# Axiome de séparation (topologie)

En topologie, un axiome de séparation est une propriété satisfaite par certains espaces topologiques, similaire à la propriété de séparation de Hausdorff (dite aussi T$_2$), et concernant la séparation de points ou de fermés, du point de vue soit de voisinages, soit de fonctions continues réelles.
Divers axiomes de séparation peuvent être ordonnés par implication, notamment ceux de la série des axiomes codés par la lettre « T » et un indice numérique, ces axiomes étant en général d'autant plus restrictifs que les indices sont élevés et les topologies correspondantes plus fines.
Attention : dans la littérature, le vocabulaire est parfois très volatil et certaines de ces définitions peuvent être interchangées.

## Liste d'axiomes
### La séparation T$_0$ (espace de Kolmogorov)

On dit qu'un espace topologique X est de Kolmogorov, ou vérifie la propriété T$_0$, si pour deux points distincts quelconques de X, l'un (au moins) des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, l'un des deux points n'est pas adhérent à l'autre.

### La séparation T$_1$ (espace accessible, ou de Fréchet)

Un espace T$_1$ est un espace topologique dont les singletons sont fermés. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages de x est réduite au singleton {x}. Ou encore, pour deux points distincts quelconques, chacun des deux points admet un voisinage qui ne contient pas l'autre point. Ou encore, aucun des deux points n'est adhérent à l'autre.
Un espace est T$_1$ si et seulement s'il est à la fois T$_0$ et R$_0$.

### Espaces à unique limite séquentielle

Un « espace à unique limite séquentielle » (traduction libre du nom en anglais sous lequel cette notion est plus connue : space with unique sequential limit ou US-space) est un espace X dans lequel chaque suite convergente n'a qu'une limite, ou encore, tel que la diagonale est séquentiellement fermée dans X×X.
Tout espace à unique limite séquentielle est T$_1$ mais la réciproque est fausse.
Soit X un espace à unique limite séquentielle. Alors, pour tous points distincts x et y de X, la suite constante de valeur x ne converge pas vers y donc il existe un voisinage de y qui ne contient pas x, ce qui prouve que X est T$_1$.
La topologie cofinie sur un ensemble infini est un espace T$_1$ dans lequel les suites injectives convergent vers tout point de X.
La « droite à deux origines » est un autre exemple. Cet espace est le quotient de ℝ×{0, 1} par : pour tout réel x non nul, (x, 0) est identifié à (x, 1). Il est seulement localement séparé.

### Espaces faiblement séparés

Un espace topologique X est faiblement séparé, ou faiblement Hausdorff, ou t$_2$ lorsque pour tout espace compact K et toute application continue f de K dans X, l'image de K par f est fermée dans X.
Tout espace faiblement séparé est T$_1$ (mais pas nécessairement à unique limite séquentielle). Pour montrer que tout singleton est fermé, il suffit en effet de considérer un compact K non vide et l'application f constante de K dans ce singleton.

### Espaces KC

Un espace KC est un espace dans lequel tout quasi-compact est fermé (une notion voisine est celle d'espace compactement engendré).
Tout espace KC est faiblement séparé. En effet, l'image d'un compact par une application continue est quasi-compacte.
Tout espace KC est à unique limite séquentielle mais la réciproque est fausse.
Soit X un espace KC. Ayant remarqué que X est T$_1$ (tout singleton est fermé), montrons que si une suite (x$_n$) converge vers x et y, alors x = y. Si la suite prend une infinité de fois la valeur y, cette égalité est immédiate (dans un espace T$_1$, une suite constante n'a qu'une limite). Sinon, soit A l'ensemble des x$_n$ distincts de y. Alors A ∪ {x} est quasi-compact donc fermé dans X donc il contient y (puisque son complémentaire est ouvert et que x$_n$ → y) donc y = x.
Soit X l'espace d'Arens-Fort, qui est séparé et dans lequel les compacts sont les parties finies, et soit X$^+$ son extension d'Alexandrov (qui est quasi-compacte, mais non séparée puisque X n'est pas localement compact). Alors X$^+$ est un espace à unique limite séquentielle dans lequel X$^+$\{(0,0)} est un quasi-compact non fermé.
Cependant, dans un espace séquentiel à unique limite séquentielle, toute partie dénombrablement compacte est fermée, donc l'espace est KC.
Sur un espace donné, une topologie quasi-compacte est maximale pour cette propriété si et seulement si elle est KC et une topologie KC est minimale pour cette propriété si et seulement si elle est quasi-compacte, si bien que les topologies quasi-compactes maximales et KC minimales sont les mêmes$^,$.

### La séparation T$_2$ (espace de Hausdorff)

C'est la propriété classique. Un espace topologique est dit T$_2$, ou de Hausdorff, ou espace séparé, si pour tout couple (x,y) d'éléments distincts de X, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre contient y. Ceci équivaut à : pour tout point x, l'intersection des voisinages fermés de x est réduite au singleton {x}, ou encore à : la diagonale est fermée dans X×X.
La séparation T$_2$ entraîne la séparation KC (c'est le théorème classique selon lequel tout compact d'un séparé est fermé).
La réciproque est fausse, mais un espace à bases dénombrables de voisinages est séparé dès qu'il est à unique limite séquentielle.
L'extension d'Alexandrov de ℚ (qui est quasi-compacte) n'est pas séparée puisque ℚ n'est pas localement compact, mais c'est un espace KC. Un autre exemple est la topologie codénombrable sur ℝ.
Soit X un espace à base dénombrable de voisinages et à unique limite séquentielle, alors la diagonale est séquentiellement fermée dans X×X. Comme ce produit est séquentiel (car encore à base dénombrable de voisinages), la diagonale est par conséquent fermée, donc X est séparé.
La topologie de Zariski sur une variété algébrique est T$_1$ mais en général non séparée.

### La séparation T$_{21/2}$ (espace complètement de Hausdorff)

Un espace topologique est un espace T$_{21/2}$ lorsque deux points distincts admettent des voisinages dont les adhérences sont disjointes. Ou encore, deux points distincts admettent des voisinages fermés disjoints.
Tout espace T$_{21/2}$ est séparé mais la réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant. On considère l'ensemble E du plan constitué de l'intérieur du disque de centre O de rayon 1 et des deux points (1, 0) et (–1, 0). Une base de voisinages d'un point intérieur au disque est formée des disques centrés en ce point. Une base de voisinages du point (1, 0) est constituée des réunions de ce point et d'une bande semi-circulaire (ouverte au sens usuel) adjacente à ce point et limitée par des segments [(0, 1), (0, 1 – h)] et [(0, –1), (0, –1 + h)]. De même pour (–1, 0). Dans le dessin ci-contre, on a représenté en couleur un voisinage d'un point intérieur au disque, et un voisinage de chacun des points (1, 0) et (–1, 0). Si ces deux derniers voisinages sont ouverts, ils sont disjoints, mais leurs adhérences s'intersectent selon une partie des segments communs qui les limitent. L'espace E est donc séparé mais pas T$_{21/2}$.

### La séparation T$_{23/4}$ (espace d'Urysohn)

Un espace topologique X est appelé espace d'Urysohn lorsque pour tous points distincts x et y de X, il existe une fonction continue f de X dans le segment [0, 1] telle que f(x) = 0 et f(y) = 1. Un espace d'Urysohn est T$_{21/2}$.
Un espace est d'Urysohn si et seulement si l'application canonique vers son compactifié de Stone-Čech est injective.

### Séparation T$_3$ et espaces réguliers

Un espace topologique X vérifie T$_3$ lorsque pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient x et l'autre contient F.
Tout espace vérifiant T$_3$ et T$_0$ est séparé. Un tel espace est dit régulier. Il vérifie T$_{21/2}$, mais pas toujours T$_{23/4}$. Inversement, la K-topologie sur ℝ vérifie T$_{23/4}$ mais pas T$_3$.

### Séparation T$_{31/2}$ et espaces complètement réguliers (ou de Tychonov)

Un espace topologique X vérifie T$_{31/2}$ si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F. Ceci équivaut à : X est uniformisable.
Tout espace vérifiant T$_{31/2}$ et T$_0$ est séparé. Un tel espace est qualifié de complètement régulier (on dit aussi : espace de Tychonov). Un espace complètement régulier est donc non seulement régulier mais aussi d'Urysohn.
Un espace est complètement régulier si et seulement s'il se plonge dans un espace compact.

### Séparation T$_4$ et espaces normaux

Un espace topologique X vérifie T$_4$ lorsque pour tout couple de fermés disjoints E et F, il existe un couple d'ouverts disjoints dont l'un contient E et l'autre contient F.
Cet axiome n'est pas préservé par passage aux sous-espaces ni par passage aux produits (cependant, tout sous-espace fermé d'un espace T$_4$ est T$_4$).
Il n'implique aucun des précédents. En particulier, un espace peut vérifier T$_4$ sans être séparé : la topologie grossière vérifie T$_4$. Par contre, si un espace vérifie T$_4$ et T$_1$ alors il est séparé.
Un espace séparé vérifiant T$_4$ est dit normal.
Si X vérifie T$_4$, pour tout couple de fermés disjoints E et F, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 sur E et 1 sur F. Cette propriété remarquable s'appelle le lemme d'Urysohn. Plus généralement, le théorème de prolongement de Tietze assure que toute fonction continue d'un fermé de X dans ℝ s'étend continûment à X.
En particulier, tout espace normal est complètement régulier.
Tout espace paracompact (en particulier tout compact) est normal.

### Séparation T$_5$ et espaces complètement normaux

Un espace topologique X vérifie T$_5$ si pour toutes parties A et B de X telles que A ∩ B = ∅ et B ∩ A = ∅, il existe deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.
Cela équivaut à : tout sous-espace de X vérifie T$_4$, et il suffit pour cela que les sous-espaces ouverts de X vérifient T$_4$.
* Soient X vérifiant T$_5$ et Y un sous-espace de X. Alors Y vérifie T$_5$ (donc T$_4$). En effet, pour toutes parties A et B de Y, l'adhérence de B dans le sous-espace Y (muni de sa topologie induite) est égale à B ∩ Y, donc si elle est disjointe de A alors A ∩ B = ∅ (et de même en échangeant les rôles de A et B). Par hypothèse sur X, deux telles parties A et B sont donc séparées par deux ouverts de X disjoints. Les traces sur Y de ces deux ouverts sont alors deux ouverts de Y disjoints qui séparent A et B.
* Dans un espace X dont tous les sous-espaces ouverts vérifient T$_4$, soient A et B deux parties telles que A ∩ B = ∅ et B ∩ A = ∅. On pose Y = X\(A∩B). Il vient A ⊂ A ∩ Y et B ⊂ B ∩ Y. Dans le sous-espace ouvert Y (muni de sa topologie induite), A ∩ Y et B ∩ Y, fermés disjoints, sont séparés par deux ouverts de Y, qui séparent a fortiori A et B et qui (puisque Y est un ouvert de X) sont aussi des ouverts de X. Par conséquent, X vérifie T$_5$.
Un espace séparé vérifiant T$_5$ est dit complètement normal.
Un espace est donc complètement normal si et seulement si tous ses sous-espaces sont normaux.
Tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre — par exemple tout espace topologique associé à un ordinal — est complètement normal.
La planche de Tychonov [0, ω$_1$]×[0, ω], produit de deux espaces complètement normaux, est un compact non complètement normal.

### La séparation T$_{51/2}$ (espace parfaitement normal)

Un espace séparé X est dit parfaitement normal si tout fermé de X est le lieu d'annulation d'une application continue f de X dans ℝ.
Tout espace métrisable est parfaitement normal (prendre pour f la fonction distance au fermé).
Tout sous-espace d'un espace parfaitement normal est encore parfaitement normal.
Un espace parfaitement normal est normal (et par suite complètement normal, d'après la stabilité précédente pour les sous-espaces). Mieux : pour tous fermés disjoints E et F d'un tel espace X, e et f étant des fonctions continues qui s'annulent exactement sur ces fermés, la fonction ${\frac {|e|}{|e|+|f|}}:X\to [0,1]$ est continue, et vaut 0 exactement sur E et 1 exactement sur F.
Tout espace parfaitement normal est un espace G$_δ$ (en), c'est-à-dire dans lequel tout fermé est un sous-ensemble G$_δ$ (une intersection dénombrable d'ouverts), en l'occurrence $\bigcap _{n=1}^{+\infty }f^{-1}\left(\,\left]-1/n,1/n\right[\,\right)$ mais la réciproque est fausse : la K-topologie est un espace G$_δ$ qui n'est pas parfaitement normal ni même normal.
La définition originelle (due à Čech et équivalente) est : un espace est parfaitement normal si c'est un espace G$_δ$ normal.
Un exemple d'espace complètement normal mais non parfaitement normal est [0, ω₁] (muni de la topologie de l'ordre), où ω₁ désigne le premier ordinal non dénombrable.