# Polynôme associé de Legendre

En mathématiques, un polynôme associé de Legendre, noté $P_{\ell }^{m}(x)$, est une solution particulière de l'équation générale de Legendre :
    $(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,$
laquelle n'a de solution régulière que sur l'intervalle [–1, 1] et si –ℓ ≤ m ≤ ℓ avec ℓ et m entiers. Elle se réduit à l'équation différentielle de Legendre si m = 0.
Cette fonction est un polynôme si m est un entier pair. Toutefois, l’appellation de « polynôme », bien qu'incorrecte, est quand même conservée dans le cas où m est un entier impair.
L'équation générale de Legendre est rencontrée notamment en physique, par exemple dans la résolution de l'équation de Helmholtz en coordonnées sphériques. En particulier, les polynômes associés de Legendre jouent un rôle important dans la définition des harmoniques sphériques.

## Définitions et expressions générales
### L'équation générale de Legendre en physique

L'équation générale de Legendre apparaît naturellement dans la résolution de l'équation de Helmholtz tridimensionnelle $\Delta ^{2}f+k^{2}f=0$ en coordonnées sphériques (notées $(r,\theta ,\phi )$, avec $f=f({\vec {r}})=f(r,\theta ,\phi )$, avec $k^{2}$ constant, en utilisant la méthode de séparation des variables. Plus précisément, elle correspond à la partie angulaire selon la colatitude $\theta$ de cette équation, $\ell (\ell +1)$ et $m^{2}$ correspondants aux constantes de séparation.
En effet dans ce cas l'équation angulaire correspondante se met sous la forme :
    ${\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\Theta (\theta )=0$
En coordonnées sphériques, l'équation de Helmholtz s'écrit :
    ${\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right]+k^{2}f=0,$
si maintenant une solution est recherchée par séparation des variables, alors $f(r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$, ce qui après substitution et division par $R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$ :
    ${\frac {1}{R(r)r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{\Theta (\theta )r^{2}\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {1}{\Phi (\phi )r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-k^{2}.$
Comme cette équation doit être vérifiée pour toutes les valeurs de $(r,\theta ,\phi )$, et que $k^{2}$ est une constante chacun des trois premiers termes doit être égal à une constante. Dès lors, si l'on pose :
    ${\frac {1}{\Phi (\phi )}}{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}$,
l'équation se réarrange sous la forme :
    ${\frac {1}{R(r)}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+k^{2}r^{2}=-{\frac {1}{\Theta (\theta )\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}.$
Cette équation étant à variables séparées, chaque membre doit être égal à une même constante notée $\ell (\ell +1)$, et la partie angulaire selon $\Theta (\theta )$ se met donc bien sous la forme :
    ${\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\Theta (\theta )=0.$
L'équation radiale correspond quant à elle à l'équation différentielle des fonctions de Bessel sphériques.
Le changement de variable $x=\cos \theta$ permet alors de mettre cette équation sous la forme de l'équation générale de Legendre.

### Expression en fonction des polynômes de Legendre

Les polynômes associés de Legendre se déduisent des polynômes de Legendre $P_{\ell }(x)$ par la formule :
    $P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)$.

### Orthogonalité

En supposant 0 ≤ m ≤ ℓ avec m, ℓ entiers, les polynômes satisfont la condition suivante d'orthogonalité pour m fixé :
    $\int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell },$
où $\delta _{k,\ell }$ est le symbole de Kronecker.
Ils suivent également la condition d'orthogonalité suivante à ℓ fixé :
    $\int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}(x)P_{\ell }^{n}(x)}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{si }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{si }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{si }}m=n=0\end{cases}}.$

### Lien avec les harmoniques sphériques

Les harmoniques sphériques $Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )$ interviennent notamment en physique quantique, où elles correspondent aux fonctions propres du moment cinétique orbital, c'est-à-dire celles communes aux opérateurs ${\hat {L}}^{2}$ (carré du moment cinétique) et de sa composante ${\hat {L}}_{z}$, avec les équations aux valeurs propres :
    ${\hat {L}}^{2}Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi ),$
et
    ${\hat {L}}_{z}Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )=\hbar mY_{\ell ,m}(\theta ,\phi ),$.
En coordonnées sphériques ces opérateurs se mettent sous la forme :
    ${\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }},$
    ${\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right]+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right).$
Par suite, ${\hat {L}}^{2}$ correspond à la partie angulaire du Laplacien, et de fait les équations aux valeurs propres sont identiques à celles que l'on obtient lors de la résolution de l'équation de Helmholtz. Dès lors les harmoniques sphériques $Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )$ sont proportionnelles à $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ et $e^{\imath m\phi }$, et après normalisation elles se mettent sous la forme :
       $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }.$

## Tables des premiers polynômes associés de Legendre

Les premiers polynômes associés de Legendre sont :
$P_{\ell }^{m}(x)$ :
| $\ell$ | $m$ | $m$ | $m$ | $m$ | $m$ |
| $\ell$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 1 | n.d. | n.d. | n.d. | n.d. |
| 1 | $x$ | $-(1-x^{2})^{1/2}$ | n.d. | n.d. | n.d. |
| 2 | ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$ | $-3x(1-x^{2})^{1/2}$ | $3(1-x^{2})$ | n.d. | n.d. |
| 3 | ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$ | ${\begin{matrix}-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$ | $15x(1-x^{2})$ | $-15(1-x^{2})^{3/2}$ | n.d. |
| 4 | ${\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$ | ${\begin{matrix}-{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}$ | ${\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})$ | $-105x(1-x^{2})^{3/2}$ | $105(1-x^{2})^{2}$ |
Pour les valeurs négatives de m, il suffit d'utiliser la relation :
    $P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m},$
qui se déduit directement de la formule donnée plus haut.