# Espace séquentiel

En mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable.

## Définitions

Soit X un espace topologique.
* Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (x$_n$) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang ».
* Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (x$_n$) de F vers x implique que x appartient à F.
Le complémentaire d'un sous-ensemble séquentiellement fermé est séquentiellement ouvert et vice-versa. Tout ouvert (resp. fermé) de X est séquentiellement ouvert (resp. fermé) mais les réciproques sont fausses en général, ce qui motive la définition suivante.
L'espace X est dit séquentiel s'il satisfaisait l'une des conditions équivalentes suivantes :
* tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
* tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.

## Historique

Dans un article fondateur sur les algèbres qui portent son nom, von Neumann soulignait que, dans l'espace ℓ$^2$(ℕ*) muni de la topologie faible, 0 est adhérent à l'ensemble des e$_m$ + me$_n$ mais n'appartient pas à sa fermeture séquentielle (car ses suites convergentes sont bornées en norme donc m est constant à partir d'un certain rang).
Les espaces « qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes » ont fait dans les années 1960 l'objet de nombreuses études, que S. P. Franklin a synthétisées et généralisées$^,$.
Les espaces séquentiels répondent un peu à cette spécification informelle et les espaces de Fréchet-Urysohn un peu mieux, à condition de ne pas la surinterpréter : par exemple sur l'espace ℓ$^1$, la topologie forte est strictement plus fine que la faible mais les suites convergentes sont les mêmes.

## Définitions équivalentes

Soit X un espace topologique.
Les sous-ensembles séquentiellement ouverts forment une nouvelle topologie sur X ; l'espace est séquentiel si et seulement si sa « topologie séquentielle » (plus fine a priori) coïncide avec sa topologie originelle.
Moins trivialement, les propriétés suivantes sont équivalentes :
* X est séquentiel ;
* X est le quotient d'un espace à bases dénombrables de voisinages ;
* X est le quotient d'un espace métrique ;
* pour tout espace topologique Y et toute application f : X → Y, f est continue si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en tout point x de X, c'est-à-dire que pour toute suite de points (x$_n$) convergeant vers x, la suite (f(x$_n$)) converge vers f(x).

## Exemples

* Tout espace métrisable est séquentiel, en particulier tout espace discret.
* Tout CW-complexe aussi (comme quotient d'un espace métrique), sans être nécessairement à bases dénombrables de voisinages (cf. le bouquet de cercles ℝ/ℤ).
* Un exemple simple d'espace non séquentiel est la topologie codénombrable sur un ensemble infini non dénombrable (ses seules suites convergentes sont les suites stationnaires).

## Propriétés

Pour un espace T$_1$ séquentiel, la compacité séquentielle équivaut à la compacité dénombrable.
Tout espace séquentiel est dénombrablement engendré, ou d'étroitesse dénombrable (en anglais : countably tight) – c'est-à-dire que tout point adhérent à une partie est adhérent à une sous-partie au plus dénombrable – mais la réciproque est fausse : il existe même des espaces séparés dénombrables non séquentiels$^,$ et sous l'hypothèse ♢ (en), il existe même des compacts dénombrablement étroits mais non séquentiels. Cependant, sous l'hypothèse du forcing propre (en), il n'en existe pas.

## Adhérence séquentielle

En anglais «sequential closure»; on verra ci-dessous que traduire littéralement par «fermeture séquentielle» serait maladroit.
Soit un sous-ensemble $A\subset X$ d'un espace $X$, l'adhérence séquentielle $\left[A\right]_{\mbox{seq}}$ est l'ensemble :
$\left[A\right]_{\mbox{seq}}=\{x\in X\mid \exists u\in A^{\mathbb {N} }\quad u\to x\}$
c'est-à-dire l'ensemble de tous les points $x\in X$ pour lesquels il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $x$. (C'est un sous-ensemble de l'adhérence ordinaire ${\bar {A}}$.)
Une partie est donc séquentiellement fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence séquentielle.
L'application
$\left[\,\cdot \,\right]_{\mbox{seq}}:A\mapsto \left[A\right]_{\mbox{seq}}$
est appelée opérateur de fermeture séquentielle.
Elle partage des propriétés avec l'adhérence ordinaire, notamment :
* l'ensemble vide est séquentiellement fermé :$\left[\varnothing \right]_{\mbox{seq}}=\varnothing$
* toute partie est incluse dans sa fermeture séquentielle :$\forall A\subset X,~A\subset \left[A\right]_{\mbox{seq}}$
* la fermeture séquentielle commute avec l'union :$\forall A,B\subset X,~\left[A\cup B\right]_{\mbox{seq}}=\left[A\right]_{\mbox{seq}}\cup \left[B\right]_{\mbox{seq}}.$
Cependant, contrairement à l'adhérence ordinaire et même si X est séquentiel, l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement pas un opérateur de clôture mais seulement de préclôture car il n'est pas idempotent, c'est-à-dire qu'il peut exister une partie A de X telle que :
$\left[\left[A\right]_{\mbox{seq}}\right]_{\mbox{seq}}\neq \left[A\right]_{\mbox{seq}}.$
Autrement dit : l'adhérence séquentielle d'une partie A de X n'est pas toujours séquentiellement fermée.
La plus petite partie séquentiellement fermée de X contenant A (l'adhérence de A pour la « topologie séquentielle » définie ci-dessus) s'obtient en itérant cette construction par récurrence transfinie :
$A^{(0)}=A,~A^{(\alpha +1)}=\left[A^{(\alpha )}\right]_{\mbox{seq}}{\text{ et si }}\alpha {\text{ est un ordinal limite, }}A^{(\alpha )}=\cup _{\beta <\alpha }A^{(\beta )}.$
On appelle ordre séquentiel de la partie A le plus petit ordinal α pour lequel A$^{(α)}$ est séquentiellement fermé et ordre séquentiel de l'espace X la borne supérieure des ordres séquentiels de ses parties. Ces ordres sont au plus égaux au premier ordinal non dénombrable.
Si X est séquentiel on a donc :
${\overline {A}}=A^{(\omega _{1})}.$

## Espace de Fréchet-Urysohn

Les espaces de Fréchet-Urysohn – d'après Maurice Fréchet et Pavel Urysohn – sont ceux pour lesquels l'adhérence séquentielle coïncide avec l'adhérence ordinaire, c'est-à-dire :
$\forall A\subset X,~\left[A\right]_{\mbox{seq}}={\overline {A}}.$
Autrement dit : ce sont les espaces séquentiels dont l'ordre séquentiel est égal à 1.
Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.
Également, un espace X est de Fréchet-Urysohn si et seulement si, pour tout espace topologique Y, toute application f : X → Y et tout point x de X, f est continue au point x si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en ce point, c'est-à-dire si f(u$_n$) tend vers f(x) pour toute suite (u$_n$) qui tend vers x.
Exemples.
* Tout espace à bases dénombrables de voisinages est de Fréchet-Urysohn.
* Un exemple d'espace de Fréchet-Urysohn qui n'est pas à bases dénombrables de voisinages est le bouquet de cercles ℝ/ℤ.
* Le prototype d'espace séquentiel qui n'est pas de Fréchet-Urysohn est l'espace d'Arens. Plus précisément : un espace séquentiel est de Fréchet-Urysohn si et seulement s'il ne contient pas de copie de cet espace et on peut l'utiliser pour construire, pour tout ordinal α ≤ ω$_1$, un espace séquentiel dont l'ordre séquentiel est égal à α.