# Polytope abstrait

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie discrète, un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné dont l'ordre reflète les propriétés combinatoires d'un polytope (au sens traditionnel, généralisant les polygones et les polyèdres à un nombre de dimensions quelconque), mais pas les aspects géométriques usuels, tels que les angles ou les distances.
On dit qu'un polytope (géométrique) est une réalisation dans un espace à n dimensions (le plus souvent euclidien) du polytope abstrait correspondant.
La définition « abstraite » autorise des structures combinatoires non réalisables géométriquement (par exemple un polygone à deux côtés), ce qui fait apparaître de nouveaux objets sans contrepartie classique.

## Historique

Dans les années 1960, Branko Grünbaum lança un appel à la communauté des géomètres pour étudier des généralisations du concept de polytope régulier qu'il appelait des polystromata. Il commença à en développer la théorie, découvrant de nouveaux objets, dont le 11-cell (en). Vers 1980, H.S.M. Coxeter découvrit un polytope analogue, le 57-cell (en), puis redécouvrit indépendamment le 11-cell.
Ces travaux préliminaires, ainsi que ceux de Jacques Tits, ayant fixé les bases, la théorie élémentaires de ces structures combinatoires, désormais connues sous le nom de polytopes abstraits, fut décrite par Egon Schulte (en) dans sa thèse de doctorat en 1980. Peter McMullen (en) et lui développèrent la théorie dans une série d'articles de recherche, réunis par la suite en livre ; leurs définitions sont désormais acceptées (y compris par Grünbaum) comme étant « correctes ».
La recherche s'est depuis surtout consacrée à l'étude des polytopes réguliers, définis comme ceux dont le groupe d'automorphismes agit transitivement sur l'ensemble de ses drapeaux (en).

## Approche informelle et définitions préliminaires
### Polytopes et polytopes abstraits

En géométrie euclidienne, les six quadrilatères ci-contre sont tous différents. Pourtant, ils ont une structure commune : la chaîne alternée de quatre sommets et de quatre côtés qui leur donne leur nom. On dit qu'ils sont isomorphes.
Cette structure commune peut être représentée par un polytope abstrait sous-jacent, un ensemble partiellement ordonné qui capture le modèle des connexions ou des incidences entre les différents éléments structurels. Les propriétés mesurables des polytopes traditionnels tels que les angles, les longueurs de bord, l'asymétrie, la rectitude et la convexité n'ont aucune signification pour un polytope abstrait.
Ce qui est vrai pour les polytopes traditionnels (aussi appelés polytopes classiques ou géométriques) ne l'est peut-être pas pour les polytopes abstraits, et vice versa. Par exemple, un polytope traditionnel est régulier si toutes ses faces et tous ses sommets sont réguliers, mais ce n'est pas nécessairement le cas pour un polytope abstrait

#### Réalisations

On dit qu'un polytope (au sens géométrique traditionnel) est une réalisation du polytope abstrait correspondant aux relations d'incidence entre ses sommets ,ses arêtes, ses faces, etc. Ainsi, les six quadrilatères représentés sont des réalisations distinctes du même quadrilatère abstrait, mais certains (par exemple ceux avec des arêtes courbes) ne correspondent pas à la définition traditionnelle d'un quadrilatère ; on dit que ce sont des réalisations infidèles.

### Faces, rangs, ordres

Les éléments de la structure d'un polytope - les sommets, les arêtes, les cellules, etc. - sont associés à des éléments de l'ensemble partiellement ordonné qu'est le polytope abstrait. Ces derniers (appelés génériquement des faces du polytope abstrait) reçoivent le même nom : ceux associés à un sommet sont encore appelés des sommets (ou 0-faces), les arêtes sont des 1-faces, et en général un élément associé à un élément de dimension k est une k-face (ainsi, les facettes des polyèdres sont des 2-faces).
Si F est une k-face, le nombre k est son rang.
On peut ordonner (partiellement) des faces de rang différent par l'inclusion, par exemple si une arête A d'une facette F relie les sommets P et Q, on notera P < A, Q < A et A < F (et donc P < F). On dit que A, P et Q sont des sous-faces de F.
En général, F et G sont dits incidents si F = G ou F < G ou G < F (cet usage du terme « incident » ne correspond pas au sens géométrique usuel, ainsi dans le carré abcd, les côtés ab et bc ne sont pas incidents à ce sens, mais ils sont bien tous deux incidents avec le sommet b).
Réciproquement, un polytope abstrait est alors défini comme un ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre satisfait certains axiomes supplémentaires (vérifiés par la relation d'incidence pour les polytopes usuels).

### Plus petites et plus grandes faces

Il est pratique de considérer l'ensemble vide comme une face de tout polytope abstrait ; c'est le plus petit élément pour la relation d'incidence et on lui attribue le rang -1, puisqu'il est (pour cette relation) un niveau en dessous des sommets, objets de dimension (et donc de rang) 0. Dans ce contexte, on le note F$_{−1}$ ; il n'a évidemment pas de réalisation (géométrique).
Toujours conventionnellement, il est également utile de considérer le polytope tout entier comme une seule face, plus grand élément et donc incidente à toutes les autres, et dont le rang n est la dimension d'une réalisation du polytope. On dénote cette face par F$_n$ ; on considère parfois que sa réalisation est l'intérieur du polytope géométrique.
F$_{−1}$ et F$_n$ sont appelés des faces impropres ; les autres sont des faces propres.

### Un exemple

Les faces de l'unique quadrilatère abstrait (également appelé carré dans ce contexte) sont données dans la table suivante :
| Type de face | Rang (k) | Nombre | k-faces |
| Plus petite | −1 | 1 | F$_{−1}$ |
| Sommet | 0 | 4 | a, b, c, d |
| Arête | 1 | 4 | W, X, Y, Z |
| Plus grande | 2 | 1 | F$_2$ |
La relation < est définie par un ensemble de couples dont la liste est :
    F$_{−1}$ < a, ... , F$_{−1}$ < X, ... , F$_{−1}$ < F$_2$, ... , b < Y, ... , c < F$_2$, ... , Z < F$_2$.
Les relations d'ordre étant transitives, il n'est pas nécessaire de donner la liste de toutes les paires, mais seulement celles de la forme F < H, telles que aucun G ne vérifie F < G < H.
Les côtés (ou arêtes) W, X, Y et Z sont souvent écrits ab, ad, bc, et cd respectivement, mais cette notation, plus claire pour les polytopes réalisés géométriquement, n'est pas toujours possible, comme on le verra plus bas dans le cas du digone, par exemple.
Les quatre côtés (et les quatre sommets) jouent le même rôle ; on parle dans ce cas d'automorphisme (ou plus géométriquement de symétries).

### Le diagramme de Hasse

Les petits ensembles partiellement ordonnés, en particulier les petits polytopes, sont souvent mieux représentés par leur diagramme de Hasse. Par convention, les faces de même rang sont placées au même niveau ; les lignes entre faces représente la relation d'incidence, A < B si A et B sont reliées et si A est un niveau en dessous de B. Cette représentation caractérise complètement le polytope abstrait, ce qui n'est pas le cas de la représentation par le graphe, par exemple.

### Rang

Le rang d'une face F est défini comme (m − 2), où m est le nombre maximum de faces dans une suite totalement ordonnée de la forme F' < F" < ... < F. F' est toujours la face la plus petite, F$_{−1}$.
Le rang du polytope abstrait est celui de sa plus grande face F$_n$.
Les faces de certains rangs ont des noms particuliers :
| Rang | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | n - 2 | n - 1 | n |
| Type | Plus petite | Sommet | Arête | † | Cellule | | Sous-facette ou crête | Facette | Plus grande |
† Traditionnellement, "face" est utilisée pour une 2-face, d'où l'absence de terme spécifique.

### Drapeaux

Un drapeau (en) est un sous-ensemble maximal de faces totalement ordonné (une chaîne).
Par exemple, {ø, a, ab, abc} est un drapeau du triangle abc.
Dans un polytope donné, tous les drapeaux ont le même nombre de faces (un de plus que le rang du polytope).

### Sections

Dans un polytope abstrait P, étant données deux faces F et H de P avec F ≤ H, l'ensemble {G | F ≤ G ≤ H} est appelé une section de P, et noté H/F (dans le langage de la théorie des ordres, il s'agit d'un intervalle fermé, que l'on note [F, H]).
Par exemple, dans le prisme abcxyz du diagramme ci-contre, la section xyz/ø (marquée en vert) est le triangle
    {ø, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.
Une k-section est une section de rang k, c'est-à-dire que k = rang (H) - rang (F).
Un polytope sous-ensemble d'un autre polytope n'en est pas nécessairement une section. Par exemple, le carré abcd est un sous-ensemble du tétraèdre abcd (qui, outre les faces abc, abd, etc. possède les deux arêtes supplémentaires ac et bd), mais n'en est pas une section.

#### Figures de sommet

La figure de sommet en un sommet donné V est la (n−1)-section F$_n$/V, où F$_n$ est la plus grande face.
Par exemple, dans le triangle abc, la figure de sommet en b, abc/b, est {b, ab, bc, abc}, autrement dit un segment. Les figures de sommets d'un cube sont des triangles.

#### Connexité

Un ensemble partiellement ordonné P est connexe si P est de rang ≤ 1 ou si, étant donné deux faces propres quelconques F et G, il existe une séquence de faces propres
    H$_1$, H$_2$, ... ,H$_k$
avec F = H$_1$, G = H$_k$, et chaque H$_i$, i < k, est incidente avec H$_{i+1}$.
Cette condition garantit qu'une paire de triangles disjoints abc et xyz n'est pas un polytope. Pour éviter que deux pyramides ayant un sommet en commun soit un polytope, on rajoute la condition de connexité forte : P est fortement connecté si toute section de P est connectée.

## Définitions rigoureuses

Un polytope abstrait est un ensemble partiellement ordonné, dont les éléments sont appelés faces, satisfaisant les 4 axiomes suivants :
* Il a un plus grand et plus petit élément.
* Tous les drapeaux ont le même nombre de faces.
* Il est fortement connecté.
* Si les rangs de deux faces a > b diffèrent de 2, il y a exactement 2 faces c et d telles que a > c > b et a > d > b.
Un n-polytope est un polytope de rang n.

### Remarques sur les axiomes

Le polytope nul a un seul élément.
L'axiome 3 est équivalent (compte tenu des autres axiomes) à la forte connexité par drapeaux (un analogue de la connexité par arcs), signifie informellement que :
    Pour toute section du polytope, on peut passer d'un drapeau à un autre en ne changeant qu'une face à la fois.
L'axiome 4 est connu comme la « propriété du losange », en raison de l'aspect du diagramme de Hasse entre a et b.
À partir des axiomes, on peut montrer que chaque section est un polytope, et que rang(G/F) = rang(G) − rang(F) − 1.
D'un point de vue informel, l'axiome 4 signifie que les k-faces sont collées 2 à 2 le long d'une (k-1)-face, et qu'inversement chaque k-face appartient au bord d'exactement deux (k+1)-faces.

## Les polytopes les plus simples
### Rang < 2

Il y a un seul polytope pour les rangs −1, 0 et 1. Ce sont, respectivement, le polytope nul, le point (ceux-ci ne sont pas toujours considérés comme des polytopes valides) et le segment.
Le segment, outre ses plus petites et plus grandes faces, a exactement deux 0-faces, par exemple S = {ø, a, b, ab}.

### Rang 2 : polygones

Pour chaque p, 3 ≤ p < $\infty$, on obtient l'équivalent abstrait du polygone traditionnel à p sommets et p côtés, le p-gone. Pour p = 3, 4, 5, ... on obtient le triangle, le carré, le pentagone, ....
Pour p = 2, on obtient le digone, et pour p = $\infty$ l'apeirogone.

#### Le digone

Un digone est un polygone à deux arêtes, qui ont les mêmes deux sommets ; il est donc dégénéré dans le plan euclidien (mais on peut le plonger sur le cylindre, par exemple).
La notation par ensembles de sommets comme T = {ø, a, b, c, ab, ac, bc, abc} pour le triangle abc ne peut pas être utilisée pour le digone ; il est nécessaire de donner des noms individuels aux « côtés » et de spécifier les relations d'incidence, par exemple de définir le digone comme l'ensemble {ø, a, b, E', E", G} avec la relation < donnée par
          {ø<a, ø<b, a<E', a<E", b<E', b<E", E'<G, E"<G}
(E' et E" sont les 1-faces, et G la 2-face).
Cette situation est relativement fréquente : un polytope ne peut être complètement décrit par ensembles de sommets que si deux faces distinctes ont des ensembles de sommets incidents distincts. Un polytope ayant cette propriété est dit atomique.

## Exemples de rang supérieur

L'ensemble des j-faces (−1 ≤ j ≤ n) d'un n-polytope (géométrique) forme un n-polytope abstrait.
D'autres polytopes abstraits n'ont pas de représentations (dans un espace euclidien), ou celles-ci ne sont pas généralement considérées comme des polytopes :
* les apeirotopes (en) (ou polytopes infinis), en particulier les pavages ;
* des triangulations de variétés non orientables, comme le plan projectif ;
* d'autres objets découverts justement par la théorie des polytopes abstraits, comme le 11-cell (en) et le 57-cell (en).

### Hosoèdres et hosotopes

Le digone a pour généralisation les hosoèdres (en) et les hosotopes de plus grande dimension, qui peuvent tous être réalisés comme polyèdres sphériques, c'est-à-dire qu'ils pavent la n-sphère.

### Polytopes projectifs

Les solides de Platon (à l'exception du tétraèdre régulier) sont invariants par symétrie centrale, ce qui permet de les projeter sur le plan projectif, obtenant quatre nouveaux polyèdres abstraits (réguliers), l'hémicube (en), l'hémioctaèdre (en), l'hémidodécaèdre (en) et l'hémiicosaèdre (en).

## Dualité

Chaque polytope (géométrique) a un dual (obtenu à l'aide de la transformation par polaires réciproques). Abstraitement, le dual est le polytope obtenu en renversant l'ordre (autrement dit, si F < G dans le polytope abstrait initial, on a F > G dans le dual) ; dans le diagramme de Hasse, cela revient à replacer le rang k par le rang (n − k − 1). Pour un polyèdre (n=3) , cela veut dire que les 0-faces (les sommets) deviennent des 2-faces. Le dual du dual est isomorphe au polytope initial.
Un polytope est auto-dual s'il est isomorphe à son dual, et donc si son diagramme de Hasse est symétrique par rapport à la ligne horizontale de rang (n-1)/2. C'est par exemple le cas de la pyramide à base carrée décrite plus haut.
La figure de sommet en V dans un polytope P est le polytope dual de la facette (la (n-1)-face) qui est l'image de V dans le polytope dual de P.

## Polytopes abstraits réguliers

Formellement, on dit qu'un polytope abstrait est régulier si son groupe d'automorphismes agit transitivement sur l'ensemble de ses drapeaux. En particulier, toutes les k-faces sont « les mêmes », c'est-à-dire qu'il y a un automorphisme les envoyant l'une sur l'autre ; de plus on démontre aisément que toutes les k-faces sont elles aussi régulières. Pour un polytope abstrait régulier, le groupe d'automorphismes est isomorphe à un quotient d'un groupe de Coxeter.
Tous les polytopes de rang ≤ 2 sont réguliers. Les cinq solides de Platon sont les seuls polyèdres réguliers, mais d'autres polyèdres abstraits réguliers sont possibles, comme l'hémicube montré plus haut ; ce dernier possède même une réalisation non dégénérée, comme pavage du plan projectif.

## Le problème d'amalgamation et les polytopes universels

Une importante question de la théorie est le problème d'amalgamation. Étant donnés deux polytopes abstraits K et L, il s'agit de déterminer
    s'il existe des polytopes P dont les facettes sont K et dont les figures de sommet sont L ;
    si ces polytopes sont tous finis ;
    et d'en dresser la liste.
Par exemple, si K est le carré, et si L est le triangle, les réponses sont
    qu'il existe des polyèdres à faces carrés, avec trois faces à chaque sommet (on dit qu'ils sont de type {4,3}) ;
    que ces polyèdres abstraits sont tous finis et
    qu'il n'en existe que deux, le cube (6 faces, 12 arêtes, 8 sommets), et l'hémicube (3 faces, 6 arêtes, 4 sommets).
On démontre que si la réponse est oui (pour des polytopes K et L réguliers), il existe un unique polytope P répondant à la question qui recouvre tous les autres, au sens précis détaillé ci-dessous ; P est appelé le polytope universel pour ce choix de facette s et de figures de sommets.
Plus précisément, tout autre polytope Q ayant les mêmes facettes et figures de sommets peut s'écrire Q=P/N, où
* N est un sous-groupe du groupe d'automorphismes de P, et
* P/N est l'ensemble des orbites des éléments de P sous l'action de N (l'ordre partiel étant celui induit par l'ordre de P).
Q=P/N est appelé un quotient de P, et on dit que P est un revêtement de Q. Compte tenu de ce résultat, l'étude du problème d'amalgamation pour un K et un L donnés se ramène à essayer de
* déterminer le polytope universel ;
* classifier ses quotients.
Ces deux problèmes sont, en général, extrêmement difficiles.
Dans l'exemple précédent, où K est le carré et L le triangle, le polytope universel {K,L} est le cube (noté également {4,3}). L'hémicube est le quotient {4,3}/N, où N est le sous-groupe de symétries du cube formé de l'identité et de la symétrie centrale.
Si on prend K et L tous deux égaux au carré, le polytope universel {K,L} (noté {4,4}) est le pavage du plan par des carrés. Ce pavage possède une infinité de quotients (tous ne sont pas réguliers), correspondant à différents pavages du tore, de la bouteille de Klein ou du cylindre par des carrés.

### Le 11-cell et le 57-cell

Le 11-cell (en), découvert indépendamment par H. S. M. Coxeter et Branko Grünbaum, est un 4-polytope abstrait. Ses facettes (des 3-polytopes) sont des hémiicosaèdres, topologiquement isomorphes à des plans projectifs et non à des sphères, ce qui interdit de le voir comme un pavage d'une variété au sens usuel. Historiquement, c'est l'un des premiers polytopes abstraits découverts qui ne se déduise pas d'un polytope géométrique. Il est autodual et universel, de plus, c'est le seul polytope à facettes hémiicosaédrales et à figures de sommet hémidodécaédrales.
Le 57-cell (en), découvert par H. S. M. Coxeter un peu après la découverte du 11-cell, est aussi autodual et universel, et c'est le seul polytope avec des facettes hémidodécaédrales et des figures de sommet hémiicosaédrales. Un exemple proche du 57-cell est le polytope universel pour des facettes hémidodécaédrales et des figures de sommet icosaédrales ; bien que fini, celui-là est très grand, avec 10006920 facettes et 5003460 sommets.

### Topologie locale

Historiquement, le problème d'amalgamation a été considéré d'un point de vue topologique, en prenant pour K et L non des polytopes spécifiques, mais n'importe quel représentant d'une classe d'équivalence, typiquement correspondant au pavage d'une variété. Par exemple, si K et L sont sphériques (c'est-à-dire que leurs facettes pavent une n-sphère), on dit que P est localement sphérique (et les facettes de P pavent alors une variété de dimension n+1).
Plus généralement, on dit qu'un polytope est localement X si ses facettes et figures de sommet sont (topologiquement) des sphères ou X (mais pas toutes les deux des sphères). Le 11-cell et le 57-cell sont ainsi deux exemples de rang 4 de polytopes localement projectifs, les facettes et les figures de sommet étant toutes deux des plans projectifs.

## Applications d'échange

Soit Ψ un drapeau d'un n-polytope, et −1 < i < n. Partant des définitions, on montre qu'il existe un unique drapeau différent depar un élément de rang i, tous les autres éléments étant les mêmes. Notant ce drapeau Ψ$^{(i)}$, on obtient ainsi un ensemble d'applications, φ$_i$ : Ψ$\mapsto$Ψ$^{(i)}$, appelées applications d'échange, puisque φ$_i$ (φ$_i$(Ψ))=Ψ. On a également les propriétés suivantes :
* les φ$_i$ engendrent un groupe, D (c'est un exemple d'un groupe d'actions de drapeaux) ;
* si |i − j| > 1, φ$_i$ o φ$_j$ = φ$_j$ oφ$_i$ ;
* si α est un automorphisme du polytope, α commute avec tous les φ$_i$ : α o φ$_i$ = φ$_i$ o α ;
* si le polytope est régulier, D est isomorphe au groupe des automorphismes ; sinon, il est strictement plus grand.
Le groupe D intervient dans la démonstration de ce que tout polytope abstrait est quotient d'un polytope régulier.

## Matrices d'incidence

On peut également représenter un polytope par sa matrice d'incidence, dans laquelle les 1 représentent des couples de faces incidentes, et les autres éléments sont nuls.
Ainsi, la matrice d'incidence suivante est celle du triangle abc :
| | ø | a | b | c | ab | bc | ca | abc |
| ø | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| a | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| b | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| c | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| ab | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| bc | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| ca | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| abc | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ces matrices sont toujours symétriques, et contiennent beaucoup d'informations redondantes (par exemple la première et la dernière ligne sont toujours remplies de 1) ; on peut ainsi utiliser les symétries du polytope pour construire des matrices d'incidence plus compactes, comme dans l'exemple suivant.

### La pyramide à base carrée

On peut souvent réduire la matrice d'incidence en regroupant les faces symétriques, et en comptant les incidences avec multiplicité. Ainsi, pour la pyramide à base carrée ci-contre, on peut regrouper les sommets B, C, D et E, les arêtes f, g, h et j, etc., obtenant finalement la matrice :
| | A | B,C,D,E | f,g,h,j | k,l,m,n | P,Q,R,S | T |
| A | 1 | * | 4 | 0 | 4 | 0 |
| B,C,D,E | * | 4 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| f,g,h,j | 1 | 1 | 4 | * | 2 | 0 |
| k,l,m,n | 0 | 2 | * | 4 | 1 | 1 |
| P,Q,R,S | 1 | 2 | 2 | 1 | 4 | * |
| T | 0 | 4 | 0 | 4 | * | 1 |
(les * représentes des incidences impossibles entre éléments distincts de même rang)
Dans cette représentation, la matrice n'est plus symétrique, bien que des redondances persistent : notant $I=(I_{ij})$ la matrice, on a $I_{ii}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j).$