# Déterminant de Cayley-Menger

En algèbre linéaire et en géométrie, le déterminant de Cayley-Menger donne une expression de l'hypervolume d'un simplexe en fonction des carrés des distances entre ses sommets. Ce déterminant porte le nom d'Arthur Cayley et de Karl Menger.

## Expression du déterminant

Soient A$_0$, A$_1$, …, A$_n${\textstyle A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{n}} $n+1$ points d'un espace euclidien de dimension $m$ avec $m\geqslant n$. Ces points sont les sommets d'un simplexe de dimension n (triangle pour $n=2$ , tétraèdre pour $n=3$, pentachore pour $n=4$). Notant d$_{ij}${\textstyle d_{ij}} la distance du sommet $A_{i}$ au sommet A$_j${\textstyle A_{j}}, le volume $V_{n}$ n-dimensionnel de ce simplexe s'exprime par les déterminants suivants :
    ${\begin{aligned}V_{n}^{2}&={\frac {1}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}2d_{01}^{2}&d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&\cdots &d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}\\d_{01}^{2}+d_{02}^{2}-d_{12}^{2}&2d_{02}^{2}&\cdots &d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{01}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{1n}^{2}&d_{02}^{2}+d_{0n}^{2}-d_{2n}^{2}&\cdots &2d_{0n}^{2}\end{vmatrix}}\\[10pt]&={\frac {(-1)^{n+1}}{(n!)^{2}2^{n}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$
Le déterminant de Cayley-Menger $D_{n}$ est celui de la deuxième formule. La matrice dont $D_{n}$ est le déterminant est la matrice d'ordre $n+1$ de terme général $d_{ij}^{2},{\text{pour }}0\leqslant i,j\leqslant n$ , bordée par des 1 à droite et en dessous, complétée par un 0. On peut aussi mettre les 1 à gauche et en haut.

## Exemples

Pour $n=2$ , notant a,b,c les longueurs des côtés du triangle, on a les développements et factorisations :
${\begin{aligned}-D_{2}=-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}2a^{2}&a^{2}+b^{2}-c^{2}\\a^{2}+b^{2}-c^{2}&2b^{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\[6pt]&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\[6pt]&=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\end{aligned}}$
Le carré de l'aire du triangle est $V_{2}^{2}=-{\frac {D_{2}}{16}}$, et l'on retrouve la formule de Héron.
C'est une expression polynomiale symétrique en les longueurs des côtés. Pour $n>2$, elle n'est plus symétrique en les $n(n-1)/2$ variables $d_{ij}$, mais seulement invariante par les $n!$ permutations sur les indices des sommets ; elle n'est plus non plus factorisable.
Pour $n=3$ , renommant A$_1$, A$_2$, A$_3$, A$_4${\textstyle A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}} les sommets du tétraèdre, on a $D_{3}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}$ et $V_{3}^{2}={\frac {D_{3}}{288}}$.
Cette dernière formule avait été obtenue (sous une forme développée) par Piero della Francesca ; elle est aussi connue sous le nom de « formule de Tartaglia »$^,$.
Cette formule est valable pour des points coplanaires, auquel cas $D_{3}$ est nul, et fournit donc une relation entre les 6 distances mutuelles de quatre points dans un plan.

## Démonstration

Si les vecteurs colonnes A$_0$, A$_1$, …, A$_n${\textstyle A_{0}, A_{1}, \ldots , A_{n}} sont les coordonnées de $n+1$ points d'un espace euclidien de dimension $n$, on a la formule du volume :
    $V_{n}={\frac {1}{n!}}\left|\det M\right|\,$ où $M={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}$.
Le déterminant de $M$ reste inchangé par ajout d'une ligne et d'une colonne supplémentaires comme suit :
    $P={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&\cdots &A_{n}&0\\1&1&\cdots &1&0\\\|A_{0}\|^{2}&\|A_{1}\|^{2}&\cdots &\|A_{n}\|^{2}&1\end{pmatrix}}\,,$
où $\|A_{j}\|^{2}$ est le carré de la norme du vecteur $A_{j}$ . De plus la matrice d'ordre $n+2$
    $Q={\begin{pmatrix}-2&0&\cdots &0&0&0\\0&-2&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-2&0&0\\0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\end{pmatrix}}$
a pour déterminant $(-2)^{n}(-1)=(-1)^{n+1}2^{n}$ . Ainsi,
    $\det {\begin{pmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}=\det(P^{T}QP)=\det(Q)\det(P)^{2}=(-1)^{n+1}2^{n}(n!)^{2}V_{n}^{2}\,$.
Le premier déterminant est obtenu par combinaisons et développements sur les lignes et colonnes.
Voir une autre démonstration dans.

## Généralisation aux géométries hyperbolique et sphérique

Il existe des généralisations sphériques et hyperboliques $^,$. Une démonstration peut en être trouvée ici.
Dans un espace sphérique de dimension $n-1$ et de courbure constante $1/R^{2}$, $n+1$ points satisfont à
    ${\begin{vmatrix}0&f(d_{01})&f(d_{02})&\cdots &f(d_{0n})&1\\f(d_{01})&0&f(d_{12})&\cdots &f(d_{1n})&1\\f(d_{02})&f(d_{12})&0&\cdots &f(d_{2n})&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\f(d_{0n})&f(d_{1n})&f(d_{2n})&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&{\frac {1}{2R^{2}}}\end{vmatrix}}=0$
où $f(d)=2R^{2}\left(1-\cos {\frac {d}{R}}\right)$, et $d_{ij}$ est la distance sphérique entre les points numérotés $i,j$ .
Dans un espace hyperbolique de dimension $n-1$ et de courbure constante $-1/R^{2}$, $n+1$ points satisfont à
    ${\begin{vmatrix}0&f(d_{01})&f(d_{02})&\cdots &f(d_{0n})&1\\f(d_{01})&0&f(d_{12})&\cdots &f(d_{1n})&1\\f(d_{02})&f(d_{12})&0&\cdots &f(d_{2n})&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\f(d_{0n})&f(d_{1n})&f(d_{2n})&\cdots &0&1\\1&1&1&\cdots &1&-{\frac {1}{2R^{2}}}\end{vmatrix}}=0$
où $f(d)=2R^{2}\left(\cosh {\frac {d}{R}}-1\right)$, et $d_{ij}$ est la distance hyperbolique entre les points numérotés $i,j$ .

## Applications

Le déterminant pour $n=3$ peut être utilisé pour démontrer le théorème de Descartes, ainsi que le théorème de Stewart.

### Rayon de la sphère circonscrite d'un simplexe

Un n-simplexe non dégénéré, possède une n -sphère circonscrite, de rayon $R$ . Le n + 1-simplexe composé des sommets du n -simplexe et du centre de la n-sphère est alors dégénéré. Ainsi, nous avons la nullité du déterminant d'ordre n + 3:
    ${\begin{vmatrix}0&R^{2}&R^{2}&R^{2}&\cdots &R^{2}&1\\R^{2}&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\cdots &d_{0n}^{2}&1\\R^{2}&d_{01}^{2}&0&d_{12}^{2}&\cdots &d_{1n}^{2}&1\\R^{2}&d_{02}^{2}&d_{12}^{2}&0&\cdots &d_{2n}^{2}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\R^{2}&d_{0n}^{2}&d_{1n}^{2}&d_{2n}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&1&1&\cdots &1&0\end{vmatrix}}=0$
En particulier, lorsque $n=2$, cela permet d'obtenir le rayon du cercle circonscrit à un triangle en fonction des longueurs de ses côtés.