# Analyse fonctionnelle (mathématiques)

L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui étudie les espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles ou intégro-différentielles.
Le terme fonctionnelle trouve son origine dans le cadre du calcul des variations, pour désigner des fonctions dont les arguments sont des fonctions. Son emploi a été généralisé à de nouveaux domaines par le mathématicien et physicien italien Vito Volterra. Le mathématicien polonais Stefan Banach est souvent considéré comme le fondateur de l'analyse fonctionnelle moderne.

## Les espaces de l'analyse fonctionnelle

Les espaces de base de l'analyse fonctionnelle sont les espaces vectoriels normés complets sur le corps des nombres réels ou des nombres complexes. De tels espaces sont appelés les espaces de Banach. Les espaces de Hilbert constituent un cas particulier important où la norme est issue d'un produit scalaire. Ces derniers jouent par exemple un rôle important dans la formulation mathématique de la mécanique quantique. L'analyse fonctionnelle peut aussi être effectuée dans un cadre plus général, celui des espaces vectoriels topologiques, tels que les espaces de Fréchet.
Des objets d'étude importants en analyse fonctionnelle sont les opérateurs linéaires continus définis sur les espaces de Banach et de Hilbert. Ceux-ci mènent naturellement à la définition des C*-algèbres.
Les espaces de Hilbert peuvent être complètement classifiés : il existe un espace de Hilbert unique à un isomorphisme près pour chaque cardinal de la base hilbertienne. Les espaces de Hilbert de dimension finie sont entièrement connus en algèbre linéaire, et les espaces de Hilbert séparables sont isomorphes à l'espace de suites ℓ$^2$. La séparabilité étant importante pour les applications, l'analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert traite surtout de cet espace et de ses morphismes. Un des problèmes ouverts en analyse fonctionnelle est de prouver que tout opérateur borné sur un espace de Hilbert séparable possède un sous-espace stable fermé non trivial. Ce problème du sous-espace invariant (en) a déjà été résolu dans beaucoup de cas particuliers.
Les espaces de Banach sont beaucoup plus compliqués à étudier que les espaces de Hilbert. Il n'y a pas de définition unique de ce qui pourrait constituer une base, par exemple.
Pour tout nombre réel p ≥ 1, un exemple d'espace de Banach est donné par l'ensemble de toutes les fonctions mesurables au sens de Lebesgue dont la puissance p-ième de la valeur absolue a une intégrale finie (voir les espaces L$^p$).
Dans les espaces de Banach, une grande partie de l'étude implique le dual topologique : l'espace de toutes les formes linéaires continues. Comme en algèbre linéaire, le bidual (le dual du dual) n'est pas toujours isomorphe à l'espace original, mais il y a toujours un morphisme injectif naturel d'un espace dans son bidual.
La notion de dérivée est étendue aux fonctions arbitraires entre espaces de Banach via le concept de différentielle ; la différentielle de Fréchet d'une fonction en un certain point est, lorsqu'elle existe, une certaine application linéaire continue.

## Quelques résultats importants d'analyse fonctionnelle

* Le principe de la borne uniforme est un résultat sur des ensembles d'opérateurs bornés.
* Le théorème spectral donne une formule intégrale pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Il est d'une importance centrale dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.
* Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des formes linéaires définies sur un sous-espace à l'espace tout entier, tout en conservant la norme.
L'un des triomphes de l'analyse fonctionnelle fut de montrer que l'atome d'hydrogène était stable.