# Sous-groupe à un paramètre

Un sous-groupe à un paramètre d'un groupe de Lie réel G est un morphisme de groupes de Lie c : ℝ → G. Plus explicitement, c est une application différentiable vérifiant :
    $\forall s,t\in \mathbb {R} ,c(t+s)=c(t)c(s)$.

## Propriétés

En dérivant cette relation par rapport à la variable s et en évaluant en s = 0, il vient :
    $\forall t\in \mathbb {R} ,c'(t)=T_{e}L_{c(t)}\left(c'(0)\right)$
où L$_{c(t)}$ désigne la multiplication à gauche par c(t). Un sous-groupe à un paramètre s'obtient comme orbite de l'élément neutre par un champ de vecteurs invariant à gauche de G. Un tel champ X est déterminé par sa valeur X(e) en l'élément neutre e. Il y a donc correspondance univoque entre sous-groupe à un paramètre et l'espace tangent g de G en e :
* à tout sous-groupe à un paramètre c de G est associé le vecteur c'(0) de g ;
* à tout vecteur v de g est associé le sous-groupe à un paramètre c : ℝ → G défini par l'équation différentielle c '(t) = T$_e$L$_{c(t)}$[v] et la condition initiale c '(0) = v.
Les sous-groupes à un paramètre interviennent naturellement dans la définition de l'application exponentielle du groupe de Lie G :
* l'application exponentielle est l'application exp : g → G définie par exp(v) = c(1) où c est le sous-groupe à un paramètre de G associé à X ;
* tout sous-groupe à un paramètre c s’écrit de manière unique c(t) = exp(t.v) où v = c '(0).

## Exemples
### Groupe de Lie commutatif

Tout espace vectoriel réel E de dimension finie est un groupe de Lie, la loi interne étant l'addition vectorielle. L'espace tangent en 0 de E s'identifie naturellement avec E en tant qu'espace vectoriel réel. Les sous-groupes à un paramètre de E sont simplement les applications t ↦ t.v où v parcourt E : ce sont les droites vectorielles paramétrées de E.
La classification des groupes de Lie commutatifs est connue et élémentaire. Tout groupe de Lie commutatif G se réalise comme quotient d'un espace vectoriel E par un sous-groupe discret, un sous-réseau de E. Les sous-groupes à un paramètre de G s'obtiennent donc par passage au quotient des droites paramétrées de E.
Un exemple important est le tore ℝ$^n$/ℤ$^n$. Les sous-groupes à un paramètre sont les applications c$_v$ : t → t.v mod ℤ$^n$ où v parcourt ℝ$^n$. Apparaissent différents comportements :
* si v est proportionnel à un élément du réseau ℤ$^n$, c$_v$ est une application périodique, une immersion de la droite réelle, et un difféomorphisme local de ℝ sur un cercle de ℝ$^n$/ℤ$^n$ ;
* sinon, c est une immersion de la droite réelle, mais l'image n'est pas une variété. En dimension n = 2, l'image est dense dans le tore. En dimension supérieure, l'adhérence de l'image est une sous-variété difféomorphe a un tore, et toutes les dimensions intermédiaires allant de 2 a n sont réalisables.

### Groupe des rotations

Pour tout vecteur non nul v de ℝ$^3$, l'application R associant à t la rotation d'axe orienté ℝ.v et d'angle t est un sous-groupe à un paramètre du groupe SO(3) des rotations de l'espace euclidien.
Ce sont exactement tous les sous-groupes à un paramètre de SO(3). Il est remarquable de noter qu'ils sont tous des applications périodiques.
Pour rappel, il est courant de paramétrer le groupe SO(3) par les quaternions unitaires.
Les sous-groupes à un paramètre de S$^3$ ont pour images les traces des plans vectoriels réels de H contenant 1. Ce sont des difféomorphismes locaux de ℝ sur des grands cercles de S$^3$.

## Groupe à un paramètre de difféomorphismes

La définition se généralise sans difficulté aux groupes de Lie de dimension infinie. L'exemple standard est le groupe des difféomorphismes d'une variété différentielle M de dimension n. Il est loisible d'introduire la notion de groupe à un paramètre de difféomorphismes, par exemple.
Un groupe à un paramètre de difféomorphismes est une application différentiable f : ℝ × M → M telle que les sections f$_t$ soient des difféomorphismes de la variété M vérifiant :
    $\forall t,s\in \mathbb {R} ,f_{t+s}=f_{t}\circ f_{s}$.
C'est donc simplement une action différentiable de ℝ sur M.
Cette notion est à rapprocher de champ de vecteurs :
* à tout groupe à un paramètre de difféomorphisme f de M est associé un unique champ de vecteurs X sur M donné par :
    $\forall t\in \mathbb {R} ,{\frac {d}{dt}}f_{t}(x)=X\left[f_{t}(x)\right]$ ;
* réciproquement, si M est compacte, à tout champ de vecteurs X sur M est associé un unique groupe à un paramètre de difféomorphismes f déterminé par la relation ci-dessus, et appelé flot du champ X.
Le champ est alors dit global.
Si M possède plus de structure (variété riemannienne, variété symplectique ou variété de contact par exemple), on peut vouloir que les sections f$_t$ préservent cette structure ; dans ce cas, on remplace le terme difféomorphisme par un vocabulaire adapté.