# Constante de Kepler-Bouwkamp

En mathématiques, la constante de Kepler-Bouwkamp est la limite des rayons d'une suite de cercles concentriques dans lesquels sont inscrits successivement des polygones réguliers dont le nombre de côtés augmente d'une unité à chaque étape, en partant d'un cercle de rayon 1 et d'un triangle inscrit.

## Détermination de cette constante

Les premières étapes de la construction sont les suivantes : on inscrit dans un cercle unité $C_{1}$ un triangle équilatéral, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle $C_{2}$. Dans $C_{2}$ on inscrit un carré, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle $C_{3}$. Dans $C_{3}$ on inscrit un pentagone régulier, dans lequel on inscrit un cercle $C_{4}$, etc.
Le rayon du cercle inscrit dans $C_{n}$ rapporté à celui du cercle circonscrit est égal à $\cos {\frac {\pi }{n}}$.
La constante de Kepler-Bouwkamp, limite des rayons des cercles $C_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini est donc égale au produit infini : $R=\prod _{n=3}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)$.
Ce produit infini est bien convergent (même absolument) car $\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=1-{\frac {\pi ^{2}}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ et la série $\Sigma (1/n^{2})$ est absolument convergente.
Les décimales de ce nombre $R\approx 0{,}1149420448\dots$forment la suite A085365 de l'OEIS.

## Origine de la construction

Cette construction provient d'une idée de Kepler qui a un temps pensé qu'avec les premiers cercles l'on pouvait approcher les orbites autour du Soleil de Jupiter, Saturne (cercles $C_{1}$ et $C_{2}$) , de Mars et de la Terre (cercles $C_{3}$ et $C_{4}$). Pour rendre ce modèle plus conforme aux données astronomiques, il passera de la géométrie plane à la géométrie dans l'espace, substituant aux polygones réguliers des polyèdres réguliers inscrits dans des sphères, utilisant les cinq solides de Platon pour les six planètes connues à l'époque (solides qui approchaient le mieux la perfection divine de la sphère)$^,$.

## Les calculs de Bouwkamp

Dans un article paru en 1965 dans la revue Indagationes Mathematicae, C. J. Bouwkamp (de) donne une valeur approchée de l'inverse $P=\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos({\frac {\pi }{n}})}}$ de la constante de Kepler-Bouwkamp. Cette valeur correspond au processus inverse de celui décrit dans cet article : on part d'un cercle unité, que l'on inscrit dans un triangle équilatéral, lui-même inscrit dans un cercle que l'on inscrit dans un carré, etc. et $P$ est la limite des rayons des cercles ainsi obtenus.
Il mentionne d'abord que les mathématiciens Edward Kasner et James Roy Newman (en) donnent une valeur approchée erronée de $P$, environ égale à 12, dans leur ouvrage Mathematics and the Imagination (en), paru en 1940.
Il donne ensuite les deux méthodes de calcul employées.
La première utilise la relation que justifie Bouwkamp :
$\ln({\frac {2P}{\pi }})=\sum _{k=1}^{\infty }k^{-1}\zeta (2k)2^{2k}(\lambda (2k)-1)$
où $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$ est la fonction zêta de Riemann et $\lambda (s)=\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)^{-s}=(1-2^{-s})\zeta (s)$. À l'aide de tables de valeurs de la zêta, il obtient $P\approx 8,7000366252081945$. La deuxième méthode cherche à pallier la lenteur de convergence de la suite de terme général $\prod _{n=3}^{N}{\frac {1}{\cos({\frac {\pi }{n}})}}$. Pour cela, Bouwkamp écrit $P=RQ$ où
$R=\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{g(n)}}{\text{ et }}Q=\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {g(n)}{\cos({\frac {\pi }{n}})}}$
en choisissant $g(n)$ de sorte que $R$ soit calculable explicitement et que le produit infini $Q$ converge rapidement. En prenant $g(n)=1-{\frac {\pi ^{2}}{2n^{2}}}+{\frac {\pi ^{4}}{24n^{4}}}-{\frac {\pi ^{6}}{720n^{6}}}$ (obtenu par développement asymptotique de $\cos({\frac {\pi }{n}})$), il obtient $P\approx 8,7000366252081943$ en utilisant un ordinateur.
Les décimales de $P$ forment la suite A051762 de l'OEIS.