# Loi du zéro-un de Borel

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », par Émile Borel, en vue de la démonstration du théorème des nombres normaux, et en vue d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

## Énoncé

Dans un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),$ considérons une suite $(A_{n})_{n\geq 0}$ d'éléments de ${\mathcal {A}}$ (ou "événements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :
$A_{n}$
$\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)$
$\mathbb {P} (A_{n})$
* Si la série de terme général $\mathbb {P} (A_{n})$ est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a $\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=0.$
C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.
* Supposons que la série de terme général $\mathbb {P} (A_{n})$ est divergente, et montrons que
$\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=1,$
ou, de manière équivalente, montrons que
$\mathbb {P} \left({\overline {\limsup _{n}A_{n}}}\right)=0.$
On rappelle que
${\overline {\limsup _{n}A_{n}}}=\liminf _{n}\ {\overline {A_{n}}},$
d'après les lois de De Morgan. Plus précisément,
${\begin{aligned}{\overline {\limsup _{n}A_{n}}}&={\overline {\bigcap _{n\geq 0}\bigcup _{k\geq n}A_{k}}}\\&=\bigcup _{n\geq 0}\bigcap _{k\geq n}{\overline {A_{k}}}\\&=\bigcup _{n\geq 0}B_{n},\end{aligned}}$
où
$B_{n}=\bigcap _{k\geq n}{\overline {A_{k}}}={\overline {A_{n}}}\cap B_{n+1}$
est une suite croissante d'événements. Ainsi
$\mathbb {P} \left({\overline {\limsup _{n}A_{n}}}\right)=\lim _{n}\ \mathbb {P} \left(B_{n}\right).$
On conclut en montrant que $\mathbb {P} \left(B_{n}\right)=0$. Posons
$B_{n,\ell }=\bigcap _{n\leq k\leq n+\ell }{\overline {A_{k}}}={\overline {A_{n+\ell }}}\cap B_{n,\ell -1}.$
En vertu de l'indépendance des $A_{i},$
$\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right)=\prod _{n\leq k\leq n+\ell }\mathbb {P} \left({\overline {A_{k}}}\right)=\prod _{n\leq k\leq n+\ell }\left(1-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right).$
En vertu de la décroissance en $\ell$ de $B_{n,\ell },$
$\mathbb {P} \left(B_{n}\right)=\lim _{\ell }\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right).$
Or on a :
${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(B_{n,\ell }\right)&=\prod _{k=n}^{n+\ell }\left(1-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right)\\&\leq \prod _{k=n}^{n+\ell }\exp \left(-\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right)\\&=\exp \left(-\sum _{k=n}^{n+\ell }\mathbb {P} \left(A_{k}\right)\right){\underset {\ell \rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0\end{aligned}}$
par convexité de l'exponentielle puis divergence de la série de terme général $\mathbb {P} \left(A_{n}\right),$ ce qui achève la démonstration.

## Limite supérieure d'ensembles

Définition — La limite supérieure $\textstyle \limsup _{n}\,A_{n}$ d'une suite $(A_{n})_{n\geq 0}\,$ de parties d'un ensemble $\Omega$ est l'ensemble des éléments $\omega$ de $\Omega$ tels que l'assertion $\{\omega \in A_{k}\}$ soit vérifiée pour une infinité d'indices $k\geq 0$.
En d'autres termes, on peut dire que $\textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si l'ensemble $\{k\geq 0\ \vert \ \omega \in A_{k}\}$ est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout $n\geq 0$, on peut trouver $k\geq n$ tel que $\omega \in A_{k}$. Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :
$\limsup _{n}A_{n}=\bigcap _{n\geq 0}(\bigcup _{k\geq n}A_{k}).$
Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que $\textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si $\{\omega \in A_{k}\}$ "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :
$\mathbb {P} \left(\limsup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(A_{n}\quad {\text{i.o.}}\right).$
La définition "$\textstyle \omega \in \limsup _{n}\,A_{n}$ si et seulement si $\omega$ appartient à une infinité de $A_{k}$" peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties $A_{k}$ sont égales, il se peut que $\omega$ appartienne à $A_{k}$ pour une infinité d'indices $k$, et il se peut donc que $\omega$ appartienne à $\textstyle \limsup _{n}\,A_{n},$ sans pour autant qu'$\omega$ appartienne à une infinité de $A_{k}$ (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul $A_{k}$).