OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# (39675) 1996 BL15

(39675) 1996 BL$_{15}$ est un astéroïde de la ceinture principale d'astéroïdes découvert en 1996.

## Description

(39675) 1996 BL$_{15}$ a été découvert le 19 janvier 1996 à l'observatoire de Kitt Peak, situé dans l'Arizona (États-Unis), par le projet Spacewatch de l’université de l'Arizona.

### Caractéristiques orbitales

L'orbite de cet astéroïde est caractérisée par un demi-grand axe de 3,2 ua, un périhélie de 2,90 ua, une excentricité de 0,04 et une inclinaison de 8,44° par rapport à l'écliptique. Du fait de ces caractéristiques, à savoir un demi-grand axe compris entre 2 et 3,2 ua et un périhélie supérieur à 1,666 ua, il est classé, selon la JPL Small-Body Database, comme objet de la ceinture principale d'astéroïdes.

### Caractéristiques physiques

(39675) 1996 BL$_{15}$ a une magnitude absolue (H) de 14,6 et un albédo estimé à 0,081.
# (39669) 1995 YN11

(39669) 1995 YN$_{11}$ est un astéroïde de la ceinture principale d'astéroïdes découvert en 1995.

## Description

(39669) 1995 YN$_{11}$ a été découvert le 18 décembre 1995 à l'observatoire de Kitt Peak, situé dans l'Arizona (États-Unis), par le projet Spacewatch de l’université de l'Arizona.

### Caractéristiques orbitales

L'orbite de cet astéroïde est caractérisée par un demi-grand axe de 2,96 ua, un périhélie de 2,66 ua, une excentricité de 0,10 et une inclinaison de 3,24° par rapport à l'écliptique. Du fait de ces caractéristiques, à savoir un demi-grand axe compris entre 2 et 3,2 ua et un périhélie supérieur à 1,666 ua, il est classé, selon la JPL Small-Body Database, comme objet de la ceinture principale d'astéroïdes.

### Caractéristiques physiques

(39669) 1995 YN$_{11}$ a une magnitude absolue (H) de 14,7 et un albédo estimé à 0,329.
# (39673) 1996 BN3

(39673) 1996 BN$_3$ est un astéroïde de la ceinture principale d'astéroïdes découvert en 1996.

## Description

(39673) 1996 BN$_3$ a été découvert le 27 janvier 1996 à l'observatoire astronomique d'Ōizumi, situé à Ōizumi, dans la préfecture de Gunma, au Japon, par Takao Kobayashi.

### Caractéristiques orbitales

L'orbite de cet astéroïde est caractérisée par un demi-grand axe de 2,98 ua, un périhélie de 2,78 ua, une excentricité de 0,07 et une inclinaison de 11,04° par rapport à l'écliptique. Du fait de ces caractéristiques, à savoir un demi-grand axe compris entre 2 et 3,2 ua et un périhélie supérieur à 1,666 ua, il est classé, selon la JPL Small-Body Database, comme objet de la ceinture principale d'astéroïdes.

### Caractéristiques physiques

(39673) 1996 BN$_3$ a une magnitude absolue (H) de 13,5 et un albédo estimé à 0,062.
# (3349) Manas

(3349) Manas est un astéroïde de la ceinture principale.
Il a été ainsi baptisé en référence à l'épopée kirghiz Manas le généreux, qui retrace l'histoire de ce peuple en plus de 500 000 vers.
# (35006) 1979 ON8

(35006) 1979 ON$_8$ est un astéroïde de la ceinture principale d'astéroïdes de 4,940 km de diamètre découvert en 1979.

## Description

(35006) 1979 ON$_8$ a été découvert le 24 juillet 1979 à l'observatoire de Siding Spring, situé près de Coonabarabran, en Nouvelle-Galles du Sud, en Australie, par Schelte J. Bus.

### Caractéristiques orbitales

L'orbite de cet astéroïde est caractérisée par un demi-grand axe de 2,64 ua, un périhélie de 2,15 ua, une excentricité de 0,19 et une inclinaison de 10,62° par rapport à l'écliptique. Du fait de ces caractéristiques, à savoir un demi-grand axe compris entre 2 et 3,2 ua et un périhélie supérieur à 1,666 ua, il est classé, selon la JPL Small-Body Database, comme objet de la ceinture principale d'astéroïdes.

### Caractéristiques physiques

(35006) 1979 ON$_8$ a une magnitude absolue (H) de 14,5 et un albédo estimé à 0,126, ce qui permet de calculer un diamètre de 4,940 km.Ces résultats ont été obtenus grâce aux observations du Wide-Field Infrared Survey Explorer (WISE), un télescope spatial américain mis en orbite en 2009 et observant l'ensemble du ciel dans l'infrarouge, et publiés en 2015 dans un article présentant les résultats concernant 7 956 astéroïdes.
# (66479) Healy

(66479) Healy est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(66479) Healy est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 4 septembre 1999 à Anza (Californie) par Michael Collins et Minor White. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,69 UA, une excentricité de 0,22 et une inclinaison de 8,0° par rapport à l'écliptique.
# (8064) Lisitsa

(8064) Lisitsa est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(8064) Lisitsa est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 1er septembre 1978 à Naoutchnyï par Nikolaï Tchernykh. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,78 UA, une excentricité de 0,21 et une inclinaison de 7,6° par rapport à l'écliptique.
# .pl

.pl est le domaine national de premier niveau réservé à la Pologne.
# (32321) 2000 QO53

(32321) 2000 QO$_{53}$ est un astéroïde de la ceinture principale d'astéroïdes découvert en 2000.

## Description

(32321) 2000 QO$_{53}$ a été découvert le 25 août 2000 à l'observatoire Magdalena Ridge, situé dans le comté de Socorro, au Nouveau-Mexique (États-Unis), par le projet Lincoln Near-Earth Asteroid Research (LINEAR).

### Caractéristiques orbitales

L'orbite de cet astéroïde est caractérisée par un demi-grand axe de 2,55 ua, un périhélie de 2,21 ua, une excentricité de 0,14 et une inclinaison de 5,87° par rapport à l'écliptique. Du fait de ces caractéristiques, à savoir un demi-grand axe compris entre 2 et 3,2 ua et un périhélie supérieur à 1,666 ua, il est classé, selon la JPL Small-Body Database, comme objet de la ceinture principale d'astéroïdes.

### Caractéristiques physiques

(32321) 2000 QO$_{53}$ a une magnitude absolue (H) de 14,5 et un albédo estimé à 0,149.
# (7017) Uradowan

(7017) Uradowan est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(7017) Uradowan est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 1er février 1992 à Geisei par Tsutomu Seki. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,43 UA, une excentricité de 0,12 et une inclinaison de 7,3° par rapport à l'écliptique.
# (8310) Seelos

(8310) Seelos est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(8310) Seelos est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 9 août 1996 à Haleakala par le programme NEAT. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,33 UA, une excentricité de 0,07 et une inclinaison de 5,1° par rapport à l'écliptique.
# (385695) Clété

(385695) Clété, désigné provisoirement 2005 TO$_{74}$ est un astéroïde troyen de Neptune découvert le 8 octobre 2005 par Chadwick Trujillo et Scott S. Sheppard de l'observatoire de Las Campanas au Chili.

## Description

Ce troyen de Neptune présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 30,12 UA, une excentricité de 0,055 et une inclinaison de 5,26° par rapport à l'écliptique. Il se situe au point de Lagrange L$_4$, c'est-à-dire qu'il est situé à 60° en avant de Neptune.
Le corps est nommé d'après l'amazone Clété, la nourrice de Penthésilée.
# (9050) 1991 RF29

(9050) 1991 RF$_{29}$ est un astéroïde de la ceinture principale découvert en 1991.

## Description

(9050) 1991 RF$_{29}$ a été découvert le 13 septembre 1991 à l'observatoire Palomar, situé au nord de San Diego en Californie, par Henry E. Holt.

### Caractéristiques orbitales

L'orbite de cet astéroïde est caractérisée par un demi-grand axe de 2,38 UA, un périhélie de 2,28 UA, une excentricité de 0,04 et une inclinaison de 10,05° par rapport à l'écliptique. Du fait de ces caractéristiques, à savoir un demi-grand axe compris entre 2 et 3,2 UA et un périhélie supérieur à 1,666 UA, il est classé, selon la JPL Small-Body Database, comme objet de la ceinture principale.

### Caractéristiques physiques

(9050) 1991 RF$_{29}$ a une magnitude absolue (H) de 13,4 et un albédo estimé à 0,057.
# (9249) Yen

(9249) Yen est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(9249) Yen est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 24 septembre 1960 à l'observatoire Palomar par Cornelis Johannes van Houten, Ingrid van Houten-Groeneveld et Tom Gehrels. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,29 UA, une excentricité de 0,08 et une inclinaison de 2,1° par rapport à l'écliptique.
# (925) Alphonsina

(925) Alphonsina est un astéroïde évoluant dans la ceinture principale, découvert le 13 janvier 1920 par l'astronome catalan Josep Comas i Solà depuis l'observatoire Fabra à Barcelone.
Son nom est un hommage à deux rois : Alphonse X de Castille et Alphonse XIII d'Espagne.
# 10e législature de Peleliu

La 10e législature de Peleliu est la dixième session de la Législature de l’État de Peleliu, de 2010 à 2013.
Elle fait suite à la 9e législature de Peleliu (2007-2010) et précède la 11e législature de Peleliu (2013-2016).

## Déroulement

Les élections législatives se sont déroulées le 2 décembre 2010.

## Membres de la Législature

Membres élus de la 10e législature de Peleliu :
| Nom | Qualité |
| Terry Eledui-Ngiraingas | Membre de la circonscription générale. |
| Charles Des Matsutaro | Membre de la circonscription générale. |
| Billy Rekemel | Membre de la circonscription générale. |
| Lucky Ngiradonges | Membre de la circonscription générale. |
| Johannes Tsuneo | Membre de la circonscription générale. |
| Alex Ridep-Ngiraingas | Membre de Ngerchol. |
| Kalbesang Soalablai | Membre de Ngerdelolk. |
| Joe B. Novuo | Membre de Ngesias. |
| Gene Tkel | Membre de Teliu. |
| Edwight Mengirarou | Membre de Ngerkeukl. |
# (4932) Texstapa

(4932) Texstapa est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(4932) Texstapa est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 9 mars 1984 à la station Anderson Mesa par Brian A. Skiff. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 3,11 UA, une excentricité de 0,01 et une inclinaison de 12,9° par rapport à l'écliptique.
# (4934) Rhôneranger

(4934) Rhoneranger, désignation internationale (4934) Rhôneranger, est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(4934) Rhoneranger est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 15 mai 1985 à la station Anderson Mesa par Edward L. G. Bowell. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 3,00 UA, une excentricité de 0,11 et une inclinaison de 11,0° par rapport à l'écliptique.
# (4937) Lintott

(4937) Lintott est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(4937) Lintott est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 1er février 1986 à La Silla par Henri Debehogne. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,60 UA, une excentricité de 0,16 et une inclinaison de 16,9° par rapport à l'écliptique.
# (4938) Papadopoulos

(4938) Papadopoulos est un astéroïde de la ceinture principale.

## Description

(4938) Papadopoulos est un astéroïde de la ceinture principale. Il fut découvert le 5 février 1986 à La Silla par Henri Debehogne. Il présente une orbite caractérisée par un demi-grand axe de 2,35 UA, une excentricité de 0,08 et une inclinaison de 4,6° par rapport à l'écliptique.
# 1246

L'année 1246 est une année commune qui commence un lundi.

## Événements
### Asie

* 10 juin : début du règne de Nâsir ud-Dîn Mahmûd, sultan de Delhi (fin en 1266).
* 24 août : Güyük, fils d'Ögödei et petit-fils de Gengis Khan, est élu 3e khan suprême des Mongols, après la régence de sa mère Töregene.
* Août : Güyük désigne son ami personnel Yissu Mangu, fils puîné de Djaghataï, qui remplace son neveu Kara Hülegü comme khan de Djaghataï (fin en 1252).

### Europe

* 31 janvier : mariage entre Béatrice de Provence, comtesse de Provence et Charles Ier d'Anjou, le frère de Louis IX. Par ce mariage avec la fille de Raymond-Bérenger IV de Provence, Charles devient comte de Provence (jusqu'en 1285), et fait un séjour à Nice.
* Mars : procès d’hérétiques à Toulouse.
* 19 avril : Bataille de Haugsnes, en Islande, pendant les guerres civiles de l'âge des Sturlungar, entre le clan familial des Sturlungar et celui des Ásbirningar. Elle se termine par la défaite de ces derniers.
* Avril : castillans et Léonais prennent Jaén. Mohammed ben Nazar, émir nasride de Grenade reconnaît la souveraineté de la Castille.
* 22 mai : Henri Raspe est élu roi de Germanie par les prélats rhénans en compétition avec Conrad IV.
* 15 juin : mort de Frédéric le Querelleur, duc d’Autriche et de Styrie, dernier des Babenberg, lors d’un combat contre le roi Béla IV de Hongrie sur la Leitha. Il laisse le pays sans héritier, en proie aux féodaux. L’Autriche est disputée entre Ottokar II de Bohême, époux de la sœur de Frédéric (1252) et héritier du trône de Bavière, et la Hongrie (fin en 1254).
* Juillet : arbitrage du roi de France Louis IX et d'Eudes de Châteauroux, cardinal-évêque de Tusculum, dans le conflit dynastique qui oppose la Flandre et le Hainaut depuis la mort de Jeanne de Constantinople ; le comté de Hainaut est attribué à la maison d’Avesnes, le comté de Flandre au Dampierre ; après la reprise du conflit en 1253, l'arbitrage est confirmé par le dit de Péronne le 24 septembre 1256.
* 5 août : Bataille de la Nidda, près de Francfort. Conrad IV, fils de Frédéric II, est battu par le landgrave de Thuringe, Henri Raspe élu roi par les prélats rhénans.
* 30 septembre : André II, fils de Iaroslav, devient grand-prince de Vladimir à la mort de son père (fin en 1252).
* Louis IX loue seize bateaux à Gênes et vingt à Marseille pour assurer le passage de la croisade. La flotte est commandée par un amiral génois.
* Reprise du monnayage d'or à Lucques.
# 1246 en santé et médecine

Cet article présente les faits marquants de l'année 1246 en santé et médecine.

## Événements

* Le synode de Béziers rappelle que le droit canonique interdit rigoureusement aux chrétiens de se faire soigner par un médecin juif, prohibition qui reste généralement ignorée.
* Par un acte qui peut être tenu pour fondateur de l'université de Sienne, l'athénée municipal de cette ville, où la médecine est déjà enseignée, reçoit de Frédéric II « une forme limitée de reconnaissance impériale ».
* Le roi Louis IX, à la demande de son frère Charles Ier, comte d'Anjou, fonde l'université d'Angers, dont la faculté de médecine ne sera créée qu'en 1432-1433, par le pape Eugène IV et le roi Charles VII.
* Fondation à Lyon, quartier Saint-Georges, par Guichard de Condrieu d'un hôpital Saint-Antoine qui aura disparu en 1280.
* Robert de Montpellier, apothicaire d'Henri III, serait le premier à ouvrir une pharmacie à Cheapside, grand marché de Londres.
* Malgré l'interdiction faite aux ordres majeurs d'exercer la chirurgie, renouvelée en 1234 par Grégoire IX, le pape Innocent IV autorise Richard de Fournival (1201-1260) devenu diacre à continuer de pratiquer cet art.
* 1213-vers 1246 : « courte existence » de l'hôpital Novellus de Toulouse.
* 1246 ou 1248 : fondation de l'hôpital Notre-Dame de Seclin, par Marguerite, comtesse de Flandre, sœur de Jeanne de Constantinople.

## Publication

* 1245 ou 1246 : parution des Vies de médecins de l'historien Ibn Abi Usaybi'a, compilation de plus de quatre cents biographies de savants, rédigée en 1242$^,$
# 1248 dans les croisades

Cette page regroupe les évènements concernant les Croisades qui sont survenus en 1248 :
* 12 juin : Saint-Louis et la septième croisade quittent Saint-Denis.
* 25 août : Saint-Louis et la septième croisade s'embarquent à Aigues-Mortes.
* 7 septembre : Saint-Louis et la septième croisade débarquent à Chypre.
* 23 novembre : Ferdinand III de Castille prend Séville (Reconquista).
# .kz

.kz est le domaine national de premier niveau (country code top level domain : ccTLD) réservé au Kazakhstan.
# .kw

.kw est le domaine national de premier niveau (country code top level domain : ccTLD) réservé au Koweït. Il est introduit le 26 octobre 1992 et est exploité par le département d'État des communications. L'administrateur technique est l'Institut koweïtien pour la recherche scientifique.

## Domaines de second niveau

Le domaine de premier niveau .kw est divisé en six domaines de second niveau. Les domaines ne peuvent être enregistrés qu'au troisième niveau en tant que domaines de second niveau, par exemple, .com.kw pour les entreprises commerciales, .net.kw pour les fournisseurs de services Internet ou .gov.kw pour les agences gouvernementales.
* com.kw : Entités commerciales avec une licence commerciale valide du Ministère du Commerce et de l'Industrie .
* ind.kw : Une personne qui n'est pas mineure et qui possède la nationalité koweïtienne ou un résident qui possède une résidence valide dans l'État du Koweït.
* net.kw : Entreprise de TIC agréée par les autorités compétentes de l'État du Koweït.
* org.kw : Entité à but non lucratif autorisée par les autorités compétentes de l'État du Koweït à exercer ses activités.
* gov.kw : Ministères et entités gouvernementales.
* edu.kw : Entité éducative autorisée par les autorités compétentes de l'État du Koweït à exercer ses activités.
* emb.kw : Ambassades d'autres pays au Koweït.
* .kw est est l'extension de premier niveau des noms de domaine de l'État du Koweït.
# (612533) 2002 XV93

(612533) 2002 XV$_{93}$ est un objet transneptunien (OTN) ayant une magnitude absolue de 5,4. Étant en résonance orbitale 2:3 avec Neptune, il s'agit d'un plutino.
Il a été observé sur des images de prédécouverte remontant à 1990.

## Orbite et période de rotation

(612533) 2002 XV$_{93}$ est bloqué en résonance 2:3 avec Neptune, ce qui signifie que lorsqu'il fait trois révolutions autour du Soleil, Neptune en fait trois.
Sa période de rotation n'est pas connue.

## Caractéristiques physiques

La taille de 2002 XV$_{93}$ a été mesurée par le télescope spatial Herschel à 549,2 $^{+21,7}$ $_{−23,0}$ km.
# (612352) 2002 GY32

(612352) 2002 GY$_{32}$ est un objet transneptunien du groupe des plutinos.

## Caractéristiques

(612352) 2002 GY$_{32}$ mesure environ 200 km de diamètre.
# Ruth Jennifer Ondo Mouchita

Ruth Jennifer Ondo Mouchita, née le 2 novembre 1992 dans la province du Haut-Ogooué, est une reine de beauté gabonaise, élue Miss Gabon en 2013. En 2018, elle intègre le casting de l'émission de télé-réalité Les perles de Beverly Hills, tournée à Los Angeles et en cours de production.

## Biographie
### Élection Miss Gabon 2013

Ruth Jennifer Ondo Mouchita est couronnée Miss Gabon 2013 durant un gala organisé lors de la finale de la plus belle femme du Gabon qui s'est tenu le 22 décembre 2012 à la Cité de la démocratie de Libreville. Elle succède à Marie-Noëlle Ada et devient la 11e Miss Gabon.

### Parcours

* Miss Haut-Ogooué pendant la phase des présélections.
* Miss Gabon 2013 à la Cité de la Démocratie à Libreville.
* Candidate à Miss Univers 2013 à Moscou, en Russie.

## Télé-réalité

En 2018, elle participe au tournage d'une émission de télé-réalité baptisée Les perles de Beverly Hills.
# Kanigówek

Kanigówek (prononciation : [kaniˈɡuvɛk]) est un village polonais de la gmina de Ciechanów dans le powiat de Ciechanów de la voïvodie de Mazovie dans le centre-est de la Pologne.
Il se situe à environ 12 kilomètres à l'ouest de Ciechanów (siège de la gmina et du powiat) et à 80 kilomètres au nord-ouest de Varsovie (capitale de la Pologne).

## Histoire

De 1975 à 1998, le village appartenait administrativement à la voïvodie de Ciechanów.
# Touki Bouki

Touki Bouki est un film sénégalais réalisé par Djibril Diop Mambéty, sorti en 1973. C'est le troisième film du réalisateur.

## Synopsis

Mory, un berger venu à Dakar vendre son troupeau, rencontre Anta, une étudiante à l'université. Ensemble, ils chevauchent une moto montée avec le crâne d'une vache et rêvent de partir en France, de quitter le Sénégal et l'Afrique. Tous les moyens sont bons pour trouver l'argent pour le voyage. Mory vole des vêtements et de l'argent d'un riche homosexuel qui l'avait invité chez lui. Mais au moment de partir, Anta prend le bateau pour l'Europe et Mory quant à lui, reste et retourne à ses racines.

## Fiche technique

* Titre original : Touki Bouki (Le Voyage de la hyène)
* Réalisation : Djibril Diop Mambéty
* Scénario : Djibril Diop Mambéty
* Musique : Joséphine Baker, Mado Robin, Aminata Fall
* Image : Pap Samba Sow, Georges Bracher
* Son : El Hadji Mbow
* Montage : Siro Asteni, Emma Mennenti
* Studios de Production : Cinegrit, Studio Kankourama
* Distribution : International Film Circuit
* Année de sortie : 1973
* Pays d'origine : Sénégal
* Langue : Wolof
* Durée : 95 minutes

## Distribution

* Aminata Fall : Tante Oumy
* Ousseynou Diop : Charlie
* Magaye Niang : Mory
* Mareme Niang : Anta

## Réception

Le Monde le qualifie de chef-d'œuvre du nouveau cinéma: « A mi-chemin du Français Jean-Luc Godard et du Brésilien Glauber Rocha, le film, brillante allégorie coloriste s’autorisant toutes les libertés narratives, offre une radiographie inquiétante du Sénégal postcolonial. »

## Récompenses et distinctions
### Récompenses

* Prix de la critique internationale au Festival de Cannes en 1973
* Prix de la FIPRESCI au Festival international du film de Moscou
* Lien (en) 8e Festival du Film Moscou
* Touki Bouki est classé 52e par le magazine Empire magazine's "The 100 Best Films Of World Cinema" in 2010.
# Théorème d'Ax-Kochen

Le théorème d'Ax-Kochen est un théorème de la théorie des nombres attribué à James Ax et Simon Kochen.
Théorème d'Ax-Kochen — Pour tout entier $d>0$, il existe un ensemble fini $E(d)$ de nombres premiers tels que si $p$ est un nombre premier qui n'est pas dans $E(d)$, alors tout polynôme homogène de degré $d$ (avec $n>d^{2})$ sur les nombres p-adiques
$f\in \mathbb {Q} _{p}[X_{1},\dots ,X_{n}]$
$(0,0,...,0)$
$\mathbb {Q} _{p}^{n}$

## Article connexe

Corps quasi-algébriquement clos
# Théorème d'Ax-Grothendieck

En mathématiques, le théorème d'Ax-Grothendieck est un résultat d'algèbre sur l'injectivité et la surjectivité des polynômes qui a été prouvé indépendamment par James Ax et Alexandre Grothendieck$^,$$^,$$^,$.
Ce théorème est souvent énoncé dans le cas particulier suivant : toute fonction polynomiale de C$^n$ dans C$^n$ qui est injective est bijective$^,$.
Le théorème complet est la généralisation à n'importe quelle variété algébrique sur un corps algébriquement clos.

## Démonstration par les corps finis

La démonstration du théorème par Grothendieck$^,$, s'appuie sur le théorème analogue pour un corps fini ou sa clôture algébrique : pour tout corps F qui est fini ou qui est la clôture algébrique d'un corps fini, si une fonction polynomiale de F$^n$ dans lui-même est injective, alors elle est bijective.
Si F est un corps fini, alors F$^n$ est fini. Dans ce cas, le théorème est vrai pour des raisons triviales n'ayant rien à voir avec la représentation de la fonction comme un polynôme : toute injection d'un ensemble fini dans lui-même est une bijection. Lorsque F est la clôture algébrique d'un corps fini, le résultat découle du théorème des zéros de Hilbert. Le théorème d'Ax-Grothendieck pour les nombres complexes peut donc être démontré en montrant qu'un contre-exemple sur C se traduirait en un contre-exemple dans une certaine extension algébrique d'un corps fini.
Cette méthode de démonstration est remarquable comme exemple de l'idée que des relations algébriques finitaires dans les corps de caractéristique 0 se traduisent en des relations algébriques dans les corps finis de grande caractéristique. Donc, on peut utiliser l'arithmétique des corps finis pour démontrer un énoncé sur C, bien qu'il n'y ait pas de morphisme d'un corps fini dans C. La démonstration utilise donc des principes de la théorie des modèles pour démontrer un énoncé élémentaire sur les polynômes. La démonstration pour le cas général utilise une méthode similaire.