# Équation de Blasius

En physique, et plus particulièrement en mécanique des fluides, l'équation de Blasius décrit l'écoulement stationnaire et incompressible en 2 dimensions dans la couche limite se formant sur une plaque plane semi-infinie parallèle à l'écoulement. Plus précisément, le champ de vitesse tangentielle adimensionné est solution de cette équation :
$f''(\theta )+{1 \over 2}f'(\theta )\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t=0$

## Équation de mouvement dans la couche limite (Théorie de Prandtl)
### Généralités

Analysons l'écoulement bidimensionnel stationnaire dans le plan $(xOy)$ près d'une plaque plane placée en $y=0$, pour un écoulement extérieur potentiel $U(x)$ qu'on suppose parallèle à la paroi.
La dimension caractéristique dans la direction parallèle à l'écoulement est une longueur arbitraire $L$ que l'on suppose très grande devant la dimension caractéristique perpendiculaire à l'écoulement $\delta$ (épaisseur de la couche limite) :
$\delta \ll L$
Le raisonnement suivant est basé sur l'existence de ces 2 échelles.

### Comparaison des termes

Nous considérons qu'un fluide de masse volumique $\rho$ et de viscosité dynamique $\eta$ (viscosité cinématique $\nu$) s'écoule le long de notre plaque plane. Partons de l'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire avec la condition d'incompressibilité :
$\rho ({\vec {v}}.{\overrightarrow {\nabla }}){\vec {v}}=-{\overrightarrow {\nabla }}p+\eta \Delta {\vec {v}}$
${\overrightarrow {\nabla }}.{\vec {v}}=0$
Avec le vecteur ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$
Écrivons ce système sous sa forme projetée :
${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$
$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)$
$u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}\right)$
Par une étude d'ordres de grandeurs, on peut montrer que les équations à résoudre peuvent se simplifier (en négligeant certains termes devant d'autres). Explicitons ce nouveau système :
${\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0$
$u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=\nu {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$
La définition même de la couche limite réside dans le fait qu'elle représente la région de l'écoulement où les effets visqueux sont aussi importants que les effets inertiels. Ainsi nous allons comparer séparément les termes diffusifs et les termes convectifs. Commençons par utiliser l'équation de continuité :
                   ${{\dfrac {\partial u}{\partial x}}\approx {\dfrac {u}{L}}}\quad et\quad {{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\approx {\dfrac {v}{\delta }}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {v}{\delta }}\approx {\frac {u}{L}}$
Poursuivons avec les termes de diffusion, on remarque qu'on peut donc aisément négliger le phénomène dans la direction longitudinale :
                   ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {1}{L^{2}}}\ll {\frac {1}{\delta ^{2}}}\approx {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$
Par contre concernant la convection, les termes sont comparables :
                   $u{\frac {\partial u}{\partial x}}\approx u{\frac {u}{L}}\approx u{\frac {v}{\delta }}\approx v{\frac {\partial u}{\partial y}}\quad {\text{et}}\quad v{\frac {\partial v}{\partial y}}\approx v{\frac {v}{\delta }}\approx v{\frac {u}{L}}\approx u{\frac {\partial v}{\partial x}}$
Enfin, comme convection et diffusion sont du même ordre de grandeur, on en déduit :
                   $u{\frac {\partial u}{\partial x}}\approx \nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {U^{2}}{L}}\approx {\frac {\nu U}{\delta ^{2}}}$
Soit en faisant intervenir le nombre de Reynolds global $\mathrm {Re} _{L}={\frac {UL}{\nu }}$ on a la relation : ${\frac {\delta }{L}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Re} _{L}}}}$. On peut ajouter qu'avec l'équation de continuité on a la relation entre les ordres de grandeurs des vitesses tangentielles et normales : ${\frac {v}{u}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Re} _{L}}}}$
Avec l'étude des ordres de grandeurs on ne peut considérer uniquement l'équation pour la vitesse tangentielle $u$ (sans diffusion tangentielle). En effet, les termes en $v$ sont tous très faibles réduisant la deuxième projection à ${\partial p \over \partial y}=0$. Cela signifie que la pression est constante dans l'épaisseur de la couche limite (à abscisse fixée) et elle peut donc être déterminée via l'équation de Bernoulli en dehors de la couche limite. Il faut noter que dans le cas de la couche limite de Blasius, l'écoulement extérieur est supposé uniforme de vitesse $U$. Ainsi on montre que le gradient de pression est nul :
$p(x)+{1 \over 2}\rho U^{2}=\mathrm {Cte} \quad \Rightarrow \quad -{\frac {dp}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl{1 \over 2}\rho U^{2}{\Bigl )}=0$

### Équations adimensionnées

Il s'agit désormais d'adimensionner ces équations. Pour cela, nous allons réduire les variables judicieusement.
Pour plus de détails concernant les choix de réduction, ils s'inspirent de l'étude des ordres de grandeurs. Par exemple, lorsque l'on compare $u$ à $U$ il est nécessaire de comparer $v$ à ${\dfrac {U}{\sqrt {\mathrm {Re} _{L}}}}$. Il en est de même pour les variables d'espace. Les nouvelles variables sont donc :
                   $u'={u \over U}\qquad v'={\frac {v{\sqrt {\mathrm {Re} _{L}}}}{U}}$
                   $x'={x \over L}\qquad y'={\frac {y{\sqrt {\mathrm {Re} _{L}}}}{L}}$
Avec ces nouvelles variables, le système devient simplement :
${\partial u' \over \partial x'}+{\partial v' \over \partial y'}=0$
$u'{\partial u' \over \partial x'}+v'{\partial u' \over \partial y'}={\partial ^{2}u' \over \partial {y'}^{2}}$

## Obtention de l'équation de Blasius
### Nouvelle variable

Clairement on recherche le champ de vitesse tangentielle de la forme $u'=f(x',y')$. Or il demeure une imprécision : la longueur caractéristique $L$. En effet, celle-ci étant arbitraire, il est indispensable que la solution n'en dépende pas. Dans cette démarche, il s’avèrerait que la solution ne dépende que d'une seule variable, combinant $x'$ et $y'$ afin qu'elle soit indépendante de cette longueur $L$. Posons simplement :
$\theta ={\frac {y'}{\sqrt {x'}}}={\frac {y}{\sqrt {x}}}{\sqrt {\dfrac {U}{\nu }}}$
Cette variable est indépendante de la longueur $L$.
$\theta ={\dfrac {y'}{\sqrt {x'}}}={\dfrac {\dfrac {y{\sqrt {\mathrm {Re} _{L}}}}{L}}{\sqrt {\dfrac {x}{L}}}}={\frac {y}{\sqrt {x}}}{\sqrt {\dfrac {\mathrm {Re} _{L}}{L}}}={\frac {y}{\sqrt {x}}}{\sqrt {\dfrac {U}{\nu }}}$
On en déduit que la solution cherchée est de la forme :
${\frac {u}{U}}=f(\theta )\quad {\text{soit}}\quad u=Uf(\theta )$

### Équation de Blasius

Avec cette nouvelle variable, il suffit d'exprimer chaque terme de l'équation de mouvement pour aboutir à l'équation de Blasius :
$f''(\theta )+{1 \over 2}f'(\theta )\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t=0$
Dans un premier temps, il faut remarquer que la variable $\theta =\theta (x',y')$. Ainsi nous aurons besoin par la suite des dérivées partielles :
                   ${\frac {\partial \theta }{\partial x'}}=-{\frac {1}{2x'}}\theta \quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial \theta }{\partial y'}}={\frac {1}{y'}}\theta ={\frac {1}{\sqrt {x'}}}$
Il s'agit désormais d'exprimer chacun des termes de l'équation de mouvement. Commençons par le terme de diffusion :
                   ${\frac {\partial ^{2}u'}{\partial ^{2}y'}}={\frac {\partial ^{2}u'}{\partial ^{2}\theta }}\left({\frac {\partial \theta }{\partial y'}}\right)^{2}={\frac {1}{x'}}f''(\theta )$
Le premier terme convectif est simple à exprimer :
                   $u'=f(\theta )\quad \Rightarrow \quad u'{\frac {\partial u'}{\partial x'}}=u'{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x'}}=-{\frac {1}{2x'}}\theta f(\theta )f'(\theta )$
Contrairement au second qui nécessite le passage par l'équation de continuité :
                   ${\partial u' \over \partial x'}+{\partial v' \over \partial y'}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial v'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial y'}}=-{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x'}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial v'}{\partial \theta }}=-f'(\theta ){\dfrac {\dfrac {\partial \theta }{\partial x'}}{\dfrac {\partial \theta }{\partial y'}}}={1 \over 2{\sqrt {x'}}}\theta f'(\theta )$
Pour trouver la vitesse $v'$ on intègre cette équation selon $\theta$ à $x$ fixé:
                   $\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {\partial v'}{\partial t}}\,\mathrm {d} t={1 \over 2{\sqrt {x'}}}\int \limits _{0}^{\theta }tf'(t)\,\mathrm {d} t$
Puis à l'aide d'une intégration par parties :
                   $v'(\theta )-v'(\theta =0)={1 \over 2{\sqrt {x'}}}{\big\theta f(\theta ){\big ]}_{0}^{\theta }-{1 \over 2{\sqrt {x'}}}\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t$
On rappelle que lorsque $\theta =0$ c'est lorsque $y=0$ soit au niveau de la paroi. Or la vitesse normale est nulle à ce niveau (le fluide ne pénètre pas dans la paroi) ce qui donne finalement :
                   $v'={1 \over 2{\sqrt {x'}}}\theta f(\theta )-{1 \over 2{\sqrt {x'}}}\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t$
Le second terme de convection s'écrit alors :
                   $v'{\partial u' \over \partial y'}={1 \over x'}f'(\theta )\left({1 \over 2}\theta f(\theta )-{1 \over 2}\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t\right)$
On regroupe tous les termes ainsi exprimés :
                   $-{\frac {1}{2x'}}\theta f(\theta )f'(\theta )+{1 \over x'}f'(\theta )\left({1 \over 2}\theta f(\theta )-{1 \over 2}\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{x'}}f''(\theta )$
Après simplifications, nous obtenons l'équation de Blasius :
$f''(\theta )+{1 \over 2}f'(\theta )\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t=0$
On vérifie que $\theta$ est bien l'unique variable du problème.

## Résolution approchée
### Cas des faibles valeurs de $\theta$

Rappelons qu'à $x$ fixé, $\theta$ varie de la même manière que $y$, ainsi la variable est représentative de la distance vis-à-vis de la paroi au niveau de la couche limite. Appliquons un développement limité de la fonction pour $\theta \simeq 0$ :
$f(\theta )=f(0)+\theta f'(0)+{\theta ^{2} \over 2}f''(0)+{\theta ^{3} \over 6}f^{(3)}(0)+{\theta ^{4} \over 24}f^{(4)}(0)+o(\theta ^{4})$
Nous savons déjà que $f(0)=0$, cela permet d'affirmer, à l'aide de l'équation de Blasius, que $f''(0)=0$. On peut montrer qu'il en est de même pour $f^{(3)}(0)$ et que de plus $f^{(4)}(0)=-{1 \over 2}{f'}^{2}(0)$
Dérivons une première fois l'équation de Blasius :
                   $f^{(3)}(\theta )=-{1 \over 2}\left(f'(\theta )f(\theta )+f''(\theta )\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t\right)$
On obtient donc directement que $f^{(3)}(0)=0$. Et si l'on dérive une nouvelle fois :
                   $f^{(4)}(\theta )=-{1 \over 2}\left(f''(\theta )f(\theta )+{f'}^{2}(\theta )+f''(\theta )f(\theta )+f^{(3)}(\theta )\int \limits _{0}^{\theta }f(t)\,\mathrm {d} t\right)$
De la même manière on obtient : $f^{(4)}(0)=-{1 \over 2}{f'}^{2}(0)$
Pour des faibles valeurs de $\theta$ nous avons donc l'approximation suivante :
$f(\theta )=\left(\theta -{\theta ^{4} \over 48}f'(0)\right)f'(0)$
On en déduit donc que proche de la paroi, le profil de la vitesse tangentielle varie linéairement puis suit un profil plus concave (terme en $\theta ^{4}$)

### Cas des grandes valeurs de $\theta$

Des grandes valeurs de $\theta$ signifient que l'on s'éloigne de plus en plus de la paroi ainsi le champ de vitesse dans la couche limite $u\rightarrow U$. Autrement dit, comme $u=Uf(\theta )$ on a donc $f(\theta )\rightarrow 1$. L'équation limite de Blasius s'écrit alors :
$f''(\theta )\approx -{1 \over 2}\theta f'(\theta )$
On intègre aisément :
                   $f'(\theta )=f'(0)\mathrm {e} ^{-{\frac {\theta ^{2}}{4}}}$
Cette expression montre que $f'(\theta )$ converge exponentiellement vers $0$ impliquant que $f$ atteint de la même manière sa valeur asymptotique $1$. De plus, l'exponentielle atteint 98 % de sa valeur finale lorsque son paramètre est de l'ordre de 6, on en déduit que l'on sort de la couche limite pour $\theta \approx 5$. Ainsi le domaine de la fonction $f$ est donnée : $f(\theta )\in [0,1]$ pour $\theta \in [0,5]$
Ces résultats sont en accord avec le principe de couche limite : dès qu'on s'éloigne de la paroi on retrouve l'écoulement uniforme et en combinant les deux comportements aux bords on s'imagine que le profil des vitesses va passer de manière abrupte de son comportement linéaire à son comportement asymptotique.