# Variable antithétique

Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo. Il s'agit de tirer parti de certaines symétries d'une distribution et de la corrélation négative entre deux variables aléatoires.

## Principe

On souhaite estimer $\theta =\mathbb {E} (h(X))$, où X est une variable aléatoire et $\mathbb {E}$ désigne son espérance mathématique. La méthode de Monte-Carlo de base consiste à simuler n variables iid selon la loi de X, disons X$_1$, X$_2$, ... ,X$_n$, puis à estimer θ par
    ${\hat {\theta }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}h(X_{i})$.
On peut avoir une idée de l'erreur commise en construisant un intervalle de confiance ; ce dernier nécessite un estimateur de la variance de l'estimateur $\sigma _{\hat {\theta }}^{2}$.
Supposons que l'on dispose de deux échantillons de taille n ; le premier est noté X$_1$, X$_2$, ... ,X$_n$ et le second X'$_1$, X'$_2$, ... ,X'$_n$. Pour simplifier les notations, on pose m$_1$, m$_2$ les estimateurs empiriques de l'espérance de h(X) sur respectivement l'échantillon 1 et 2. Autrement dit, on aura
    $m_{1}={\frac {h(X_{1})+\cdots +h(X_{n})}{n}}$
et
    $m_{2}={\frac {h(X'_{1})+\cdots +h(X'_{n})}{n}}$.
L'estimateur Monte-Carlo sur l'échantillon complet est simplement
    ${\hat {\theta }}={\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}$
et, du point de vue de la variance :
    $\sigma _{\hat {\theta }}^{2}={\frac {\sigma _{m_{1}}^{2}+\sigma _{m_{2}}^{2}+2\mathrm {Cov} (m_{1},m_{2})}{4}}$.
Dans le cas iid, la covariance s'annule et (seulement vrai quand n → ∞) $\sigma _{m_{1}}^{2}=\sigma _{m_{2}}^{2}$, si bien que $\sigma _{\hat {\theta }}^{2}=\sigma _{m_{1}}^{2}/2$ : le facteur 2 s'explique car on a doublé la taille de l'échantillon.
La technique de la variable antithétique consiste à choisir l'échantillon 2 identiquement distribué selon la loi de X mais en renonçant à l'indépendance, plus précisément en s'arrangeant pour que $\mathrm {Cov} (m_{1},m_{2})<0$. Il faut donc exploiter les éléments de symétrie de la loi de X afin de construire le second échantillon à partir du premier, en s'assurant de la négativité de la covariance. Ce faisant, la variance sera inférieure à la variance "normale" $\sigma _{m_{1}}^{2}/2$.
Par exemple, si la loi de X est la loi uniforme sur [0;1], le premier échantillon sera simplement u$_1$, u$_2$, ... ,u$_n$, où pour tout i, u$_i$ est tirée selon ${\mathcal {U}}(0;1)$. On construit le second échantillon u'$_1$, u'$_2$, ... ,u'$_n$, en posant pour tout i: u'$_i$ = 1–u$_i$. Si les u$_i$ sont uniformes sur [0;1], alors il en va de même pour les u'$_i$. De plus, la covariance est négative, ce qui permet de réduire la variance initiale.
Un autre exemple concerne la loi normale ${\mathcal {N}}(\mu ,s)$. En appliquant la transformation x'$_i$ = 2μ – x$_i$, où $x_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,s)$, on obtient un tirage selon ${\mathcal {N}}(\mu ,s)$, qui est négativement corrélé avec le premier tirage x$_i$

## Exemple : estimation d'une intégrale

On souhaite estimer
    $I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x$.
La valeur exacte est $I=\ln 2\approx 0,69314718055995$. Cette intégrale peut se voir comme l'espérance de f (U), où
    $f(x)={\frac {1}{1+x}}$
et U distribuée selon une loi uniforme sur [0;1].
On compare l'estimateur Monte-Carlo classique (échantillon de taille 2n, avec n = 1500, tiré selon la loi uniforme standard) à l'estimateur avec variable antithétique (échantillon de taille n, complété par l'échantillon transformé 1–u$_i$). La variance se réduit comme suit
| | Estimation | Variance |
| Méthode classique | 0,69365 | 0,02005 |
| Variable antithétique | 0,69399 | 0,00063 |
On constate une très nette réduction de la variance dans le cas de l'utilisation d'une variable antithétique.