# Loi de Malus

La loi de Malus est une loi en optique portant sur la quantité d'intensité lumineuse transmise par un polariseur parfait.

## Histoire

L'éponyme de la loi de Malus$^,$ est Étienne Louis Malus$^,$ (1775-1812) qui l'a découverte en 1809.

## Principe

Supposons qu'une onde plane polarisée rectilignement passe par un polariseur. On note θ l'angle que fait cette polarisation avec l'axe du polariseur. L'onde sortante est alors polarisée selon l'axe du polariseur, mais elle est atténuée par un certain facteur : si l'on note $I_{0}$ et $I$ les intensités incidente et sortante, alors la loi de Malus s'écrit :
    $I=I_{0}\cos ^{2}{(\theta )}$.
Cette loi a quelques conséquences importantes :
* Si la polarisation de l'onde incidente est dans la même direction que l'axe du polariseur, alors toute l'intensité lumineuse est transmise ($\theta =0$).
* Si la polarisation de l'onde incidente est orthogonale à l'axe du polariseur, alors il n'y a pas d'onde sortante ($\theta =90$°). Dans ce cas, on dit que le polariseur est « croisé ».
* Si l'onde incidente n'est pas polarisée, c'est-à-dire qu'elle est constituée de toutes les polarisations possibles, alors en effectuant la moyenne de $I$, on obtient $I=I_{0}/2$ : la moitié de l'intensité passe. C'est ce que l'on observe en regardant une lampe à travers un polariseur.

## Démonstration

Un polariseur a pour effet de projeter l'amplitude A$_0$ de l'onde qu'il reçoit sur son axe. Dans le cas d'une onde polarisée rectilignement, cette projection est proportionnelle au cosinus de l'angle θ défini plus haut. Ainsi, en notant A l'amplitude sortante, on a :
    $A=A_{0}\cos {(\theta )}$.
Or, l'intensité lumineuse est, par définition, proportionnelle au carré de l'amplitude d'une onde polarisée rectilignement E:
$I_{0}={\overrightarrow {E}}.{\overrightarrow {E}}=E_{0}^{2}$
En élevant au carré l'expression précédente on obtient alors :
    $I=I_{0}\cos ^{2}{(\theta )}=A_{0}^{2}\cos ^{2}(\theta )$.
Dans le cas d'une onde non polarisée, la formule se démontre en trouvant la moyenne de la fonction $\cos ^{2}(\theta )$ grâce au théorème de la moyenne. Par contre, il suffit, pour s'en convaincre, de voir que $\cos ^{2}(\theta )$ ne peut aller que de 0 à 1, puisque :
| $\cos(0^{\circ })=1$ | $\cos(90^{\circ })=0$ | $\cos(180^{\circ })=-1$ | $\cos(270^{\circ })=0$ |
| $\cos ^{2}(0^{\circ })=1$ | $\cos ^{2}(90^{\circ })=0$ | $\cos ^{2}(180^{\circ })=1$ | $\cos ^{2}(270^{\circ })=0$ |
Ainsi, la valeur moyenne de $\cos ^{2}(\theta )$ est forcément ${\frac {1}{2}}$, donc la formule est $I={\frac {I_{0}}{2}}$.
Toutefois, la preuve rigoureuse nécessite le théorème de la moyenne. Cette fonction vaut 1 (maximum) pour un angle de 0° et vaut 0 (son minimum) pour un angle de 90°. Ainsi, la moyenne entre ces deux extrêmes de la fonction sera :
${\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\cos ^{2}(\theta )}\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\color {OliveGreen}\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)}\,d\theta }{\pi /2-0}}$
Cette équation est obtenue grâce à une identité trigonométrique parmi les formules de réduction du carré qui dit que $\color {OliveGreen}\cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$. Par la suite, on intègre terme à terme puis on met en évidence les constantes :
$={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}1\,d\theta }+{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos(2\theta )\,d\theta }}}{\pi /2-0}}$
L'intégrale de 1 selon θ est θ. Remarquons que l'on peut faire une substitution : $\color {YellowOrange}u=2\theta$ et $\color {YellowOrange}d\theta ={\tfrac {du}{2}}$.
$={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(u)\,du}}{\pi /2-0}}={\frac {{\frac {1}{2}}{\color {blue}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(u)\right]_{0}^{\pi }}}{\pi /2-0}}$
Nous pourrions continuer à partir de là, mais exprimons la formule avec une seule primitive, car cette forme est plus souvent rencontrée. Dans la ligne qui suit, la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et la propriété d'associativité de l'addition sont utilisées :
$={\frac {{\frac {1}{2}}\left[\theta \right]_{0}^{\pi /2}+{\color {YellowOrange}{\tfrac {1}{4}}\displaystyle \left[\sin(2\theta )\right]_{0}^{\pi /2}}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}\sin(2\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}={\frac {\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\color {OliveGreen}2\sin(\theta )\cos(\theta )}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}}{\pi /2-0}}$
Cette équation est obtenue grâce à une identité trigonométrique parmi les formules de l'angle double qui dit que ${\color {OliveGreen}\sin[2(x)]=2\sin(x)\cos(x)}$. Nous obtenons finalement la primitive la plus souvent rencontrée :
$=\left[{\color {Plum}{\frac {\theta +\sin(\theta )\cos(\theta )}{2}}}\right]_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cdot {\frac {2}{\pi }}=\left({\color {Plum}F({\tfrac {\pi }{2}})-F(0)}\right)\cdot {\frac {2}{\pi }}={\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$
Si on le fait pour l'équation de l'intensité lumineuse en entier, la fonction vaudra $I_{0}$ (maximum) pour un angle de 0° et vaudra 0 (son minimum) pour un angle de 90°. Ainsi, la moyenne entre ces deux extrêmes de la fonction sera :
${\bar {I}}={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{I_{0}}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={\frac {{I_{0}}\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta }{\pi /2-0}}={I_{0}}{\frac {\color {red}\pi }{4}}\cdot {\frac {2}{\color {red}\pi }}={I_{0}}{\frac {2}{4}}={\frac {I_{0}}{2}}$
Par conséquent, pour une onde non polarisée, la formule est $I={\frac {I_{0}}{2}}$.

## Observation expérimentale

Dans l'exemple ci-dessous, on observe la lumière polarisée rectilignement provenant d'un écran d'ordinateur. D'après la loi de Malus, le polariseur placé devant peut l'empêcher de passer selon son orientation.
* Observation de l'effet d'un polariseur sur une lumière polarisée provenant d'un écran plat d'ordinateur.