# Coordonnées de Boyer-Lindquist

Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour écrire la métrique du trou noir de Kerr ou d'un trou noir de Kerr-Newmann. Elles généralisent les coordonnées de Schwarzschild$^,$ : elles sont singulières à l'horizon des événements du trou noir. Elles minimisent le nombre des composantes hors diagonale de la métrique$^,$. Elles sont adaptées aux symétries du trou noir : sa stationarité et sa symétrie axiale.

## Présentation

La notation usuelle des coordonnées est (t, r, θ, ϕ)$^,$ ou (ct, r, θ, ϕ)$^,$ avec :
* $t\in \mathbb {R}$,
* $r\in \mathbb {R}$,
* $\theta \in \left(0,\pi \right)$,
* $\phi \in \left(0,2\pi \right)$.
La métrique de Kerr admet deux champs de vecteurs de Killing, notés ${\boldsymbol {\xi }}$ et ${\boldsymbol {\eta }}$ et respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont construites de sorte que les composantes $\xi ^{\mu }$ et $\eta ^{\mu }$ de ${\boldsymbol {\xi }}$ et ${\boldsymbol {\eta }}$ soient $\xi ^{\mu }=\left(1,0,0,0\right)$ et $\eta ^{\mu }=\left(0,0,0,1\right)$. Ainsi les produits scalaires des vecteurs de Killing sont donnés par les composantes de la métrique :
    ${\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\xi }}=g_{tt},\quad {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\eta }}=g_{t\phi },\quad {\boldsymbol {\eta }}\cdot {\boldsymbol {\eta }}=g_{\phi \phi }$.
Le changement de coordonnées des coordonnées de Boyer-Lindquist (r, θ, ϕ) vers les coordonnées cartésiennes (x, y, z), est donné par$^,$ :
    x = √r$^2$ + a$^2$ sin θ cos ϕ,
    y = √r$^2$ + a$^2$ sin θ sin ϕ,
    z = r cos θ,
où a est le rapport entre le moment angulaire et la masse : a = J/M (voir trou noir de Kerr pour plus de détails).
Les coordonnées de Boyer-Linquist sont adaptées à un feuilletage 3 + 1 — dit feuilletage de Boyer-Linquist — d'un espace-temps axisymétrique. Elles permettent d'exprimer la métrique sous la forme :
    $\mathrm {d} s^{2}=\left(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{\phi }\mathrm {d} \phi \mathrm {d} t+\gamma _{rr}\mathrm {d} r^{2}+\gamma _{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+\gamma _{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}$.
La représentation matricielle des coefficients de la métrique est ainsi :
    $g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\beta ^{2}-\alpha ^{2}&0&0&\beta _{\phi }\\0&\gamma _{rr}&0&0\\0&0&\gamma _{\theta \theta }&0\\\beta _{\phi }&0&0&\gamma _{\phi \phi }\end{pmatrix}}$
$\alpha$ est la fonction lapse. $\beta$ est le vecteur shift.
Dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist, on trouve un paramètre et des fonctions.
$a$ est le paramètre de Kerr. Il est défini par $a={\frac {J}{Mc}}$$^,$ où $M$ est la masse et $J$ est le moment cinétique ; et est homogène à une longueur.

### Deux principales fonctions

$\rho ^{2}$ et $\Delta$ sont deux fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Par construction de celles-ci, la métrique est singulière pour $\rho =0$ ou $\Delta =0$$^,$.
$\rho ^{2}$ est une fonction des deux coordonnées $r$ et $\theta$ : $\operatorname {\rho ^{2}} (r,\theta )$$^,$$^,$. Elle est donnée par : $\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$, tant pour la métrique de Kerr$^,$ que pour celle de Kerr-Newman$^,$. Elle est définie de sorte que les composantes $g_{rr}$ et $g_{\theta \theta }$ s'annulent pour $\rho =0$. C'est le cas pour $\left(r,\theta \right)=\left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$.
$\Delta$ est une fonction de la coordonnée $r$ : $\operatorname {\Delta } (r)$$^,$$^,$. Elle est définie de sorte que la composante $g_{rr}$ devienne singulière pour $\Delta =0$. C'est le cas pour $r=r_{+}$ et $r=r_{-}$. Les surfaces de coordonnées $r_{\pm }$ sont deux horizons. La surface de coordonnée $r_{+}$ est l'horizon des événements du trou noir ; celle de coordonnée $r_{-}$ est son horizon de Cauchy.

### Troisième fonction

Une troisième fonction apparaît souvent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est notée $\Sigma ^{2}$$^,$$^,$. Dans le cas de la métrique de Kerr, elle est définie par$^,$$^,$ : $\Sigma ^{2}=\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta$. Il en est de même dans le cas de la métrique de Kerr-Newman.

### Autres fonctions

$\alpha ^{2}$, $\varpi ^{2}$ et $\omega$ sont trois autres fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist.
$\alpha$ est la fonction lapse déjà rencontrée. $\varpi$ est le rayon cylindrique : $2\pi \varpi =2\pi {\sqrt {g_{\phi \phi }}}$ est la circonférence d'un cercle autour de l'axe de symétrie. $\omega$ est la vitesse angulaire des ZAMOs : $\omega =-\beta ^{\phi }=\left({\frac {\mathrm {d} _{\phi }}{\mathrm {d} _{t}}}\right)_{\mathrm {ZAMO} }$. Dans le cas de la métrique de Kerr :
    $\alpha ^{2}={\frac {\rho ^{2}}{\Sigma ^{2}}}\Delta$ ;
    $\beta ^{2}={\frac {\beta _{\phi }^{2}}{\gamma _{\phi \phi }}}$ ;
    $\varpi ^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta$ ;
    $\omega ={\frac {2aMr}{\Sigma ^{2}}}$.
Les composantes de la métrique sont reliées aux fonctions. Dans le cas de la métrique de Kerr :
    $g_{tt}=\beta ^{2}-\alpha ^{2}$ ;
    $g_{rr}=\gamma _{rr}={\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}$$^,$ ;
    $g_{\theta \theta }=\gamma _{\theta \theta }=\rho ^{2}$ ;
    $g_{\phi \phi }=\gamma _{\phi \phi }=\varpi ^{2}$.
    $g_{t\phi }=\beta _{\phi }$.

## Histoire

Les éponymes des coordonnées de Boyer-Lindquist sont Robert H. Boyer (1932-1966) et Richard W. Lindquist$^,$$^,$.