# Fonction multiplicative

En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : ℕ* → ℂ vérifiant les deux conditions suivantes :
* f(1) = 1 ;
* pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b).
Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant :
* g(1) = 1 ;
* pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b).
Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.
Les fonctions multiplicatives interviennent notamment en théorie analytique des nombres, dans les séries de Dirichlet.

## Détermination et exemples

Une fonction multiplicative ƒ est entièrement déterminée par ses valeurs en les puissances non nulles des entiers premiers. En effet, d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n > 0 admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre près des facteurs :
$n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}$
où les p$_i$ sont des nombres premiers et les k$_i$ des entiers naturels, avec (pour assurer l'unicité) : la suite finie des p$_i$ est strictement croissante et chaque k$_i$ (appelé la valuation p$_i$-adique de n) est non nul.
En appliquant ƒ, il vient :
$f(n)=\prod _{i=1}^{r}f(p_{i}^{k_{i}}).$
Il n'existe aucune contrainte supplémentaire : toute suite de nombres complexes indexée par les puissances non nulles des entiers premiers donne, via la formule ci-dessus, une unique fonction multiplicative.
Pour des raisons analogues, une fonction complètement multiplicative g est entièrement déterminée par ses valeurs en les nombres premiers. En reprenant les notations ci-dessus :
$g(n)=\prod _{i=1}^{r}g(p_{i})^{k_{i}}.$
Ces considérations prouvent qu'il existe une infinité de fonctions complètement multiplicatives.

### Exemples

La liste suivante fournit des fonctions dont l'intérêt est historique et/ou théorique :

#### Exemples de fonctions complètement multiplicatives

   * la fonction puissance Id$_k$ : Id$_k$(n) = n$^k$, où k est un entier naturel (ou éventuellement un nombre complexe), en particulier
   ** la fonction constante 1 = Id$_0$ : 1(n) = 1 et
   ** l'application identité Id = Id$_1$ : Id(n) = n ;
   * la fonction indicatrice du singleton {1}, χ$_{{1}}$ = δ$_1$ : δ$_1$(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δ$_1$(n) = 0 (c'est l'élément neutre pour la convolution de Dirichlet) ;
   * la fonction λ de Liouville : λ(n) = (–1)$^{Ω(n)}$, où la fonction complètement additive Ω associe à tout n le nombre de ses facteurs premiers (comptés avec leurs multiplicités) ;
   * tous les caractères de Dirichlet, comme
   ** l'application $n\mapsto \left({\frac {n}{p}}\right),$ qui associe à tout n le symbole de Legendre de n et p, où p est un nombre premier fixé.

#### Exemples de fonctions seulement multiplicatives

   * la fonction totient de Jordan J$_k$, qui associe à tout n le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux, en particulier
   ** l'indicatrice d'Euler φ = J$_1$
   * la fonction μ de Möbius : si n est sans carré, produit de k nombres premiers distincts, alors μ(n) = (–1)$^k$ et sinon, μ(n) = 0,
   * la fonction radical d'un entier : le produit de ses diviseurs premiers,
   * l'application n ↦ pgcd(n, m), l'entier m étant fixé,
   * la fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs σ$_k$ qui associe à tout n la somme des puissances k-ièmes de ses diviseurs positifs (où k peut être un nombre complexe quelconque), en particulier :
   ** la fonction nombre de diviseurs d = σ$_0$ (aussi notée τ) et
   ** la fonction somme des diviseurs σ = σ$_1$ ;
   * l'analogue suivant de la fonction λ de Liouville : n ↦ (–1)$^{ω(n)}$, où la fonction additive ω associe à tout n le nombre de ses diviseurs premiers distincts ;
   * la fonction a qui à tout n associe le nombre de groupes abéliens d'ordre n (à isomorphisme près) ;
   * la fonction r$_2$/4, où r$_2$(n) est le nombre de décompositions de n en somme de deux carrés d'entiers relatifs, en tenant compte de l'ordre dans les écritures (ce nombre est toujours un multiple de 4 ; par exemple 1 = 1$^2$ + 0$^2$ = (–1)$^2$ + 0$^2$ = 0$^2$ + 1$^2$ = 0$^2$ + (–1)$^2$ et donc r$_2$(1) = 4) et sa généralisation pour les sommes de k carrés, la fonction r$_k$/(2k), si (et seulement si) k = 1, 2, 4 ou 8,
   * les fonctions indicatrices de certains ensembles, comme celui des puissances k-ièmes d'entiers (pour k > 1 fixé) ou celui des nombres non divisibles par une puissance k-ième autre que 1.

## Propriétés élémentaires

La multiplicativité et la complète multiplicativité sont préservées par produit, module et conjugaison.
Dans leur définition, la première condition (l'image de 1 est égale à 1) peut être remplacée par : la fonction est non nulle.
Si ƒ est multiplicative alors
    $\forall a,b\in \mathbb {N} ^{*},\quad f(a)~f(b)=f({\rm {pgcd}}(a,b))~f({\rm {ppcm}}(a,b))$
où pgcd est le plus grand commun diviseur et ppcm est le plus petit commun multiple des entiers.

## Convolution de Dirichlet

La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction ƒ ✻ g définie par :
$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$
où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n.
On démontre alors que si ƒ et g sont multiplicatives, ƒ ✻ g l'est aussi, et que l'ensemble des fonctions multiplicatives, muni de cette loi interne, est un groupe abélien, d'élément neutre δ$_1$.
Les relations les plus importantes vérifiées par les fonctions multiplicatives listées ci-dessus sont :
* μ ✻ 1 = δ$_1$,
* J$_k$ ✻ 1 = Id$_k$ et (par inversion de Möbius) J$_k$ = μ ✻ Id$_k$, en particulier
** φ ✻ 1 = Id et φ = μ ✻ Id,
* σ$_k$ = Id$_k$ ✻ 1 et (par inversion de Möbius) Id$_k$ = σ$_k$ ✻ μ, en particulier
** d = 1 ✻ 1 et 1 = d ✻ μ,
** σ = Id ✻ 1 et Id = σ ✻ μ,
* σ$_k$ = J$_k$ ✻ d (via Id$_k$ ✻ 1 = J$_k$ ✻ 1 ✻ 1), en particulier
** σ = φ ✻ d.

## Produit eulérien

Formellement, à une fonction arithmétique f est associée une série de Dirichlet :
    $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$.
Le produit formel des séries associées à f et g est, par définition, la série associée à f ✻ g. On définit de façon analogue le produit formel d'une suite infinie de fonctions arithmétiques f$_i$, sous réserve que f$_i$(1) = 1 et que la série qui définit chaque coefficient du produit soit absolument convergente :
    $\prod _{i}\sum _{n_{i}=1}^{\infty }{\frac {f_{i}(n_{i})}{n_{i}^{s}}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{\prod n_{i}=n}\prod _{i}f_{i}(n_{i})}{n^{s}}}$.
Le cas le plus important est celui d'un produit eulérien — c'est-à-dire où les indices i sont les nombres premiers, notés alors plutôt p — dans lequel les fonctions arithmétiques f$_p$ sont définies à partir d'une fonction multiplicative f par : f$_p$ coïncide avec f sur les puissances de p et est nulle ailleurs. Ce produit (des séries associées aux f$_p$) est alors égal à la série associée à f. Si cette dernière est absolument convergente, cette égalité formelle est vraie aussi au sens de l'analyse. Voir la section d'exemples de l'article sur les séries de Dirichlet.