# Centralisateur

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X.

## Centralisateur d'un élément

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté C$_G$(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.
* Première démonstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'élément neutre de G appartient à C$_G$(x). Si g et h sont deux éléments de C$_G$(x), alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi à C$_G$(x). Enfin, si g appartient à C$_G$(x), alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g$^{-1}$ à gauche, nous trouvons x = g$^{-1}$ x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g$^{-1}$ à droite, nous obtenons x g$^{-1}$ = g$^{-1}$ x, ce qui montre que g$^{-1}$ appartient à C$_G$(x).
* Deuxième démonstration. Pour tout élément x de G, désignons par Int$_G$(x) l'automorphisme intérieur $\ g\mapsto xgx^{-1}$ de G. Dire que deux éléments x et g de G commutent revient à dire que g est point fixe de Int$_G$(x) (et revient aussi, évidemment, à dire que x est point fixe de Int$_G$(g)). Donc C$_G$(x) est l'ensemble des points fixes de Int$_G$(x). De façon générale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc C$_G$(x) est un sous-groupe de G.
* Troisième démonstration. D'après une remarque faite dans la seconde démonstration, C$_G$(x) est l'ensemble des éléments g de G tels que Int$_G$(g) admette x pour point fixe. Autrement dit, C$_G$(x) est l'image réciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application $\ G\rightarrow \mathrm {Aut} (G):g\mapsto \mathrm {Int} _{G}(g)$. Cette application $\ g\mapsto \mathrm {Int} _{G}(g)$ est un homomorphisme de G dans le groupe S$_G$ des permutations de G (c'est même un homomorphisme de G dans Aut(G)) et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de S$_G$, donc C$_G$(x) est l'image réciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G.
La troisième des démonstrations ci-dessus montre en fait que C$_G$(x) est le stabilisateur du point x relativement à l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'après la formule des classes, on peut donc énoncer :
* Soient G un groupe et x un élément de G. Le cardinal de l'ensemble des conjugués de x dans G est égal à l'indice de C$_G$(x) dans G.

## Centralisateur d'une partie

Soient G un groupe et X une partie de G. Le centralisateur de X dans G, noté C$_G$(X) (ou C(X) si le contexte n'est pas ambigu) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de X. Si X est un singleton {x}, C$_G$(X) est égal au centralisateur C$_G$(x) de x défini plus haut. Si X est une partie non vide de G, on peut parler de l'intersection $\ \bigcap _{x\in X}C_{G}(x)$ et il est clair que cette intersection est égale à C$_G$(X) ; donc C$_G$(X) est une intersection de sous-groupes de G et est ainsi un sous-groupe de G. Si X est vide, C$_G$(X) est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.
Le centralisateur de la partie G de G est le centre de G.

## Propriétés du centralisateur d'une partie

* Les premières propriétés du centralisateur d'une partie d'un groupe G sont des cas particuliers des propriétés du commutant d'une partie d'un magma :
** Si X et Y sont des parties de G, dire que X est contenu dans C$_G$(Y) revient à dire que Y est contenu dans C$_G$(X), car chacune de ces conditions revient à dire que tout élément de X commute avec tout élément de Y.
** En particulier, une partie X de G est contenue dans C$_G$(X) si et seulement si tous les éléments de X commutent entre eux.
** Si X et Y sont des parties de G et si X est contenue dans Y, alors C$_G$(Y) est contenu dans C$_G$(X).
** Toute partie X de G est incluse dans son bicommutant C$_G$(C$_G$(X)).
** C$_G$(C$_G$(C$_G$(X))) = C$_G$(X). Cette équation peut se reformuler en disant que dans un groupe G, un sous-ensemble H est un centralisateur (i.e. il existe une partie de G dont H est le centralisateur) si et seulement s'il est le centralisateur de C$_G$(H).
* Si X est une partie d'un groupe G, le centralisateur de X dans G est égal au centralisateur dans G du sous-groupe ⟨X⟩ de G engendré par X.
Justification. Puisque X est contenue dans ⟨X⟩, il résulte de la remarque précédente que C$_G$(⟨X⟩) est contenu dans C$_G$(X), que nous noterons Y. Réciproquement, montrons que C$_G$(⟨X⟩) contient Y. D'après une propriété énoncée plus haut, le sous-groupe C$_G$(Y) contient X, donc contient ⟨X⟩ (par définition du sous-groupe engendré). En réutilisant la même propriété, ceci revient à dire que C$_G$(⟨X⟩) contient Y.
Lemme N/C (ou théorème N/C) — Soit H un sous-groupe d'un groupe G. Le centralisateur C$_G$(H) est un sous-groupe normal du normalisateur N$_G$(H) et le groupe quotient N$_G$(H)/C$_G$(H) est isomorphe à un sous-groupe de Aut(H).
Justification. Il est clair que si c est un élément de C = C$_G$(H), alors c H c$^{-1}$ = H, donc c appartient à N = N$_G$(H), ce qui montre que C est sous-groupe de N. D'autre part, puisque H est normal dans N, tout automorphisme intérieur Int$_N$(n) de N (avec n dans N) induit un automorphisme (non forcément intérieur) Int$_N$(n)$_{|H}$ de H. L'application $\ n\mapsto \mathrm {Int} _{N}(n)_{|H}$ est un homomorphisme de N dans Aut(H) et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est C. Donc C est sous-groupe normal de N et, d'après le premier théorème d'isomorphisme, N/C est isomorphe à l'image de cet homomorphisme, image qui est un sous-groupe de Aut(H).
Grâce au lemme N/C, la structure interne d'un sous-groupe H de G peut fournir des renseignements sur N$_G$(H)/C$_G$(H). On montre ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini non trivial, si p est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G, si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors N$_G$(P)/C$_G$(P) = 1, autrement dit N$_G$(P) est réduit à C$_G$(P), de sorte que les hypothèses du théorème du complément normal de Burnside sont satisfaites et que P admet un complément normal dans G.
* Soit X une partie de G. Le normalisateur de X dans G est par définition l'ensemble des éléments g de G tels que g X g$^{-1}$ = X. On vérifie facilement que si h est un élément de G tel que $\ hXh^{-1}\subseteq X,$ et c un élément de C$_G$(X), alors h$^{-1}$ c h appartient lui aussi à C$_G$(X). On en tire en particulier que C$_G$(X) est sous-groupe normal de N$_G$(X), ce qui, dans le cas où X est un sous-groupe de G, a été démontré autrement au point précédent.
Soient G$_1$ et G$_2$ deux groupes, H un sous-groupe de G$_1$ et f un homomorphisme de G$_1$ dans G$_2$. On vérifie facilement que $\ f(C_{G_{1}}(H))\subseteq C_{G_{2}}(f(H))$ et que
* si f est un isomorphisme de G$_1$ sur G$_2$, alors $\ f(C_{G_{1}}(H))=C_{G_{2}}(f(H))$.
En appliquant cela aux automorphismes et aux automorphismes intérieurs d'un groupe G, on en tire que
* le centralisateur d'un sous-groupe caractéristique de G est lui-même caractéristique dans G
et (ce qu'on peut tirer aussi du lemme N/C) que
* le centralisateur d'un sous-groupe normal de G est lui-même normal dans G.
(On utilise ce dernier fait pour prouver par exemple qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal.)