# Théorème de Descartes-Euler

En mathématiques, plus précisément en géométrie dans l'espace, le théorème de Descartes-Euler, ou relation d'Euler, énonce une formule mathématique dans un polyèdre de genre 0, c'est-à-dire intuitivement un polyèdre déformable en une sphère. Elle lie le nombre $s$ de sommets, le nombre $a$ d'arêtes et le nombre $f$ de faces de la façon suivante :
    $s-a+f=2$

## Histoire

Le théorème est formulé par Leonhard Euler en 1752. Il semble cependant que Descartes ait prouvé une relation analogue dans un traité jamais publié. C'est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom. La quantité $s-a+f$ s'appelle caractéristique d'Euler. Le théorème de Descartes-Euler énonce qu'elle vaut 2 pour un polyèdre convexe de genre 0.

## Exemples

On peut procéder à la vérification de la propriété pour les cinq solides platoniciens :
| Nom | Nombre de sommets s | Nombre d'arêtes a | Nombre de faces f | Caractéristique d'Euler s – a + f |
| Tétraèdre | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Hexaèdre ou cube | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Octaèdre | 6 | 12 | 8 | 2 |
| Dodécaèdre régulier | 20 | 30 | 12 | 2 |
| Icosaèdre | 12 | 30 | 20 | 2 |
Tout polyèdre convexe est de genre 0 et donc la relation d'Euler est vérifiée.

## Contre-exemples

Si les polyèdres ne sont pas du genre 0, on ne peut pas appliquer le théorème de Descartes-Euler. Voici des contre-exemples où la caractéristique d'Euler s − a + f est différente de 2 :
| Nom | Nombre de sommets s | Nombre d'arêtes s | Nombre de faces f | Caractéristique d'Euler s – a + f |
| Polyèdre toroïdal (en) hexagonal | 24 | 48 | 24 | 0 |
| Tétrahémihexaèdre | 6 | 12 | 7 | 1 |
| Octahémioctaèdre | 12 | 24 | 12 | 0 |
| Cubohémioctaèdre | 12 | 24 | 10 | −2 |

## Démonstration

La démonstration présentée ici a été donnée par Cauchy en 1811.
Soit un polyèdre de genre 0, on va chercher à démontrer que $f-a+s=2\,$ dans celui-ci. On enlève une face à notre polyèdre. En écartant vers l'extérieur les côtés de cette face manquante, on déforme le polyèdre en l'aplatissant et on obtient alors un graphe planaire dont les nœuds sont les sommets et les arcs sont les arêtes déformées. Le nombre de sommets, d'arêtes et de faces n'a pas changé par rapport au polyèdre de départ (considérant que tout l'extérieur de notre graphe représente la face enlevée).
Maintenant, à chaque fois qu'on voit une face ayant plus de trois côtés, on trace une diagonale (c’est-à-dire un segment joignant deux sommets non directement reliés). Cette opération ajoute une face et une arête à notre graphe et ne modifie pas le nombre de sommets, donc l'expression $f-a+s\,$ reste inchangée. On répète cette opération jusqu'à ne plus avoir que des faces triangulaires.
Arrivé à ce stade, on répète les deux opérations suivantes :
* On supprime un à un tous les triangles qui comportent un seul côté aux frontières extérieures de notre graphe. À chaque suppression, on enlève une arête et une face (pas de modification au niveau des sommets). Cela conserve donc l'expression $f-a+s\,$.
* On supprime un à un tous les triangles qui comportent deux arêtes aux frontières extérieures de notre graphe. À chaque suppression, on enlève un sommet, deux arêtes et une face. Cela conserve donc à nouveau l'expression $f-a+s\,$.
En répétant les deux étapes précédentes, l'une après l'autre, il ne finit par rester qu'un seul triangle. Ce triangle seul compte deux faces (l'intérieur et l'extérieur du triangle), trois arêtes et trois sommets. Ainsi $f=2$, $a=3$, et $s=3$, donc $f-a+s\,$ est égale à 2. Cette expression est égale à l'expression $f-a+s\,$ d'origine car chaque étape maintenait l'égalité de cette expression. On en conclut que notre polyèdre de départ vérifiait l'expression $f-a+s=2\,$. La relation est donc prouvée.

## Lien avec les pavages de la sphère

On peut ramener cette relation à une propriété de pavage de la sphère, en utilisant la technique imagée suivante
* placer une source de lumière au centre de gravité G du polyèdre
* considérer une sphère de centre G et de rayon suffisamment grand, et la considérer comme un écran sur lequel se projettent les ombres des arêtes du polyèdre.
Cette opération est en fait une projection centrale. On obtient alors sur la sphère des « sommets », images des sommets du polyèdre, des « arêtes » qui sont des arcs de grands cercles, et des portions de sphères délimitées par les arêtes qui sont des « polygones sphériques ». On peut qualifier cette configuration de polyèdre sphérique.
On montre encore que pour un tel pavage, la formule $f-a+s=2\,$ est vérifiée. Une des méthodes possibles est d'utiliser des propriétés des triangles sphériques.

## Applications

* Il est impossible de recouvrir une sphère seulement par des hexagones, même non réguliers, afin de former une géode, car un tel recouvrement ne respecterait pas la relation d'Euler. En effet, dans un polyèdre à faces uniquement hexagonales, chaque sommet est commun à 3 faces et chaque arête à 2 faces. Comme tout hexagone a 6 côtés et 6 sommets, un tel polyèdre doit donc comporter ${\frac {6}{3}}$ plus de sommets que de faces et ${\frac {6}{2}}$ plus d'arêtes que de faces. Donc, si f est le nombre de faces, le nombre d'arêtes a doit être égal à 3f et le nombre de sommets s à 2f. On a alors :
       $f-a+s=f-3f+2f=0\,$
et la relation d'Euler n'est pas vérifiée.
Par contre, remplaçons certains hexagones de ce recouvrement impossible par des pentagones. Si le nombre de faces ne varie pas, le nombre d'arêtes et de sommets diminue : pour chaque pentagone ajouté, on a (6 - 5) ÷ 2 arêtes, c'est-à-dire une demi-arête en moins et (6 - 5) ÷ 3 sommets, c'est-à-dire un tiers de sommet en moins; $s-a+f$ augmente donc à chaque fois de la différence, c'est-à-dire d'un sixième. Pour que la relation d'Euler soit respectée, il faut que $s-a+f$ initialement à 0, devienne égal à 2, donc augmente de 12 ÷ 6. Bref, il faut remplacer 12 hexagones par autant de pentagones. Le nombre des sommets s est alors de 2f - 4 et celui des arêtes a de 3f - 6. C'est ainsi que l'on rencontre l'icosaèdre tronqué (ballon de football ou fullerène $C_{60}$). Un cas extrême est celui du dodécaèdre régulier (f = 12), où il ne reste plus aucun hexagone. Dans la figure ci-dessous (où f = 344 faces), quatre des douze pentagones sont visibles.

## Version de Descartes

Dans son mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :
   « L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2. »
L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est pourtant rigoureusement équivalente, et Descartes, dans les applications qu'il en fait, passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.
Preuve de l'équivalence :
    Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut $2(n-2)$ droits.
    La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc $4a-4f\,$ droits (en effet la somme des nombres de côtés de chaque face donne deux fois le nombre d'arêtes).
    L'égalité de Descartes s'écrit donc
       $4a-4f=4(s-2),$
    autrement dit
       $s-a+f=2.$

## Généralisations

Henri Poincaré, en 1893, a démontré que la relation d'Euler se généralisait à tout n-polytope convexe :
    $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}+...+(-1)^{n-1}N_{n-1}=1-(-1)^{n}$
où n est la dimension du polytope et $N_{k}$ le nombre de k-simplexes du n-polytope ($N_{0}$ est le nombre de sommets, $N_{1}$ le nombre d'arêtes, $N_{2}$ le nombre de faces, etc.).
La quantité $s-a+f\,$, si elle vaut 2 dans le cas des polyèdres de genre 0, peut prendre d'autres valeurs suivant la nature du polyèdre et est appelée caractéristique d'Euler (ou d'Euler-Poincaré) du solide. Cette caractéristique est un nombre qu'on peut attacher naturellement aux surfaces. Elle est par exemple de 2 pour la sphère. Il s'agit d'un invariant topologique, c'est-à-dire que toutes les variétés homéomorphes à la sphère ont la même caractéristique. La convexité n'est finalement qu'une hypothèse particulière assurant qu'il existe bien un tel homéomorphisme.

## Réflexion sur l'élaboration de ce théorème

Ce théorème, et plus précisément la réflexion sur quels sont les polyèdres qui satisfont l'égalité s – a + f = 2, est l'exemple pris tout au long de l'ouvrage Preuves et Réfutations (en) : essai sur la logique de la découverte mathématique de l'épistémologue Imre Lakatos, y exposant par ce biais son heuristique mathématique.
Ce livre ne se veut pas un ouvrage historique sur les conditions réelles de la découverte de ce théorème mais expose comment une classe d'élèves idéaux, animée par un professeur, pourrait par essais-erreurs et discussion collective arriver à formuler ce théorème tout en observant que certains polyèdres ne satisfont pas la relation.