# Complétion du carré

La méthode de complétion du carré, en mathématiques, est un procédé algébrique permettant de réécrire une équation du second degré de la forme $ax^{2}+bx+c=0$ sous sa forme canonique $a{\biggl(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0$, ou de factoriser le polynôme $ax^{2}+bx+c$. L'idée est de faire apparaître un carré sous forme d'identité remarquable, puis par exemple d’en extraire la racine carrée.

## Méthode

L'idée générale de cette technique consiste, partant d'une équation de la forme A+B=C, à la mettre sous la forme A+B+D=C+D, où D est choisi pour que A+B+D soit le développement d'une identité remarquable telle que $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ (une variante de ce procédé consiste à « ajouter 0 », c'est-à-dire à écrire A+B sous la forme A+B+D-D). Ainsi, lorsqu'on a une équation de la forme $x^{2}+bx+c=0$ on ajoute $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c$ de chaque côté de l'équation pour faire apparaître $x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}$, ce qui donne
    $x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c$,
d'où $\left[x+\left({\frac {b}{2}}\right)\right]^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c$
et donc $x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}}$ (en supposant que le radicande soit positif).

### Exemple

Soit $x^{2}-6x+5=0$ l'équation à résoudre. On ajoute $(-6/2)^{2}-5=9-5$ de chaque côté.
On obtient $x^{2}-6x+5+9-5=9-5$,
qui se simplifie en $x^{2}-6x+9=4$,
puis en $(x-3)^{2}=4$
et enfin $x-3=\pm {\sqrt {4}}=\pm 2$.
D'où les solutions de l'équation, $x_{1}=1$ et $x_{2}=5$.

## Généralisation

On peut appliquer cette méthode à une équation de la forme $ax^{2}+bx+c=0$, où $a\neq 0.$
    $ax^{2}+bx+c=0$
    $\Leftrightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,$ car $a\neq 0.$
En appliquant à cette équation la méthode ci-dessus, on obtient la forme canonique
$ax^{2}+bx+c=a{\biggl(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0$ ;
on retrouve alors la formule de Viète (en supposant le radicande positif) :
    $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},$
ou sous une forme plus habituelle, avec le discriminant du polynôme :
    $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ; $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.
Si le discriminant est positif, on obtient la factorisation canonique :
$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).$

## Autres applications

La même idée peut s’appliquer à d’autres expressions algébriques ; elle permet par exemple de transformer une équation cartésienne comme $x^{2}+y^{2}+2x-4y=4$ en $x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=9,$ ou encore $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9$ ; on reconnait alors l'équation d'un cercle de centre (-1, 2) et de rayon 3.
On peut également obtenir de même l’identité de Sophie Germain :
$x^{4}+4y^{4}=(x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4})-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}-2xy+2y^{2})(x^{2}+2xy+2y^{2}).$
La complétion du carré est également utile pour le calcul de certaines intégrales. Ainsi, pour une intégrale de la forme
    $I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+c}}$, réécrite $I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+b^{2}/4-b^{2}/4+c}}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x+b/2)^{2}-b^{2}/4+c}}$,
on peut revenir, en posant $X=x+b/2$, à des formes dont on peut calculer les primitives à partir des fonctions usuelles :
    $\int {\frac {dX}{X^{2}+k^{2}}}={\frac {1}{k}}\arctan \left({\frac {X}{k}}\right)+C\qquad {\text{ou}}\qquad \int {\frac {dX}{X^{2}-k^{2}}}={\frac {1}{2k}}\ln \left|{\frac {X-k}{X+k}}\right|+C$.