# Fonction conjuguée

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction conjuguée est une fonction construite à partir d'une fonction réelle $f$ définie sur un espace vectoriel $\mathbb {E}$, qui est utile :
* pour convexifier une fonction (en prenant sa biconjuguée, c'est-à-dire la conjuguée de sa conjuguée) ;
* dans le calcul du sous-différentiel d'une fonction convexe ;
* dans la dualisation par perturbation des problèmes d'optimisation ;
* pour passer de la mécanique lagrangienne à la mécanique hamiltonienne ;
* en thermodynamique, etc.
La fonction conjuguée de $f$ est le plus souvent notée $f^{*}$. C'est une fonction convexe, même si $f$ ne l'est pas, définie sur les pentes, c'est-à-dire sur les éléments de l'espace vectoriel dual de $\mathbb {E}$. La définition est motivée et précisée ci-dessous.
L'application $f\to f^{*}$ est appelée transformation de Fenchel ou transformation de Legendre ou encore transformation de Legendre-Fenchel, d'après Adrien-Marie Legendre et Werner Fenchel.
Connaissances supposées : l'algèbre linéaire, le calcul différentiel, les bases de l'analyse convexe (notamment les principales notions attachées aux ensembles et aux fonctions convexes) ; le sous-différentiel d'une fonction convexe n'est utilisé que pour motiver la définition de fonction conjuguée.

## Motivations

La complexité apparente du concept de fonction conjuguée requiert d'en motiver la définition.

### Convexification de fonction

Par définition, une fonction est convexe si son épigraphe est convexe. Convexifier une fonction $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ consiste à déterminer la plus grande fonction convexe, disons fermée, minorant $f$. En termes d'épigraphe, cela revient à trouver le plus petit convexe fermé contenant l'épigraphe de $f$, c'est-à-dire à prendre l'enveloppe convexe fermée de l'épigraphe
$\operatorname {epi} \,f\subset \mathbb {E} \times \mathbb {R} .$
Comme toute enveloppe convexe fermée, celle de $\operatorname {epi} \,f$ est l'intersection de tous les demi-espaces fermés contenant $\operatorname {epi} \,f$, c'est-à-dire d'ensembles de la forme
$H^{-}(\xi ,\tau ,t):=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :\langle \xi ,x\rangle +\tau \alpha \leqslant t\},$
où $(\xi ,\tau ,t)\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Il est facile de voir que lorsque $H^{-}(\xi ,\tau ,t)$ contient un épigraphe, on doit avoir $\tau \leqslant 0$. Il est plus fin de montrer que, dans l'expression de l'enveloppe convexe fermée de $\operatorname {epi} \,f$ comme intersection des $H^{-}(\xi ,\tau ,t)$, on peut ne garder que les demi-espaces avec $\tau <0$. Or ceux-ci sont les épigraphes des minorantes affines de $f$ de la forme
$x\mapsto \left\langle {\frac {-\xi }{\tau }},x\right\rangle +{\frac {t}{\tau }}.$
Résumons. Comme on pouvait s'y attendre, la convexifiée fermée de $f$ est l'enveloppe supérieure de toutes les minorantes affines de $f$. Parmi les minorantes affines $x\mapsto \langle s,x\rangle +\alpha$ ayant une pente $s\in \mathbb {E}$ fixée, on peut aussi ne garder que celle qui est la plus haute, c'est-à-dire celle qui a le plus grand $\alpha$. Il faut donc déterminer le plus grand $\alpha$ tel que
$\forall \,x\in \mathbb {E} \,:\quad \langle s,x\rangle +\alpha \leqslant f(x)\quad {\mbox{ou}}\quad \langle s,x\rangle -f(x)\leqslant -\alpha .$
On voit clairement que la plus petite valeur de $-\alpha$ est donnée par
$f^{*}(s):=\sup _{x\in \mathbb {E} }{\Bigl\langle s,x\rangle -f(x){\Bigr )}.$
C'est la valeur de la conjuguée de $f$ en $s$. On s'intéresse à $-\alpha$ plutôt qu'à $\alpha$ pour définir $f^{*}$ dans le but d'obtenir ainsi une fonction conjuguée convexe.

### Voie d'accès au sous-différentiel

Dans cette section, nous montrons l'intérêt du concept de fonction conjuguée comme un outil permettant de calculer le sous-différentiel d'une fonction convexe.
Le sous-différentiel $\partial f(x)$ d'une fonction convexe $f$ en $x$ est l'ensemble des pentes des minorantes affines de $f$ (i.e., des fonctions affines qui minorent $f$), qui sont exactes en $x$ (i.e., qui ont la même valeur que $f$ en $x$). Pour $x$ donné, il n'est pas toujours aisé de spécifier toutes les minorantes affines exactes en $x$. Il est parfois plus facile de se donner une pente $s$ de minorante affine $x\mapsto \langle s,x\rangle +\alpha$ et de chercher les points auxquels elle peut être exacte par modification de $\alpha$. De ce point de vue, on cherche le plus grand $\alpha$ tel que
$\forall \,x\in \mathbb {E} \,:\quad \langle s,x\rangle +\alpha \leqslant f(x)\quad {\mbox{ou}}\quad \langle s,x\rangle -f(x)\leqslant -\alpha .$
On voit clairement que la plus petite valeur de $-\alpha$ est donnée par
$f^{*}(s):=\sup _{x\in \mathbb {E} }{\Bigl\langle s,x\rangle -f(x){\Bigr )}.$
C'est la valeur de la conjuguée de $f$ en $s$. On s'intéresse à $-\alpha$ plutôt qu'à $\alpha$ pour définir $f^{*}$ dans le but d'obtenir ainsi une fonction conjuguée convexe. Revenons au problème que nous nous posions au début de ce paragraphe : si $x$ est solution du problème de maximisation ci-dessus, alors $\langle s,x\rangle -f(x)\geqslant \langle s,y\rangle -f(y)$ pour tout $y\in \mathbb {E}$ ou encore
$\forall \,y\in \mathbb {E} \,:\quad f(y)\geqslant f(x)+\langle s,y-x\rangle .$
Ces inégalités montrent que $y\mapsto f(x)+\langle s,y-x\rangle$ est une minorante affine de $f$, exacte en $x$.

## Fonction définie sur un espace euclidien

On suppose dans cette section que les fonctions sont définies sur un espace vectoriel euclidien $\mathbb {E}$ (de dimension finie donc), dont le produit scalaire est noté $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ et la norme associée $\|\cdot \|$.
On note
* $\operatorname {Conv} (\mathbb {E} )$ l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb {E}$ à valeurs dans ${\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ qui sont convexes (i.e., leur épigraphe est convexe) et propres (i.e., elles ne prennent pas la valeur $-\infty$ et ne sont pas identiquement égales à $+\infty$),
* $\operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {E} )$ la partie de $\operatorname {Conv} (\mathbb {E} )$ formée des fonctions qui sont aussi fermées (i.e., leur épigraphe est fermé).

### La conjuguée et ses propriétés

On a choisi de désigner par $s$ l'argument de $f^{*}$ pour se rappeler qu'il s'agit d'une pente (slope en anglais), c'est-à-dire un élément de l'espace dual de $\mathbb {E}$, ici identifié à $\mathbb {E}$ via le produit scalaire.
Fonction conjuguée — Soit $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ une fonction (non nécessairement convexe). Sa fonction conjuguée est la fonction $f^{*}:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ définie en $s\in \mathbb {E}$ par
$f^{*}(s):=\sup _{x\in \mathbb {E} }{\Bigl\langle s,x\rangle -f(x){\Bigr )}.$
L'application $f\mapsto f^{*}$ est appelée transformation de Legendre-Fenchel.
On s'intéresse ci-dessous à la convexité et au caractère propre et fermé de la conjuguée $f^{*}$. La convexité de $f^{*}$ est une propriété remarquable de la conjuguée, puisqu'on se rappelle que $f$ n'est pas nécessairement convexe.
Conjuguée convexe fermée — Quelle que soit $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$, sa conjuguée $f^{*}$ est convexe et fermée. Par ailleurs, on a les équivalences suivantes
$f\not \equiv +\infty \qquad \Longleftrightarrow \qquad f^{*}>-\infty \qquad \Longleftrightarrow \qquad f^{*}\not \equiv -\infty ,$
$f~{\mbox{a une minorante affine}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad f^{*}\not \equiv +\infty .$
Enfin, les propriétés suivantes sont équivalentes :
* $f$ est propre et a une minorante affine,
* $f^{*}$ est propre,
* $f^{*}\in \operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {E} )$.
On se rappellera qu'une fonction convexe et propre a nécessairement une minorante affine ; elle vérifie donc les propriétés du point 1 ci-dessus, si bien que
$f\in \operatorname {Conv} (\mathbb {E} )\quad \Longrightarrow \quad f^{*}\in \operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {E} ).$

### La biconjuguée et ses propriétés

On peut bien sûr appliquer la transformation de Legendre-Fenchel à la fonction conjuguée $f^{*}$ ; on obtient ainsi la biconjuguée de $f$, notée $f^{**}$.
Fonction biconjuguée — Soit $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ une fonction (non nécessairement convexe). Sa fonction biconjuguée est la fonction $f^{**}:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ définie en $x\in \mathbb {E}$ par
$f^{**}(x):=\sup _{s\in \mathbb {E} }{\Bigl\langle s,x\rangle -f^{*}(s){\Bigr )},$
où $f^{*}:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ est la conjuguée de $f$.
Le caractère convexe, fermé et propre de la biconjuguée est examiné dans le résultat suivant.
Biconjuguée convexe fermée — Quelle que soit $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$, sa biconjuguée $f^{**}$ est convexe et fermée. Par ailleurs, les propriétés suivantes sont équivalentes :
* $f$ est propre et a une minorante affine,
* $f^{**}\in \operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {E} )$.
Si l'argument $s$ de $f^{*}$ est une pente (identifiée à un élément de $\mathbb {E}$), l'argument $x$ de $f^{**}$ est dans l'espace de départ $\mathbb {E}$. On peut alors se demander s'il y a un lien entre $f$ et $f^{**}$. La proposition suivante examine cette question. On y a noté ${\bar {f}}$, la fermeture de $f$.
Enveloppe convexe fermée — Soit $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ une fonction propre ayant une minorante affine. Alors
* $f^{**}$ est l'enveloppe supérieure des minorantes affines de $f$,
* $f\in \operatorname {Conv} (\mathbb {E} )~~\Longrightarrow ~~f^{**}={\bar {f}}$,
* $f\in \operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {E} )~~\Longleftrightarrow ~~f^{**}=f$,
* la transformation de Legendre-Fenchel $f\mapsto f^{*}$ est une bijection sur l'ensemble $\operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {E} )$.
Ce résultat permet de comparer les valeurs de $f^{**}$ et $f$.
Comparaison de $f^{**}$ et $f$ — Quelle que soit la fonction $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$, on a
$f^{**}\leqslant f.$
Si $f\in \operatorname {Conv} (\mathbb {E} )$ et $x\in \operatorname {dom} \,f$, alors
$f^{**}(x)=f(x)\qquad \Longleftrightarrow \qquad f~{\mbox{est semi-continue inférieurement en}}~x.$
Si on prend la conjuguée de la biconjuguée, on trouve la conjuguée. Il n'y a donc pas de notion de triconjuguée.
Pas de triconjuguée — Soit $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ une fonction propre ayant une minorante affine. Alors $(f^{**})^{*}=f^{*}$.

### Règles de calcul de conjuguée
#### Inf-image sous une application linéaire

Rappelons la définition de l'inf-image d'une fonction sous une application linéaire. On se donne deux espaces euclidiens $\mathbb {E}$ et $\mathbb {F}$ (on aura besoin ici d'un produit scalaire sur $\mathbb {E}$ et $\mathbb {F}$, alors que cette structure n'est pas nécessaire dans la définition de $f\veebar A$), une fonction $f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ et une application linéaire $A:\mathbb {E} \to \mathbb {F}$. Alors l'inf-image de $f$ sous $A$ est l'application notée $f\veebar A:\mathbb {F} \to {\bar {\mathbb {R} }}$ et définie en $y\in \mathbb {F}$ par
$(f\veebar A)(y)=\inf _{{x\in \mathbb {E} } \atop {Ax=y}}\;f(x).$
Conjuguée d'une inf-image sous une application linéaire — Dans les conditions énoncées ci-dessus, on a
$(f\veebar A)^{*}=f^{*}\circ A^{*}.$
Par ailleurs, si $f$ est propre et a une minorante affine et si $A$ vérifie
${\mathcal {R}}(A^{*})\cap \operatorname {dom} \,f^{*}\neq \varnothing ,$
alors $f\veebar A$ est propre et a une minorante affine, si bien qu'alors $(f\veebar A)^{*}\in \operatorname {C{\overline {onv}}} (\mathbb {F} )$.

#### Pré-composition avec une application linéaire
### Exemples
#### Norme

Soit
$f:\mathbb {E} \to \mathbb {R} :x\mapsto \|x\|$
une norme sur un espace euclidien $\mathbb {E}$, non nécessairement dérivée du produit scalaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ de $\mathbb {E}$. On introduit la norme duale
$\|s\|_{_{D}}:=\sup _{\|x\|\leqslant 1}\;\langle s,x\rangle$
et la boule-unité duale fermée
${\bar {B}}_{_{D}}:=\{s\in \mathbb {E} :\|s\|_{_{D}}\leqslant 1\}.$
La fonction conjuguée $f^{*}:\mathbb {E} \to \mathbb {R}$ de $f$ est l'indicatrice de la boule unité duale ; elle prend donc en $s\in \mathbb {E}$ la valeur suivante
$f^{*}(s)={\mathcal {I}}_{{\bar {B}}_{_{D}}}(s):=\left\{{\begin{array}{lll}0&{\mbox{si}}&\|s\|_{_{D}}\leq 1\\+\infty &{\mbox{sinon}}.\end{array}}\right.$
Considérons à présent, la puissance $p>1$ d'une norme
$f:\mathbb {E} \to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {1}{p}}\,\|x\|^{p}.$
Sa fonction conjuguée $f^{*}:\mathbb {E} \to \mathbb {R}$ prend en $s\in \mathbb {E}$ la valeur suivante
$f^{*}(s)={\frac {1}{p'}}\,\|s\|_{_{D}}^{p'},$
où $p':=p/(p-1)>1$ est le nombre conjugué de $p$ :
${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.$