# Topologie finale

En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie finale, sur un ensemble d'arrivée commun à une famille d'applications définies chacune sur un espace topologique, est la topologie la plus fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. La notion duale est celle de topologie initiale.

## Définition

Soient X un ensemble, (Y$_i$)$_{i∈I}$ une famille d'espaces topologiques et pour chaque indice i ∈ I, une application f$_i$ : Y$_i$ → X.
La topologie finale sur X associée à la famille (f$_i$)$_{i∈I}$ est la plus fine des topologies sur X pour lesquelles chaque f$_i$ est continue.
Autrement dit : une partie U de X est un ouvert de cette topologie si et seulement si pour tout i ∈ I, f$_i$$^{−1}$(U) est un ouvert de Y$_i$.

## Exemples

* Si la famille (Y$_i$)$_{i∈I}$ est réduite à un seul espace Y, muni d'une relation d'équivalence ∼, la topologie quotient est la topologie finale associée à la surjection canonique de Y sur l'ensemble quotient X = Y/∼.
* La somme topologique d'une famille d'espaces est la topologie finale associée aux injections canoniques de ces espaces dans leur réunion disjointe.
* Plus généralement, la topologie cohérente sur un ensemble dont certaines parties sont munies de topologies est la topologie finale associée à ces données.
* La limite inductive d'un système inductif d'espaces topologiques est la limite inductive ensembliste, munie de la topologie finale déterminée par les applications canoniques.
* Dans le treillis des topologies sur un ensemble X, la borne inférieure d'une famille (τ$_i$)$_{i∈I}$, c'est-à-dire l'intersection des topologies τ$_i$ (vues comme ensembles d'ouverts), est la topologie finale associée aux fonctions id$_X$ : (X, τ$_i$) → X.
* L'espace étalé d'un faisceau est muni d'une topologie finale.

## Propriétés

Une partie F de X est un fermé de cette topologie si et seulement si pour tout i ∈ I, f$_i$$^{−1}$(F) est un fermé de Y$_i$.
Cette topologie finale peut être caractérisée par la propriété universelle suivante : une application g de X dans un espace Z est continue si et seulement si pour tout i ∈ I, g∘f$_i$ est continue.
Si les images des f$_i$ forment un recouvrement de X alors X, muni de la topologie finale, est canoniquement un quotient de la somme topologique ∐$_{i∈I}$Y$_i$.

## Description en termes de catégories

Dans le langage de la théorie des catégories, la construction de la topologie finale peut être décrite comme suit. Soit Y un foncteur, d'une catégorie discrète I dans la catégorie des espaces topologiques Top, c'est-à-dire la donnée, pour chaque objet i de I, d'un espace topologique Y$_i$. Soit Δ le foncteur diagonal (en) de Top dans la catégorie de foncteurs Top$^I$ (Δ envoie tout espace X sur le foncteur constant X). La catégorie comma (en) (Y ↓ Δ) est alors la catégorie des cônes (en) sur Y, dont les objets sont les couples (X, f) où f est une famille d'applications continues f$_i$ : Y$_i$ → X. Si U désigne le foncteur d'oubli de Top dans Set et Δ' le foncteur diagonal de Set dans Set$^I$, alors la catégorie comma (UY ↓ Δ') est la catégorie de tous les cônes sur UY. La construction de la topologie finale peut alors être décrite comme un foncteur de (UY ↓ Δ') dans (Y ↓ Δ), adjoint à gauche du foncteur d'oubli correspondant.