de l'espace produit ∏X$_i$ est le produit direct des groupes fondamentaux des X$_i$.
Cela résulte immédiatement de la propriété universelle du produit : la donnée d'une application continue de Y dans ∏X$_i$ équivaut à celle d'une famille d'applications continues de Y dans chaque X$_i$, pour tout espace Y, en particulier pour S$^1$ et S$^1$ × [0, 1].
Par exemple, le groupe fondamental du n-tore T$^n$ = (S$^1$)$^n$ est isomorphe au groupe abélien libre ℤ$^n$.

### Autres exemples

* Le groupe fondamental peut contenir des éléments de torsion : par exemple, le groupe fondamental du plan projectif réel P$_2$(ℝ) est isomorphe à ℤ/2ℤ (voir plus bas).
* Le groupe fondamental n'est pas toujours commutatif : par exemple, le groupe fondamental basé en un point p du plan privé de deux points ℝ$^2$\{a, b}, est isomorphe au groupe libre à deux générateurs F$_2$. Les deux générateurs sont ici des lacets partant de p et faisant chacun le tour d'un des points a ou b.

#### Théorème

    Pour tout groupe G, il existe un espace topologique de groupe fondamental G. On peut en fait trouver un CW-complexe de dimension 2 ou même une variété de dimension 4 (en) si le groupe est de présentation finie.

## Fonction continue et morphisme

Une question naturelle est celle de la compatibilité du groupe fondamental vis-à-vis d'une application continue f. Soient X et Y deux espaces topologiques tels que X soit connexe par arc et f une application continue de X dans Y. La fonction f assure non seulement la connexité de f(X), mais aussi sa connexité par arcs.
De plus la fonction f transforme un lacet de X en un lacet de Y. Soit α un lacet de X, l'application f∘α est bien un lacet de Y. Ce lacet est généralement noté f$_✻$(α).

### Morphisme de groupes fondamentaux induit par une fonction continue

La fonction f induit une application f$_✻$ des lacets de X dans les lacets de Y. Cette application est compatible avec la relation d'équivalence que définit l'homotopie ainsi qu'avec la loi de composition du groupe fondamental.
Si α$_1$ et α$_2$ sont deux lacets de base p, la loi de juxtaposition s'applique. Si les deux lacets sont homotopes par H, alors l'application f∘H est une homotopie entre f$_✻$(α$_1$) et f$_✻$(α$_2$), ce qui montre que l'application f$_✻$ est définie sur le groupe π$_1$(X, p) à valeurs dans le groupe π$_1$(Y, f(p)). De plus :
   * L'application f$_✻$, de π$_1$(X, p) dans π$_1$(Y, f(p)), définie par :$\forall [\gamma ]\in \pi _{1}(X,p),\quad f_{*}([\gamma ])=[f\circ \gamma ]$est un morphisme de groupes. Ce morphisme est appelé morphisme induit par l'application f.
Si Z est un autre espace topologique et g une fonction continue de Y dans Z, alors les morphismes se composent :
$(g\circ f)_{*}=g_{*}\circ f_{*}.$
Il suffit de remarquer que l'application (Id$_X$)$_✻$ est l'identité du groupe π$_1$(X, p) pour conclure que :
   * Si f est un homéomorphisme, alors le morphisme de groupes f$_✻$ est un isomorphisme.
Si deux espaces sont connexes par arcs et homéomorphes, leurs groupes fondamentaux sont donc isomorphes. L'isomorphisme n'est en général pas unique.

#### Application : théorème du point fixe de Brouwer en dimension 2

Un exemple d'application des morphismes précédents est le théorème du point fixe de Brouwer. En dimension 2, il se démontre simplement à l'aide de l'étude d'une fonction continue permettant de bâtir un morphisme de groupes fondamentaux. Une définition est utile :
    Soit X un espace topologique connexe par arcs et A une partie de X. Une rétraction de X sur A est une application continue de X dans A dont la restriction à A est l'identité. On dit que A est un rétracte de X s'il existe une rétraction de X sur A.
Cette définition permet d'exprimer la proposition suivante, équivalente au théorème du point fixe de Brouwer en dimension 2 :
   * Il n'existe pas de rétraction d'un disque sur sa frontière.
Soient B$^2$ le disque et S$^1$ sa frontière. Supposons qu'une telle rétraction, notée F, de B$^2$ sur S$^1$, existe. Notons Inj$_S$ l'injection canonique de S$^1$ dans B$^2$ et Id$_S$ l'application identité de S$^1$. On aurait alors la contradiction suivante :
       ${\text{Id}}_{\mathbb {Z} }=({\text{Id}}_{S})_{*}=(F\circ {\text{Inj}}_{S})_{*}=F_{*}\circ ({\text{Inj}}_{S})_{*}=F_{*}\circ 0=0,$
le fait que le morphisme (Inj$_S$)$_✻$ est nul étant justifié par la remarque qu'il est à valeurs dans le groupe fondamental du disque, qui est trivial.
Le théorème de Brouwer indique que toute fonction continue f du disque dans lui-même admet un point fixe. S'il n'en avait pas, il serait aisé de construire une rétraction. On considérerait le segment passant par x et f(x) illustré sur la figure (si x est un élément du disque). Ce segment traverse le disque en un point, plus proche de x que de f(x). Si ce point est l'image par F du point x, alors F est la rétraction recherchée. Une description plus précise est disponible dans l'article détaillé :

### Équivalence d'homotopie

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homotopiquement équivalents s'il existe deux applications continues f : X → Y et g : Y → X telles que g∘f est homotope à Id$_X$ et f∘g est homotope à Id$_Y$.
    Si deux espaces sont connexes par arcs et homotopiquement équivalents, leurs groupes fondamentaux sont isomorphes.
Par exemple, un espace homotopiquement équivalent à un espace simplement connexe est simplement connexe.

## Propriétés
### Lien avec le premier groupe d'homologie

Le premier groupe d'homologie d'un espace est la somme directe des premiers groupes d'homologie de chacune de ses composantes connexes par arcs. Un cas particulier du théorème d'Hurewicz relie ces groupes d'homologie des composantes à leurs groupes fondamentaux :
Le premier groupe d'homologie entière d'un espace connexe par arcs est isomorphe à l'abélianisé de son groupe fondamental.

### Groupe fondamental et théorie des revêtements

Il y a équivalence entre les sous-groupes à conjugaison près du groupe fondamental et les revêtements à isomorphisme près. Dans cette équivalence, les sous-groupes normaux correspondent aux revêtements galoisiens.
En théorie des revêtements, on montre que si l'espace admet un revêtement simplement connexe (en particulier si l'espace est semi-localement simplement connexe c'est-à-dire si l'espace n'est pas trop « sauvage », par exemple s'il est localement contractile) son groupe fondamental est isomorphe au groupe des automorphismes d'un de ses revêtements universels.

## Méthodes de calcul et applications
### Théorème de van Kampen

Calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui n'est pas simplement connexe est un exercice difficile, car il faut prouver que certains lacets ne sont pas homotopes. Le théorème de van Kampen, également appelé théorème de Seifert-Van Kampen, permet de résoudre ce problème lorsque l'espace topologique peut être décomposé en des espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus. Ce théorème permet de calculer le groupe fondamental d'un éventail très large d'espaces.
    Article détaillé : Théorème de van Kampen.
Ce théorème dit que si deux sous-espaces de X, tous les deux ouverts ou tous les deux fermés, contiennent un point x et ont une intersection connexe par arcs, le groupe fondamental de la réunion des deux espaces pointés en x est la somme amalgamée (dans la catégorie des groupes) des groupes fondamentaux en x des deux espaces, l'amalgame se faisant le long du groupe fondamental de leur intersection.
$\pi _{1}(V_{1}\cup V_{2},x)=\pi _{1}(V_{1},x){\underset {\pi _{1}(V_{1}\cap V_{2},x)}{\star }}\pi _{1}(V_{2},x).$

### Théorème du cône et groupe fondamental des espaces projectifs

On définit le cône d'un espace topologique X comme l'espace quotient
$CX=(X\times I)/(X\times \{0\})\,$
du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1].
(Si X est un cercle, on obtient une partie d'un cône de révolution.)
Tout cône C(X) est simplement connexe (car contractile).
On a une inclusion canonique X = X × {1} ⊂ C(X).
Si f : X → Y est une application continue entre deux espaces topologiques, on définit le cône C(f) de l'application f comme le quotient de la réunion disjointe C(X)⊔Y par l'identification de chaque élément x de X ⊂ C(X) avec son image f(x) dans Y.
Exemples : si f est l'application de degré 2 dans le cercle : S$^1$ → S$^1$, z ↦ z$^2$, on obtient C(f) = P$_2$(ℝ), le plan projectif réel. Plus généralement, pour n ≥ 1, si f est la projection canonique de la sphère S$^{n–1}$ sur l'espace projectif réel P$_{n–1}$(ℝ), C(f) = P$_n$(ℝ).
Le théorème du cône affirme que si X est connexe par arcs, le groupe fondamental de C(f) est isomorphe au quotient de π$_1$(Y) par le normalisé (en) du sous-groupe de π$_1$(Y) image de f$_✻$.
Application : les espaces projectifs P$_n$(ℝ) pour n ≥ 2 ont des groupes fondamentaux isomorphes à ℤ/2ℤ.

### Groupe fondamental des graphes, des surfaces et des polyèdres

* Le groupe fondamental d'un graphe connexe est un groupe libre (voir Théorème de Nielsen-Schreier).
* Le groupe fondamental d'un polyèdre admet une présentation par générateurs et relations, une relation étant fournie par chacune des faces du polyèdre.
* Le groupe fondamental d'une surface compacte orientable de genre g admet une présentation avec 2g générateurs a$_1$, b$_1$, … , a$_g$, b$_g$ et une seule relation … [a$_g$, b$_g$] = 1 (on peut aussi choisir la présentation a$_1$…a$_g$b$_1$…b$_g$a$_1$$^{−1}$…a$_g$$^{−1}$b$_1$$^{−1}$…b$_g$$^{−1}$ = 1).

### Théorie des nœuds

En théorie des nœuds, on cherche à distinguer les nœuds non isotopes. Le groupe fondamental du complément d'un nœud fournit un invariant de nœuds, qui permet de distinguer certains d'entre eux.

## Généralisations
### Groupoïde fondamental (ou groupoïde de Poincaré)

Une catégorie est appelée un groupoïde si les objets et les flèches forment un ensemble (c'est une petite catégorie) et si toutes les flèches sont inversibles (sont des isomorphismes). Les groupoïdes forment une catégorie dont les morphismes sont les foncteurs entre groupoïdes. Les groupes sont des groupoïdes avec un seul objet, les flèches étant les éléments du groupe.
Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence x ≡ y si l'ensemble G(x,y) des morphismes de x vers y est non vide. L'ensemble quotient (dont les objets sont les classes d'équivalences) est noté π$_0$(G). Si f est un morphisme de groupoïdes, f est compatible avec la relation d'équivalence ≡. Par passage au quotient, π$_0$ définit un foncteur (le foncteur composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.
Soit G un groupoïde, et x un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de G(x, x) restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note π$_1$(G, x) ce groupe.
À chaque espace topologique X, on associe de façon fonctorielle un groupoïde πX : on prend pour ensemble d'objets πX l'ensemble sous-jacent à X. Les flèches de source x et de but y sont les classes d'homotopie des chemins (= arcs continus) de x vers y. La relation d'homotopie est compatible avec la composition des chemins et définit donc un groupoïde πX appelé le groupoïde fondamental de X. Le théorème de van Kampen s'exprime également simplement en utilisant les groupoïdes fondamentaux.
Le groupe fondamental est défini par
$\pi _{1}(X,x_{0})=\pi _{1}(\pi X,x_{0}).$

### Groupes d'homotopie supérieurs

Le groupe fondamental est en fait le premier groupe d'homotopie, d'où l'indice 1 dans la notation π$_1$(X).

### Groupe fondamental et géométrie algébrique

Dans la théorie des revêtements d'un espace X, on définit la fibre d'un revêtement π$_E$ : E → X au point p comme l'ensemble π$_E$$^{−1}$(p) qui est aussi noté E(p). La correspondance E ↦ E(p) définit un foncteur de la catégorie des revêtements de base (X, p), dans la catégorie des ensembles. Le groupe fondamental peut être défini de manière abstraite comme le groupe des automorphismes du foncteur fibre, qui, à un revêtement de base (X, p), associe E(p).
Cette définition alternative ouvre la voie à la généralisation en géométrie algébrique, où la définition donnée précédemment en termes de lacets de base p ne s'applique pas naturellement. Dans cette généralisation, les revêtements étant remplacés par les morphismes étales finis: le groupe fondamental de l'espace pointé (X, p) est le groupe des automorphismes du foncteur fibre qui, à un morphisme étale fini E → X, associe la fibre E(p) au point p. Cette généralisation est due à Alexandre Grothendieck et Claude Chevalley.
Cette théorie permet d'expliquer le lien entre la théorie de Galois des revêtements des surfaces de Riemann (groupe d'automorphismes…) et la théorie de Galois des corps de fonctions.