# Détente de Joule-Gay-Lussac

La détente de Joule Gay-Lussac, du nom de Joseph Louis Gay-Lussac, est une détente adiabatique irréversible dans le vide. Pendant cette expérience, l'énergie interne du système reste constante : elle est donc isoénergétique.
On en déduit la première loi de Joule : « l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température ».

## Description de l'expérience

On considère deux récipients $C_{1}$ de volume $V_{1}$ et $C_{2}$ de volume $V_{2}$, aux parois calorifugées et indéformables, pouvant communiquer au moyen d'un robinet. Le premier, $C_{1}$, contient un gaz sous la pression $P_{1}$ et à la température $T_{1}$. Le deuxième, $C_{2}$, est initialement vide.
On ouvre le robinet. Le gaz se répand dans $C_{2}$. Cette diffusion est un processus spontané, puisqu'aucune action extérieure n'est nécessaire pour que le gaz diffuse, et non renversable, puisqu'une fois le récipient $C_{2}$ rempli il ne se revide pas spontanément : la transformation est donc irréversible. L’état final du gaz est $P_{f},V_{f},T_{f}$.
Pour un gaz parfait, on constate expérimentalement que $T_{f}\approx T_{1}$.

## Interprétation

Le système considéré pour les deux calculs ci-dessous regroupe les deux récipients $C_{1}$ et $C_{2}$, de volume total $V_{f}=V_{1}+V_{2}$.

### Calcul de la variation d'énergie interne

Soit $\Delta U$ la variation d'énergie interne du système considéré. D'après le premier principe de la thermodynamique on a :
    $\mathrm {d} U=\delta Q+\delta W$
La transformation est adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur, donc $\delta Q=0$. De plus, le volume du gaz varie mais aucun travail n'est produit par le gaz (puisque l'enceinte 2 est vide), d'où $\delta W=0$. On en conclut que :
    $\mathrm {d} U=0$
L'énergie ne varie pas, $U={\text{cte}}$. Pour un gaz parfait, selon la première loi de Joule, l'énergie interne ne dépend que de la température : $\mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T$ avec $C_{V}$ la capacité thermique isochore (à volume constant). Par conséquent la température ne varie pas, $T={\text{cte}}$.

### Calcul de la variation d'entropie

On considère la transformation réversible associée qui passe par le même état initial ($V_{1},T_{1}$) et le même état final ($V_{f},T_{f}=T_{1}$). D'après le premier principe de la thermodynamique, puisque la transformation est isoénergétique et réversible :
    $T\,\mathrm {d} S=\mathrm {d} U+P\,\mathrm {d} V=P\,\mathrm {d} V$
On obtient, d'après la loi des gaz parfaits :
    $\mathrm {d} S=P\,{\mathrm {d} V \over T}=nR\,{\mathrm {d} V \over V}$
On intègre et on obtient finalement :
    $\Delta S=nR\int _{V_{1}}^{V_{f}}{\mathrm {d} V \over V}=nR\ln \left({V_{f} \over V_{1}}\right)$
Si le volume double ($V_{f}/V_{1}=2$), la variation d'entropie molaire $\Delta S/n$ est de 5,76 J/(K·mol).

## Gaz réel

Pour un gaz suivant l'équation d'état de van der Waals :
    $\mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T+n^{2}a\,{\frac {\mathrm {d} V}{V^{2}}}$.
Pour $\mathrm {d} U=0$, on a donc :
    $C_{V}\,\mathrm {d} T=-n^{2}a\,{\frac {\mathrm {d} V}{V^{2}}}$
En intégrant, on obtient :
    $C_{V}\left(T_{f}-T_{1}\right)=n^{2}a\left({\frac {1}{V_{f}}}-{\frac {1}{V_{1}}}\right)$
Comme $C_{V}>0$, $a>0$ et $V_{f}>V_{1}$, on en déduit que $T_{1}>T_{f}$.
Dans une détente de Joule-Gay-Lussac, un gaz de van der Waals ne peut que refroidir (lorsque son volume augmente à énergie constante sa température diminue). C'est le cas de la majorité des gaz réels, à l'exception notable de l'hélium, de l'hydrogène et de certains gaz rares qui se réchauffent sous certaines conditions de température initiale dans une détente de ce type$^,$.