# Polynôme de Narayana

Les polynômes de Narayana sont une suite de polynômes dont les coefficients sont les nombres de Narayana. Les nombres de Narayana et les polynômes de Narayana portent le nom du mathématicien canadien T. V. Narayana (1930-1987). Essentiellement liés aux nombres de Catalan, dont ils sont un raffinement, ils apparaissent dans plusieurs problèmes combinatoires$^,$$^,$.

## Définitions

Étant donné un entier naturel non nul $n$ et un entier naturel $k$, le nombre de Narayana $N(n,k)$ est défini par
    $N(n,k)={\frac {1}{n}}{n \choose k}{n \choose k-1}.$
Par convention, le nombre $N(0,k)$ est défini comme valant $1$ si $k=0$ et $0$ si $k>0$.
Pour un entier naturel $n$, le $n$-ième polynôme de Narayana $N_{n}(z)$ est défini par
    $N_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}N(n,k)z^{k}.$
Le $n$-ième polynôme de Narayana associé ${\mathcal {N}}_{n}(z)$ est défini comme le polynôme réciproque de $N_{n}(z)$ :
    ${\mathcal {N}}_{n}(z)=z^{n}N_{n}\left({\tfrac {1}{z}}\right)$.

## Exemples

Les premiers polynômes de Narayana sont :
    $N_{0}(z)=1$ ;
    $N_{1}(z)=z$ ;
    $N_{2}(z)=z^{2}+z$ ;
    $N_{3}(z)=z^{3}+3z^{2}+z$ ;
    $N_{4}(z)=z^{4}+6z^{3}+6z^{2}+z$ ;
    $N_{5}(z)=z^{5}+10z^{4}+20z^{3}+10z^{2}+z$.

## Propriétés

Quelques-unes des propriétés des polynômes de Narayana et des polynômes de Narayana associés sont rassemblées ci-dessous. On trouve de plus amples informations sur les propriétés de ces polynômes dans les références citées.

### Autre expression des polynômes de Narayana

Les polynômes de Narayana peuvent être exprimés de la façon suivante :
    $N_{n}(z)=\sum _{0}^{n}{\frac {1}{n+1}}{n+1 \choose k}{2n-k \choose n}(z-1)^{k}$.

### Valeurs spéciales

* $N_{n}(1)$ est le $n$-ième nombre de catalan $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$. Les premiers nombres de Catalan sont $1,1,2,5,14,42,132,429,\ldots$ – ils forme la suite A000108 de l'OEIS ;
* $N_{n}(2)$ est le $n$-ième grand nombre de Schröder. C'est le nombre d'arbres planaires ayant $n$ arêtes et dont les feuilles sont colorées par une ou deux couleurs. Les premiers nombres de Schröder sont $1,2,6,22,90,394,1806,8558,\ldots$ – suite A006318 de l'OEIS ;
* pour les entiers $n\geq 0$, soit $d_{n}$ le nombre de chemins sous-diagonaux de $(0,0)$ à $(n,n)$ dans une grille $n\times n$ et formés de pas appartenant à $S=\{(k,0):k\in \mathbb {N} ^{+}\}\cup \{(0,k):k\in \mathbb {N} ^{+}\}$. Alors $d_{n}={\mathcal {N}}(4)$.

### Relations de récurrence

* Pour $n\geq 3$, ${\mathcal {N}}_{n}(z)$ satisfait à la relation de récurrence non linéaire suivante :
    ${\mathcal {N}}_{n}(z)=(1+z){\mathcal {N}}_{n-1}(z)+z\sum _{k=1}^{n-2}{\mathcal {N}}_{k}(z){\mathcal {N}}_{n-k-1}(z)$.
* Pour $n\geq 3$, ${\mathcal {N}}_{n}(z)$ satisfait à la relation de récurrence linéaire du second ordre suivante :
    $(n+1){\mathcal {N}}_{n}(z)=(2n-1)(1+z){\mathcal {N}}_{n-1}(z)-(n-2)(z-1)^{2}{\mathcal {N}}_{n-2}(z)$ avec ${\mathcal {N}}_{1}(z)=1$ et ${\mathcal {N}}_{2}(z)=1+z$.

### Fonction génératrice

La série génératrice ordinaire des polynômes Narayana est donnée par
    $\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}(z)t^{n}={\frac {1+t-tz-{\sqrt {1-2(1+z)t+(1-z)^{2}t^{2}}}}{2t}}.$

### Représentation intégrale

Le $n$-ième polynôme de Legendre $P_{n}(x)$ est donné par
    $P_{n}(x)=2^{-n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n-k \choose k}{2n-2k \choose n-k}x^{n-2k}$.
Alors, pour n > 0, le polynôme de Narayana $N_{n}(z)$ peut être exprimé sous la forme suivante :
    $N_{n}(z)=(z-1)^{n+1}\int _{0}^{\frac {z}{z-1}}P_{n}(2x-1)\,dx$.