# Loi zêta

En théorie de probabilité et statistiques, la distribution zêta est une loi de probabilité discrète de paramètre $s>1$. Elle est aussi appelée loi de Pareto discrète, en lien avec la loi de Pareto.

## Définition

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi zêta de paramètre $s$ si :
$\mathbb {P} (X=k)=k^{-s}/\zeta (s)\,$
où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann non définie en 1.
Une loi zêta est un sous cas de la loi de Zipf où le paramètre N est infini.

## Moments

Le n-ième moment est défini par l'espérance de X$^n$ :
$m_{n}=\mathbb {E} (X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}$
La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi :
$m_{n}=\left\{{\begin{matrix}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\textrm {pour}}~n<s-1\\\infty &{\textrm {pour}}~n\geq s-1\end{matrix}}\right.$

## Lien avec la densité naturelle

Soit A une partie de $\mathbb {N}$, on dit que A a une densité naturelle si ${\frac {\operatorname {Card} (A\cap \{1,\dots ,n\})}{n}}$ converge. Notons d(A) la limite. On a alors le résultat suivant : $\mathbb {P} _{s}(X\in A){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)$
Soit $\epsilon >0$, posons pour tout $n\in \mathbb {N} ,c_{n}=\operatorname {Card} (A\cap \{1,\dots ,n\})$ on a par hypothèse que $\lim _{n\to \infty }{\frac {c_{n}}{n}}=d(A)$, donc on peut poser $n_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\Rightarrow \left|{\frac {c_{n}}{n}}-d(A)\right|\leq \epsilon .$ On écrit alors $\mathbb {P} _{s}(X\in A)={\frac {\sum _{a\in A}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\sum _{\underset {a<n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}$ On s'intéresse au terme $\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}$, on a : $\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}=\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {c_{a}^{s}}{c_{a}^{s}a^{s}}}\leq \sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {(d(A)+\epsilon )^{s}}{c_{a}^{s}}}$ car la variable muette a est supérieure à $n_{0}.$ Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors $A=\{a_{0},a_{1},\dots \}$. Il s'ensuit alors que pour $m\in \mathbb {N} ,c_{a_{m}}=m$. posons alors $n_{1}=\operatorname {min} (\{m\in \mathbb {N} ,a_{m}\geq n_{0}\}).$ On a donc ${\frac {\sum _{\underset {a\geq n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{c_{a}^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}={\frac {\zeta (s)-\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}=1-{\frac {\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}{\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}1$, d'où $\mathbb {P} _{s}(X\in A)\leq {\frac {\sum _{\underset {a<n_{0}}{a\in A}}{\frac {1}{a^{s}}}}{\zeta (s)}}+(d(A)+\epsilon )^{s}\left(1-{\frac {\sum _{m=1}^{n_{1}-1}{\frac {1}{m^{s}}}}{\zeta (s)}}\right){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)+\epsilon$ On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que $d(A)-2\epsilon \leq \mathbb {P} _{s}(X\in A)\leq d(A)+2\epsilon$, ainsi :$\mathbb {P} _{s}(X\in A){\underset {s\rightarrow 1^{+}}{\longrightarrow }}d(A)$