# Groupe d'homotopie

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

## Définition

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

### Première définition

Soit X un espace topologique et $x_{0}$ un point de X. Soit ${\mathcal {B}}^{i}$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{i}$. Son bord $\partial {\mathcal {B}}^{i}={\mathcal {S}}^{i-1}$ est la sphère unité de dimension $i-1$.
Le i-ième groupe d'homotopie supérieur $\pi _{i}(X,x_{0})$ est l'ensemble des classes d'homotopie relative à ${\mathcal {S}}^{i-1}$ d'applications continues $f:{\mathcal {B}}^{i}\to X$ telle que : $f({\mathcal {S}}^{i-1})=\{x_{0}\}$.
Un élément de $\pi _{i}(X,x_{0})$ est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la $(i-1)$-sphère vers le point de référence $x_{0}\in X$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à ${\mathcal {S}}^{i-1}$.

### Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule ${\mathcal {B}}^{i}$ à un point $s_{0}$, on obtient une sphère $\mathbb {S} ^{i}$ et chaque élément de $\pi _{i}(X,x_{0})$ se définit par les classes d'homotopie des applications $\mathbb {S} ^{i}\to X$ par lesquelles le point base $s_{0}$ de la sphère se transforme en $x_{0}$. On peut dire que les éléments du groupe $\pi _{i}(X,x_{0})$ sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications $\mathbb {S} ^{i}\to X$ pour lesquelles on a : $s_{0}\mapsto x_{0}$.

## Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule ${\mathcal {B}}^{i}$ avec le cube $\mathbb {I} ^{i}=[0,1]^{i}$ de dimension i dans ℝ$^i$.
La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube $f,g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})$ est l'application $f+g:(\mathbb {I} ^{i},\mathbb {S} ^{i-1})\to (M,x_{0})$ définie par la formule :
$(f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[0,1/2\right]$
et
$(f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n}){\text{ pour }}t_{1}\in \left[1/2,1\right].$
Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.
On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).
On obtient le groupe fondamental si i = 1.

## Propriétés et outils
### Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

On a une généralisation des groupes d'homotopie.
Soient X un espace topologique, A ⊂ X et x un point de X.
Soient I$^r$ = [0, 1]$^r$ et J$^r$ = (∂I$^{r-1}$ × I) ∪ (I$^{r-1}$ × {1}) = ∂I$^r$ \ int(I$^{r-1}$ × {0}).
Le r-ième groupe d'homotopie relatif $\pi _{r}(X,A,x)$ est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues $f:(I^{r},\partial {I^{r}},J^{r})\to (X,A,x)$ telles que : $f(I^{r})\subset X$, $f(\partial {I^{r}})\subset A$, $f(J^{r})=x$, avec des homotopies de même forme.
* $\pi _{r}(X,x,x)=\pi _{r}(X,x)$ donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
* De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
* On a une suite exacte longue :$\cdots \rightarrow \pi _{n}(A,x){\xrightarrow {i_{*}}}\pi _{n}(X,x){\xrightarrow {j_{*}}}\pi _{n}(X,A,x){\xrightarrow {d}}\pi _{n-1}(A,x)\rightarrow \cdots$où i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de $(I^{r},\partial {I^{r}},J^{r})$ à $I^{r-1}$.

### Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration

Soit p : E → B une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :
    $\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)$.

### Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés $\pi _{i}(X,A,x_{0})$ et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés $H_{i}(X,A)$. Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.
On a un morphisme de groupes naturel $h_{n}:\pi _{n}(X,A,*)\to H_{n}(X,A)$.
Si $A\subset X$ sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour $n\geq 2$ alors :
* d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que $H_{i}(X,A)=0$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments $\omega (\beta )-\beta$ avec $\omega \in \pi _{1}(A,*)$ et $\beta \in \pi _{n}(X,A,*)=1$ ; en particulier, si $\pi _{1}(A,*)=1$, alors $h_{n}$ est un isomorphisme ;
* d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, $n\geq 2$, on a $H_{i}(X,*)=0$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.
Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

### Théorèmes de périodicité de Bott
## Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π$_1$.

## Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

### Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace, est commutatif et l'action du π$_1$ sur les π$_i$ est triviale.