# Polynôme de Bernstein-Sato

En mathématiques, le polynôme de Bernstein-Sato est une construction mathématique qui facilite l'étude de certaines intégrales ou opérateurs différentiels$^,$. Il tient son nom des mathématiciens Joseph Bernstein et Mikio Satō, qui l'ont découvert en 1971 et 1972$^,$. Ce polynôme joue un rôle important dans l'étude des équations aux dérivées partielles et est intimement lié à la construction des D-modules. Enfin, il permet de démontrer la régularité de certaines constructions de physique quantique des champs$^,$.

## Histoire

L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe $s$ l'objet $f_{+}^{s}(x)={\boldsymbol {1}}_{f(x)>0}f(x)^{s}$. En tant que fonction, $f_{+}^{s}$ est continue selon $x$ et analytique en $s$, là où $s$ est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement $f_{+}^{s}$ à tout le plan complexe ?
C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme $b$, dont Bernstein a montré l'existence en général.
La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêt$^,$.

## Définition
### Filtration de Bernstein

On se place dans l'algèbre de Weyl $A_{n}(k)$, la sous-algèbre de $\operatorname {Hom} _{k}(k[x_{1},\dotsc ,x_{n}])$ engendrée par $x_{1},\dotsc ,x_{n},\partial _{1},\dotsc ,\partial _{n}$, où $\partial _{i}$ est la dérivation par rapport à $x_{i}$. On utilise la notation multi-indicielle $x^{\boldsymbol {\alpha }}=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$ et $\partial ^{\boldsymbol {\beta }}=\partial _{1}^{\beta _{1}}\cdots \partial _{n}^{\beta _{n}}$. Alors la famille $\{x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\}$ est une base de $A_{n}(k)$. On définit alors la filtration de Bernstein ${\mathcal {F}}$ par :
    $F_{i}=\left\{\sum _{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}a_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}x^{\boldsymbol {\alpha }}\partial ^{\boldsymbol {\beta }}\colon |{\boldsymbol {\alpha }}|+|{\boldsymbol {\beta }}|\leq i\right\}.$
L'anneau gradué associé est commutatif, et isomorphe à un anneau de polynômes sur $k$ donc noethérien.

### Polynôme de Bernstein-Sato

Soit $\lambda$ une indéterminée formelle, et $P\in k[x]$ un polynôme non nul. Alors il existe un polynôme non nul $b\in k[\lambda ]$ et un élément $Q(\lambda ,x,\partial )\in A_{n}(k)[\lambda ]$ tels que l'égalité suivante est vérifiée : $b(\lambda )P^{\lambda }=Q(\lambda ,x,\partial )\cdot P^{\lambda +1}$.
L'ensemble des $b(\lambda )$ qui satisfont cette égalité forme un idéal de $k[\lambda ]$ ; cet idéal est principal et possède un générateur $b_{0}$, qui est appelé polynôme de Bernstein-Sato du polynôme $P$.

## Exemples

* Considérons le polynôme $P=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a $\Delta P(x)^{\lambda +1}=4(\lambda +1)(\lambda +n/2)P(x)^{\lambda }$ de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de $P$ est $(\lambda +1)(\lambda +n/2)$.
* Considérons l'intégrale $\Gamma _{f}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x$, avec $f$ une fonction $C^{\infty }$qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient $(2\lambda +1)(2\lambda +2)\int x^{2\lambda }f(x)\,\mathrm {d} x=\int x^{2\lambda +1}f''(x)\,\mathrm {d} x$ qui montre notamment que $\Gamma _{f}$ est une intégrale bien définie et holomorphe (pour $\operatorname {Re} \lambda >0$) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à $\mathbb {C}$, avec des pôles dans $-{\frac {1}{2}}\mathbb {N}$. On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de $x^{2}$ calculé précédemment : $(\lambda +1)(\lambda +1/2)$.
* Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où $x^{2}$ est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
* Soit $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{3}$, alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est $(\lambda +1)\left(\lambda +{\frac {5}{6}}\right)\left(\lambda +{\frac {7}{6}}\right)$.

## Propriétés

* Tous les polynômes de Bernstein sont scindés sur $\mathbb {Q}$.
* Le polynôme de Bernstein-Sato montre qu'un polynôme peut être inversé par une distribution tempérée, d'où on tire le théorème de Malgrange-Ehrenpreis.