# Fonction de masse (système binaire)

En astronomie, la fonction de masse est une quantité déduite des observations qui permet de mettre des contraintes sur la masse d'une des composantes d'un système binaire quand on peut mesurer le mouvement de l'autre composante. Plus précisément, elle permet de mettre une limite inférieure à la masse d'une des deux composantes.
Cette quantité est particulièrement importante pour la détermination de la nature exacte d'une des composantes d'un tel système binaire dans le cas où celle-ci est un objet compact (étoile à neutrons ou trou noir), car elle peut permettre une détection a priori sans ambiguïté d'un trou noir : il existe en effet une limite supérieure à la masse d'une étoile à neutrons, et la fonction de masse permettant de mettre une limite inférieure à la masse d'un objet, si elle se trouve supérieure à la limite supérieure de masse de étoiles à neutrons (située entre 2 et 3 masses solaires suivant les différents modèles décrivant l'équation d'état qui règne au centre de tels astres), alors on a une preuve relativement directe de l'existence d'un trou noir. Le premier candidat trou noir avoir ainsi été détecté est Cygnus X-1 dans le courant des années 1970.

## Formule

Dans un système binaire dont on n'observe qu'une composante, on peut observationnellement déterminer la période orbitale du système P$_{orb}$, ainsi que la vitesse de la composante visible K$_2$, par effet Doppler-Fizeau. Cette vitesse mesurée ne correspond pas à la vitesse vraie de l'étoile, mais à la projection de celle-ci le long de la direction d'observation. La fonction de masse est définie par la quantité
    $f={\frac {P_{\mathrm {orb} }K_{2}^{3}}{2\pi G}}$,
G étant la constante de Newton, et est relié à la masse $M_{1}$ de la composante invisible par
    ${\frac {P_{\mathrm {orb} }K_{2}^{3}}{2\pi G}}={\frac {M_{1}^{3}}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}\sin ^{3}i={\frac {M_{1}}{(1+q)^{2}}}\sin ^{3}i$,
q étant le rapport des masses de la composante visible à la composante invisible $M_{2}/M_{1}$ et i l'inclinaison du plan de l'orbite par rapport à la ligne de visée.
La troisième loi de Képler permet de relier la taille de l'orbite (son demi-grand axe) a, sa période P$_{orb}$, et la masse totale du système $M_{1}+M_{2}$:
    ${\frac {P_{\mathrm {orb} }^{2}}{a^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M_{1}+M_{2})}}$,
où G est la constante de Newton. Dans un système binaire, les deux corps ont des orbites elliptiques de demi grand-axe $a_{1}$ et $a_{2}$ dépendant du demi grand-axe a et des masses $M_{1}$ et $M_{2}$ selon :
    $a_{1}={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}a$,
    $a_{2}={\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}a$.
Dans une orbite elliptique de demi grand-axe a, de période $P_{\mathrm {orb} }$ et d'excentricité e, la vitesse varie entre les valeurs :
    $v_{\mathrm {min} }={\frac {2\pi }{P_{\mathrm {orb} }}}{\frac {a}{1+e}}$
à l'apoastre, et
    $v_{\mathrm {max} }={\frac {2\pi }{P_{\mathrm {orb} }}}{\frac {a}{1-e}}$
au périastre. On en déduit la valeur « moyenne »
    $v_{\mathrm {moy} }=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{v_{\mathrm {min} }}}+{\frac {1}{v_{\mathrm {max} }}}\right)\right)^{-1}={\frac {2\pi a}{P_{\mathrm {orb} }}}$.
Observationnellement, la quantité observable est la composante radiale de cette quantité le long de la ligne de visée, qui fait un angle (l'inclinaison) i avec la normale au plan orbital. La quantité observée, souvent notée K, est donc
    $K={\frac {2\pi a}{P_{\mathrm {orb} }}}\sin i$.
En utilisant cette quantité appliquée à la composante 2, on a
    $K_{2}={\frac {2\pi a_{2}}{P_{\mathrm {orb} }}}\sin i$,
d'où
    $K_{2}={\frac {2\pi }{P_{\mathrm {orb} }}}{\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}a\sin i$,
soit
    ${\frac {1}{a}}={\frac {1}{K_{2}}}{\frac {2\pi }{P_{\mathrm {orb} }}}{\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}\sin i$.
On obtient alors
    ${\frac {P_{\mathrm {orb} }^{2}}{K_{2}^{3}}}{\frac {(2\pi )^{3}}{P_{\mathrm {orb} }^{3}}}{\frac {M_{1}^{3}}{(M_{1}+M_{2})^{3}}}\sin ^{3}i={\frac {4\pi ^{2}}{G(M_{1}+M_{2})}}$,
soit
    ${\frac {M_{1}}{\left(1+{\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}}\sin ^{3}i={\frac {P_{\mathrm {orb} }K_{2}^{3}}{2\pi G}}$.
Cette quantité est appelée fonction de masse. Elle est toujours inférieure à la masse $M_{1}$.

## Exemples d'utilisation

En pratique, des contraintes supplémentaires sur la masse peuvent être trouvées, par exemple si l'on arrive à déterminer la masse $M_{2}$, par exemple à partir de données spectroscopique permettant de déduire le type spectral de l'astre. Une autre possibilité est d'observer par astrométrie de déplacement de cet astre. Enfin, dans le cas où les deux astres sont en orbite serrée, des contraintes supplémentaires peuvent être trouvées selon que l'on observe ou non un phénomène d'éclipse entre les deux astres. En particulier, si l'on a un compagnon invisible qui est un objet compact en orbite autour d'une étoile massive, une orbite serrée permet de contraindre l'inclinaison du plan orbital du système selon que le phénomène d'éclipse (du compagnon sombre ou de son disque d'accrétion) se produit. La binaire X à forte masse LMC X-1 donne un exemple de ceci : ce système comporte une étoile massive dont le type spectral (O7-9 III) induit une masse supérieure à 4 masses solaires. Cependant, l'extension spatiale d'une telle étoile couplée à la période orbitale relativement brève permet de déduire que l'inclinaison du plan orbital est faible, sans quoi un phénomène d'éclipse serait observée. Il en résulte que la masse du compagnon sombre est très significativement supérieure à la valeur minimale déduite de la fonction de masse, passant de 0,14 masse solaire à près de 6 masses solaires (voir l'article LMC X-1 pour plus de détails).
Plus d'une quinzaine de systèmes binaires dont une des composantes est invisible est de masse élevée est recensée à ce jour (2006). Ce sont parmi les meilleurs candidats de trou noir stellaire.