# Adjonction ⊗-Hom

En mathématiques, l'adjonction ⊗-hom est le résultat affirmant que le produit tensoriel $-\otimes X$ et le foncteur Hom $\operatorname {Hom} (X,-)$ forment une adjonction :
    $\operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).$
L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.

## Définition générale

Supposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :
    ${\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.$
Soit $X$ un $(R,S)$-bimodule et soient $F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ et $G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ les foncteurs définis comme suit:
    $F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{pour }}Y\in {\mathcal {D}}$
    $G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{pour }}Z\in {\mathcal {C}}$
Alors $F$ est adjoint à gauche de $G$. Cela signifie qu'il existe un isomorphisme naturel
    $\operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).$
Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si $Y$ est un $(A,R)$-bimodule et $Z$ est un $(B,S)$-bimodule, alors c'est un isomorphisme de $(B,A)$-bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée.

## Counité et unité

Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité
    $\varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}$
a pour morphisme la décrivant
    $\varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z$
donné par évaluation : Pour
    $\phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{et}}\quad x\in X,$
    $\varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).$
Les morphismes décrivant l'unité
    $\eta :1_{\mathcal {D}}\to GF$
    $\eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)$
sont définis comme suit : Pour $y$ appartenant à $Y$ ,
    $\eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)$
est un homomorphisme de $S$-modules défini par
    $\eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{pour }}t\in X.$
Les équations de counité et d’unité peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour $Y$ dans ${\mathcal {D}}$ ,
    $\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X$
    $\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.$
De même,
    $G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).$
Pour $\phi$ dans $\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)$ ,
    $G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)$
    $G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .$
et donc
$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .$

## Les foncteurs Ext et Tor

Le foncteur Hom $\hom(X,-)$ commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel $-\otimes X$ le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, $\hom(X,-)$ ne commute pas avec les colimites, et $-\otimes X$ ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les suites exactes courtes motive la définition du foncteur Ext et du foncteur Tor.