# Théorème de Weierstrass-Casorati

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

## Énoncé

On dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en $a$ lorsque le développement en série de Laurent admet une infinité de termes de la forme $a_{-n}/(s-a)^{n}$. Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point $a$ est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de $1/(s-a)$ (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement : il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.
Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit $f$ une fonction holomorphe sur un disque $D(a,r)$ épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en $a$.
Alors, pour tout $k$ inclus dans $]0,r[$, l'ensemble $f(D(a,k)\setminus \{a\})$ est dense dans ℂ.
Par l'absurde, si $f$ a une singularité essentielle en $a$, supposons qu'il existe $k>0$ tel que $f\left(D(a,k)\setminus \{a\}\right)$ n'est pas dense dans ℂ. Il existe alors $b\in \mathbb {C}$ et $\epsilon >0$ tel que $\left|f(z)-b\right|>\epsilon$ et la fonction $g:z\mapsto 1/(f(z)-b)$ est alors bornée sur $D(a,k)\setminus \{a\}$. Une conséquence de la formule intégrale de Cauchy nous permet donc d'affirmer que $a$ est une singularité effaçable de $g$ qui peut se prolonger en une fonction ${\tilde {g}}$ holomorphe en $a$. La fonction $1/{\tilde {g}}$ est alors soit holomorphe en $a$ si ${\tilde {g}}(a)\neq 0$ soit elle possède un pôle si ${\tilde {g}}(a)=0$ mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de $f$ en $a$.
$f\left(D(a,k)\setminus \{a\}\right)$ est donc nécessairement dense dans ℂ.
Ainsi pour tout $k$ inclus dans $]0,r[$ et pour tout $c$ appartenant à ℂ, il existe une suite $(z_{j})$ de $D(a,k)\setminus \{a\}$ telle que $f(z_{j})$ tend vers $c$.
Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de ℂ sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

## Exemples

* La fonction $g:z\mapsto 1/z$ définie sur ℂ* possède une singularité qui n'est pas essentielle en $0$ (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que $\left|g(z)\right|\to \infty$ quand $z\to 0$ et la fonction $g$ ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
* La fonction définie pour tout $z\in \mathbb {C} ^{*}$ par :$f(z)=\exp \left({\frac {1}{z^{2}}}\right)=1+{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{2z^{4}}}+{\frac {1}{6z^{6}}}+{\frac {1}{24z^{8}}}+...$possède une singularité essentielle en $0$. En posant $z=x+iy$ on a $\left|f(z)\right|=\exp \left({\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right)$ les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ vérifient donc des équations du type $x^{2}-y^{2}=c\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ où $c$ est une constante, les courbes de niveaux de $\left|f(z)\right|$ sont donc des lemniscates de Bernoulli.

## Une application

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seuls automorphismes biholomorphes de ℂ sont des applications $f$ du type $f(z)=az+b$ avec $a\neq 0$.