# Théorème de Buchdahl

Le théorème de Buchdahl (en anglais : Buchdahl theorem) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale $C$ d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : $C={\frac {GM}{Rc^{2}}}={\frac {4}{9}}$, où $M$ et $R$ sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où $G$ et $c$ sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide. Le rayon $R={\frac {9GM}{4c^{2}}}$ est dit rayon de Buchdahl. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée$^,$. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2$^,$$^,$. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (gap) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est $C={\frac {1}{2}}$.

## Historique

En 1916, Karl Schwarzschild (1873-1919) publie successivement$^,$ deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à $^9$⁄$_8$ fois son rayon de Schwarzschild.
L'éponyme du théorème de Buchdahl$^,$ est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en 1959$^,$.

## Désignations alternatives

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit).

## Expressions

L'inégalité s'écrit :
    ${\frac {2GM}{c^{2}R}}<{\frac {8}{9}}$
ou
    ${\frac {GM}{c^{2}R}}<{\frac {4}{9}}$,
avec :
* $M$, la masse de l'objet ;
* $R$, le rayon de l'objet ;
* $G$, la constante gravitationnelle ;
* $c$, la vitesse de la lumière dans le vide.
En unités géométriques, c'est-à-dire avec :
    $c=G=1$,
l'inégalité s'écrit :
    ${\frac {2M}{R}}<{\frac {8}{9}}$,
ou
    ${\frac {M}{R}}<{\frac {4}{9}}$.
Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

## Hypothèses

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique et à symétrique sphérique ; son intérieur est décrit par un fluide parfait de densité d'énergie $\epsilon$ positive et de pression $p$ positive, et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale $r$ :
    $\epsilon \geq 0,\qquad p\geq 0,\qquad {\frac {\mathrm {d} \epsilon }{\mathrm {d} r}}\leq 0$.

## Extensions

Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions incluant une constante cosmologique non nulle. Il a été généralisé en gravitation en $f(R)$.