# Master theorem de Ramanujan

En mathématiques, le « master theorem » de Ramanujan (littéralement, « théorème maître », dû à Srinivasa Ramanujan, et trouvé dans ses carnets après sa mort) est une technique produisant une forme explicite de la transformée de Mellin d'une fonction analytique.

## Énoncé du théorème

Sous des hypothèses qui ont été précisées par Hardy, et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait Ramanujan, le théorème est le suivant :
Master theorem — Si $f$ est une fonction à valeurs complexes développable en série entière sous la forme
    $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!$,
alors, sous certaines hypothèses sur la fonction $s\mapsto \phi (s)$, la transformée de Mellin de $f$ est donnée par
    $\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)$,
où $\Gamma (s)$ est la fonction gamma.
Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.

## Autres formes du théorème

Une autre forme du master theorem est :
    $\int _{0}^{\infty }x^{s-1}({\lambda (0)-x\lambda (1)+x^{2}\lambda (2)-\cdots })\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}\lambda (-s)$
qui revient à la précédente par la substitution $\lambda (n)={\frac {\phi (n)}{\Gamma (1+n)}}\!$, en utilisant l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
L'intégrale précédente est convergente pour $0<\operatorname {Re} (s)<1$ (si $\phi$ vérifie des conditions de croissance convenables).
Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en 1874, mais n'avait guère attiré d'attention.

## Démonstration de Hardy

Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par Godfrey Harold Hardy, utilisant le théorème des résidus et le théorème d'inversion de Mellin (en).
Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci :
* pour $|x|<a\leq 1,f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}$
* $\phi (-s)$ est analytique pour $\Re (s)<\varepsilon$
* $\Gamma (s)\phi (-s)$ a une décroissance exponentielle sur la droite verticale $\Re (s)=\varepsilon /2$
* $\lim _{R\to \infty }\int _{|s|=R,\Re (s)<\varepsilon /2}\Gamma (s)\phi (-s)ds=0$
Pour $x>0$ soit $g(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{\Re (s)=\varepsilon /2}\Gamma (s)\phi (-s)x^{-s}\mathrm {d} s$. La décroissance exponentielle de $\Gamma (s)\phi (-s)$ implique que g est analytique sur $]0,\infty [$.
De plus le théorème des résidus donne que pour $x\in ]0,a[$, $g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\text{Res}}(\Gamma (s)\phi (-s)x^{-s},-k)=\sum _{k=0}^{\infty }{\text{Res}}(\Gamma (s),-k)\phi (k)x^{k}=f(x)$. Donc g est en fait le prolongement analytique de f.
Enfin comme $g(x)x^{\varepsilon /2}$ est bornée, par inversion de Mellin, on a :
$\Gamma (s)\phi (-s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\mathrm {d} x$
$\Re (s)\in ]0,\varepsilon /2[$

## Exemples
### Application à la fonction zêta de Hurwitz

La série génératrice des polynômes de Bernoulli $B_{k}(x)\!$ est :
    ${\frac {z\mathrm {e} ^{xz}}{\mathrm {e} ^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!$
Utilisant la fonction zêta de Hurwitz $\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!$, on a $\zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}\!$ pour $n\geq 1\!$.
Le master theorem permet alors d'obtenir la représentation intégrale :
    $\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {\mathrm {e} ^{-ax}}{1-\mathrm {e} ^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!$, si $0<\operatorname {Re} (s)<1\!$.

### Application à la fonction gamma

En utilisant la définition de Weierstrass :
    $\Gamma (x)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{x/n}\!$,
équivalente à
    $\ln \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!$ (où $\zeta (k)\!$ est la fonction zêta de Riemann), le master theorem donne alors :
    $\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\ln \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!$ (pour $0<\operatorname {Re} (s)<1\!$).
En particulier, pour $s={\frac {1}{2}}\!$ et $s={\frac {3}{4}}\!$, on obtient
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\ln \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)$
    $\int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\ln \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)$,
résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7.

## Généralisations

Des versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en physique quantique (par le biais de diagrammes de Feynman).