# Comparaison de topologies

En mathématiques, l'ensemble de toutes les topologies possibles sur un ensemble donné possède une structure d'ensemble partiellement ordonné. Cette relation d'ordre permet de comparer les différentes topologies.

## Définition

Soient τ$_1$ et τ$_2$ deux topologies sur un ensemble X.
On dit que τ$_2$ est plus fine que τ$_1$ (ou bien que τ$_1$ est moins fine que τ$_2$) et on note τ$_1$ ⊆ τ$_2$ si l'application identité id$_X$ : (X, τ$_2$) → (X, τ$_1$) est continue.
Si de plus τ$_1$ ≠ τ$_2$, on dit que τ$_2$ est strictement plus fine que τ$_1$ (ou bien que τ$_1$ est strictement moins fine que τ$_2$).
La relation binaire ⊆ définit une relation d'ordre partiel sur l'ensemble de toutes les topologies possibles sur X.

## Exemples

La topologie la plus fine sur X est la topologie discrète ; dans cette topologie, tous les sous-ensembles sont ouverts. La topologie la plus faible sur X est la topologie grossière ; cette topologie admet uniquement l'ensemble vide et l'ensemble tout entier comme ouverts.
Dans les espaces de fonctions et les espaces de mesures, il existe un grand nombre de topologies possibles. Par exemple, l'espace des fonctions continues définies sur l'intervalle unité [0, 1] peut être doté de la topologie de la convergence simple ou de topologie de la convergence uniforme : la seconde est plus fine que la première.

## Propriétés

Soient τ$_1$ et τ$_2$ deux topologies sur un ensemble X. Les propositions suivantes sont équivalentes :
* τ$_1$ ⊆ τ$_2$ ;
* l'application identité id$_X$ : (X, τ$_2$) → (X, τ$_1$) est continue ;
* l'application identité id$_X$ : (X, τ$_1$) → (X, τ$_2$) est une application ouverte (ou, de manière équivalente, une application fermée) ;
* pour tout x ∈ X, tout voisinage de x pour τ$_1$ est un voisinage de x pour τ$_2$ ;
* pour toute partie A de X, l'adhérence de A pour τ$_2$ est contenue dans l'adhérence de A pour τ$_1$ ;
* toute partie de X fermée pour τ$_1$ est fermée pour τ$_2$ ;
* toute partie de X ouverte pour τ$_1$ est ouverte pour τ$_2$.
On a deux corollaires immédiats :
* Une application continue f : X → Y reste continue si on remplace la topologie sur Y par une topologie plus faible ou si on remplace la topologie sur X par une topologie plus fine ;
* Une application ouverte (resp. fermée) f : X → Y reste ouverte (resp. fermée) si on remplace la topologie sur Y par une topologie plus fine ou si on remplace la topologie sur X par une topologie plus faible.
On peut également comparer des topologies en utilisant des bases de voisinages. Soient τ$_1$ et τ$_2$ deux topologies sur un ensemble X et soient B$_i$(x) une base locale de voisinages pour la topologie τ$_i$ en x ∈ X pour i = 1,2. Alors τ$_1$ ⊆ τ$_2$ si et seulement si pour tout x ∈ X, chaque ouvert U$_1$ dans B$_1$(x) contient un ouvert U$_2$ dans B$_2$(x). Intuitivement, cela signifie qu'une topologie plus fine doit avoir de plus « petits » voisinages.

## Treillis des topologies

L'ensemble de toutes les topologies sur un ensemble X muni de la relation d'ordre partiel ⊆ forme un treillis complet. Toute collection de topologies sur X possède une borne inférieure et une borne supérieure. La borne inférieure d'une collection de topologies est l'intersection de ces topologies. La borne supérieure, cependant, n'est généralement pas l'union de ces topologies (l'union de deux topologies n'est pas une topologie) mais la topologie engendrée par l'union.