# Circuit équivalent de KLM

Le circuit équivalent dit de KLM est utilisé dans la simulation de transducteurs piézoélectriques, qu'il s'agisse de transducteurs ultrasonores ou de filtres à ondes de volume par exemple.
Il doit son nom aux trois coauteurs de la publication originale remontant à 1970 : Krimholtz, Leedom and Matthae. Il s'appuie sur la théorie des lignes de transmission et sur l'analogie électro-mécanique. L'autre schéma largement utilisé est le circuit équivalent de Mason, les deux présentant nombre de ressemblances.

## Schéma d'une couche piézoélectrique

Le schéma présente trois ports : un port électrique, dont les deux terminaux correspondent aux deux électrodes placées sur les faces de la couche piézoélectrique, et deux ports mécaniques, qui, par le biais de l'analogie électro-mécanique, représentent la force et la vitesse sur chaque face.
Les termes utilisés pour construire le schéma sont les suivants :
* Géométrie :
** $A$ la surface de la couche (en m$^2$)
** $t$ son épaisseur (m)
* Propriétés du matériau :
** la rigidité du matériau dans l'axe 3 : $C_{33}^{D}$ (en N m$^{−2}$) ;
** la permittivité relative à déformation constante : $\varepsilon _{33}^{S}$ (adimensionnelle)
** la constante piézoélectrique : $h_{33}$ (V/m).
** la masse volumique : $\rho$ (kg m$^{−3}$).
** la célérité dans l'épaisseur : $v^{D}={\sqrt {\frac {C_{33}^{D}}{\rho }}}$
** l'impédance mécanique : $Z_{0}=A{\sqrt {C_{33}^{D}\rho }}$
* l'impédance mécanique appliquée sur les deux faces : $Z_{G}$, $Z_{D}$ (gauche et droite)
* la fréquence angulaire $\omega$ (s$^{−1}$)
* le nombre d'onde $\Gamma =\omega {\sqrt {\left({\frac {\rho }{c_{33}}}\right)}}$
* Termes du schéma :
** Capacité électrique statique : $C_{0}={\frac {\varepsilon _{33}^{S}A}{t}}$
** coefficient de transformation $\phi ={\frac {\omega Z_{0}}{2h_{33}}}csc\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)$
** Les impédances ramenées :
*** A gauche : $Z_{TG}=\left({\frac {Z_{G}cos({\frac {\Gamma t}{2}})+iZ_{0}sin({\frac {\Gamma t}{2}})}{Z_{0}cos({\frac {\Gamma t}{2}})+iZ_{G}sin({\frac {\Gamma t}{2}})}}\right)$
*** A droite : $Z_{TD}=\left({\frac {Z_{D}cos({\frac {\Gamma t}{2}})+iZ_{0}sin({\frac {\Gamma t}{2}})}{Z_{0}cos({\frac {\Gamma t}{2}})+iZ_{D}sin({\frac {\Gamma t}{2}})}}\right)$
** Le terme de réactance $X_{1}=i{\frac {h_{33}^{2}}{\omega ^{2}Z_{0}}}sin{(\Gamma t)}$

## Oscillateur libre

Dans le cas où la couche piézoélectrique est « dans le vide », les deux ports mécaniques sont libres (pression nulle). On a donc $Z_{G}=Z_{D}=0$.
Il en ressort que $Z_{TG}=Z_{TD}=Z_{0}tan\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)$
L'impédance vue du port électrique vaut alors :
$Z_{free}={\frac {1}{iC_{0}\omega }}+X_{1}+{\frac {Z_{0}}{2\phi ^{2}}}tan\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)$
Soit en remplaçant les termes par leur expression respective :
$Z_{free}={\frac {t}{i\varepsilon _{33}^{S}A\omega }}+i{\frac {h_{33}^{2}}{\omega ^{2}Z_{0}}}sin{(\Gamma t)}+{\frac {2h_{33}^{2}}{\omega ^{2}Z_{0}csc^{2}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}tan\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)$
On peut alors factoriser l'expression de la capacité et remplacer $Z_{0}$ par son expression :
$Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl1+{\frac {A\varepsilon _{33}^{S}h_{33}^{2}}{\omega A{\sqrt {C_{33}^{D}\rho }}}}sin{(\Gamma t)}+{\frac {2i\varepsilon _{33}^{S}h_{33}^{2}}{\omega {\sqrt {C_{33}^{D}\rho }}}}{\frac {sin^{3}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}{cos\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}{\Biggr )}$
On pose le coefficient de couplage électromécanique du mode épaisseur $k_{t}$, qu'il ne faut pas confondre avec le $k_{33}$ :
$k_{t}^{2}={\frac {\varepsilon _{33}^{S}h_{33}^{2}}{c_{33}^{S}}}$
Par remplacement : $Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl1+k_{t}^{2}{\frac {\sqrt {C_{33}^{D}}}{\omega {\sqrt {\rho }}}}sin{(\Gamma t)}+k_{t}^{2}{\frac {2i{\sqrt {C_{33}^{D}}}}{\omega {\sqrt {\rho }}}}{\frac {sin^{3}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}{cos\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}{\Biggr )}$
On identifie $\Gamma$ et on factorise $k_{t}^{2}$ :
Par remplacement : $Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl1+k_{t}^{2}{\Bigl{\frac {sin{(\Gamma )}}{\Gamma }}+{\frac {2i}{\Gamma }}{\frac {sin^{3}\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}{cos\left({\frac {\Gamma t}{2}}\right)}}{\Bigr )}{\Biggr )}$
D'où finalement :
$Z_{free}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl1-k_{t}^{2}{\frac {tan{\frac {\Gamma t}{2}}}{\frac {\Gamma t}{2}}}{\Biggr )}=\left({\frac {t}{i\omega A\varepsilon _{33}^{S}}}\right){\Biggl1-k_{t}^{2}{\frac {tan{\bigl{\frac {t\omega }{2}}{\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}{\bigr )}}{{\bigl{\frac {t\omega }{2}}{\sqrt {\frac {\rho }{C_{33}^{D}}}}{\bigr )}}}{\Biggr )}$.
Cette expression, qui est la même qu'en utilisant le circuit équivalent de Mason est notamment utile pour déterminer les propriétés piézoélectriques du matériau par problème inverse, l'impédance électrique étant facile à mesurer expérimentalement.
La résonance se manifeste pour :
${\frac {\Gamma t}{2}}={\frac {\pi }{2}}$
$\omega _{\lambda /2}={\frac {\pi }{t}}{\sqrt {\frac {c_{33}}{\rho }}}$

## Prise en compte des pertes

Dans l'expression ci-dessus, l'impédance est purement imaginaire (il n'y a donc aucune dissipation d'énergie) et diverge à la résonance. Cette situation n'est évidemment pas physique, et se résout en prenant en compte les pertes. Les pertes mécaniques se manifestent en ajoutant une petite partie imaginaire au $c_{33}^{D}$. De même, on ajoute une partie imaginaire au $\varepsilon _{33}^{S}$ pour représenter les pertes diélectriques, et au $h_{33}$ pour les pertes intrinsèques à l'effet piézoélectrique.
On représente ici l'impédance électrique réduite d'une plaque piézoélectrique libre, résonant dans son mode épaisseur, conformément à l'équation ci-dessus. En bleu, le modèle ne comprend pas de pertes, en vert, on a ajouté un taux de pertes de 1 %. La fréquence est réduite, c'est-à-dire que la fréquence correspondance à la résonance ${\lambda /2}$ est ramenée à 1. De même, la valeur de l'impédance est normalisée.