# Système de Johnson

En statistique, le système de Johnson est une famille de fonctions conçues pour modéliser une loi de probabilités à partir de tirages aléatoires, définie par N. L. Johnson en 1949$^,$. Chacun des trois sous-types est caractérisé par quatre paramètres.

## Utilisation

L'idée de Johnson est de trouver le modèle le plus adapté à partir des quatre premiers moments d'un échantillon (espérance, variance, asymétrie et kurtosis), en transformant la variable aléatoire X qu'on souhaite modéliser par la transformation :
    $Z=\gamma +\delta h\left({\frac {X-\xi }{\lambda }}\right)$
où Z suit la loi normale standard. Les valeurs ξ et λ > 0 servent donc conjointement de paramètres de position et d'échelle, tandis que γ caractérise l'asymétrie et δ, la kurtosis.
Johnson propose trois transformations:
* une transformation bornée par la fonction logit, qu'il note S$_B$ (pour bounded) :
    $h(x)=\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right)$
* une transformation par la fonction logarithme qu'il note S$_L$ (pour log-normal) :
    $h(x)=\ln(x)$
* une transformation par la fonction sinus hyperbolique non bornée qu'il note S$_U$ (pour unbounded) :
    $h(x)=\sinh(x)$
La loi normale est parfois incluse dans le système de Johnson, notée S$_N$.

## Distribution de Johnson
### Support borné : lois S$_B$

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:
    $z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {\frac {x-\xi }{\lambda }}{1-{\frac {x-\xi }{\lambda }}}}\right)$
où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.
La loi S$_B$ de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :
    $y=\xi +{\frac {\lambda }{1+{\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }}}.$
On reconnait la forme d'une fonction logistique.

#### Version bivariée : lois S$_{BB}$

Johnson a étendu la loi S$_B$ en une version bivariée, notée S$_{BB}$. La densité de la loi est
    $f(z_{1},z_{2},\rho )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {z_{1}^{2}-2z_{1}z_{2}+z_{2}^{2}}{1-\rho ^{2}}}\right).$
où z$_1$ et z$_2$ suivent chacun une loi S$_B$, et ρ=E(Z$_1$Z$_2$){\textstyle \rho =\mathbb {E} (Z_{1}Z_{2})} la mesure de dépendance entre les deux variables.

### Support semi-infini : lois S$_L$

N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation:
    $z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$
où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.
La loi S$_L$ de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :
    $y=\lambda {\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }+\xi .$
La loi S$_B$ convient pour modéliser les lois platikurtiques.

### Support infini : lois S$_U$

Les lois S$_U$ de Johnson se basent sur la transformation de la loi normale suivante:
    $z=\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)$
où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$.
La loi S$_U$ de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :
    $y=\lambda \sinh \left(\left(z-\gamma \right)/\delta \right)+\xi .$

### Identification du type

Afin d'identifier le type de lois de Johnson à partir du tirage, il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant la méthode des moments qui se base surtout sur les moments d'ordre 3 et 4. Par exemple, pour une loi S$_L$, ces moments valent:
    $\beta _{1}={\frac {\mu _{3}^{2}}{\mu _{2}^{3}}}=({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}-1)({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}+2)^{2},\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\rm {e}}^{4\delta ^{-2}}+2{\rm {e}}^{3\delta ^{-2}}+3{\rm {e}}^{2\delta ^{-2}}-3.$
Ainsi, toute loi de Johnson vérifie $\beta _{2}-\beta _{1}-1\geqslant 0$.
D'autres moyens ont été développés, reposant sur la méthode d'adaptation des quantiles, la méthode des moindres carrés, ou des estimateurs statistiques$^,$$^,$.

## Génération de variables aléatoires

Pour générer des tirages aléatoires suivant une loi de Johnson, on peut méthode de la transformée inverse : soit U une variable aléatoire uniforme continue sur l'intervalle unité [0; 1]. Les lois de Johnson peuvent alors être simulées par :
    $X=\lambda h\left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi$
où Φ est la fonction de répartition de la loi normale, et h étant la fonction liée à la famille de lois voulue (ln (x/(1 – x)) pour une loi S$_B$, ln (x) pour une loi S$_L$, sinh (x) pour une loi S$_B$).

## Applications

Les lois S$_U$ de Johnson ont été utilisées pour modéliser des rendements des actifs pour la gestion de portefeuille, mais aussi la tarification d'options, et estimer un sourire de volatilité (en) ; voir arbre binomial de Johnson.
Une alternative au système de Johnson est le système de lois paramétrées par les quantiles (quantile-parameterized distributions), plus souple pour l'adaptation de forme. Au lieu d'adapter les paramètres aux moments, le système de lois paramétrées par les quantiles vise à adapter la fonction de densité par moindres carrés.