# Théorème de convergence dominée

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

## Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré $(E,{\mathcal {A}},\mu )$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :
* la suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement vers une fonction $f$ ;
* il existe une fonction intégrable $g$ telle que :
$\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in E\quad |f_{n}(x)|\leq g(x).$
Alors $f$ est intégrable et
$\lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu =0.$
En particulier :
$\lim _{n\to \infty }\,\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int \lim _{n\to \infty }f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int f~\mathrm {d} \mu .$
Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Commençons par montrer que $f$ est intégrable.
Puisque $f$ est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout $n\in \mathbb {N}$ on a $|f_{n}(x)|\leq g(x)$, par passage à la limite, $|f(x)|\leq g(x)\forall x\in E$ donc $f$ est intégrable.
Ensuite, on a $2g-|f_{n}-f|\geq 0$ donc on peut appliquer le lemme de Fatou,
${\begin{aligned}\int 2g~\mathrm {d} \mu &=\int \liminf _{n\to \infty }\;(2g-|f_{n}-f|)~\mathrm {d} \mu \\\ &\leq \liminf _{n\to \infty }\int (2g-|f_{n}-f|)~\mathrm {d} \mu \\\ &=\int 2g~\mathrm {d} \mu +\liminf _{n\to \infty }\int -|f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \\\ &=\int 2g~\mathrm {d} \mu -\limsup _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \\\end{aligned}}$
et comme $\int g~\mathrm {d} \mu <\infty \;$ alors, $\limsup _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \leq 0$
d'où
$\lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu =0$
On déduit de cela :
$\left|\int f_{n}~\mathrm {d} \mu -\int f~\mathrm {d} \mu \right|=\left|\int (f_{n}-f)~\mathrm {d} \mu \right|\leq \int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]}\;0$
et donc
$\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]}\;\int f~\mathrm {d} \mu .$
Posons pour tout $n\in \mathbb {N}$ :
    $g_{n}=|f_{n}-f|,\quad {\text{puis}}\quad h_{n}=\sup _{m\geq n}g_{m}\quad {\text{et}}\quad k_{n}=2g-h_{n}.$
Les $k_{n}$ forment une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite $2g$. D'après le théorème de convergence monotone on a donc
    $\lim \int k_{n}~\mathrm {d} \mu =\int 2g~\mathrm {d} \mu$
et par conséquent
    $\lim \int h_{n}~\mathrm {d} \mu =0,\quad {\text{puis}}\quad \lim \int g_{n}~\mathrm {d} \mu =0\quad {\text{car}}\quad 0\leq g_{n}\leq h_{n},\forall n\in \mathbb {N} .$
La fin de la preuve est la même que précédemment.

## Exemples
### Un cas particulier élémentaire mais utile

Soit $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle $I$ de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :
* la suite $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement vers une fonction $f$ ;
* il existe une fonction continue $g$ telle que$\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in I,|f_{n}(x)|\leq g(x){\text{ et }}\int _{I}g(x){\rm {d}}x<\infty .$Alors$\int |f(x)|\,{\rm {d}}x<\infty {\text{ et }}\lim _{n\to \infty }\int f_{n}(x)\,{\rm {d}}x=\int f(x)\,{\rm {d}}x.$

### Remarques sur l'hypothèse de domination

L'existence d'une fonction intégrable $g$ majorant toutes les fonctions |f$_n$| équivaut à l'intégrabilité de la fonction $\sup _{n}|f_{n}|$ (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions |f$_n$|).
Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f$_n$ = 1/n1$_{[0,n$ — où n > 0 et 1$_{[0,n$ désigne la fonction indicatrice de l'intervalle [0, n[ — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des f$_n$, loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment 1. D'après le théorème, $\sup _{n}|f_{n}|$ n'est donc pas intégrable. (Effectivement : $\sup _{n}|f_{n}(t)|$ = 1/E(t) + 1, or la série harmonique diverge.)
Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f$_n$ = 1$_{[n,n+1/n$ converge vers 0 à la fois simplement et dans L$^1$, bien que sup$_n$|f$_n$| ne soit pas intégrable.

### Convergence d'une suite d'indicatrices

Appliquons le théorème au cas où chaque f$_n$ est l'indicatrice d'une partie A$_n$ de E. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :
   Soit $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de parties mesurables d'un espace mesuré $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ telle que :
   * les limites inférieure et supérieure de la suite $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sont égales ;
   * $\mu (\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n})<\infty .$
   Alors l'ensemble mesurable A défini par
   $A:=\liminf _{n}A_{n}=\limsup _{n}A_{n}$
   est de mesure finie et vérifie :
   $\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n}\Delta A)=0,$
   où la notation Δ désigne la différence symétrique.
   En particulier :
   $\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A).$
Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet
$\mu (A_{n}\Delta A)=\mu (A_{n}\cup A)-\mu (A_{n}\cap A)\leq \mu (\cup _{p\geq n}A_{p})-\mu (\cap _{p\geq n}A_{p}){\xrightarrow[{n\to \infty }]}\mu (\limsup _{n}A_{n})-\mu (\liminf _{n}A_{n})=0.$

## Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :
Théorème — Soit $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré $(E,{\mathcal {A}},\mu )$, à valeurs dans ℝ ou ℂ, telle que :
* la suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ admet une limite presque partout, c'est-à-dire, $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ existe pour presque tout x ;
* il existe une fonction intégrable g telle que pour tout entier naturel n,$|f_{n}(x)|\leq g(x)$ μ-presque partout.
Alors, il existe une fonction intégrable f telle que f$_n$ converge vers f presque partout, et
$\lim _{n\to \infty }\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int f~\mathrm {d} \mu .$
Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.
Soit $N_{0}$ un ensemble négligeable sur le complémentaire duquel $f_{n}$ converge simplement et soit, pour tout entier $k>0$, $N_{k}=\{x:|f_{k}(x)|>g(x)\}$. Tous ces ensembles sont négligeables, donc en posant $N=\cup _{k=0}^{\infty }N_{k}$, on a toujours $\mu (N)=0$. Il suffit, pour conclure, d'appliquer le théorème de convergence dominée dans le cas simple (sur le complémentaire de $N$), et de compléter la définition de la limite $f$ en la choisissant nulle sur $N$.
Remarque :
Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :
* la suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

## Exemple d'application

Si $f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$, sa transformée de Fourier $y\mapsto {\widehat {f}}(y)=\int f(x){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xy}\,{\rm {d}}x$ est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque $\left|f(x){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xy}\right|=|f(x)|$ ; le théorème de convergence dominée permet de voir que ${\widehat {f}}$ est séquentiellement continue, donc continue.