# Théorème de Glivenko-Cantelli

En théorie des probabilités, le théorème de Glivenko-Cantelli, communément appelé « théorème fondamental de la statistique » exprime dans quelle mesure une loi de probabilité peut être révélée par la connaissance d'un (grand) échantillon de ladite loi de probabilité.

## Notations

Soit $X_{1},\ldots ,X_{n}$ un échantillon de variables aléatoires réelles i.i.d. définies sur un espace de probabilité $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ avec pour fonction de répartition commune $F$.
Le théorème de Glivenko-Cantelli énonce la convergence uniforme presque partout de la fonction de répartition empirique $F_{n}$ vers $F$. Il entraîne donc de plus la convergence en loi de $\mu _{n}$ vers la loi de probabilité $\mu$ correspondant dont la fonction de répartition est $F$, une loi de probabilité étant caractérisée par sa fonction de répartition.

## Énoncé

Théorème — Soient $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ un espace probabilisé. Soient $X_{1},\dots ,X_{n},\dots$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées de même fonction de répartition $F$. Pour $\omega \in \Omega$, on appelle $F_{n}(\cdot ,\omega )$ la fonction de répartition empirique de l’échantillon $X_{1}(\omega ),\dots ,X_{n}(\omega )$.
$\mathbb {P}$-presque sûrement, la fonction de répartition empirique $F_{n}$ converge uniformément vers la fonction de répartition $F$, ou bien, de manière équivalente :
$\mathbb {P} _{\omega }\left(\lim _{n}\ \|F_{n}(\cdot ,\omega )-F\|_{\infty }=0\right)=1.$
La fonction de répartition peut s'écrire comme une moyenne de variables aléatoires de Bernoulli, i.e.
$F_{n}(x,\omega )={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}(\omega )\leq x\}}.$
Puisque ces variables sont de moyenne $F(x)$, la loi forte des grands nombres implique que
$\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbb {P} \left(\lim _{n}\ |F_{n}(x,\omega )-F(x)|=0\right)=1,$
mais il n'en découle pas nécessairement que
$\mathbb {P} \left(\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \lim _{n}\ |F_{n}(x,\omega )-F(x)|=0\right)=1,$
puisqu'une intersection non dénombrable d'ensembles de probabilité 1 (ensembles presque sûrs) n'est pas nécessairement de probabilité 1. Cette intersection serait-elle de probabilité 1 qu'on n'aurait alors prouvé que la convergence simple, au lieu de la convergence uniforme énoncée par le théorème de Glivenko-Cantelli.
Le théorème de Donsker et l'inégalité DKW précisent le théorème de Glivenko-Cantelli en donnant des indications sur la rapidité de convergence, qui est de l'ordre de $1/{\sqrt {n}}.$

## Démonstration

Cette preuve utilise le deuxième théorème de Dini. Pour une preuve combinatoire faisant intervenir des inégalités de concentration, voir la preuve des classes de Glivenko-Cantelli. La loi forte des grands nombres nous assure que pour tout $x\in \mathbb {R} ,F_{n}(x)$ converge presque-sûrement vers $F(x)$ et de plus $F_{n}$ est croissante pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Néanmoins quelques problèmes se posent pour appliquer ce théorème :
* La fonction de répartition $F$ n'est pas nécessairement continue ;
* La convergence n'a pas lieu sur un segment ;
* La loi forte des grands nombres nous donne une convergence sur un ensemble qui dépend de $x\in \mathbb {R}$, i.e. $\forall x\in \mathbb {R} ,\exists A_{x}\in {\mathcal {A}}\ {\textrm {t.q.}}\ \mathbb {P} (A_{x})=1\ \mathrm {et} \ \forall \omega \in A_{x},\lim _{n\to +\infty }F_{n}(x,\omega )=F(x).$ Pour pouvoir appliquer le second théorème de Dini, il faudrait que $\exists A\in {\mathcal {A}}\ \mathrm {t.q.} \ \mathbb {P} (A)=1\ \mathrm {et} \ \forall x\in \mathbb {R} ,\forall \omega \in {\mathcal {A}},\lim _{n\to +\infty }F_{n}(x,\omega )=F_{n}(x).$
On résout les deux premiers points avec l'inverse généralisée de la fonction de répartition (appelée aussi fonction de quantile) $F^{\leftarrow }$ et le troisième grâce à la séparabilité de $\mathbb {R}$ (i.e. $\mathbb {R}$ admet un sous-ensemble dense et au plus dénombrable comme $\mathbb {Q}$).
Soient $U_{1},\dots ,U_{n}$ des variables i.i.d. uniformes sur $[0,1]$ alors la fonction de répartition inverse vérifie la propriété $X_{i}\ {\overset {\mathcal {L}}{=}}\ F^{\leftarrow }(U_{i})$. Alors
${\begin{aligned}\sup _{t\in \mathbb {R} }|F_{n}(t)-F(t)|&=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}\leq t\}}-F(t)\right|\\&\sim \sup _{t\in \mathbb {R} }\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{F^{\leftarrow }(U_{i})\leq t\}}-F(t)\right|=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{i}\leq F(t)\}}-F(t)\right|\\&=\sup _{s\in F(\mathbb {R} )}\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{i}\leq s\}}-s\right|\leq \sup _{s\in [0,1]}\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{i}\leq s\}}-s\right|\end{aligned}}$
Il suffit donc de montrer que le théorème de Glivenko-Cantelli est vrai dans le cas de variables aléatoires uniformes sur $[0,1]$. Grâce à la loi forte des grands nombres, on a que :
$\forall s\in [0,1],\exists A_{s}\in {\mathcal {A}}\ {\textrm {t.q.}}\ \mathbb {P} (A_{s})=1\ {\textrm {et}}\ \forall \omega \in A_{s},{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s\}}{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}s.$
Il faut donc trouver un ensemble $A$ de mesure pleine qui soit uniforme pour tous les $s\in [0,1]$. Comme $\mathbb {Q}$ est dénombrable et que l'intersection dénombrable d'ensembles de mesure pleine étant de mesure pleine, on en déduit que :
$\exists A\in {\mathcal {A}}\ {\textrm {t.q.}}\ \mathbb {P} (A)=1\ {\textrm {et}}\ \forall s\in [0,1]\cap \mathbb {Q} ,\forall \omega \in A,{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s\}}{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}s.$
Montrons que la propriété reste vraie pour tout $s\in [0,1]$ : soit $s\in [0,1]$ et $\omega \in A$ alors on se donne une suite croissante $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et décroissante $(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ appartenant à $[0,1]\cap \mathbb {Q}$ et de limite $s$. Alors pour $l$ fixé et $n\geq 1$ :
${\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s_{l}\}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s\}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq t_{l}\}},$
d'où, en faisant tendre $n\to +\infty$,
$s_{l}\leq \liminf _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s\}}\leq \limsup _{n\to +\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s\}}\leq t_{l}$
et on conclut en faisant tendre $l\to +\infty$.
On a donc montré que
$\forall \omega \in A,{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} _{\{U_{k}(\omega )\leq s\}}\to s$
sur $[0,1]$. La convergence est uniforme par le deuxième théorème de Dini.

## Généralisation

On pose $X_{1},\dots ,X_{n}$ des variables i.i.d. à valeurs dans un espace ${\mathcal {X}}$ de loi $P=\mathbb {P} ^{X}$ et ${\mathcal {F}}$ une classe de fonctions définies sur ${\mathcal {X}}$ à valeurs réelles. La classe ${\mathcal {F}}$ est appelée classe de Glivenko-Cantelli si elle vérifie
$||P_{n}-P||_{\mathcal {F}}=\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|P_{n}(f)-P(f)|~{\xrightarrow[{n\to +\infty }]}~0,$
avec $P_{n}$ la mesure empirique définie par $P_{n}(f)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})$ et $P(f)=\mathbb {E} [f(X_{1})]$. Le théorème de Glivenko-Cantelli revient donc à dire que la classe des fonctions indicatrices ${\mathcal {F}}=\{x\mapsto \mathbf {1} _{\{x\leq t\}}:t\in \mathbb {R} \}$ est une classe de Glivenko-Cantelli.