# Énergie élastique

L'énergie élastique est l'énergie associée à la déformation élastique d'un objet solide ou d'un fluide (pression d'un gaz ou d'un liquide).
En effet, pour déformer un solide ou un fluide, il faut exercer sur lui une force ${\vec {\mathrm {F} }}$ qui va provoquer une variation de volume ΔV. Le point d'application de la force va donc bouger, le travail de cette force permet de déterminer l'énergie de déformation.
Cette énergie s'exprime par rapport à un état de référence, par exemple système sans compression, ou bien soumis à la pression atmosphérique ; elle est donc définie à une constante près.

## Cas d'un fluide

Pour un fluide, on définit typiquement cette énergie par
    $\mathrm {E_{e}} =p\cdot \mathrm {V}$
où p est la pression et V le volume du fluide.

### Cas d'un liquide "incompressible"

Considérons un fluide "incompressible" qui s'écoule sans dissipation d'énergie dans une canalisation. On considère la partie comprise en une section droite 1 d'aire A$_1$ et une section droite 2 d'aire A$_2$. Lorsque le fluide avance, la section 1 avance d'une quantité s$_1$ et la section 2 d'une quantité s$_2$. Si le fluide est "incompressible", le volume se conserve et l'on a
    A$_1$×s$_1$ = A$_2$×s$_2$ = δV.
Le travail des forces de pression s'écrit :
    W = (p$_1$×A$_1$)×s$_1$ - (p$_2$×A$_2$)×s$_2$ = (p$_1$ - p$_2$)δV.
Si l'on fait sortir tout le liquide d'une canalisation de volume V où il règne une pression p dans un espace où la pression est nulle, cela représente un travail
    p$_1$V.
On peut ainsi définir l'énergie élastique du liquide comme valant
    E$_e$ = pV.
Rappelons qu'un fluide (comme toute matière) n'est jamais totalement "incompressible", la compressibilité étant directement reliée à la vitesse du son dans l'élément. Ceci est donc une idéalisation pour simplifier les calculs mais en toute rigueur, nous parlerons plutôt d'écoulement incompressible.

### Cas d'un gaz

Considérons un cylindre rempli d'un gaz à la pression p, et un piston d'aire S qui se déplace d'une quantité dx dans ce cylindre. On considère que la pression ne varie pas pendant le déplacement.
La variation de volume vaut
    dV = S×dx.
Le piston est soumis à une force
    F = p×S
et donc le travail qu'il fournit au gaz est
    δW = F×dx = p×S×dx = p×dV.

#### Transformation adiabatique

Si la transformation est rapide, le gaz n'échange pas de chaleur avec l'environnement ; la transformation est dite adiabatique. La notion d'énergie élastique implique que l'on considère le travail que peut fournir un gaz en détente. Cela peut correspondre ici à une cartouche de gaz que l'on percute, à la rupture accidentelle d'un réservoir, à un gaz propulseur, …
Si de plus on considère que c'est un gaz parfait, alors l'énergie élastique s'exprime par (voir Théorème de Bernoulli > Formulations étendues) :
    $\mathrm {E_{e}} ={\frac {\gamma }{\gamma -1}}p\mathrm {V}$
où γ est l'indice adiabatique. Pour l'air et tous les gaz parfaits diatomiques, on a γ = 7/5 = 1,4, soit
    E$_e$ = 3,5×pV.

#### Autres transformations

Si la transformation est lente, alors le gaz reste à la température de son environnement ; on a une transformation isotherme. La détermination d'une énergie élastique est ici peu pertinente d'un point de vue industriel : cela suppose que le piston est piloté de l'extérieur, donc le gaz n'est probablement pas la source du mouvement.
Par ailleurs, la définition de l'énergie élastique pose problème : le travail pour passer d'un état (p$_1$, V$_1$) à un état (p$_2$, V$_2$) vaut
    $\mathrm {W} _{12}=n\mathrm {R} \mathrm {T} \ln \left({\frac {\mathrm {V} _{2}}{\mathrm {V} _{1}}}\right)$
et le gaz étant parfait, on a
    nRT = p$_2$V$_2$ = p$_1$V$_1$
soit
    $\mathrm {W} _{12}=p\mathrm {V} \ln \left({\frac {\mathrm {V} _{2}}{\mathrm {V} _{1}}}\right)$
On retrouve bien ce terme pV, mais contrairement au processus adiabatique, le travail croît indéfiniment lors d'une détente puisque
    $\lim _{\mathrm {V} \to +\infty }\ln \mathrm {V} =+\infty$.
Les situations adiabatiques et isothermes sont des cas idéaux. Dans un cas réel, l'estimation de l'énergie élastique peut être complexe.

## Cas d'un ressort

Pour un ressort de raideur k, elle est définie en fonction de l'allongement Δl :
    $\mathrm {E_{e}} ={\frac {1}{2}}\cdot k\cdot \Delta l^{2}$

## Cas d'un solide

En mécanique des milieux continus, la densité d'énergie élastique (en J·m$^{-3}$) s'exprime
* dans le cas de la traction uniaxiale, en fonction de la contrainte normale σ et de l'allongement relatif ε : $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \sigma \cdot \varepsilon$ soit d'après la loi de Hooke, en faisant intervenir le module d'élasticité E : $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {E} \cdot \varepsilon ^{2}$ ;
* dans le cas du cisaillement pur, en fonction de la contrainte de cisaillement τ et de la déformation angulaire γ : $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \tau \cdot \gamma$ soit en faisant intervenir le module de cisaillement G : $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {G} \cdot \gamma ^{2}$ ;
Il va de soi que ces expressions ne sont valables que pour des matériaux sollicités dans le domaine élastique (la contrainte demeure en deçà de la limite d'élasticité).
De manière générale, l'énergie élastique par unité de volume vaut
    $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(\sigma _{ij}\varepsilon _{ij})$
c'est-à-dire, avec la convention de sommation d'Einstein :
    $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} ({\underline {\mathrm {T} }}\cdot {\underline {\mathrm {E} }})$.
En utilisant les composantes principales (voir Tenseur des déformations > Déformations principales et Contrainte principale) :
    $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{\mathrm {I} }\varepsilon _{\mathrm {I} }+\sigma _{\mathrm {II} }\varepsilon _{\mathrm {II} }+\sigma _{\mathrm {III} }\varepsilon _{\mathrm {III} })$.
En faisant intervenir la loi de Hooke généralisée pour un matériau isotrope, on obtient
    $w_{\mathrm {e} }=\left(\mu +{\frac {\lambda }{2}}\right)\mathrm {I} _{\mathrm {e} 1}^{2}-2\mu \mathrm {I} _{\mathrm {e} 2}$
où
* λ et μ sont les coefficients de Lamé ;
* I$_{e1}$ et I$_{e2}$ sont les invariants du tenseur de déformation ;
ou encore
    $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2\mathrm {E} }}\mathrm {I} _{\mathrm {s} 1}^{2}-{\frac {1}{2\mu }}\mathrm {I} _{\mathrm {s} 2}$
où
* E est le module de Young ;
* I$_{s1}$ et I$_{s2}$ sont les invariants du tenseur des contraintes.
Si l'on décompose les tenseurs en partie isotrope et déviateur (voir Tenseur des déformations > Tenseur isotrope et déviateur et Tenseur des contraintes > Déviateur), on a
    $w_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left((\sigma '+\sigma '')(\varepsilon '+\varepsilon '')\right)={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma '\cdot \varepsilon ')+{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma ''\cdot \varepsilon '')$.
Les tenseurs isotropes donnent l'énergie de changement de volume (sans changement de forme) :
    $\mathrm {U_{v}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma '\cdot \varepsilon ')$ ;
les déviateurs donnent l'énergie de changement de forme (sans changement de volume), encore appelée énergie de distorsion :
    $\mathrm {U_{f}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} (\sigma ''\cdot \varepsilon '')$ ;
et donc
    w$_e$ = U$_v$ + U$_f$.
Cette énergie de distorsion est à la base de la définition de la contrainte équivalente de von Mises.