# Méthode de Roozeboom

En thermodynamique, la méthode de Roozeboom permet de déterminer graphiquement les grandeurs molaires partielles d'un mélange binaire. Elle porte le nom de son inventeur, le chimiste néerlandais Hendrik Willem Bakhuis Roozeboom.
La méthode peut être étendue à des mélanges de plus de deux espèces chimiques.

## Construction
### Définitions

On considère, à pression $P$, température $T$ et quantité de matière $n$ constantes, un mélange binaire, constitué des deux espèces chimiques (corps), notées $1$ et $2$. Le mélange, quelle que soit sa composition, n'est composé que d'une seule phase. Les quantités $n_{1}$ et $n_{2}$ respectives des deux corps vérifient la relation :
    $n=n_{1}+n_{2}$
Par définition, les fractions molaires $x_{1}$ et $x_{2}$ respectives des deux corps valent :
    $x_{1}={n_{1} \over n}$
    $x_{2}={n_{2} \over n}$
et vérifient :
    $x_{1}+x_{2}=1$
Soit $Y$ une propriété thermodynamique extensive du mélange (volume $V$, énergie interne $U$, enthalpie libre $G$, entropie $S$, etc.). La grandeur molaire ${\bar {Y}}$ correspondante est définie par la relation :
${\bar {Y}}={Y \over n}$
Les grandeurs molaires partielles ${\bar {Y}}_{1}$ et ${\bar {Y}}_{2}$ respectives des deux corps sont définies par les dérivées partielles$^,$ :
* Grandeurs molaires partielles ${\bar {Y}}_{1}=\left({\partial Y \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}$ ${\bar {Y}}_{2}=\left({\partial Y \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}$
À pression et température constantes, la grandeur extensive $Y$ dépend de $n_{1}$ et $n_{2}$, les grandeurs intensives ${\bar {Y}}$, ${\bar {Y}}_{1}$ et ${\bar {Y}}_{2}$ dépendent de $x_{1}$ et $x_{2}$.
Lorsque le corps $1$ est pur, $x_{1}=1$, on a :
* pour le corps $1$ : ${\bar {Y}}={\bar {Y}}_{1}={\bar {Y}}_{1}^{*}$, la grandeur molaire du corps $1$ pur ;
* pour le corps $2$ : ${\bar {Y}}_{2}={\bar {Y}}_{2,1}^{\infty }$, la grandeur molaire partielle du corps $2$ à dilution infinie dans le corps $1$.
Lorsque le corps $2$ est pur, $x_{2}=1$, on a :
* pour le corps $1$ : ${\bar {Y}}_{1}={\bar {Y}}_{1,2}^{\infty }$, la grandeur molaire partielle du corps $1$ à dilution infinie dans le corps $2$ ;
* pour le corps $2$ : ${\bar {Y}}={\bar {Y}}_{2}={\bar {Y}}_{2}^{*}$, la grandeur molaire du corps $2$ pur.

### Relations diverses

Le théorème d'Euler permet d'écrire :
    $Y=n_{1}{\bar {Y}}_{1}+n_{2}{\bar {Y}}_{2}$
d'où$^,$, en divisant par la quantité de matière totale $n$ :
    ${\bar {Y}}=x_{1}{\bar {Y}}_{1}+x_{2}{\bar {Y}}_{2}$
et finalement :
${\bar {Y}}=\left(1-x_{2}\right){\bar {Y}}_{1}+x_{2}{\bar {Y}}_{2}$
Les définitions des grandeurs molaires partielles donnent :
    ${\bar {Y}}_{1}=\left({\partial Y \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial n{\bar {Y}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}={\bar {Y}}+n\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}$
    ${\bar {Y}}_{2}=\left({\partial Y \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial n{\bar {Y}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}={\bar {Y}}+n\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}$
À pression et température constantes, la grandeur molaire ${\bar {Y}}$ dépend de $x_{1}$ et $x_{2}$. Les deux fractions étant liées par la relation $x_{1}+x_{2}=1$, la grandeur ${\bar {Y}}$ peut être considérée, arbitrairement, comme ne dépendant que de $x_{2}$. Le théorème de dérivation des fonctions composées permet d'écrire :
    $\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{1}}\right)_{n_{2}}=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left(-{x_{2} \over n}\right)$
    $\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({\partial x_{2} \over \partial n_{2}}\right)_{n_{1}}=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\left({1 \over n}-{x_{2} \over n}\right)$
On peut donc réécrire$^,$ :
    ${\bar {Y}}_{1}={\bar {Y}}-x_{2}\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}$
    ${\bar {Y}}_{2}={\bar {Y}}+\left(1-x_{2}\right)\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}$
On obtient la relation :
$\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}={\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{1}$

### Méthode de Roozeboom

La grandeur molaire ${\bar {Y}}$ est tracée à pression et température constantes en fonction de la fraction molaire $x_{2}$. On note les diverses grandeurs en un point d'abscisse $x_{2}^{\circ }$ quelconque du diagramme :
    ${\bar {Y}}^{\circ }={\bar {Y}}\!\left(x_{2}^{\circ }\right)$
    ${\bar {Y}}_{1}^{\circ }={\bar {Y}}_{1}\!\left(x_{2}^{\circ }\right)$
    ${\bar {Y}}_{2}^{\circ }={\bar {Y}}_{2}\!\left(x_{2}^{\circ }\right)$
    $\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}^{\circ }=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}\!\left(x_{2}^{\circ }\right)$
La tangente à la courbe en ce point a pour équation :
    $y^{\circ }\!\left(x_{2}\right)=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}^{\circ }\times \left(x_{2}-x_{2}^{\circ }\right)+{\bar {Y}}^{\circ }$
En substituant les relations :
    ${\bar {Y}}^{\circ }=\left(1-x_{2}^{\circ }\right)\,{\bar {Y}}_{1}^{\circ }+x_{2}^{\circ }\,{\bar {Y}}_{2}^{\circ }$
    $\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}^{\circ }={\bar {Y}}_{2}^{\circ }-{\bar {Y}}_{1}^{\circ }$
on obtient l'équation de la tangente à la courbe de ${\bar {Y}}$ en un point d'abscisse $x_{2}^{\circ }$ quelconque en fonction de $x_{2}$ :
$x_{2}^{\circ }$
$y^{\circ }\!\left(x_{2}\right)=\left({\bar {Y}}_{2}^{\circ }-{\bar {Y}}_{1}^{\circ }\right)\times x_{2}+{\bar {Y}}_{1}^{\circ }$
En conséquence, les grandeurs molaires partielles peuvent être déterminées graphiquement par les interceptions de la tangente et des axes des corps purs :
* lorsque $x_{2}=0$, on a $y^{\circ }\!\left(0\right)={\bar {Y}}_{1}^{\circ }$ : l'interception de la tangente avec l'axe des ordonnées $x_{2}=0$ donne la grandeur molaire partielle ${\bar {Y}}_{1}$ pour $x_{2}^{\circ }$ ;
* lorsque $x_{2}=1$, on a $y^{\circ }\!\left(1\right)={\bar {Y}}_{2}^{\circ }$ : l'interception de la tangente avec l'axe des ordonnées $x_{2}=1$ donne la grandeur molaire partielle ${\bar {Y}}_{2}$ pour $x_{2}^{\circ }$.

## Application
### Variante avec les grandeurs de mélange

Dans un mélange idéal, les grandeurs molaires partielles ${\bar {Y}}_{1}$ et ${\bar {Y}}_{2}$ se confondent avec les grandeurs molaires ${\bar {Y}}_{1}^{*}$ et ${\bar {Y}}_{2}^{*}$ des corps $1$ et $2$ purs aux mêmes pression et température :
    ${\bar {Y}}_{1}^{\text{id}}={\bar {Y}}_{1}^{*}$
    ${\bar {Y}}_{2}^{\text{id}}={\bar {Y}}_{2}^{*}$
Les grandeurs ${\bar {Y}}_{1}^{*}$ et ${\bar {Y}}_{2}^{*}$ ne dépendent que de la pression et de la température. La grandeur ${\bar {Y}}$ idéale vaut :
    ${\bar {Y}}^{\text{id}}=x_{1}{\bar {Y}}_{1}^{\text{id}}+x_{2}{\bar {Y}}_{2}^{\text{id}}$
Par définition, une grandeur de mélange est l'écart entre une grandeur réelle et la grandeur idéale correspondante :
    ${\bar {Y}}^{\text{mix}}={\bar {Y}}-{\bar {Y}}^{\text{id}}$
On définit les grandeurs de mélange molaires partielles :
    ${\bar {Y}}_{1}^{\text{mix}}=\left({\partial \,n{\bar {Y}}^{\text{mix}} \over \partial n_{1}}\right)_{P,T,n_{2}}={\bar {Y}}_{1}-{\bar {Y}}_{1}^{\text{id}}={\bar {Y}}_{1}-{\bar {Y}}_{1}^{*}$
    ${\bar {Y}}_{2}^{\text{mix}}=\left({\partial \,n{\bar {Y}}^{\text{mix}} \over \partial n_{2}}\right)_{P,T,n_{1}}={\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{2}^{\text{id}}={\bar {Y}}_{2}-{\bar {Y}}_{2}^{*}$
On a sur les grandeurs de mélange les mêmes relations que celles obtenues plus haut :
    ${\bar {Y}}^{\text{mix}}=\left(1-x_{2}\right){\bar {Y}}_{1}^{\text{mix}}+x_{2}{\bar {Y}}_{2}^{\text{mix}}$
    $\left({\partial {\bar {Y}}^{\text{mix}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T}={\bar {Y}}_{2}^{\text{mix}}-{\bar {Y}}_{1}^{\text{mix}}$
Dans un diagramme représentant ${\bar {Y}}^{\text{mix}}$ en fonction de $x_{2}$, la tangente en un point d'abscisse $x_{2}^{\circ }$ quelconque a donc pour équation :
$x_{2}^{\circ }$
$y^{\circ }\!\left(x_{2}\right)=\left({\bar {Y}}_{2}^{{\text{mix}},\circ }-{\bar {Y}}_{1}^{{\text{mix}},\circ }\right)\times x_{2}+{\bar {Y}}_{1}^{{\text{mix}},\circ }$
avec :
    ${\bar {Y}}_{1}^{{\text{mix}},\circ }={\bar {Y}}_{1}^{\text{mix}}\!\left(x_{2}^{\circ }\right)$
    ${\bar {Y}}_{2}^{{\text{mix}},\circ }={\bar {Y}}_{2}^{\text{mix}}\!\left(x_{2}^{\circ }\right)$
En conséquence$^,$ :
* lorsque $x_{2}=0$, on a $y^{\circ }\!\left(0\right)={\bar {Y}}_{1}^{{\text{mix}},\circ }$ ; la grandeur molaire partielle en $x_{2}^{\circ }$ est ensuite calculée par : ${\bar {Y}}_{1}^{\circ }={\bar {Y}}_{1}^{*}+{\bar {Y}}_{1}^{{\text{mix}},\circ }$ ;
* lorsque $x_{2}=1$, on a $y^{\circ }\!\left(1\right)={\bar {Y}}_{2}^{{\text{mix}},\circ }$ ; la grandeur molaire partielle en $x_{2}^{\circ }$ est ensuite calculée par : ${\bar {Y}}_{2}^{\circ }={\bar {Y}}_{2}^{*}+{\bar {Y}}_{2}^{{\text{mix}},\circ }$.
Cette variante est utilisée lorsque les grandeurs réelles sont peu différentes des grandeurs idéales (lorsque les grandeurs de mélange sont faibles), par exemple sur des volumes. Elle permet une plus grande précision dans le tracé de la tangente et la lecture des résultats. En pratique, la grandeur extensive $Y$ (par exemple le volume) est déterminée expérimentalement à pression et température constantes en fonction de la composition. Connaissant la quantité de matière $n$, la grandeur intensive ${\bar {Y}}$ est calculée par la relation ${\bar {Y}}=Y/n$. Connaissant la fraction molaire $x_{2}$, ainsi que les grandeurs molaires ${\bar {Y}}_{1}^{*}$ et ${\bar {Y}}_{2}^{*}$ des deux corps purs aux mêmes pression et température que le mélange, la grandeur de mélange molaire est calculée selon :
    ${\bar {Y}}^{\text{id}}=\left(1-x_{2}\right){\bar {Y}}_{1}^{*}+x_{2}{\bar {Y}}_{2}^{*}$
    ${\bar {Y}}^{\text{mix}}={\bar {Y}}-{\bar {Y}}^{\text{id}}$

### Exemple pour un mélange binaire

Le volume molaire ${\bar {V}}$ d'un mélange eau-acide acétique est déterminé expérimentalement à pression et température (20 °C) constantes en fonction de la composition en acide acétique. Les volumes molaires respectifs des corps purs valent :
* eau : ${\bar {V}}_{\text{eau}}^{*}$ = 18,048 cm$^3$ mol$^{−1}$ ;
* acide acétique : ${\bar {V}}_{\text{aac}}^{*}$ = 57,288 cm$^3$ mol$^{−1}$.
Le volume idéal molaire ${\bar {V}}^{\text{id}}$ est calculé en fonction de la fraction molaire $x_{\text{aac}}$ de l'acide acétique :
    ${\bar {V}}^{\text{id}}=\left(1-x_{\text{aac}}\right){\bar {V}}_{\text{eau}}^{*}+x_{\text{aac}}{\bar {V}}_{\text{aac}}^{*}$
Le volume de mélange molaire est calculé selon :
    ${\bar {V}}^{\text{mix}}={\bar {V}}-{\bar {V}}^{\text{id}}$
Les figures suivantes représentent les grandeurs ainsi déterminées en fonction de $x_{\text{aac}}$.
* Volume molaire ${\bar {V}}$ et volume idéal molaire ${\bar {V}}^{\text{id}}$.
* Volume de mélange molaire ${\bar {V}}^{\text{mix}}$.
Le tableau suivant donne le volume molaire d'un mélange binaire eau-acide acétique à 20 °C.
Volume molaire d'un mélange eau-acide acétique à 20 °C (cm$^3$ mol$^{−1}$). :
| Fraction molaire $x_{\text{aac}}$ de l'acide acétique. | ${\bar {V}}$ du mélange. | ${\bar {V}}^{\text{id}}$ idéal. | ${\bar {V}}^{\text{mix}}$ de mélange. |
| 0 (eau pure) | 18,048 | 18,048 | 0 |
| 0,020 | 18,720 | 18,833 | -0,113 |
| 0,043 | 19,507 | 19,735 | -0,228 |
| 0,062 | 20,166 | 20,481 | -0,315 |
| 0,114 | 21,992 | 22,521 | -0,529 |
| 0,144 | 23,065 | 23,699 | -0,634 |
| 0,166 | 23,859 | 24,562 | -0,703 |
| 0,178 | 24,296 | 25,033 | -0,737 |
| 0,203 | 25,213 | 26,014 | -0,801 |
| 0,217 | 25,729 | 26,563 | -0,834 |
| 0,230 | 26,205 | 27,073 | -0,868 |
| 0,310 | 29,201 | 30,212 | -1,011 |
| 0,411 | 33,056 | 34,176 | -1,120 |
| 0,544 | 38,265 | 39,395 | -1,130 |
| 0,647 | 42,371 | 43,436 | -1,065 |
| 0,728 | 45,656 | 46,615 | -0,959 |
| 0,773 | 47,499 | 48,381 | -0,882 |
| 0,823 | 49,582 | 50,343 | -0,761 |
| 0,876 | 51,817 | 52,422 | -0,605 |
| 1 (acide acétique pur) | 57,288 | 57,288 | 0 |
La régression polynomiale de la courbe ${\bar {V}}^{\text{mix}}$ en fonction de $x_{\text{acc}}$, avec les contraintes ${\bar {V}}^{\text{mix}}\!\left(0\right)={\bar {V}}^{\text{mix}}\!\left(1\right)=0$, donne :
    ${\bar {V}}^{\text{mix}}$ = 5,5178 ${x_{\text{aac}}}^{4}$ - 10,7893 ${x_{\text{aac}}}^{3}$ + 11,0772 ${x_{\text{aac}}}^{2}$ - 5,8057 $x_{\text{aac}}$
    $\left({\partial {\bar {V}}^{\text{mix}} \over \partial x_{\text{aac}}}\right)_{P,T}$ = 22,0712 ${x_{\text{aac}}}^{3}$ - 32,3679 ${x_{\text{aac}}}^{2}$ + 22,1544 $x_{\text{aac}}$ - 5,8057
En $x_{\text{aac}}^{\circ }$ = 0,3, la tangente à la courbe ${\bar {V}}^{\text{mix}}$ a pour équation :
    ${\bar {V}}^{{\text{mix}},\circ }$ = -0,991
    $\left({\partial {\bar {V}}^{\text{mix}} \over \partial x_{\text{aac}}}\right)_{P,T}^{\circ }$ = -1,477
    $v^{\circ }$ = -1,477 ($x_{\text{aac}}$ - 0,3) - 0,991
En conséquence :
* lorsque $x_{\text{aac}}=0$, on a $v^{\circ }\!\left(0\right)={\bar {V}}_{\text{eau}}^{{\text{mix}},\circ }$ = -0,548 cm$^3$ mol$^{−1}$ ;
    le volume molaire partiel de l'eau pour $x_{\text{aac}}^{\circ }$ = 0,3 vaut : ${\bar {V}}_{\text{eau}}^{\circ }={\bar {V}}_{\text{eau}}^{*}+{\bar {V}}_{\text{eau}}^{{\text{mix}},\circ }$ = 17,500 cm$^3$ mol$^{−1}$ ;
* lorsque $x_{\text{aac}}=1$, on a $v^{\circ }\!\left(1\right)={\bar {V}}_{\text{aac}}^{{\text{mix}},\circ }$ = -2,025 cm$^3$ mol$^{−1}$ ;
    le volume molaire partiel de l'acide acétique pour $x_{\text{aac}}^{\circ }$ = 0,3 vaut : ${\bar {V}}_{\text{aac}}^{\circ }={\bar {V}}_{\text{aac}}^{*}+{\bar {V}}_{\text{aac}}^{{\text{mix}},\circ }$ = 55,263 cm$^3$ mol$^{−1}$.
Appliqué à l'eau pure, $x_{\text{aac}}^{\circ }=0$, on a :
    $v^{\circ }$ = -5,806 $x_{\text{aac}}$
* pour l'eau pure : ${\bar {V}}_{\text{eau}}^{\circ }={\bar {V}}_{\text{eau}}^{*}$ = 18,048 cm$^3$ mol$^{−1}$ ;
* pour l'acide acétique infiniment dilué dans l'eau : ${\bar {V}}_{\text{acc}}^{\circ }={\bar {V}}_{\text{acc,eau}}^{\infty }$ = 51,482 cm$^3$ mol$^{−1}$.
Appliqué à l'acide acétique pur, $x_{\text{aac}}^{\circ }=1$, on a :
    $v^{\circ }$ = 6,052 ($x_{\text{aac}}$ - 1)
* pour l'eau infiniment diluée dans l'acide acétique : ${\bar {V}}_{\text{eau}}^{\circ }={\bar {V}}_{\text{eau,acc}}^{\infty }$ = 11,996 cm$^3$ mol$^{−1}$ ;
* pour l'acide acétique pur : ${\bar {V}}_{\text{acc}}^{\circ }={\bar {V}}_{\text{acc}}^{*}$ = 57,288 cm$^3$ mol$^{−1}$.

### Extension à plus de deux corps

La méthode de Roozeboom peut être étendue à des mélanges de plus de deux espèces chimiques (corps). Dans un mélange ternaire, contenant trois corps notés $1$, $2$ et $3$, la grandeur molaire ${\bar {Y}}$ et les trois grandeurs molaires partielles ${\bar {Y}}_{1}$, ${\bar {Y}}_{2}$ et ${\bar {Y}}_{3}$, à pression $P$ et température $T$ constantes, dépendent des trois fractions molaires $x_{1}$, $x_{2}$ et $x_{3}$, liées par la relation :
    $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$
En fixant le ratio $K=x_{1}/x_{3}$, on a :
    $x_{1}={K \over 1+K}\left(1-x_{2}\right)$
    $x_{3}={1 \over 1+K}\left(1-x_{2}\right)$
Dans ces conditions, les grandeurs ne dépendent plus que d'une seule fraction molaire. La méthode de Roozeboom est ainsi ramenée au cas des mélanges binaires et l'on trace la grandeur molaire ${\bar {Y}}$ en fonction de $x_{2}$ au ratio $x_{1}/x_{3}$ constant. En un point d'abscisse $x_{2}^{\circ }$ quelconque, la grandeur molaire partielle du corps $2$ vaut :
    ${\bar {Y}}_{2}^{\circ }={\bar {Y}}^{\circ }+\left(1-x_{2}^{\circ }\right)\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}/x_{3}}^{\circ }$
et la tangente à la courbe a pour équation :
    $y^{\circ }\!\left(x_{2}\right)=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}/x_{3}}^{\circ }\times \left(x_{2}-x_{2}^{\circ }\right)+{\bar {Y}}^{\circ }$
En substituant la première relation dans la deuxième, on obtient l'équation de la tangente :
$x_{2}^{\circ }$
$y^{\circ }\!\left(x_{2}\right)=\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{2}}\right)_{P,T,x_{1}/x_{3}}^{\circ }\times \left(x_{2}-1\right)+{\bar {Y}}_{2}^{\circ }$
En $x_{2}=1$ on a $y^{\circ }\!\left(1\right)={\bar {Y}}_{2}^{\circ }$. L'interception de la tangente avec l'axe des ordonnées du corps $2$ pur donne la grandeur molaire partielle du corps $2$ pour $x_{2}^{\circ }$ au ratio $x_{1}/x_{3}$ donné. Le même procédé est applicable à la détermination des grandeurs molaires partielles des deux autres corps. Dans un diagramme représentant ${\bar {Y}}$ en fonction de $x_{1}$ à ratio $x_{2}/x_{3}$ constant, l'interception de la tangente à la courbe en un point d'abscisse $x_{1}^{\circ }$ quelconque avec l'axe des ordonnées du corps $1$ pur donne la grandeur molaire partielle ${\bar {Y}}_{1}$ du corps $1$ pour $x_{1}^{\circ }$ dans les conditions données. Dans un diagramme représentant ${\bar {Y}}$ en fonction de $x_{3}$ à ratio $x_{1}/x_{2}$ constant, l'interception de la tangente à la courbe en un point d'abscisse $x_{3}^{\circ }$ quelconque avec l'axe des ordonnées du corps $3$ pur donne la grandeur molaire partielle ${\bar {Y}}_{3}$ du corps $3$ pour $x_{3}^{\circ }$ dans les conditions données. La détermination de deux des trois grandeurs molaires partielles par la méthode graphique est suffisante puisque la troisième peut être déterminée par le théorème d'Euler :
    ${\bar {Y}}=x_{1}{\bar {Y}}_{1}+x_{2}{\bar {Y}}_{2}+x_{3}{\bar {Y}}_{3}$
Plus généralement, pour un mélange de $N$ corps, la méthode est systématiquement ramenée au cas du mélange binaire. Pour déterminer la grandeur molaire partielle ${\bar {Y}}_{i}$ d'un corps $i$ quelconque, on choisit un corps $k$ différent de $i$ et tel que $x_{k}\neq 0$ ; on a :
    $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N}=1$
    $x_{i}+x_{k}\left({x_{1} \over x_{k}}+{x_{2} \over x_{k}}+\cdots +{x_{i-1} \over x_{k}}+{x_{i+1} \over x_{k}}+\cdots +{x_{N} \over x_{k}}\right)=1$
On fixe les ratios ${x_{1} \over x_{k}},\cdots ,{x_{i-1} \over x_{k}},{x_{i+1} \over x_{k}},\cdots ,{x_{N} \over x_{k}}$ entre fractions molaires de tous les corps différents de $i$. La grandeur molaire partielle de $i$ dans ces conditions ne dépend que de $x_{i}$ et vaut :
    ${\bar {Y}}_{i}={\bar {Y}}+\left(1-x_{i}\right)\left({\partial {\bar {Y}} \over \partial x_{i}}\right)_{P,T,x_{1}/x_{k},\cdots ,x_{i-1}/x_{k},x_{i+1}/x_{k},\cdots ,x_{N}/x_{k}}$