# Nombre hyperharmonique

En mathématiques, le n-ième nombre hyperharmonique d'ordre $r$, noté $H_{n}^{(r)}$, est défini par les relations de récurrence :
    $H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}$, et $H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0)$.
En particulier, $H_{n}=H_{n}^{(1)}$ est le n-ème nombre harmonique.
Les nombres hyperharmoniques ont été étudiés par JH Conway et RK Guy dans leur livre de 1995 The Book of Numbers$^{:258}$.

## Identités impliquant des nombres hyperharmoniques

Par définition, les nombres hyperharmoniques vérifient la relation de récurrence
    $H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.$
Plutôt que d'utiliser les relations de récurrence, il existe une formule plus efficace pour calculer ces nombres :
    $H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).$
Les nombres hyperharmoniques ont une relation étroite avec la combinatoire des permutations. L'identité
    $H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].$
se généralise en
    $H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},$
où $\left[{n \atop r}\right]_{r}$ est le nombre de r-Stirling de première espèce.
L'expression ci-dessus avec des coefficients binomiaux donne facilement que pour tout ordre fixe $r\geq 2$, on a l'équivalent :
    $H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),$
c'est-à-dire que le quotient des côtés gauche et droit tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.
Une conséquence immédiate est que
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty$
pour $m>r$.

## Fonction génératrice et séries infinies

La fonction génératrice des nombres hyperharmoniques est
    $\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.$
La fonction génératrice exponentielle est beaucoup plus difficile à déduire. On a, pour tout $r=1,2,\dots$
    $\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\times _{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),$
où $_2$F$_2$ est une fonction hypergéométrique. Le cas $r=1$ pour les nombres harmoniques est un résultat classique, le résultat général a été prouvé en 2009 par I. Mező et A. Dil.
La relation suivante relie les nombres hyperharmoniques à la fonction zêta de Hurwitz :
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).$

## Nombres hyperharmoniques entiers

On sait que les nombres harmoniques ne sont jamais des entiers sauf dans le cas $n=1$. La même question peut être posée sur l'existence de nombres hyperharmoniques entiers. István Mező a prouvé que si $r=2$ ou $r=3$, ces nombres ne sont jamais des nombres entiers sauf dans le cas trivial où $n=1$. Il a supposé que c'était toujours le cas, à savoir que les nombres hyperharmoniques d'ordre $r$ ne sont jamais des entiers sauf lorsque $n=1$. Cette conjecture a été justifiée pour une classe de paramètres par R. Amrane et H. Belbachir. Surtout, ces auteurs ont prouvé que $H_{n}^{(4)}$ n'est pas entier pour tout $r<26$ et $n=2,3,\dots$ L'extension aux ordres plus élevés a été réalisée par Göral et Sertbaş. Ces auteurs ont également montré que $H_{n}^{(r)}$ n'est jamais entier lorsque $n$ est pair ou une puissance première, ou lorsque $r$ est impair.
Un autre résultat est le suivant. Soit $S(x)$ le nombre de nombres hyperharmoniques non entiers tels que $(n,x)\in [0,x]\times [0,x]$. Alors, en supposant la conjecture de Cramér,
    $S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).$
Il faut noter que le nombre entier de points du réseau dans $[0,x]\times [0,x]$ est $x^{2}+O(x^{2})$, ce qui montre que la plupart des nombres hyperharmoniques ne peuvent pas être entiers.
Le problème a finalement été résolu par DC Sertbaş qui a découvert qu'il existe une infinité d'entiers hyperharmoniques, bien qu'ils soient assez grands. Le plus petit nombre hyperharmonique qui est un entier trouvé jusqu'à présent est
    $H_{33}^{(64(2^{2659}-1)+32)}.$