# Fonction de Mittag-Leffler

En mathématiques, la fonction de Mittag-Leffler, notée $E_{\alpha \beta }$ qui tient son nom du mathématicien Gösta Mittag-Leffler, est une fonction spéciale, c’est-à-dire qui ne peut être calculée à partir d'équations rationnelles, qui s'applique dans le plan complexe et dépend de deux paramètres complexes $\alpha$ et $\beta$. La fonction est définie pour $\alpha >0$ :
    $E_{\alpha \beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over \Gamma (\alpha k+\beta )}$.
Dans ce cas, la série converge pour toute valeur d'argument z, ce qui fait de la fonction une fonction entière.
On désigne également la fonction E$_α$(z) = E$_{α1}$(z) comme fonction de Mittag-Leffler.

## Valeurs particulières

Pour α = 0, on reconnait la somme de la série géométrique :
    $E_{0}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}},\,|z|<1.$
Pour α = 1 et β = 1, on reconnait la série exponentielle :
    $E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).$
On en déduit les égalités :
    $E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}),\ E_{2,1}(-z^{2})=\cos(z).$
Pour β = 2, on a
    $E_{1,2}(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}-1}{z}},\ E_{2,2}(z)={\frac {\sinh({\sqrt {z}})}{\sqrt {z}}}.$
La fonction d'erreur est un cas particulier de la fonction de Mittag-Leffler :
    $w(z)=\exp(-z^{2}){\mbox{erfc}}(-\mathrm {i} z)=E_{1/2}(\mathrm {i} z).$
On peut également exprimer E$_α$ comme une fonction hyperbolique généralisée :
    $E_{\alpha }(z^{n})=F_{\alpha ,0}^{1}(z)$
Pour $\alpha =0,1,2$, on a les égalités intégrales
    $\int _{0}^{z}E_{0}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s=\arctan(z)$
    $\int _{0}^{z}E_{1}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s={\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z)$
    $\int _{0}^{z}E_{2}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s=\sin(z)$

## Propriétés

La fonction de Mittag-Leffler vérifie la propriété de récurrence
    $E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha )}},$
pour lequel on tire le développement asymptotique de Poincaré : pour $0<\alpha <2$ et $\mu$ réel tel que ${\frac {\pi \alpha }{2}}<\mu <\min(\pi ,\alpha \pi )$, alors pour $N\in \mathbb {N} ^{*},N\neq 1$ on a (Section 6. de):
* pour $\,|z|\to +\infty ,|{\text{arg}}(z)|\leq \mu$ :
    $E_{\alpha }(z)={\frac {1}{\alpha }}\exp(z^{\frac {1}{\alpha }})-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right),$
* pour $\,|z|\to +\infty ,\mu \leq |{\text{arg}}(z)|\leq \pi$ :
    $E_{\alpha }(z)=-\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{z^{k}\Gamma (1-\alpha k)}}+O\left({\frac {1}{z^{N+1}}}\right),$
où l'on a noté $E_{\alpha }(z)=E_{\alpha ,1}(z)$.

## Applications

Une des applications de la fonction de Mittag-Leffler est dans la modélisation de matériaux viscoélastiques d'ordre fractionnaire. Des expériences dans le comportement de relaxation en temps de matériaux viscoélastiques ont montré une décroissance forte de la contrainte au début du processus de détente et une dégradation très lente en temps long, le temps pour atteindre un comportement asymptotique constant étant parfois très long. Aussi, un grand nombre d'éléments de Maxwell sont nécessaires pour décrire le processus avec assez de précision. Cela aboutit à un problème d'optimisation difficile pour identifier un grand nombre de paramètres du matériau. Cependant, au fil des années, le concept de dérivées fractionnaires a été introduit dans la théorie de la viscoélasticité. Parmi les modèles, le modèle de Zener fractionnaire (en) s'est montré efficace pour modéliser la dynamique de matériaux caoutchouteux avec un faible nombre de paramètres. La solution de l'équation constitutive correspondante mène à une fonction de relaxation de type Mittag-Leffler, comme une série entière avec des arguments négatifs. Cette fonction représente toutes les propriétés essentielles du process de relaxation soumis à un signal continu arbitraire avec un saut à l'origine$^,$.