# Métrique riemannienne

En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Bernhard Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Hermann von Helmholtz publie des résultats analogues.
Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives.

## Définitions

* Sur un fibré vectoriel E→M, une métrique riemannienne g est la donnée d'un produit scalaire g$_x$ sur chaque fibre E$_x$ qui dépend de manière lisse du point de base x variant dans M. Plus formellement, x↦g$_x$ est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel S$^2$E→M des formes bilinéaires symétriques. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.
    Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g' ) sur M, un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)→(E,g' ) est un morphisme de fibrés vectoriels f:E→E' tel que, pour tout point x de M, l'application linéaire f$_x$:E$_x$→F$_x$ est une isométrie linéaire, c'est-à-dire :$\forall v,w\in E_{x},\quad g'_{x}(f_{x}(v),f_{x}(w))=g_{x}(v,w).$
* Si M est une variété différentielle, une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne sur son fibré tangent. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.
    Étant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g' ), une isométrie F:(M,g)→(N,g' ) est une application différentiable F:M→N telle que l'application tangente dF:(TM,g)→(TN,g' ) est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette dernière condition se réécrit : F*g'=g.

## Exemples

* Tout produit scalaire $\langle \,,\,\rangle$ sur ℝ$^n$ induit sur tout fibré vectoriel trivial M×ℝ$^n$→M une métrique riemannienne : $g_{x}((x,v),(x,w))=\langle v,w\rangle$.
* Soient g une métrique riemannienne sur E→M et P une variété. Pour une fonction différentiable ψ:P→M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière ψ*E→P une unique métrique riemannienne ψ*g telle que le morphisme naturel ψ*E→E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
* Si g est une métrique riemannienne sur E→M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel de E.
* La limite de la métrique de Minkowski ${\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-{\rm {d}}x^{2}-{\rm {d}}y^{2}-{\rm {d}}z^{2}$ quand c tend vers l'infini est une métrique de fibré. Le temps devient absolu et l'espace-temps se fibre dessus, on retrouve la transformation de Galilée. A deux instants différents la métrique est la différence des temps. Au même instant, dans une fibre d'espace isomorphe à $\mathbb {R} ^{3}$, la métrique est le produit scalaire usuel.

## Existence

* Sur tout fibré vectoriel de base paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

### Preuve via une partition de l'unité.

Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel π$^{-1}$(U)→U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne g$^U$ sur π$^{-1}$(U).
En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable (U$_n$)$_{n∈ℕ}$ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne g$_n$ sur le fibré vectoriel π$^{-1}$(U$_n$)→U$_n$. Soit (ϕ$_n$)$_{n∈ℕ}$ une partition de l'unité subordonnée à (U$_n$)$_{n∈ℕ}$. L'application x↦ϕ$_n$(x)g$_n$(x) est une section globale de S$^2$π$^{-1}$(U$_n$)→U$_n$ nulle au voisinage de la frontière ∂U$_n$. Elle se prolonge par $0$ en une section globale de S$^2$E→M, abusivement notée x↦ϕ$_n$(x)g$_n$(x).
$g=\sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}g_{n}:x\mapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}(x)g_{n}(x)$
$x$
$x$
$\phi _{n}$
$v$
$E_{x}$
$g(v,v)\geq \phi _{n}(x)g_{x}^{n}(v,v)>0$

### Preuve via un plongement.

Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.
Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de $F$. Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité.
En particulier :
* Sur toute variété différentielle paracompacte, il existe une métrique riemannienne.