# Indice de Theil

L’indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon :
* un indice de 0 indique une égalité absolue ;
* un indice de 0,5 indique une inégalité représentée par une société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources ;
* un indice de 1 indique une inégalité représentée par une société où 82,4 % des individus ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des individus ont 82,4 % des ressources.

## Formule

Formule pour l'indice de Theil $\displaystyleT$ :
* $N$ : nombre des quantiles,
* $E_{i}$ : ressources pour le quantile i,
* $A_{i}$ : effectif dans le quantile i,
* $E_{\mathrm {total} }$ : ressources pour tous les quantiles dans une société (une nation, etc.),
* $A_{\mathrm {total} }$ : effectif de la société (de la nation, etc.).
$T_{T}=\ln {\frac {{A}_{\mathrm {total} }}{{E}_{\mathrm {total} }}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{E}_{i}}\ln {\frac {{A}_{i}}{{E}_{i}}}}{{E}_{\mathrm {total} }}}$
En cas de ${{E}'_{i}}=E_{i}/E_{\text{total}}$ et ${{A}'_{i}}=A_{i}/A_{\text{total}}$: $\color {Gray}T_{T}=0-{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{E}'_{i}}\ln {\frac {{A}'_{i}}{{E}'_{i}}}}{1}}=\sum _{i=1}^{N}{{E}'_{i}}\ln {\frac {{E}'_{i}}{{A}'_{i}}}$
C'est l'inégalité par référence aux ressources. La partie à gauche est l'entropie maximale (aussi par référence aux ressources) d'une société sans inégalité distributive. La partie à droite est l'entropie réelle de la société, causée par l'inégalité distributive de cette société. Par référence à la théorie de l'information, une telle différence est la redondance.
L'inégalité par référence à la population :
$T_{L}=\ln {\frac {{E}_{\mathrm {total} }}{{A}_{\mathrm {total} }}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{A}_{i}}\ln {\frac {{E}_{i}}{{A}_{i}}}}{{A}_{\mathrm {total} }}}$
En cas de ${{E}'_{i}}=E_{i}/E_{\text{total}}$ et ${{A}'_{i}}=A_{i}/A_{\text{total}}$: $\color {Gray}T_{L}=0-{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{A}'_{i}}\ln {\frac {{E}'_{i}}{{A}'_{i}}}}{1}}=\sum _{i=1}^{N}{{A}'_{i}}\ln {\frac {{A}'_{i}}{{E}'_{i}}}$
L'opération pour normaliser les indices de Theil est $\displaystyle 1-e^{-T}$

## L'indice de Theil et indice de Hoover

La moyenne de ces deux formules est un indice symétrique :
$T_{s}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\color {Blue}\ln {\frac {E_{i}}{A_{i}}}\left(\color {Black}{\frac {{E}_{i}}{E_{\text{total}}}}-{\frac {A_{i}}{A_{\text{total}}}}\color {Blue}\right)\color {Black}$
La moyenne est très convenable par comparaison avec le plus simple des indices d'inégalité : l'indice de Hoover. La différence est indiquée par la couleur bleue.
$H={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\color {Blue}\left|\color {Black}{\frac {E_{i}}{E_{\text{total}}}}-{\frac {A_{i}}{A_{\text{total}}}}\color {Blue}\right|\color {Black}$

## Décomposition

Si pour les sous-groupes $k$ les sous-indices de Theil sont connus : $T_{T}=\ln {\frac {{A}_{\mathrm {total} }}{{E}_{\mathrm {total} }}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{E}_{i}}\left(\ln {\frac {{A}_{i}}{{E}_{i}}}-T_{T_{i}}\right)}{{E}_{\mathrm {total} }}}$
$T_{L}=\ln {\frac {{E}_{\mathrm {total} }}{{A}_{\mathrm {total} }}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{A}_{i}}\left(\ln {\frac {{E}_{i}}{{A}_{i}}}-T_{L_{i}}\right)}{{A}_{\mathrm {total} }}}$
$T_{s}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {E_{i}}{A_{i}}}\left({\frac {{E}_{i}}{E_{\text{total}}}}-{\frac {A_{i}}{A_{\text{total}}}}\right)+{\frac {{E}_{i}}{E_{\text{total}}}}T_{T_{i}}+{\frac {{A}_{i}}{A_{\text{total}}}}T_{L_{i}}$

## Fonction de bien-être

Il est possible de calculer la fonction de bien-être (welfare function) proposée par Amartya Sen et James A. Foster (1996) par cette formule :
${W_{\text{Theil-L}}={\overline {revenu}}\cdot \mathrm {e} ^{-T_{L}}={\frac {E_{\mathrm {total} }}{A_{\mathrm {total} }}}{\text{ }}\mathrm {e} ^{-T_{L}}=\mathrm {e} ^{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{A}_{i}}\left(\ln {\frac {{E}_{i}}{{A}_{i}}}-T_{L_{i}}\right)}{{A}_{\mathrm {total} }}}=\prod _{i=1}^{N}\left({\frac {{E}_{i}}{{A}_{i}}}\ \mathrm {e} ^{-T_{L_{i}}}\right)^{\frac {{A}_{i}}{{A}_{\mathrm {total} }}}}$
Le revenu moyen d'une personne dans une société dont les revenus sont inégaux ne décrit pas le revenu $E_{i}$ de la majorité des citoyens. La fonction de bien-être peut remplacer la médiane. La valeur de la fonction de bien-être est toujours plus petite que le revenu moyen.
Si on prend un € du revenu total de cette société, cet € sera part d'un revenu $E_{i}$ plus grand que le revenu moyen :
${W_{\text{Theil-T}}^{-1}={\overline {revenu}}\cdot \mathrm {e} ^{T_{T}}={\frac {E_{\mathrm {total} }}{A_{\mathrm {total} }}}{\text{ }}\mathrm {e} ^{T_{T}}=\mathrm {e} ^{\frac {\sum _{i=1}^{N}{{E}_{i}}\left(\ln {\frac {{E}_{i}}{{A}_{i}}}+T_{T_{i}}\right)}{{E}_{\mathrm {total} }}}=\prod _{i=1}^{N}\left({\frac {{E}_{i}}{{A}_{i}}}{\text{ }}\mathrm {e} ^{T_{T_{i}}}\right)^{\frac {{E}_{i}}{{E}_{\mathrm {total} }}}}$