# Loi de Fisher

En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue$^,$$^,$. Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George Snedecor.
La loi de Fisher survient très fréquemment en tant que loi de la statistique de test lorsque l'hypothèse nulle est vraie, dans des tests statistiques, comme les tests du ratio de vraisemblance, dans les tests de Chow utilisés en économétrie, ou encore dans l'analyse de la variance (ANOVA) via le test de Fisher.

## Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être construite comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, U$_1$ et U$_2$, distribuées chacune selon une loi du χ² et ajustées pour leurs nombres de degrés de liberté, respectivement d$_1$ et d$_2$ : $\mathrm {F} (d_{1},d_{2})\sim {\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$.
La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F(d$_1$, d$_2$), est donnée par $f(x)={\frac {\left({\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}\;\left(1-{\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{2}/2}}{x\;\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}$ pour tout réel x ≥ 0, où d$_1$ et d$_2$ sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.
La fonction de répartition associée est : $F(x)=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$ où I est la fonction bêta incomplète régularisée.
La loi binomiale est liée à la loi de Fisher par la propriété suivante: si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et si k est un entier compris entre 0 et n, alors $\mathbb {P} (X\leq k)=\mathbb {P} (F\geq x)$ où F suit une loi de Fisher de paramètres $d_{1}=2(k+1)\,,\,d_{2}=2(n-k)$ avec $x={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}.$
L'espérance, la variance valent respectivement ${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ pour d$_2$ > 2 et ${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ pour d$_2$ > 4. Pour d$_2$ > 8, le kurtosis normalisé est $\gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$.

## Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non-centrée (en).

## Lois associées et propriétés

* Si $\ X\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ alors $Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X$ est distribuée selon une loi du χ² $\chi _{d_{1}}^{2}$;
* La loi $\mathrm {F} (d_{1},d_{2})$ est équivalente à la loi T$^2$ de Hotelling $(d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)/d_{2})\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)$;
* Si $X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2}),$ alors la loi inverse est aussi une loi de Fisher ${\frac {1}{X}}\sim F(d_{2},d_{1})$;
* Si $X\sim \mathrm {t} (d)\!$ est distribuée selon une loi de Student alors $X^{2}\sim \operatorname {F} (1,d)$;
* Si $X\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ est distribuée selon une loi normale alors $X^{2}\sim \operatorname {F} (1,\infty )$;
* Si $X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$ et $Y={\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}$ alors $Y\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)$ est distribuée selon une loi bêta;
* Si $\operatorname {Q} _{X}(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $X\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})$ et que $\operatorname {Q} _{Y}(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $Y\sim \operatorname {F} (d_{2},d_{1})$ alors $\operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$.

## Table de valeurs des quantiles

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Fisher pour différents paramètres ν$_1$ et ν$_2$. Pour chaque paramètre, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Fisher lui soit inférieur est de $1-\alpha$. Ainsi, pour $1-\alpha =0,95$ et $d_{1}=1$ et $d_{2}=3$, si X suit une loi de Fisher avec ces paramètres , on lit dans la table que $P(X\leqslant 10,13)=0,95.$
Table de Fisher-Snedecor, 1-α = 0.95 :
| $d_{2}$ (dén.) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) | $d_{1}$ (numérateur) |
| $d_{2}$ (dén.) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 80 | 100 | 200 | 500 | 1 000 |
| 1 | 161.45 | 199.50 | 215.71 | 224.58 | 230.16 | 233.99 | 236.77 | 238.88 | 240.54 | 241.88 | 248.02 | 250.10 | 251.14 | 251.77 | 252.20 | 252.72 | 253.04 | 253.68 | 254.06 | 254.19 |
| 2 | 18.51 | 19.00 | 19.16 | 19.25 | 19.30 | 19.33 | 19.35 | 19.37 | 19.38 | 19.40 | 19.45 | 19.46 | 19.47 | 19.48 | 19.48 | 19.48 | 19.49 | 19.49 | 19.49 | 19.49 |
| 3 | 10.13 | 9.55 | 9.28 | 9.12 | 9.01 | 8.94 | 8.89 | 8.85 | 8.81 | 8.79 | 8.66 | 8.62 | 8.59 | 8.58 | 8.57 | 8.56 | 8.55 | 8.54 | 8.53 | 8.53 |
| 4 | 7.71 | 6.94 | 6.59 | 6.39 | 6.26 | 6.16 | 6.09 | 6.04 | 6.00 | 5.96 | 5.80 | 5.75 | 5.72 | 5.70 | 5.69 | 5.67 | 5.66 | 5.65 | 5.64 | 5.63 |
| 5 | 6.61 | 5.79 | 5.41 | 5.19 | 5.05 | 4.95 | 4.88 | 4.82 | 4.77 | 4.74 | 4.56 | 4.50 | 4.46 | 4.44 | 4.43 | 4.41 | 4.41 | 4.39 | 4.37 | 4.37 |
| 6 | 5.99 | 5.14 | 4.76 | 4.53 | 4.39 | 4.28 | 4.21 | 4.15 | 4.10 | 4.06 | 3.87 | 3.81 | 3.77 | 3.75 | 3.74 | 3.72 | 3.71 | 3.69 | 3.68 | 3.67 |
| 7 | 5.59 | 4.74 | 4.35 | 4.12 | 3.97 | 3.87 | 3.79 | 3.73 | 3.68 | 3.64 | 3.44 | 3.38 | 3.34 | 3.32 | 3.30 | 3.29 | 3.27 | 3.25 | 3.24 | 3.23 |
| 8 | 5.32 | 4.46 | 4.07 | 3.84 | 3.69 | 3.58 | 3.50 | 3.44 | 3.39 | 3.35 | 3.15 | 3.08 | 3.04 | 3.02 | 3.01 | 2.99 | 2.97 | 2.95 | 2.94 | 2.93 |
| 9 | 5.12 | 4.26 | 3.86 | 3.63 | 3.48 | 3.37 | 3.29 | 3.23 | 3.18 | 3.14 | 2.94 | 2.86 | 2.83 | 2.80 | 2.79 | 2.77 | 2.76 | 2.73 | 2.72 | 2.71 |
| 10 | 4.96 | 4.10 | 3.71 | 3.48 | 3.33 | 3.22 | 3.14 | 3.07 | 3.02 | 2.98 | 2.77 | 2.70 | 2.66 | 2.64 | 2.62 | 2.60 | 2.59 | 2.56 | 2.55 | 2.54 |
| 20 | 4.35 | 3.49 | 3.10 | 2.87 | 2.71 | 2.60 | 2.51 | 2.45 | 2.39 | 2.35 | 2.12 | 2.04 | 1.99 | 1.97 | 1.95 | 1.92 | 1.91 | 1.88 | 1.86 | 1.85 |
| 30 | 4.17 | 3.32 | 2.92 | 2.69 | 2.53 | 2.42 | 2.33 | 2.27 | 2.21 | 2.16 | 1.93 | 1.84 | 1.79 | 1.76 | 1.74 | 1.71 | 1.70 | 1.66 | 1.64 | 1.63 |
| 40 | 4.08 | 3.23 | 2.84 | 2.61 | 2.45 | 2.34 | 2.25 | 2.18 | 2.12 | 2.08 | 1.84 | 1.74 | 1.69 | 1.66 | 1.64 | 1.61 | 1.59 | 1.55 | 1.53 | 1.52 |
| 50 | 4.03 | 3.18 | 2.79 | 2.56 | 2.40 | 2.29 | 2.20 | 2.13 | 2.07 | 2.03 | 1.78 | 1.69 | 1.63 | 1.60 | 1.58 | 1.54 | 1.52 | 1.48 | 1.46 | 1.45 |
| 60 | 4.00 | 3.15 | 2.76 | 2.53 | 2.37 | 2.25 | 2.17 | 2.10 | 2.04 | 1.99 | 1.75 | 1.65 | 1.59 | 1.56 | 1.53 | 1.50 | 1.48 | 1.44 | 1.41 | 1.40 |
| 70 | 3.98 | 3.13 | 2.74 | 2.50 | 2.35 | 2.23 | 2.14 | 2.07 | 2.02 | 1.97 | 1.72 | 1.62 | 1.57 | 1.53 | 1.50 | 1.47 | 1.45 | 1.40 | 1.37 | 1.36 |
| 80 | 3.96 | 3.11 | 2.72 | 2.49 | 2.33 | 2.21 | 2.13 | 2.06 | 2.00 | 1.95 | 1.70 | 1.60 | 1.54 | 1.51 | 1.48 | 1.45 | 1.43 | 1.38 | 1.35 | 1.34 |
| 90 | 3.95 | 3.10 | 2.71 | 2.47 | 2.32 | 2.20 | 2.11 | 2.04 | 1.99 | 1.94 | 1.69 | 1.59 | 1.53 | 1.49 | 1.46 | 1.43 | 1.41 | 1.36 | 1.33 | 1.31 |
| 100 | 3.94 | 3.09 | 2.70 | 2.46 | 2.31 | 2.19 | 2.10 | 2.03 | 1.97 | 1.93 | 1.68 | 1.57 | 1.52 | 1.48 | 1.45 | 1.41 | 1.39 | 1.34 | 1.31 | 1.30 |
| 200 | 3.89 | 3.04 | 2.65 | 2.42 | 2.26 | 2.14 | 2.06 | 1.98 | 1.93 | 1.88 | 1.62 | 1.52 | 1.46 | 1.41 | 1.39 | 1.35 | 1.32 | 1.26 | 1.22 | 1.21 |
| 300 | 3.87 | 3.03 | 2.63 | 2.40 | 2.24 | 2.13 | 2.04 | 1.97 | 1.91 | 1.86 | 1.61 | 1.50 | 1.43 | 1.39 | 1.36 | 1.32 | 1.30 | 1.23 | 1.19 | 1.17 |
| 500 | 3.86 | 3.01 | 2.62 | 2.39 | 2.23 | 2.12 | 2.03 | 1.96 | 1.90 | 1.85 | 1.59 | 1.48 | 1.42 | 1.38 | 1.35 | 1.30 | 1.28 | 1.21 | 1.16 | 1.14 |
| 1 000 | 3.85 | 3.00 | 2.61 | 2.38 | 2.22 | 2.11 | 2.02 | 1.95 | 1.89 | 1.84 | 1.58 | 1.47 | 1.41 | 1.36 | 1.33 | 1.29 | 1.26 | 1.19 | 1.13 | 1.11 |
| 2 000 | 3.85 | 3.00 | 2.61 | 2.38 | 2.22 | 2.10 | 2.01 | 1.94 | 1.88 | 1.84 | 1.58 | 1.46 | 1.40 | 1.36 | 1.32 | 1.28 | 1.25 | 1.18 | 1.12 | 1.09 |