# Développement de Von Mises

En statistiques, le développement de Von Mises d'une statistique $T(X)$, est un analogue du développement de Taylor de cette statistique vue comme une fonctionnelle, c'est-à-dire comme une fonction d'une distribution. Le développement de $T(X)$ au voisinage de la distribution $F_{0}$ (par exemple la distribution de $X$) s'écrit donc comme une somme de terme de degrés croissants en $\mathbb {P} _{X}-F_{0}$ , où $\mathbb {P} _{X}$ désigne la distribution empirique de ces données. Le développement de Von Mises d'une statistique permet une meilleure compréhension de sa distribution asymptotique.
Le développement de Von Mises a été introduit pour la première fois par Richard Von Mises en 1947.

## Statistique fonctionnelle

La plupart des statistiques (estimateurs, statistiques de tests, etc.) peuvent être définies en tant que fonctionnelles, c'est ce qu'on appelle des statistiques fonctionnelles.
Une statistique $T$ est généralement vue comme une fonction prenant en entrée un jeu de données $X$ et retournant une valeur ou un vecteur de valeurs $T(X)$. On peut l'écrire $T:X\to T(X)$.
Mais il est aussi possible de décrire cette statistique comme une fonction prenant en entrée une distribution de probabilité $F$ et retournant une valeur ou un vecteur de valeurs $T(F)$, il s'agit alors d'une statistique fonctionnelle $T:F\mapsto T(F)$. Cette fonctionnelle est définie de sorte que pour tout jeu de données $X$, si nous appelons $\mathbb {P} _{X}$ la distribution empirique de $X$, alors $T(X)=T(\mathbb {P} _{X})$. Le terme de droite de cette égalité considère $T$ comme une fonctionnelle alors que le terme de gauche comme une statistique classique.

### Exemples

Pour un jeu de données $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ comprenant $n$ observations :
* la moyenne s'écrit classiquement comme $M(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$. La fonctionnelle associée s'écrit : $M(F)=\int t\mathrm {d} F(t)$ où $\mathrm {d} F$ est la densité de probabilité associée à $F$.
* la variance s'écrit classiquement comme $V(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-M(X))^{2}$, la fonctionnelle associée s'écrit : $V(F)=\int (t-M(F))^{2}\mathrm {d} F(t)$.
* le $\alpha$-quantile de $X$ s'écrit comme $Q_{\alpha }(X)=\inf \left\{x\in \mathbb {R} :{\frac {\mathrm {card} \{X_{i}:X_{i}\leq x\}}{n}}\geq \alpha \right\}$ (plus petite valeur $x$ telle qu'une proportion d'au moins $\alpha$ des données lui soit supérieure). La fonctionnelle associée s'écrit $Q(F)=F^{-1}(\alpha )$ où $F$ est identifiée à sa fonction de répartition (au cas, où $F^{-1}(\alpha )$ n'est pas unique, on peut prendre $\inf \,F^{-1}(\{\alpha \})$, le plus petit antécédent de $\alpha$ par $F$).

## Dérivabilité d'une fonctionnelle

Comme pour des fonctions classiques, il est possible de parler de continuité et de dérivabilité d'une statistique fonctionnelle. On peut définir la dérivée de $T$ en $F_{0}$ dans la direction de $F$ comme
$\mathrm {d} _{1}T(F_{0},F-F_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {T(F_{0}+t(F-F_{0}))-T(F_{0})}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} T\left(F_{0}+t(F-F_{0})\right)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}$
Les dérivées d'ordres supérieurs peuvent être définies d'une manière analogue par
$\mathrm {d} _{k}T(F_{0},F-F_{0})=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}T(F_{0}+t(F-F_{0}))}{\mathrm {d} t^{k}}}\right|_{t=0}$
Il est possible de montrer que $\mathrm {d} _{1}(F,G-F)$ est linéaire en $G-F$.

### Exemples

* Dérivée de la moyenne : $\mathrm {d} _{1}M(F_{0},F-G)=M(F)-M(F_{0})$. Les dérivées d'ordre supérieur sont égales à 0.
* Dérivée de la variance : $\mathrm {d} _{1}V(F_{0},F-F_{0})=\int x^{2}\mathrm {d} F(x)-\int x^{2}\mathrm {d} F_{0}(x)+2M(F)^{2}-2M(F)M(F_{0})$.

### Dérivée de Gateaux et dérivée de Fréchet

Il existe en réalité plusieurs notions de dérivées pour les fonctionnelles. La dérivée, définie telle qu'au-dessus, correspond à la dérivée de Gateaux, ou dérivée directionnelle. On peut aussi définir la dérivée de Fréchet, ou dérivée fonctionnelle, d'une statistique fonctionnelle $T$. Cette dérivée est l'unique application linéaire $\mathrm {d} T_{F}$ telle que
$T(G)=T(F)+\mathrm {d} T_{F}(F-G)+{\mathcal {O}}(\|F-G\|)$
où $\|\cdot \|$ désigne la norme infini. Dans le cas où les dérivées au sens de Fréchet et au sens de Gateaux existent toutes les deux, elles coïncident nécessairement:
$\mathrm {d} T_{F}(F-G)=\mathrm {d} _{1}T(F,F-G)$
Cela permet de justifier que la dérivée de Gateaux est linéaire par rapport à $F-G$, puisque $\mathrm {d} T_{F}$ est linéaire.
Comme la dérivée de Gateaux se ramène à une dérivée unidimensionnelle calculable en utilisant les règles basiques de dérivation, elle est d'un meilleur usage pratique.

### Lien avec la fonction d'influence

Dans de nombreux cas, la dérivée de $T$ en $F_{0}$ dans la direction de $F$ peut s'écrire $\mathrm {d} _{1}T(F_{0},F-F_{0})=\int h_{F_{0}}(x)(\mathrm {d} F(x)-\mathrm {d} F_{0}(x))$. La fonction $h_{F_{0}}$ est alors appelée la fonction d'influence de la statistique $T$ en $F_{0}$. La définition de $h_{F_{0}}(x)$ est d'ailleurs très similaire à celle de la dérivée de $T$ : la distribution $F$ y est simplement remplacée par une distribution de Dirac centrée en $x$.

## Développement de Von Mises

Étant donnés deux distributions de probabilités $F$ et $G$, le développement de Von Mises d'une statistique $T$ en $F$ correspond à l'approximation de $T(G)-T(F)$ par
$T(G)-T(F)\approx \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k!}}\mathrm {d} _{k}T(F,G-F)$
pour un certain entier positif $k$.
Cette approximation est en réalité le développement de Taylor en $0$ de la fonction réelle $t\mapsto T(F+t(G-F))$, évalué en $t=1$.
Étant donné un échantillon $X$ supposé issu de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une distribution $F$, le développement de Von Mises est souvent appliqué pour approximer $T(\mathbb {P} _{n})$ par $T(F)+\sum _{k=1}^{m}\mathrm {d} _{k}T(F,\mathbb {P} _{n}-F)$. Comme $T(\mathbb {P} _{n})=T(X)$, cela permet une approximation de la $T(X)$. En particulier, ça permet une meilleur intuition sur la distribution asymptotique de $T(X)$.

## Lien avec la distribution asymptotique
### Normalité asymptotique

Supposons que l'échantillon $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ soit composé de $n$ variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une distribution $F$.
Alors, sous certaines conditions de régularité, si le terme d'ordre 1 du développement de Von Mises de $T$ en $F$ est non nul, $T(X)$ sera asymptotiquement normale.
Pour s'en rendre compte informellement, il suffit de se rappeler que $T(X)=T(\mathbb {P} _{n})$ où $\mathbb {P} _{n}={\frac {1}{n}}\sum \Delta _{X_{i}}$est la distribution empirique de $X$, puis d'écrire le développement de Von Mises au voisinage de $F$ :
${\begin{array}{ccl}T(\mathbb {P} _{n})&\approx &T(F)+\mathrm {d} _{1}T(F,\mathbb {P} _{n}-F)\\&\approx &T(F)+\mathrm {d} _{1}T(F,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\Delta _{X_{i}}-F)\\&\approx &T(F)+\mathrm {d} _{1}T\left(F,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(\Delta _{X_{i}}-F)\right)\\&\approx &T(F)+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} _{1}T\left(F,(\Delta _{X_{i}}-F)\right)\end{array}}$
en utilisant la linéarité de $\mathrm {d} _{1}T(F,\cdot )$. Puisque les $X_{i}$sont indépendants et identiquement distribués, $\mathrm {d} _{1}T(F,\Delta _{X_{i}}-F)$ le sont aussi le théorème central limite s'applique et indique que ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} _{1}T\left(F,(\Delta _{X_{i}}-F)\right)$ est asymptotiquement normalement distribué, et donc $T(X)$ aussi.

### Distribution asymptotique suivant une combinaison de χ²

Lorsque le premier terme non nul du développement de Von Mises est le second terme, sous certaines conditions de régularité, la distribution asymptotique de $T(X)$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes distribuées suivant une loi du χ² à un degré de liberté.

### Autres distributions asymptotiques

Lorsque le premier terme non nul du développement de Von Mises est le troisième ou plus, il existe des expressions plus complexes de la distribution asymptotique de $T(X)$. Toutefois, ces distributions ne s'expriment pas simplement en utilisant des lois de probabilité usuelles.