# Loi du χ

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du $\chi$ (prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du $\chi$ ; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).
Si $X_{i}$ sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne $\mu _{i}$ et écart-type $\sigma _{i}$, alors la variable
    $Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
est de loi du $\chi$.

## Caractérisations
### Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi du $\chi$ est :
    $f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{1-{\frac {k}{2}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$
où $\Gamma (z)$ est la fonction gamma.

### Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi du $\chi$ est :
    $F(x;k)={\begin{cases}\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$
où $P(k,x)$ est la fonction gamma incomplète (régularisée).

### Fonctions génératrices
#### Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est donnée par :
    $M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right).$
où M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

#### Fonction caractéristique

La fonction caractéristique est donnée par :
    $\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).$
où M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

## Propriétés
### Moments

Les moments de la loi du $\chi$ sont donnés par :
    $\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+j}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$
où $\Gamma (z)$ est la fonction gamma. Les premiers moments sont :
    $\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$
    $\mu _{2}=k\,$
    $\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+3}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)\mu _{1}$
    $\mu _{4}=k(k+2)\,$
    $\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+5}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}$
    $\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,$
où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :
    $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,$
à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :
    $\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ({\tfrac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {k}{2}})}}$
    $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
    $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})$
    $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

### Entropie

L'entropie est donnée par :
    $S=\ln \left(\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(k-\ln(2)-(k-1)\psi _{0}\left({\frac {k}{2}}\right)\right)$
où $\psi _{0}(z)$ est la fonction polygamma.

## Liens avec d'autres lois

* Si $X\sim \chi _{k}(x)$ alors $X^{2}\sim \chi _{k}^{2}$, (loi du χ²)
* $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}(x)-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,$, (loi normale)
* Si $X\sim \chi _{1}(x)\,$ alors $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$, (loi demi-normale) pour tout $\sigma >0\,$
* $\chi _{2}(x)\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$, (loi de Rayleigh)
* $\chi _{3}(x)\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$, (loi de Maxwell)
* $\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|\sim \chi _{k}(x)$, (la norme de n variables de loi normale est de loi du $\chi$à k degrés de liberté.)
* la loi du $\chi$ est un cas particulier de la loi Gamma généralisée.
Différentes lois du $\chi$ et $\chi ^{2}$ :
| Lois | en fonction de variables de loi normale |
| loi du χ² | $\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$ |
| loi du χ² non centrée | $\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$ |
| loi du χ | ${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$ |
| loi du χ non centrée | ${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$ |