# Angle de transport

On appelle angle de transport d'une ligne le déphasage qu'elle crée entre la tension à son entrée et à sa sortie.
La puissance active transmise par une ligne électrique sans perte est égale à :
    $P={\frac {V_{1}\cdot V_{2}}{X}}\cdot \sin(\delta )$
Où V$_1$ et V$_2$ sont les tensions aux bornes de la ligne, X la réactance de la ligne, et $\delta$ l'angle de transport, autrement dit le déphasage entre V$_1$ et V$_2$. Faire varier cet angle permet donc de faire varier la puissance.

## Relation angle de transport/puissance

En considérant une ligne électrique simplifiée en une simple réactance X. On a donc immédiatement$^,$:
    $V_{2}=V_{1}-jXI$
En introduisant l'angle : $\delta$ entre V1 et V2 et l'angle $\varphi$ entre I et V2. On obtient :
    $XIcos(\varphi )=V_{1}sin(\delta )$
Comme la puissance est :
    $P_{2}=V_{2}\cdot I\cdot cos(\varphi )$
D'où :
    $P_{2}={\frac {V_{1}\cdot V_{2}}{X}}\cdot sin(\delta )$

## Calcul de l'angle de transport
### Solution générale de l'équation des télégraphistes

En notant R' la résistance linéique de la ligne, L' son inductance linéique, G' sa conductance linéique, C' sa capacitance linéique, V la tension et I le courant. En partant des équations des télégraphistes et en considérant un régime stationnaire, on obtient le système d'équations suivant dans le domaine complexe:
    ${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=-Z'\cdot {\frac {\partial I}{\partial x}}$
ou
    ${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=Z'\cdot Y'\cdot V$
La solution de cette dernière équation différentielle est la somme d'une onde se propageant dans une direction et une dans l'autre :
    $V=A\cdot e^{-\gamma x}+B\cdot e^{\gamma x}$
Avec :
    $\gamma =\alpha +j\mathrm {B} ={\sqrt {Z'\cdot Y'}}$
La dérivée de la tension est :
    ${\frac {\partial }{\partial x}}V=-\gamma \cdot A\cdot e^{-\gamma x}+\gamma \cdot B\cdot e^{\gamma x}$
L'équation liant la tension et le courant peut être reformulée en :
    $I=-{\frac {1}{Z'}}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}V$
En introduisant la solution :
    $I={\frac {\gamma }{Z'}}\cdot A\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {\gamma }{Z'}}\cdot B\cdot e^{\gamma x}$
On introduit la variable $\Gamma ={\frac {Z'}{\gamma }}={\frac {Z'}{\sqrt {Z'\cdot Y'}}}={\sqrt {\frac {Z'}{Y'}}}$, l'impédance de la ligne :
    $I={\frac {A}{\Gamma }}\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {B}{\Gamma }}\cdot e^{\gamma x}$

### Solution particulière pour une ligne électrique

La connaissance des conditions aux limites permet de déterminer A et B. Soit une ligne de longueur l, la tension V1 et le courant I1 sont placés à la position x=0, tandis que la tension V2 et le courant I2 sont placés à x=l.
    $V_{1}=V(x=0)=A+B$
    $I_{1}=I(x=0)={\frac {A}{\Gamma }}-{\frac {B}{\Gamma }}$
    $V_{2}=V(x=l)=A\cdot e^{-\gamma l}+B\cdot e^{\gamma l}$
    $I_{2}=I(x=l)={\frac {A}{\Gamma }}\cdot e^{-\gamma l}-{\frac {B}{\Gamma }}\cdot e^{\gamma l}$
On peut en déduire A et B, puis reformuler en :
    ${\begin{pmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cosh(\gamma \cdot l)&\Gamma sinh(\gamma \cdot l)\\{\frac {1}{\Gamma }}sinh(\gamma \cdot l)&cosh(\gamma \cdot l)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$
On a donc entre autres :
    $V_{1}=V_{2}cosh(\gamma \cdot l)+I_{2}\Gamma sinh(\gamma \cdot l)$

### Cas particuliers de la puissance naturelle

Dans le cas où une charge égale à $\Gamma$ est connectée à la tension V2, il y a adaptation d'impédances. Concrètement :
    $V_{2}=\Gamma \cdot I_{2}$
On a également :
    $P_{2}={\frac {V_{2}^{2}}{\Gamma }}$, la puissance naturelle
D'où
    $V_{1}=V_{2}cosh(\gamma \cdot l)+{\frac {V_{2}}{\Gamma }}\Gamma sinh(\gamma \cdot l)=V_{2}(cosh(\gamma \cdot l)+sinh(\gamma \cdot l))=V_{2}\cdot e^{\gamma \cdot l}$
Dans le cas d'une ligne sans pertes, on revient au cas :
    $V_{1}=V_{2}\cdot e^{j\mathrm {B} \cdot l}$
Il n'y a donc pas de chute de tension, seulement un déphasage égal à $\mathrm {B} \cdot l$ qui est donc l'angle de transport.
Pour une ligne aérienne, $\mathrm {B}$ vaut environ 6° / 100 km pour une longueur inférieur à 200 km. Pour un câble, $\mathrm {B}$ vaut environ 12° / 100 km pour une longueur inférieure à 100 km.

## Intérêt de la notion

Le réglage de cet angle est le principe de fonctionnement de certains types de FACTS, comme les UPFC, et des transformateurs déphaseurs.
L'angle de transport a également une influence sur la stabilité du réseau. Un angle de transport grand limite la bande d'angle interne possible pour les générateurs électriques synchrones.