# Vitesse de vol optimale en vol à voile

Un planeur tend naturellement à redescendre, l'art du pilote est de trouver, dans l'atmosphère, des ascendances dans lesquelles l'air monte plus vite que l'appareil ne descend, et de limiter sa durée de vol en zones défavorables (subsidences, vent contraire). Parmi les buts du vol en planeur, il est fréquent d'envisager de couvrir la plus grande distance possible le plus rapidement possible — c'est le cas en compétition —, et le respect de la vitesse de vol optimale (notée en anglais sur certains calculateurs de vol / variometres électroniques STF pour Speed To Fly) offre les meilleures performances.

## Principes

En vol de plaine (le contexte est différent en région montagneuses), les ascendances sont localisées dans l'espace et dans le temps, elles alternent avec des zones de subsidences, généralement plus vastes. En présence de vent, le planeur voit sa vitesse par rapport au sol varier en fonction de sa route. La tactique, pour parvenir à couvrir la plus grande distance possible en opérant à la plus grande vitesse possible, consiste à utiliser une vitesse optimale, c'est-à dire adaptée aux conditions rencontrées pour obtenir la meilleure performance.

## Polaire des vitesses

En air calme, la vitesse de chute (ou taux de chute) V$_c$ d'un planeur varie en fonction de sa vitesse horizontale V$_a$. La courbe qui décrit cette fonction s'appelle polaire des vitesses — elle est caractéristique des performances de chaque appareil.
Il existe une fonction P qui exprime
       $V_{c}=P(V_{a})$
Cette fonction P peut être approchée avec une bonne précision par une fonction polynomiale de degré 2.

### Plané maximum par air calme

La figure ci-contre représente la polaire des vitesses d'un planeur. L'abscisse correspond à la vitesse-air de l'aéronef et l'ordonnée correspond à la vitesse de chute. Le plané sera le meilleur possible lorsque l'angle de plané sera le plus petit possible ; angle minimal obtenu lorsque la droite d'origine O est tangente à la courbe de la polaire$^,$.
Dans la fenêtre déroulante, on démontre formellement cette affirmation.
En supposant que l'air est calme et qu'aucune ascendance n'est présente, un planeur à la hauteur h va planer pendant h/V$_c$ et va parcourir la distance
       $d=h\times {V_{a} \over V_{c}}$
On veut maximiser d. On veut donc que
       ${dd \over dV_{a}}=0$
On remplace d et donc, on écrit :
       ${d\left({V_{a} \over P(V_{a})}\right) \over dV_{a}}=0$
En appliquant les formules habituelles de dérivation, on a :
    ${P(V_{a})-V_{a}P'(V_{a}) \over P(V_{a})^{2}}=0$
On obtient donc :
       $P'(V_{a})={P(V_{a}) \over V_{a}}={V_{c} \over V_{a}}$

### Mouvement horizontal et vertical de l'atmosphère

Il est souvent dit que lorsqu'on rencontre une descendance, ou qu'on vole avec un vent de face, il faut « pousser sur le manche ». La figure ci-contre indique comment calculer la vitesse optimale d'un planeur lorsqu'il vole dans une descendance. On peut considérer que la polaire est translatée vers le bas et donc la méthode décrite ci-dessus pourrait encore s'appliquer. Toutefois, il est plus simple de ne pas bouger la polaire et relever l'origine de la courbe tangente de la vitesse de subsidence de la masse d'air. Dans la figure-ci contre, on suppose que la masse d'air descend à la vitesse de 3 nœuds et donc on calcule la courbe d'origine +3 nœuds qui est tangente à la polaire$^,$.
Strictement parlant, la même théorie s'applique lorsque le planeur vole dans une masse d'air ascendante. En pratique, le planeur volera à la vitesse de chute minimale dans une plage d'ascendance.
De la même manière si le planeur rencontre un vent de face, l'origine de la courbe tangente sera déplacée vers la droite de la valeur de la vitesse du vent (voir figure).
Strictement parlant, cette méthode s'applique aussi pour un vol en vent arrière. Toutefois il est général recommandé de simplement voler à la vitesse de chute minimale.
Dans l'encadré ci-dessous, on justifie formellement le calcul de la vitesse optimale.
On suppose que l'on est en présence d'un vent horizontal U de face et d'une descendance W. La vitesse sol V$_h$ devient alors
       $V_{h}=V_{a}-U$
La vitesse verticale V$_v$ devient :
       $V_{v}=V_{c}+W$
On obtient alors l'équation suivante :
       $V_{v}=V_{c}+W=P(V_{a})+W=P(V_{a})+W$
On obtient donc :
       ${V_{h} \over V_{v}}={V_{a}-U \over P(V_{a})+W}$
On veut maximiser V$_h$/V$_v$. On écrit donc que :
       ${d\left({V_{a}-U \over P(V_{a})+W}\right) \over dV_{a}}=0$
On obtient donc :
       ${P(V_{a})+W-(V_{a}-U)P'(V_{a}) \over (P(V_{a})+W)^{2}}=0$
Donc,
       $P(V_{a})+W-(V_{a}-U)P'(V_{a})=0$
Donc,
       $V_{a}={P(V_{a})+W \over P'(V_{a})}+U$
On définit maintenant la fonction Q comme suit :
       $Q(V_{h})=P(V_{h}+U)+W$
Cette fonction Q correspond à un déplacement de la polaire des vitesses de U horizontalement vers la gauche et de W verticalement vers le bas. Donc,
       $V_{h}={Q(V_{h}) \over Q'(V_{h})}$

## Vitesse optimale en vol de campagne

La théorie de MacCready établit quelle est la vitesse de croisière optimale lors d'un vol de campagne. Si V$_a$ est la vitesse moyenne d'ascension dans les thermiques, la vitesse optimale est obtenue en calculant quelle serait la vitesse optimale dans une masse d'air subsidente de vitesse verticale V$_a$. On suppose que les ascendances sont suffisamment proches et élevées de telle sorte que le planeur n'effectuera pas un atterrissage dans un champ (ou d'autres termes, qu'il n'ira pas « aux vaches »).La vitesse optimale en vol de campagne est égale à la vitesse que le planeur devrait avoir dans une masse d'air subsidente dont la vitesse verticale serait égale à la vitesse moyenne d'ascension dans les thermiques.
Dans la boîte déroulante, on démontre formellement cette théorie.
On considère la polaire des vitesses définie par P(V) et on suppose que les ascendances ont une vitesse moyenne V$_a$. On suppose que les ascendances sont suffisamment élevées pour que le planeur ne finisse pas « aux vaches ». On suppose que le planeur va d'un point A à un point B. Soit d la distance entre ces deux points. On suppose en outre que le planeur a la même altitude au point B qu'au point A. Soit V la vitesse horizontale du planeur. Le temps mis par le planeur pour joindre ces deux points est égal au temps passé en vol plané T$_p$ plus le temps passé à remonter à la même altitude T$_a$. On a :
       $T_{p}={d \over V}$
Pendant ce temps, le planeur aura perdu l'altitude suivante :
       $a=P(V)\times T_{p}={P(V)\times d \over V}$
Donc pour regagner l'altitude, le planeur va spiraler pendant :
       $T_{a}={a \over V_{a}}={P(V)\times d \over V\times V_{a}}$
On veut maintenant minimiser $T_{p}+T_{a}$ et donc on écrit :
       ${d(T_{a}+T_{p}) \over dV}=0$
On obtient donc:
       $-{d \over V^{2}}+{P'(V)\times d\times V\times V_{a}-P(V)\times d\times V_{a} \over V^{2}V_{a}^{2}}=0$
Donc,
       $-1+{P'(V)\times V-P(V) \over V_{a}}=0$
Donc,
       $P'(V)\times V-P(V)=V_{a}$
On définit maintenant Q(V) comme suit :
       $Q(V)=P(V)+V_{a}$
On substitue P par Q et l'on obtient :
       $Q'(V)\times V-(Q(V)-V_{a})=V_{a}$
Et finalement :
       $V={Q(V) \over Q'(V)}$