# 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

En mathématiques, la série infinie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ est, dans l'histoire des mathématiques, l'une des premières séries infinies dont on ait donné la somme. Elle a été utilisée par Archimède en 250-200 av. J.-C.. Comme il s'agit d'une série géométrique de premier terme 1/4 et de raison 1/4, sa somme est
    $\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{i}}}={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}.$

## Démonstrations visuelles

La série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ se prête à des démonstrations visuelles particulièrement simples, car un carré et un triangle se divisent en quatre morceaux semblables, dont chacun contient un quart de l'aire originale.
Dans la figure de gauche$^,$, si le grand carré a une aire égale à 1, alors le plus grand carré noir est d'aire 1/2 × 1/2 = 1/4. De même, le deuxième carré noir 1/16, et le troisième plus grand carré noir 1/64. La surface occupée par tous les carrés noirs est donc 1/4 + 1/16 + 1/64 + ⋯, c'est aussi l'aire occupée par les carrés gris et les carrés blancs. Puisque ces trois zones couvrent l'unité carrée, la figure démontre que
    $3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$
La propre illustration d'Archimède, adaptée en haut, était légèrement différente, étant plus proche de l'équation
    ${\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1.$
La même stratégie géométrique fonctionne également pour les triangles, comme dans la figure de droite$^,$ : si le grand triangle a une aire égale à 1, alors l'aire du plus grand triangle noir vaut 1/4, et ainsi de suite. La figure dans son ensemble présente une auto-similarité entre un grand triangle et son sous-triangle supérieur. Une construction connexe reproduisant le même procédé aux trois coins produit le triangle de Sierpiński.

## Preuve d'Archimède

Archimède expose la série dans son œuvre La Quadrature de la parabole. Il trouve l'aire à l'intérieur d'une parabole, et il obtient une série de triangles ; chaque étape de la construction ajoute une aire 1/4 fois l'aire de l'étape précédente. Le résultat qu'il souhaite prouver est que la superficie totale est 4/3 fois la surface de la première étape. Pour y arriver, il introduit un lemme algébrique :
   « Proposition 23. Soit une série de domaines A, B, C, D, … , Z, où A est le plus grand, Et chacune est égale à quatre fois la suivante dans l'ordre, alors
       $A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$ »
Archimède prouve la proposition en calculant d'abord
    ${\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}$
D'autre part,
    ${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).$
En soustrayant cette équation de l'équation précédente, on a
    $B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$
Et l'ajout de A aux deux côtés donne le résultat souhaité.
Aujourd'hui, une reformulation plus standard de la proposition d'Archimède est que les sommes partielles de la série 1 + 1/4 + 1/16 + ⋯ sont :
    $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$
Cette forme peut être prouvée en multipliant les deux côtés par 1/4 et en observant que tous sauf le premier et le dernier des termes sur le côté gauche de l'équation s'annulent par paires. La même stratégie s'applique à toute série géométrique finie.

## La limite

La Proposition 24 d'Archimède applique la somme finie (mais indéterminée) dans la Proposition 23 à l'aire à l'intérieur d'une parabole par un double raisonnement par l'absurde. Il n'a pas tout à fait pris la limite des sommes partielles ci-dessus, mais dans le calcul moderne cette étape est assez facile :
    $\lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.$
Puisque la somme d'une série infinie est définie comme la limite de ses sommes partielles,
    $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}.$