# Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace ℓ$^p$ est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour 1 ≤ p ≤ ∞, une structure d'espace de Banach.

## Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel ℝ$^n$, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.
La norme euclidienne d'un vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ est donnée par :
    $\|x\|=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}$.
Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝ$^n$, appelée la p-norme, en posant :
    $\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$
pour tout vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$.
Pour tout p ≥ 1, ℝ$^n$ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme.

## Espace ℓ$^p$

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace ℓ$^p$ (noté aussi ℓ$^p$(ℕ) car on peut définir de même ℓ$^p$(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).
Plus précisément, ℓ$^p$ sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :
    $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )+(y_{0},y_{1},\dots ,y_{n},y_{n+1},\dots )=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\dots )$
et la multiplication par un scalaire par :
    $\lambda (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )=(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\dots ).$
On définit la p-norme d'une suite $x=(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )$ :
    $\|x\|_{p}=\left(|x_{0}|^{p}+|x_{1}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dots \right)^{1/p}\in [0,+\infty ].$
La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel p < ∞.
L'espace ℓ$^p$ est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.
On définit aussi la « norme ∞ » comme :
    $\|x\|_{\infty }=\sup(|x_{0}|,|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dots )$
et l'espace vectoriel correspondant ℓ$^∞$ est l'espace des suites bornées.

## Propriétés

* Pour tout ensemble X, l'espace ℓ$^∞$(X) des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c'est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée). De même, pour 1 ≤ p ≤ ∞, ℓ$^p$(ℕ) est de Banach. (Ce sont deux cas particuliers du théorème de Riesz-Fischer, qui concerne tous les espaces L$^p$.)
* Dans ℓ$^∞$, un sous-espace remarquable est l'espace c des suites convergentes. Il est fermé (donc complet), puisque toute limite uniforme de suites convergentes est convergente ; ou encore : c est complet (donc fermé dans ℓ$^∞$), puisqu'isométriquement isomorphe à l'espace (complet) des applications continues (donc) bornées sur le compact [0, ω] = ℕ∪{+∞}, compactifié d'Alexandrov de ℕ discret.
* Pour 1 < p < ∞, l'espace de suites ℓ$^p$ est réflexif. Son dual est l'espace ℓ$^q$, avec $^1$⁄$_p$+$^1$⁄$_q$ = 1 ;
* Dans ℓ$^∞$, le sous-espace c$_0$ des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓ$^1$ et le dual de ℓ$^1$ est ℓ$^∞$. Par conséquent, ℓ$^1$ et ℓ$^∞$ ne sont pas non plus réflexifs.
* Pour tout r < ∞ et tout x ∈ ℓ$^r$, l'application p ↦ ║x║$_p$ est décroissante sur [r, +∞[. En effet, si p ≥ q ≥ r on a |x$_k$| / ║x║$_q$ ≤ 1 pour tout indice k, donc$|x_{k}|^{p}/\|x\|_{q}^{p}\leq |x_{k}|^{q}/\|x\|_{q}^{q}~;$en sommant cette inégalité sur k on en déduit ║x║$_p$ ≤ ║x║$_q$. La fonction p ↦ ║x║$_p$ est aussi continue sur. En particulier :$\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|x\|_{p}.$