# Topologie initiale

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie initiale, sur un ensemble muni d'une famille d'applications à valeurs dans des espaces topologiques, est la topologie la moins fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. Deux cas particuliers importants de topologies initiales sont la topologie induite et la topologie produit. La notion duale est celle de topologie finale.

## Définition

Soient X un ensemble et (f$_i$)$_{i∈I}$ une famille d'applications, chacune définie sur X et à valeurs dans un espace topologique Y$_i$. La topologie initiale associée à ces données est la moins fine topologie sur X pour laquelle toutes les f$_i$ sont continues.
Autrement dit, c'est la topologie engendrée par l'ensemble de toutes les parties de X de la forme f$_i$$^{−1}$(U), où i appartient à I et où U est un ouvert de l'espace Y$_i$ correspondant.

## Exemples

* Sur une partie d'un espace topologique, la topologie induite est la topologie initiale associée à l'injection canonique.
* Sur un ensemble-produit d'(ensembles sous-jacents à des) espaces topologiques, la topologie produit est la topologie initiale associée aux projections canoniques.
* Une limite projective d'espaces topologiques est la limite projective des ensembles sous-jacents (qui est une partie du produit) munie, à nouveau, de la topologie initiale associée aux projections.
* La topologie faible sur un espace vectoriel topologique est la topologie initiale associée aux éléments de son dual topologique, c'est-à-dire aux formes linéaires continues.
* Dans le treillis des topologies sur un ensemble X, la borne supérieure d'une famille (τ$_i$)$_{i∈I}$, c'est-à-dire la topologie engendrée par l'union des topologies τ$_i$ (vues comme ensembles d'ouverts), est la topologie initiale associée aux fonctions id$_X$ : X → (X, τ$_i$).
* Une topologie est complètement régulière si et seulement si elle est initiale pour la famille de ses fonctions continues (ou celle de ses fonctions continues bornées) à valeurs dans ℝ.
* Toute topologie est initiale pour la famille de ses fonctions continues à valeurs dans l'espace de Sierpiński.

## Propriétés
### Caractérisation

Cette topologie initiale sur X est caractérisée par la propriété universelle suivante : pour tout espace topologique Z, une application g : Z → X est continue (X étant muni de la topologie initiale) si — et bien sûr seulement si — toutes les applications f$_i$∘g : Z → Y$_i$ le sont.
Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie initiale par une prébase et du critère de continuité associé.

### Plongement dans le produit

La topologie initiale sur X est la moins fine pour laquelle l'application canonique f, de X dans le produit des Y$_i$, est continue. Cette application f est alors un plongement si (et seulement si) elle est injective, autrement dit si la famille des f$_i$ est séparante (en), c'est-à-dire si pour tous points distincts x et y dans X, il existe un indice i tel que f$_i$(x) ≠ f$_i$(y).

### Famille séparant les points des fermés

Pour qu'une topologie donnée sur X coïncide avec la topologie initiale associée aux f$_i$, une condition suffisante est que les f$_i$$^{−1}$(U), pour i ∈ I et U ouvert de Y$_i$, en forment non seulement une prébase mais une base. On démontre que cette condition équivaut à ce que la famille des f$_i$ sépare les points des fermés, c'est-à-dire que pour tout fermé F de X et tout point x de X n'appartenant pas à F, il existe un indice i tel que f$_i$(x) ne soit pas adhérent à f$_i$(F).
Si de plus X est un espace T$_0$, les f$_i$ séparent aussi les points donc X est plongé dans le produit des Y$_i$.