# Chaîne de Pappus

En géométrie, une chaîne de Pappus est un anneau de cercles situés entre deux cercles tangents intérieurement. Cette configuration a été étudiée par Pappus d'Alexandrie au IIIe siècle apr. J.-C.

## Construction

On se donne un arbelos, défini par deux cercles $C_{U}$ et $C_{V}$ tangents en un point $A$, $C_{U}$ intérieur à $C_{V}$. Notons $r$, $R$, les rayons de ces deux cercles, $U$, $V$, leurs centres respectifs, $[AC]$ , $[AB]$ leurs diamètres. La chaîne de Pappus se compose d'une infinité de cercles situés dans l'arbelos (région grise ombragée dans la figure), extérieurement tangents à $C_{U}$ et intérieurement tangents à $C_{V}$ ; ces cercles sont successivement tangents extérieurement, en partant du cercle de diamètre $[CB]$ considéré comme le cercle d'indice 0.

## Propriétés

Le rayon, le diamètre et le centre du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus supérieure sont notés respectivement $r_{n}$, $d_{n}$ et $P_{n}$ .

### Situation des centres des cercles

Les centres des cercles de la chaîne de Pappus sont situés sur une ellipse de grand axe $r+R$, et de petit axe $R-r$. En effet, la somme des distances du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus aux deux centres $U$ et $V$ des cercles de l'arbelos est constante :
    $P_{n}U+P_{n}V=\left(r+r_{n}\right)+\left(R-r_{n}\right)=r+R$
Les foyers de cette ellipse sont donc $U$ et $V$, centres des deux cercles de l'arbelos.

### Rayons et courbures des cercles de la chaîne.

Notons $k_{n}=1/r_{n}$ la courbure du cercle d'indice $n$ de la chaîne.
On a la relation de récurrence double $k_{n}-2k_{n-1}+k_{n-2}={\frac {2(R-r)}{rR}}$,
laquelle permet d'obtenir :
$r_{n}={\frac {(R-r)rR}{(R-r)^{2}n^{2}+rR}}={\frac {(k-1)AB}{2((k-1)^{2}n^{2}+k)}}$ où $k=AB/AC=R/r$.
Les cercles $C_{n},C_{n-2}$ sont les deux cercles de Soddy associés aux trois cercles mutuellement tangents $C_{U},C_{V},C_{n-1}$, donc d'après la formule de Soddy-Descartes, $k_{n}+k_{n-2}=2\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R}}+k_{n-1}\right)$.
Cette récurrence affine a pour solution générale $k_{n}=\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R}}\right)n^{2}+\alpha n+\beta$, ce qui donne, avec les initialisations, $k_{n}=\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R}}\right)(n^{2}-n)+k_{1}n-k_{0}(n-1)$. Une application de la relation de Descartes donne $k_{1}={\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R}}+k_{0}+2{\sqrt {\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R}}\right)k_{0}-{\frac {1}{rR}}}}$, d'où $k_{n}={\frac {R-r}{rR}}n^{2}+k_{0}+2n{\sqrt {{\frac {R-r}{rR}}k_{0}-{\frac {1}{rR}}}}$ ou $k_{n}={\frac {R-r}{rR}}\left(n+{\sqrt {\frac {rR}{R-r}}}{\sqrt {k_{0}-{\frac {1}{R-r}}}}\right)^{2}+{\frac {1}{R-r}}$.
Or $k_{0}={\frac {1}{R-r}}$, ce qui donne $k_{n}={\frac {R-r}{rR}}n^{2}+{\frac {1}{R-r}}$, soit $r_{n}={\frac {(R-r)rR}{(R-r)^{2}n^{2}+rR}}={\frac {(k-1)AB}{2((k-1)^{2}n^{2}+k)}}$.
On peut remarquer que si $k$ est entier et $AB=2/(k-1)$, toutes les courbures $1/r_{n}=(k-1)^{2}n^{2}+k$ sont entières. Par exemple, pour $k=2$, $1/r_{n}=n^{2}+2$, voir la suite suite A059100 de l'OEIS.

### Coordonnées des centres

Dans un repère orthonormé d'origine $A$ et de premier axe $(AB)$, le centre du cercle d'indice n de la chaîne a pour coordonnées :
    $\left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {(k+1)AB}{2((k-1)^{2}n^{2}+k)}}~,~{\frac {n(k-1)AB}{(k-1)^{2}n^{2}+k}}\right)$

### Hauteurs des centres

La hauteur $h_{n}$ du centre du cercle d'indice n au-dessus de la base $ACB$ est égale à n fois le diamètre $d_{n}$ (théorème connu de Pappus), comme on le voit sur les formules précédentes$^,$.
Ceci peut être montré en utilisant l'image par une inversion d'un cercle centré au point de contact $A$. Le cercle d'inversion est choisi de sorte à couper perpendiculairement le cercle d'indice n : ce cercle se transforme ainsi en lui-même. Les deux cercles $C_{U}$ et $C_{V}$ de l'arbelos sont transformés en deux droites parallèles prenant en sandwich le cercle d'indice n ; par conséquent, les autres cercles de la chaîne de Pappus sont transformés en des cercles pris en sandwich par les mêmes droites. Le cercle initial $C_{0}$ et le cercle final $C_{n}$ contribuent chacun pour ${\frac {1}{2}}d_{n}$ à la hauteur $h_{n}$, tandis que les cercles de $C_{1}$ à $C_{n-1}$ contribuent chacun pour $d_{n}$. L'addition de ces contributions donne la relation $h_{n}=nd_{n}$ .
La même inversion peut être utilisée pour montrer que les points de contact mutuels de la chaîne de Pappus sont situés sur un cercle. Comme indiqué ci-dessus, l'inversion centrée au point $A$ transforme les cercles de l'arbelos $C_{U}$ et $C_{V}$ en deux droites parallèles, et les cercles de la chaîne Pappus en une pile de cercles de mêeme taille égale pris en sandwich entre les deux droites parallèles. Par conséquent, les points de contact entre les cercles transformés se situent sur une droite à mi-chemin entre les deux parallèles. Et ré-effectuant l'inversion, cette droite de points de contact se transforme en un cercle.

## Variantes

On peut construire une chaîne de Pappus en partant d'un cercle quelconque tangent aux deux cercles de l'arbelos, en particulier celui où le cercle initial $C_{0}$ est tangent à $[CB]$. C'est le cas par exemple dans le problème XXXIV posé par Jacques Ozanam en 1696 (voir ci-contre), ou dans un sangaku de 1818.
Dans ce cas, le rayon de $C_{0}$ vaut $r_{0}={\frac {4rR(R-r)}{(R+r)^{2}}}$ et le rayon du cercle d'indice n est égal à $r_{n}={\frac {4Rr(R-r)}{(R-r)^{2}(2n+1)^{2}+4Rr}}={\frac {2(k-1)AB}{(k-1)^{2}(2n+1)^{2}+4k}}$$^,$$^,$.
La formule ci-dessus donnait $k_{n}={\frac {R-r}{rR}}\left(n+q\right)^{2}+{\frac {1}{R-r}}$ avec $q={\sqrt {\frac {rR}{R-r}}}{\sqrt {k_{0}-{\frac {1}{R-r}}}}$.
Or pour raison de symétrie, le cercle précédent $C_{0}$ a même rayon que lui, donc $k_{0}=k_{-1}$ et $q=1/2$. Ceci donne en même temps les valeurs annoncée de $r_{n}=1/k_{n}$ et de $r_{0}$.