# Modèle de Cross

Le modèle de Cross est un modèle de viscosité des polymères (rhéologie), qui permet à la fois de décrire un fluide newtonien, un fluide rhéofluidifiant ou rhéoépaississant, selon la valeur d'un des paramètres. Il a été proposé par Malcolm M. Cross en 1965.
D'autre modèles ont été construits à partir de ce modèle : le modèle Cross-exp et le modèle Cross-WLF (Williams-Landel-Ferry).

## Domaine d'application

Les polymères (matières plastiques, caoutchoucs) sont souvent mis en forme par extrusion, injection, soufflage. Le polymère est chauffé pour qu'il devienne pâteux ou liquide. L'effort qu'il faut fournir pour le faire avancer dans un canal ou pour le déformer dépend de sa viscosité dynamique η (lettre grecque êta). Et pour un effort donné, le débit de matière que l'on obtient dans un canal ou bien la manière dont le liquide « s'accroche » aux parois dépend aussi de η.

## Phénomène de viscosité

Un fluide visqueux a tendance à s'accrocher aux parois. Lors d'un écoulement, il y a donc un gradient de vitesse :
* à proximité de la paroi, la vitesse est parallèle à la paroi (le flux ne la traverse pas) ;
* lorsque l'on se rapproche de la paroi, la vitesse diminue.
La vitesse V augmente lorsque l'on s'éloigne perpendiculairement à la paroi. Cette différence de vitesse entre deux couches de fluide crée un effort de cisaillement τ.
Si la normale de la paroi est l'axe y et que l'écoulement se fait selon l'axe x d'un repère orthonormé, alors la viscosité dynamique est définie par la relation
$\tau =\eta {\frac {\mathrm {dV} }{\mathrm {d} y}}$
Par ailleurs, ce gradient de vitesse crée un gradient de déplacement du. On définit le taux de cisaillement ${\dot {\gamma }}$ (gamma point) par
${\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {dV} }{\mathrm {d} y}}$
d'où $\tau =\eta {\dot {\gamma }}$.

## Modèle de Cross

Le modèle de Cross et les modèles dérivés sont une expression de η en fonction du taux de cisaillement ${\dot {\gamma }}$
${\frac {\eta -\eta _{\infty }}{\eta _{0}-\eta _{\infty }}}={\frac {1}{1+(k\cdot {\dot {\gamma }})^{m}}}$
$\eta =\eta _{\infty }+{\frac {\eta _{0}-\eta _{\infty }}{1+(k\cdot {\dot {\gamma }})^{m}}}$
où :
* k et m sont des constantes propres au fluide, définissant la forme de la courbe $\eta =f({\dot {\gamma }})$ ;
* η$_0$ est la viscosité pour un taux de cisaillement nul ;
* η$_∞$ est l'asymptote viscosité pour un taux de cisaillement très élevé.
Ces paramètres sont propres au matériau et sont obtenus par des essais. Dans le modèle initial, M. M. Cross fixe la valeur de m à 2/3.
Ce modèle est également présenté sous une forme à trois paramètres
$\eta ={\frac {\eta _{0}}{1+(\lambda \cdot {\dot {\gamma }})^{1-n}}}$
où λ est une constante de temps.
Notons que l'on reconnaît la loi en puissance d'Ostwald–de Waele pour les fluides non-newtoniens
$\eta ={\frac {\mathrm {K} }{{\dot {\gamma }}^{1-n}}}$
avec 0 < n < 1 pour un fluide rhéofluidifiant.
On trace souvent le diagramme logarithmique. On a alors $\ln \eta =\ln \eta _{0}-\ln(1+(\lambda \cdot {\dot {\gamma }})^{1-n})$ ce qui donne l'équation d'une droite de pente n - 1 pour les fortes valeurs de taux de cisaillement $\ln \eta _{{\dot {\gamma }}\to \infty }\simeq (\ln \eta _{0}+(n-1)\ln \lambda )+(n-1)\cdot \ln {\dot {\gamma }}$.

## Modèle Cross-exp

Le modèle Cross-exp s'écrit
$\eta ={\frac {\eta _{0}}{1+\left({\frac {\eta _{0}\cdot {\dot {\gamma }}}{\tau ^{*}}}\right)^{1-n}}}$
où τ$^*$ et n sont des paramètres constants caractéristiques du matériau, et η$_0$, la viscosité pour un taux de cisaillement nul, est un paramètre dépendant de la pression p et de la température absolue T, sous la forme
$\eta _{0}=\mathrm {B} \cdot \exp \left({\frac {\mathrm {T_{b}} }{\mathrm {T} }}\right)\cdot \exp \left(\beta \cdot p\right)$
où B, T$_b$ et β sont des constantes dépendant du matériau. Le paramètre T$_b$ est la sensibilité de η$_0$ à la température, et dépend normalement lui-même de la température ; on le considère comme constant dans une gamme de températures donnée. Le paramètre β est la sensibilité de η$_0$ à la pression, et dépend lui-même de la température et de la pression ; on le considère comme constant pour un domaine de température et de pression restreint.

## Modèle Cross-WLF

Le modèle Cross-WLF s'écrit de la même manière que le modèle Cross-exp
$\eta ={\frac {\eta _{0}}{1+\left({\frac {\eta _{0}\cdot {\dot {\gamma }}}{\tau ^{*}}}\right)^{1-n}}}$
mais la viscosité à taux de cisaillement nul η$_0$ s'exprime différemment
$\eta _{0}=\mathrm {D} _{1}\cdot \exp \left(-{\frac {\mathrm {A} _{1}\cdot (\mathrm {T} -\mathrm {T} ^{*})}{\mathrm {A} _{2}+(\mathrm {T} -\mathrm {T} ^{*})}}\right)$
avec
${\begin{cases}\mathrm {T} ^{*}=\mathrm {D} _{2}+\mathrm {D} _{3}\cdot p\\\mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} _{3}+\mathrm {D} _{3}\cdot p\\\end{cases}}$
Les paramètres A$_1$, A$_3$, D$_1$, D$_2$ et D$_3$ sont des constantes caractéristiques du matériau. Dans l'idéal, T$^*$ est la température de transition vitreuse T$_v$ (ou T$_g$).
Dans un certain nombre de cas, on a D$_3$ = 0, donc le comportement ne dépend pas de la pression (dans la gamme de pressions à laquelle on s'intéresse).