# Théorème de Lax-Milgram

Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

## Énoncé

Soient :
* ${\mathcal {H}}$ un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, de norme associée notée $\|\cdot \|$ ;
* $a(\cdot ,\cdot )$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si ${\mathcal {H}}$ est complexe) qui est :
** continue sur ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ : $\exists c>0\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$,
** coercive sur ${\mathcal {H}}$ (certains auteurs disent plutôt ${\mathcal {H}}$-elliptique) : $\exists \alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$ ;
* $L(.)$ une forme linéaire continue sur ${\mathcal {H}}$.
Sous ces hypothèses, il existe un unique $u$ de ${\mathcal {H}}$ tel que l'équation $a(u,v)=L(v)$ soit vérifiée pour tout v de ${\mathcal {H}}$ :
    $(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad \forall v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=L(v)$.
Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors $u$ est l'unique élément de ${\mathcal {H}}$ qui minimise la fonctionnelle $J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ définie par $J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$, c'est-à-dire :
    $(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)$.

## Démonstration
### Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in {\mathcal {H}}$ tel que
    $\forall v\in {\mathcal {H}}\quad L(v)=\langle f,v\rangle$.
Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})$ tel que
    $\forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle$.
La proposition (1) se réécrit alors :
    $\exists !\ u\in {\mathcal {H}}\quad Au=f$.
Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de ${\mathcal {H}}$ sur ${\mathcal {H}}$. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.
Par la coercivité de $a$ et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout $v\in {\mathcal {H}}$
    $\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|$
d'où $\|Av\|\geq \alpha \|v\|$ pour tout $v$ de ${\mathcal {H}}$, ce qui montre que A est injectif et d'image fermée. Notons ${\mathcal {Z}}$ cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que ${\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }$.
Soit ensuite un élément w de ${\mathcal {Z}}^{\perp }$, on a par définition $\langle Aw,w\rangle =0$ et donc :
    $\alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0$
d'où $w=0$. Ainsi, ${\mathcal {Z}}^{\perp }$ est réduit à $\{0\}$, ce qui montre que A est surjectif.
L'endomorphisme A est bijectif ; il existe donc un unique u de ${\mathcal {H}}$ tel que $Au=f$ et il est donné par $u=A^{-1}f$.

### Remarque

Sans calculer u, on a l'inégalité
    $\|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}$
où $\|\cdot \|'$ désigne la norme de l'espace dual ${\mathcal {H}}'$.

### Cas symétrique

Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de ${\mathcal {H}}$ :
    $J(u+w)=J(u)+{\Biga(u,w)-L(w){\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)$.
Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne
    $J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)$.
Et comme a est coercive, on a :
    $J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}$.
On a donc $J(u)\leq J(v)$ pour tout $v\in {\mathcal {H}}$, d'où le résultat (2).

## Applications

* Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher u dans ${\mathcal {H}}$, on cherche $u_{n}$ dans ${\mathcal {H}}_{n}$, un sous-espace de ${\mathcal {H}}$ de dimension finie n, alors :
** dans le cas où a est symétrique, $u_{n}$ est le projeté de u au sens du produit scalaire défini par a ;
** si l'on se donne $(\varphi _{i})$ une base de ${\mathcal {H}}_{n}$, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
    ${\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}$ avec $A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})$ et $b_{i}=L\varphi _{i}$.
* On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa.