# Lemme de Yoneda

En théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie ${\mathcal {C}}$ localement petite dans une catégorie de foncteurs : les objets de ${\mathcal {C}}$ sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de ${\mathcal {C}}$ à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet). Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques (en), qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.
Le lemme de Yoneda exprime le fait que deux objets $X$ et $Y$ sont isomorphes si (et seulement si) ils ont les mêmes relations (i.e. les mêmes ensembles de morphismes) avec tous les autres objets de la catégorie.

## Lemme de Yoneda

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.
* Un objet A de ${\mathcal {C}}$ définit un foncteur Hom covariant h$^A$ de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Ens des ensembles par :$X\mapsto h^{A}(X)=\mathrm {Hom} _{C}(A,X),$$f\mapsto h^{A}(f)=(g\mapsto f\circ g).$De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h$^–$ de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Fun(${\mathcal {C}}$, Ens) des foncteurs covariants de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie ${\mathcal {C}}$ induit une transformation naturelle de h$^B$ dans h$^A$. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de h$^B$ dans h$^A$ est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de h$^A$ dans n'importe quel foncteur de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant h$^–$ est pleinement fidèle ; la catégorie duale ${\mathcal {C}}$$^{op}$ se trouve ainsi plongée dans Fun(${\mathcal {C}}$, Ens).
* En remplaçant ${\mathcal {C}}$ par ${\mathcal {C}}$$^{op}$, on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant h$_–$ : A ↦ h$_A$ = Hom$_{C{\displaystyle{\mathcal{C}}}}$(–, A), de ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie de préfaisceaux Fun(${\mathcal {C}}$$^{op}$, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de ${\mathcal {C}}$ dans Ens. Ce foncteur h$_–$, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement ${\mathcal {C}}$ dans la catégorie Fun(${\mathcal {C}}$$^{op}$, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète, c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de ${\mathcal {C}}$.
Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

### Énoncé

Lemme de Yoneda — Pour tout objet $A$ de ${\mathcal {C}}$, toute transformation naturelle $\psi$ de $h^{A}$ sur un foncteur $T:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Ens}$ est uniquement déterminée par l'élément de $T(A)$ défini comme l'image de $\mathrm {id} _{A}\!\in h^{A}(A)$ par $\psi (A)$. Plus précisément, on dispose d'une bijection :
${\begin{aligned}\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},T\,\right)&\,{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\,T(A)\\\psi &\longmapsto \!\psi (A)\!\left(\,\mathrm {id} _{A}\,\right).\end{aligned}}$
En particulier, pour tous objets $A$ et $B$ de ${\mathcal {C}}$, on a :
$\mathrm {Nat} \!\left(\,h^{A},h^{B}\,\right)\simeq h^{B}(A)=\mathrm {Hom} _{\,{\mathcal {C}}}(B,A).$

### Preuve
#### Injectivité

Avec les notations ci-dessus, considérons $\psi$ une transformation naturelle de h$^A$ sur T. Pour tout élément $f$ dans $h^{A}(B)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$, on a :
$f=h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\,$
En appliquant à cette identité l'application ensembliste $\psi (B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)$, on obtient :
$\psi (B)(f)=\psi (B)\left[h^{A}(f)(\mathrm {id} _{A})\right]=T(f)\left[\psi (A)(\mathrm {id} _{A})\right]$
où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément $\psi (B)(f)$ est donc l'image de $\psi (A)(\mathrm {id} _{A})$ par $T(f)$. De fait, en faisant varier f, on montre que $\psi$ est uniquement déterminé par $\psi (A)(\mathrm {id} _{A})$. L'application énoncée est injective.

#### Surjectivité

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :
$\psi _{v}(B):h^{A}(B)\rightarrow T(B)\,$
$f\mapsto T(f)(v)$
Vérifions que $\psi _{v}$ est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : B → C et pour tout élément f de h$^A$(B), on est en mesure d'écrire :
$T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi _{v}(C)(g.f)$
Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par h$^A$(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :
$T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=\psi _{v}(C)\left[h^{A}(g)(f)\right]$
En faisant varier f :
$T(g)\circ \psi _{v}(B)=\psi _{v}(C)\circ h^{A}(g)$
Cela étant vérifié pour toute flèche g, $\psi _{v}$ est bien une transformation naturelle de h$^A$ sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).