# Grandeur résiduelle

En thermodynamique, une grandeur résiduelle exprime l'écart entre une grandeur thermodynamique extensive d'un mélange réel (gaz, liquide ou solide) et la même grandeur thermodynamique extensive d'un mélange de gaz parfaits aux mêmes pression, température et composition.

## Définitions

Une grandeur résiduelle $X^{\text{RES}}$ exprime l'écart entre une grandeur thermodynamique extensive $X$ d'un mélange réel (gaz, liquide ou solide) et la même grandeur thermodynamique extensive $X^{\bullet }$ d'un mélange de gaz parfaits aux mêmes pression, température et composition :
* Grandeur résiduelle : $X^{\text{RES}}=X-X^{\bullet }$
Une grandeur résiduelle est par construction également une grandeur extensive, il est donc possible de définir une grandeur résiduelle molaire ${\bar {X}}^{\text{RES}}$ pour le mélange et une grandeur résiduelle molaire partielle ${\bar {X}}_{i}^{\text{RES}}$ pour chacun des corps $i$ présents dans le mélange. Les relations suivantes sont également vraies :
${\bar {X}}^{\text{RES}}={X^{\text{RES}} \over n}={\bar {X}}-{\bar {X}}^{\bullet }$
${\bar {X}}_{i}^{\text{RES}}=\left({\partial X^{\text{RES}} \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}={\bar {X}}_{i}-{\bar {X}}_{i}^{\bullet }$
avec, toutes ces grandeurs étant définies aux mêmes pression, température et composition :
* $n$ la quantité de matière totale dans le mélange ;
* $n_{i}$ la quantité du corps $i$ dans le mélange ;
* ${\bar {X}}$ la grandeur molaire du mélange réel ;
* ${\bar {X}}_{i}$ la grandeur molaire partielle du corps $i$ dans le mélange réel ;
* ${\bar {X}}^{\text{RES}}$ la grandeur résiduelle molaire du mélange ;
* ${\bar {X}}_{i}^{\text{RES}}$ la grandeur résiduelle molaire partielle du corps $i$ ;
* ${\bar {X}}^{\bullet }$ la grandeur molaire du mélange de gaz parfaits ;
* ${\bar {X}}_{i}^{\bullet }$ la grandeur molaire partielle du corps $i$ dans le mélange de gaz parfaits.

## Calcul des grandeurs résiduelles
### À partir des coefficients de fugacité

Pour l'enthalpie libre $G$, l'identité des potentiels chimiques $\mu _{i}$ et des enthalpies libres molaires partielles ${\bar {G}}_{i}$ permet d'écrire, pour tout corps $i$ dans un mélange quelconque :
    ${\bar {G}}_{i}={\bar {G}}_{i}^{\bullet }+RT\ln \phi _{i}=\mu _{i}=\mu _{i}^{\bullet }+RT\ln \phi _{i}$
avec, toutes ces grandeurs étant définies aux mêmes pression, température et composition :
* ${\bar {G}}_{i}$ l'enthalpie libre molaire partielle du corps $i$ dans le mélange réel ;
* ${\bar {G}}_{i}^{\bullet }$ l'enthalpie libre molaire partielle du corps $i$ dans le mélange de gaz parfaits correspondant au mélange réel ;
* $\mu _{i}$ le potentiel chimique du corps $i$ dans le mélange réel ;
* $\mu _{i}^{\bullet }$ le potentiel chimique du corps $i$ dans le mélange de gaz parfaits correspondant au mélange réel ;
* $\phi _{i}$ le coefficient de fugacité du corps $i$ ;
* $R$ la constante universelle des gaz parfaits ;
* $T$ la température.
Le terme du coefficient de fugacité est donc l'enthalpie libre résiduelle molaire partielle, ou potentiel chimique résiduel :
${\bar {G}}_{i}^{\text{RES}}=\mu _{i}^{\text{RES}}=RT\ln \phi _{i}$
À partir de l'enthalpie libre résiduelle, toutes les autres grandeurs résiduelles peuvent être calculées :
* ${\bar {S}}_{i}^{\text{RES}}=-\left({\partial {\bar {G}}_{i}^{\text{RES}} \over \partial T}\right)_{P,z}$ l'entropie résiduelle molaire partielle, calculée par l'une des équations d'état ;
* ${\bar {H}}_{i}^{\text{RES}}={\bar {G}}_{i}^{\text{RES}}+T{\bar {S}}_{i}^{\text{RES}}$ l'enthalpie résiduelle molaire partielle ;
* ${\bar {V}}_{i}^{\text{RES}}=\left({\partial {\bar {G}}_{i}^{\text{RES}} \over \partial P}\right)_{T,z}$ le volume résiduel molaire partiel, calculé par l'une des équations d'état ;
* ${\bar {U}}_{i}^{\text{RES}}={\bar {H}}_{i}^{\text{RES}}-P{\bar {V}}_{i}^{\text{RES}}$ l' énergie interne résiduelle molaire partielle ;
* ${\bar {F}}_{i}^{\text{RES}}={\bar {G}}_{i}^{\text{RES}}-P{\bar {V}}_{i}^{\text{RES}}$ l'énergie libre résiduelle molaire partielle.
Le théorème d'Euler sur les fonctions homogènes du premier ordre s'applique aux grandeurs résiduelles puisque ce sont des grandeurs extensives, avec $n_{i}$ nombre de moles et $x_{i}$ fraction molaire de chacun des $N$ corps $i$ présents dans le mélange :
$X^{\text{RES}}=\sum _{i=1}^{N}n_{i}{\bar {X}}_{i}^{\text{RES}}$
${\bar {X}}^{\text{RES}}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\bar {X}}_{i}^{\text{RES}}$
avec :
* $n=\sum _{i=1}^{N}n_{i}$ la quantité de matière totale dans le mélange ;
* $n_{i}$ la quantité du corps $i$ dans le mélange ;
* $x_{i}=n_{i}/n$ la fraction molaire du corps $i$ dans le mélange.
On a donc en particulier pour l'enthalpie libre :
$G^{\text{RES}}=\sum _{i=1}^{N}n_{i}{\bar {G}}_{i}^{\text{RES}}=RT\sum _{i=1}^{N}n_{i}\ln \phi _{i}$
${\bar {G}}^{\text{RES}}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}{\bar {G}}_{i}^{\text{RES}}=RT\sum _{i=1}^{N}x_{i}\ln \phi _{i}$

### Avec une équation d'état explicite en pression

Avec une équation d'état dans laquelle la pression $P$ est exprimée explicitement en fonction du volume $V$, de la température $T$ et de la composition (nombre de moles $n_{i}$ de chacun des constituants du mélange), $P=P\!\left(V,T,n\right)$, telle que les équations d'état cubiques de van der Waals, Soave-Redlich-Kwong, Peng-Robinson, les grandeurs résiduelles se calculent selon :
* énergie libre résiduelle molaire :
$F^{\text{RES}}=-\int _{+\infty }^{V}\left[P-{nRT \over V}\right]\,\mathrm {d} V-nRT\ln Z$
${{\bar {F}}^{\text{RES}} \over RT}=-\int _{+\infty }^{V}\left[Z-1\right]\,{\mathrm {d} V \over V}-\ln Z$
* entropie résiduelle molaire :
$S^{\text{RES}}=\int _{+\infty }^{V}\left[\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}-{nR \over V}\right]\,\mathrm {d} V+nR\ln Z$
${{\bar {S}}^{\text{RES}} \over R}=\int _{+\infty }^{V}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{V,n}+Z-1\right]\,{\mathrm {d} V \over V}+\ln Z$
* énergie interne résiduelle molaire :
$U^{\text{RES}}=-\int _{+\infty }^{V}\left[P-T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\right]\,\mathrm {d} V$
${{\bar {U}}^{\text{RES}} \over RT}=\int _{+\infty }^{V}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{V,n}\right]{\mathrm {d} V \over V}$
* volume résiduel molaire :
$V^{\text{RES}}=V-{nRT \over P}$
$Z^{\text{RES}}={P{\bar {V}}^{\text{RES}} \over RT}=Z-1$
* enthalpie résiduelle molaire :
$H^{\text{RES}}=-\int _{+\infty }^{V}\left[P-T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\right]\,\mathrm {d} V+nP{\bar {V}}-nRT$
${{\bar {H}}^{\text{RES}} \over RT}=\int _{+\infty }^{V}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{V,n}\right]{\mathrm {d} V \over V}+Z-1$
* enthalpie libre résiduelle molaire :
$G^{\text{RES}}=-\int _{+\infty }^{V}\left[P-{nRT \over V}\right]\,\mathrm {d} V+nP{\bar {V}}-nRT-nRT\ln Z$
${{\bar {G}}^{\text{RES}} \over RT}=-\int _{+\infty }^{V}\left[Z-1\right]\,{\mathrm {d} V \over V}+Z-1-\ln Z$
avec :
* $n=\sum _{i=1}^{N}n_{i}$ la quantité de matière totale dans le mélange ;
* ${\bar {V}}$ le volume molaire du mélange réel ;
* ${\bar {V}}^{\bullet }={RT \over P}$ le volume molaire du mélange de gaz parfaits aux mêmes pression, température et composition que le mélange réel, ${\bar {V}}^{\bullet }\neq {\bar {V}}$ ;
* $Z={{\bar {V}} \over {\bar {V}}^{\bullet }}={P{\bar {V}} \over RT}$ le facteur de compressibilité du mélange réel.
On vérifie que pour un gaz parfait, le facteur de compressibilité étant constant $Z^{\bullet }={P{\bar {V}}^{\bullet } \over RT}=1$, toutes les grandeurs résiduelles sont nulles.
* Pour l'énergie libre résiduelle, on a par définition :
    $F^{\text{RES}}\!\left(P,T,n\right)=F\!\left(P,T,n\right)-F^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)$
Pour le mélange réel, l'énergie libre peut indifféremment s'écrire en fonction des variables réelles :
    $F\!\left(P,T,n\right)=F\!\left(V,T,n\right)$
Pour le mélange de gaz parfaits correspondant, il n'en va pas de même, car à $P$, $T$ et composition du mélange réel le volume correspondant est calculé selon :
    $V^{\bullet }={\sum _{i=1}^{N}n_{i}RT \over P}\neq V$
d'où la relation :
    $F^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)=F^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)\neq F^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)$
On a donc :
    $F^{\text{RES}}\!\left(P,T,n\right)=F\!\left(V,T,n\right)-F^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)$
Considérons la relation à température et composition constantes :
    $\mathrm {d} F=-P\,\mathrm {d} V$
que nous intégrons entre un volume $V^{\circ }$ quelconque et le volume $V$ du mélange, à température et composition constantes, on obtient :
    $F\!\left(V,T,n\right)-F\!\left(V^{\circ },T,n\right)=-\int _{V^{\circ }}^{V}P\,\mathrm {d} V$
Pour un gaz parfait :
    $F^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)-F^{\bullet }\!\left(V^{\circ },T,n\right)=-\int _{V^{\circ }}^{V}P\,\mathrm {d} V=-\int _{V^{\circ }}^{V}{nRT \over V}\,\mathrm {d} V$
    $F^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)-F^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)=-\int _{V^{\bullet }}^{V}P\,\mathrm {d} V=-\int _{V^{\bullet }}^{V}{nRT \over V}\,\mathrm {d} V=-nRT\ln \!\left({V \over V^{\bullet }}\right)$
Dans cette dernière relation on identifie :
    ${V \over V^{\bullet }}={PV \over \sum _{i=1}^{N}n_{i}RT}={P{\bar {V}} \over RT}=Z$
avec ${\bar {V}}={V \over \sum _{i=1}^{N}n_{i}}$ le volume molaire du mélange réel et $Z$ le facteur de compressibilité du mélange réel.
Nous pouvons écrire :
    $F\!\left(V,T,n\right)-F\!\left(V^{\circ },T,n\right)+F^{\bullet }\!\left(V^{\circ },T,n\right)-\underbrace {F^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)+F^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)} _{=0}-F^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)=-\int _{V^{\circ }}^{V}\left[P-{nRT \over V}\right]\,\mathrm {d} V-nRT\ln Z$
Lorsque le volume tend vers l'infini (lorsque la pression tend vers 0), le comportement du mélange réel à température et composition (nombre de moles) constantes tend vers celui du mélange de gaz parfaits, aussi peut-on écrire :
    $\lim _{V^{\circ }\to +\infty }F\!\left(V^{\circ },T,n\right)=\lim _{V^{\circ }\to +\infty }F^{\bullet }\!\left(V^{\circ },T,n\right)$
d'où :
    $F\!\left(V,T,n\right)-F^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)=-\int _{+\infty }^{V}\left[P-{nRT \over V}\right]\,\mathrm {d} V-nRT\ln Z$
et finalement :
$F^{\text{RES}}=-\int _{+\infty }^{V}\left[P-{nRT \over V}\right]\,\mathrm {d} V-nRT\ln Z$
${{\bar {F}}^{\text{RES}} \over RT}=-\int _{+\infty }^{V}\left[Z-1\right]\,{\mathrm {d} V \over V}-\ln Z$
* Pour l'entropie résiduelle, on a par définition :
    $S^{\text{RES}}\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(P,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)$
Par le même raisonnement que pour l'énergie libre, on a :
    $S^{\text{RES}}\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(V,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)$
Considérons la relation à température et composition constantes :
    $\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}=\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}$
que nous intégrons entre un volume $V^{\circ }$ quelconque et le volume $V$ du mélange, à température et composition constantes, on obtient :
    $S\!\left(V,T,n\right)-S\!\left(V^{\circ },T,n\right)=\int _{V^{\circ }}^{V}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} V$
Pour un gaz parfait :
    $S^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(V^{\circ },T,n\right)=\int _{V^{\circ }}^{V}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} V=\int _{V^{\circ }}^{V}{nR \over V}\,\mathrm {d} V$
    $S^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)=\int _{V^{\bullet }}^{V}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} V=\int _{V^{\bullet }}^{V}{nR \over V}\,\mathrm {d} V=nR\ln \!\left({V \over V^{\bullet }}\right)=nR\ln Z$
Nous pouvons écrire :
    $S\!\left(V,T,n\right)-S\!\left(V^{\circ },T,n\right)+S^{\bullet }\!\left(V^{\circ },T,n\right)-\underbrace {S^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)+S^{\bullet }\!\left(V,T,n\right)} _{=0}-S^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)=\int _{V^{\circ }}^{V}\left[\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}-{nR \over V}\right]\,\mathrm {d} V+nR\ln Z$
Lorsque le volume tend vers l'infini (lorsque la pression tend vers 0), le comportement du mélange réel à température et composition (nombre de moles) constantes tend vers celui du mélange de gaz parfaits, aussi peut-on écrire :
    $\lim _{V^{\circ }\to +\infty }S\!\left(V^{\circ },T,n\right)=\lim _{V^{\circ }\to +\infty }S^{\bullet }\!\left(V^{\circ },T,n\right)$
d'où :
    $S\!\left(V,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(V^{\bullet },T,n\right)=\int _{+\infty }^{V}\left[\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}-{nR \over V}\right]\,\mathrm {d} V+nR\ln Z$
et finalement, en considérant que $\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}=\left({\partial \over \partial T}{nRT \over V}Z\right)_{V,n}={nR \over V}Z+{nRT \over V}\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{V,n}$ :
$S^{\text{RES}}=\int _{+\infty }^{V}\left[\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}-{nR \over V}\right]\,\mathrm {d} V+nR\ln Z$
${{\bar {S}}^{\text{RES}} \over R}=\int _{+\infty }^{V}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{V,n}+Z-1\right]\,{\mathrm {d} V \over V}+\ln Z$
* Pour l'énergie interne résiduelle molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {U}}^{\text{RES}}={\bar {F}}^{\text{RES}}+T{\bar {S}}^{\text{RES}}$
* Pour le volume résiduel molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {V}}^{\text{RES}}={\bar {V}}-{\bar {V}}^{\bullet }$
* Pour l'enthalpie résiduelle molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {H}}^{\text{RES}}={\bar {U}}^{\text{RES}}+P{\bar {V}}^{\text{RES}}$
* Pour l'enthalpie libre résiduelle molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {G}}^{\text{RES}}={\bar {F}}^{\text{RES}}+P{\bar {V}}^{\text{RES}}$

### Avec une équation d'état explicite en volume

Avec une équation d'état dans laquelle le volume $V$ est exprimé explicitement en fonction de la pression $P$, de la température $T$ et de la composition (nombre de moles $n_{i}$ de chacun des constituants du mélange), $V=V\!\left(P,T,n\right)$, comme l'une des formes de l'équation du viriel, les grandeurs résiduelles molaires se calculent selon :
* enthalpie libre résiduelle molaire :
$G^{\text{RES}}=\int _{0}^{P}\left[V-{nRT \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
${{\bar {G}}^{\text{RES}} \over RT}=\int _{0}^{P}\left[Z-1\right]{\mathrm {d} P \over P}$
* entropie résiduelle molaire :
$S^{\text{RES}}=-\int _{0}^{P}\left[\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}-{nR \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
${{\bar {S}}^{\text{RES}} \over R}=-\int _{0}^{P}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{P,n}+Z-1\right]{\mathrm {d} P \over P}$
* enthalpie résiduelle molaire :
$H^{\text{RES}}=-\int _{0}^{P}\left[V+T\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\right]\,\mathrm {d} P$
${{\bar {H}}^{\text{RES}} \over RT}=-\int _{0}^{P}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{P,n}\right]{\mathrm {d} P \over P}$
* volume résiduel molaire :
$V^{\text{RES}}=V-{nRT \over P}$
$Z^{\text{RES}}={P{\bar {V}}^{\text{RES}} \over RT}=Z-1$
* énergie interne résiduelle molaire :
$U^{\text{RES}}=-\int _{0}^{P}\left[V+T\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\right]\,\mathrm {d} P-nP{\bar {V}}+nRT$
${{\bar {U}}^{\text{RES}} \over RT}=-\int _{0}^{P}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{P,n}\right]{\mathrm {d} P \over P}-Z+1$
* énergie libre résiduelle molaire :
$F^{\text{RES}}=\int _{0}^{P}\left[V-{nRT \over P}\right]\,\mathrm {d} P-nP{\bar {V}}+nRT$
${{\bar {F}}^{\text{RES}} \over RT}=\int _{0}^{P}\left[Z-1\right]{\mathrm {d} P \over P}-Z+1$
avec :
* $n=\sum _{i=1}^{N}n_{i}$ la quantité de matière totale dans le mélange ;
* ${\bar {V}}$ le volume molaire du mélange réel ;
* ${\bar {V}}^{\bullet }={RT \over P}$ le volume molaire du mélange de gaz parfaits aux mêmes pression, température et composition que le mélange réel, ${\bar {V}}^{\bullet }\neq {\bar {V}}$ ;
* $Z={{\bar {V}} \over {\bar {V}}^{\bullet }}={P{\bar {V}} \over RT}$ le facteur de compressibilité du mélange réel.
On vérifie que pour un gaz parfait, le facteur de compressibilité étant constant $Z^{\bullet }={P{\bar {V}}^{\bullet } \over RT}=1$, toutes les grandeurs résiduelles sont nulles.
* Pour l'enthalpie libre résiduelle, on a par définition :
    $G^{\text{RES}}\!\left(P,T,n\right)=G\!\left(P,T,n\right)-G^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)$
Considérons la relation à température et composition constantes :
    $\mathrm {d} G=V\,\mathrm {d} P$
que nous intégrons entre une pression $P^{\circ }$ quelconque et la pression $P$ du mélange, à température et composition constantes, on obtient :
    $G\!\left(P,T,n\right)-G\!\left(P^{\circ },T,n\right)=\int _{P^{\circ }}^{P}V\,\mathrm {d} P$
Pour un gaz parfait :
    $G^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)-G^{\bullet }\!\left(P^{\circ },T,n\right)=\int _{P^{\circ }}^{P}V\,\mathrm {d} P=\int _{P^{\circ }}^{P}{nRT \over P}\,\mathrm {d} P$
Nous pouvons écrire :
    $G\!\left(P,T,n\right)-G\!\left(P^{\circ },T,n\right)+G^{\bullet }\!\left(P^{\circ },T,n\right)-G^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)=\int _{P^{\circ }}^{P}\left[V-{nRT \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
Lorsque la pression tend vers zéro (lorsque le volume tend vers l'infini), le comportement du mélange réel à température et composition (nombre de moles) constantes tend vers celui du mélange de gaz parfaits, aussi peut-on écrire :
    $\lim _{P^{\circ }\to 0}G\!\left(P^{\circ },T,n\right)=\lim _{P^{\circ }\to 0}G^{\bullet }\!\left(P^{\circ },T,n\right)$
d'où :
    $G\!\left(P,T,n\right)-G^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)=\int _{0}^{P}\left[V-{nRT \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
et finalement :
$G^{\text{RES}}=\int _{0}^{P}\left[V-{nRT \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
${{\bar {G}}^{\text{RES}} \over RT}=\int _{0}^{P}\left[Z-1\right]\,{\mathrm {d} P \over P}$
* Pour l'entropie résiduelle, on a par définition :
    $S^{\text{RES}}\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(P,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)$
Considérons la relation à température et composition constantes :
    $\left({\partial S \over \partial P}\right)_{T,n}=-\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}$
que nous intégrons entre une pression $P^{\circ }$ quelconque et la pression $P$ du mélange, à température et composition constantes, on obtient :
    $S\!\left(P,T,n\right)-S\!\left(P^{\circ },T,n\right)=-\int _{P^{\circ }}^{P}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} P$
Pour un gaz parfait :
    $S^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(P^{\circ },T,n\right)=-\int _{P^{\circ }}^{P}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} P=-\int _{P^{\circ }}^{P}{nR \over P}\,\mathrm {d} P$
Nous pouvons écrire :
    $S\!\left(P,T,n\right)-S\!\left(P^{\circ },T,n\right)+S^{\bullet }\!\left(P^{\circ },T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)=-\int _{P^{\circ }}^{P}\left[\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}-{nR \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
Lorsque la pression tend vers zéro (lorsque le volume tend vers l'infini), le comportement du mélange réel à température et composition (nombre de moles) constantes tend vers celui du mélange de gaz parfaits, aussi peut-on écrire :
    $\lim _{P^{\circ }\to 0}S\!\left(P^{\circ },T,n\right)=\lim _{P^{\circ }\to 0}S^{\bullet }\!\left(P^{\circ },T,n\right)$
d'où :
    $S\!\left(P,T,n\right)-S^{\bullet }\!\left(P,T,n\right)=-\int _{0}^{P}\left[\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}-{nR \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
et finalement, en considérant que $\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}=\left({\partial \over \partial T}{nRT \over P}Z\right)_{P,n}={nR \over P}Z+{nRT \over P}\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{P,n}$ :
$S^{\text{RES}}=-\int _{0}^{P}\left[\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}-{nR \over P}\right]\,\mathrm {d} P$
${{\bar {S}}^{\text{RES}} \over R}=-\int _{0}^{P}\left[T\left({\partial Z \over \partial T}\right)_{P,n}+Z-1\right]\,{\mathrm {d} P \over P}$
* Pour l'enthalpie résiduelle molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {H}}^{\text{RES}}={\bar {G}}^{\text{RES}}+T{\bar {S}}^{\text{RES}}$
* Pour le volume résiduel molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {V}}^{\text{RES}}={\bar {V}}-{\bar {V}}^{\bullet }$
* Pour l'énergie interne résiduelle molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {U}}^{\text{RES}}={\bar {H}}^{\text{RES}}-P{\bar {V}}^{\text{RES}}$
* Pour l'énergie libre résiduelle molaire, il suffit de considérer la définition :
${\bar {F}}^{\text{RES}}={\bar {G}}^{\text{RES}}-P{\bar {V}}^{\text{RES}}$

## Calcul des grandeurs extensives réelles

Les grandeurs extensives $X^{\bullet }$ du mélange de gaz parfaits peuvent être calculées facilement à l'aide des propriétés des corps purs à l'état de gaz parfait puisque selon le théorème de Gibbs le mélange de gaz parfaits est une solution idéale.
Les grandeurs extensives du mélange réel se calculent donc en appliquant la définition des grandeurs résiduelles :
* Propriétés d'un mélange réel : $X=X^{\bullet }+X^{\text{RES}}$
Rappelons que ceci est valable pour toutes les phases (gaz, liquide ou solide) pour peu que l'on dispose d'une équation d'état permettant de calculer les grandeurs résiduelles de cette phase, donc les écarts de cette phase au mélange de gaz parfaits correspondant. Dans la pratique, ceci est surtout appliqué au calcul des propriétés des gaz ; pour les phases condensées, liquide ou solide, une autre approche est préférée : la solution idéale choisie est le mélange des corps purs dans la même phase et aux mêmes pression et température que le mélange réel, les propriétés sont calculées à l'aide d'un modèle de coefficients d'activité et de grandeurs d'excès.

### Exemple 1

    L'équation d'état de van der Waals donne l'énergie interne résiduelle molaire sous la forme :
       ${\bar {U}}^{\text{RES}}=-{a \over {\bar {V}}}$
    avec $a$ un paramètre de l'équation d'état ne dépendant que de la composition et ${\bar {V}}$ le volume molaire. On considère la variation de l'énergie interne entre deux états $(P,{\bar {V}},T)$ et $(P^{\circ },{\bar {V}}^{\circ },T^{\circ })$ de même composition. On note respectivement :
       ${\bar {U}}={\bar {U}}^{\bullet }+{\bar {U}}^{\text{RES}}={\bar {U}}^{\bullet }-{a \over {\bar {V}}}$
       ${\bar {U}}^{\circ }={\bar {U}}^{\bullet ,\circ }+{\bar {U}}^{{\text{RES}},\circ }={\bar {U}}^{\bullet ,\circ }-{a \over {\bar {V}}^{\circ }}$
    La variation d'énergie interne vaut :
       ${\bar {U}}-{\bar {U}}^{\circ }={\bar {U}}^{\bullet }-{\bar {U}}^{\bullet ,\circ }-\left[{a \over {\bar {V}}}-{a \over {\bar {V}}^{\circ }}\right]$
    L'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température (première loi de Joule) :
       ${\bar {U}}^{\bullet }-{\bar {U}}^{\bullet ,\circ }=\int _{T^{\circ }}^{T}{\bar {C}}_{V}^{\bullet }\,\mathrm {d} T$
    avec ${\bar {C}}_{V}^{\bullet }$ la capacité thermique isochore molaire du gaz parfait. La variation d'énergie interne entre les deux états vaut donc :
       ${\bar {U}}-{\bar {U}}^{\circ }=\int _{T^{\circ }}^{T}{\bar {C}}_{V}^{\bullet }\,\mathrm {d} T-\left[{a \over {\bar {V}}}-{a \over {\bar {V}}^{\circ }}\right]$

### Exemple 2

    L'équation d'état de van der Waals donne l'entropie résiduelle molaire sous la forme :
       ${\bar {S}}^{\text{RES}}=R\,\ln \!\left({P\!\left({\bar {V}}-b\right) \over RT}\right)$
    avec $b$ un paramètre de l'équation d'état ne dépendant que de la composition. On considère la variation de l'entropie entre deux états $(P,{\bar {V}},T)$ et $(P^{\circ },{\bar {V}}^{\circ },T^{\circ })$ de même composition. On note respectivement :
       ${\bar {S}}={\bar {S}}^{\bullet }+{\bar {S}}^{\text{RES}}={\bar {S}}^{\bullet }+R\,\ln \!\left({P\!\left({\bar {V}}-b\right) \over RT}\right)$
       ${\bar {S}}^{\circ }={\bar {S}}^{\bullet ,\circ }+{\bar {S}}^{{\text{RES}},\circ }={\bar {S}}^{\bullet ,\circ }+R\,\ln \!\left({P^{\circ }\!\left({\bar {V}}^{\circ }-b\right) \over RT^{\circ }}\right)$
    La variation d'entropie vaut :
       ${\bar {S}}-{\bar {S}}^{\circ }={\bar {S}}^{\bullet }-{\bar {S}}^{\bullet ,\circ }+R\,\ln \!\left({PT^{\circ } \over P^{\circ }T}\right)+R\,\ln \!\left({{\bar {V}}-b \over {\bar {V}}^{\circ }-b}\right)$
    Les entropies ${\bar {S}}^{\bullet }$ et ${\bar {S}}^{\bullet ,\circ }$ sont calculées aux mêmes pressions et températures que ${\bar {S}}$ et ${\bar {S}}^{\circ }$ (pour les gaz parfaits, les volumes molaires aux conditions $(P,T)$ et $(P^{\circ },T^{\circ })$ ne sont pas ${\bar {V}}$ et ${\bar {V}}^{\circ }$). La variation d'entropie du gaz parfait est calculée selon :
       ${\bar {S}}^{\bullet }-{\bar {S}}^{\bullet ,\circ }=\int _{T^{\circ }}^{T}{{\bar {C}}_{P}^{\bullet } \over T}\,\mathrm {d} T-R\,\ln \left({P \over P^{\circ }}\right)$
    avec ${\bar {C}}_{P}^{\bullet }$ la capacité thermique isobare molaire du gaz parfait, qui ne dépend que de la température (deuxième loi de Joule). La variation d'entropie entre les deux états vaut donc :
       ${\bar {S}}-{\bar {S}}^{\circ }=\int _{T^{\circ }}^{T}{{\bar {C}}_{P}^{\bullet } \over T}\,\mathrm {d} T-R\,\ln \left({T \over T^{\circ }}\right)+R\,\ln \!\left({{\bar {V}}-b \over {\bar {V}}^{\circ }-b}\right)$
    La relation de Mayer donne ${\bar {C}}_{P}^{\bullet }={\bar {C}}_{V}^{\bullet }+R$. On obtient également :
       ${\bar {S}}-{\bar {S}}^{\circ }=\int _{T^{\circ }}^{T}{{\bar {C}}_{V}^{\bullet } \over T}\,\mathrm {d} T+R\,\ln \!\left({{\bar {V}}-b \over {\bar {V}}^{\circ }-b}\right)$