# Filtre de Butterworth

Un filtre de Butterworth est un type de filtre linéaire, conçu pour posséder un gain aussi constant que possible dans sa bande passante.
Les filtres de Butterworth furent décrits pour la première fois par l'ingénieur britannique Stephen Butterworth (en).

## Caractéristiques

Le gain d'un filtre de Butterworth est le plus constant possible dans la bande passante et tend vers 0 dans la bande de coupure. Sur un diagramme de Bode logarithmique, cette réponse décroît linéairement vers -∞, de -6 dB/octave (-20 dB/décade) pour un filtre de premier ordre, -12 dB/octave soit -40 dB/decade pour un filtre de second ordre, -18 dB/octave soit -60 dB/decade pour un filtre de troisième ordre, etc.

## Fonction de transfert

Comme pour tous les filtres linéaires, le prototype étudié est le filtre passe-bas, qui peut être facilement modifié en filtre passe-haut ou placé en série pour former des filtres passe-bande ou coupe-bande.
Le gain d'un filtre de Butterworth passe-bas d'ordre n est :
    $G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+(\omega /\omega _{\mathrm {c} })^{2n}}}}$
où $G_{n}$ est le gain du filtre,
    $H_{n}$ sa fonction de transfert,
    $j$ l'unité imaginaire : $j^{2}=-1$ (les électroniciens utilisent la lettre j au lieu de i pour ne pas confondre avec i de l'intensité)
    $\omega$ la fréquence angulaire (ou pulsation) du signal en radians par seconde (rad.s$^{-1}$) ($\omega =2\pi f$ )
    et $\omega _{\mathrm {c} }$ la fréquence de coupure (angulaire) du filtre (à -3 dB).
En normalisant l'expression (c’est-à-dire en spécifiant $\omega _{\mathrm {c} }=1$) :
    $G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={1 \over {\sqrt {1+\omega ^{2n}}}}$
Les 2n-1 premières dérivées de $G_{n}$ sont nulles pour $\omega =0$, impliquant une constance maximale du gain dans la bande passante.
Aux hautes fréquences :
    ${{\left|H(j\omega )\right|}_{dB}}\sim -20\times n\,\log _{10}{\omega }$
Le roll-off du filtre (la pente du gain dans un diagramme de Bode) est de -20n dB/décade, où 'n' est l'ordre du filtre.
Le gain ne représente que le module de la fonction de transfert H(p) (au sens de la transformée de Laplace), ce qui laisse une certaine latitude pour déterminer cette dernière. On doit avoir
    $H(p)H(-p)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left(-{\frac {p^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}}$
Les pôles de cette expression sont équirépartis sur un cercle de rayon ω$_c$. Pour que le filtre soit stable, on choisit les pôles de la fonction de transfert comme ceux de H(p)H(-p) ayant une partie réelle négative. Le k-ième pôle est donné à l'aide des racines n-ièmes de l'unité :
    $-{\frac {p_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad \mathrm {k=1,2,3,\ldots ,n}$
d'où
    $p_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad \mathrm {k=1,2,3,\ldots ,n}$
La fonction de transfert s'écrit en fonction de ces pôles :
    $H(p)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(p-p_{k})/\omega _{c}}}$
Le polynôme au dénominateur est appelé polynôme de Butterworth.
| n | Polynôme de Butterworth $B_{n}(p)$ pour ω$_c$ = 1. |
| 1 | $(p+1)$ |
| 2 | $p^{2}+1.4142p+1$ |
| 3 | $(p+1)(p^{2}+p+1)$ |
| 4 | $(p^{2}+0.7654p+1)(p^{2}+1.8478p+1)$ |
| 5 | $(p+1)(p^{2}+0.6180p+1)(p^{2}+1.6180p+1)$ |
| 6 | $(p^{2}+0.5176p+1)(p^{2}+1.4142p+1)(p^{2}+1.9319p+1)$ |
| 7 | $(p+1)(p^{2}+0.4450p+1)(p^{2}+1.2470p+1)(p^{2}+1.8019p+1)$ |
| 8 | $(p^{2}+0.3902p+1)(p^{2}+1.1111p+1)(p^{2}+1.6629p+1)(p^{2}+1.9616p+1)$ |
Les polynômes normalisés de Butterworth peuvent être utilisés pour déterminer les fonctions de transfert de filtre passe-bas pour toute fréquence de coupure $\omega _{c}$ selon que:
    $H(p)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}$ , où $a={\frac {p}{\omega _{c}}}$

### Polynômes de Butterworth normalisés

Les polynômes de Butterworth peuvent être écrits sous forme complexe comme ci-dessus, mais sont généralement écrits avec des coefficients réels en multipliant les paires de pôles qui sont des conjugués complexes, tels que $s_{1}$ et $s_{n}$. Les polynômes sont normalisés en fixant $\omega _{c}=1$. Les polynômes de Butterworth normalisés ont alors la forme générale du produit :
    $B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{pair}}$
    $B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{impair}}.$
Les facteurs des polynômes de Butterworth d'ordre 1 à 10 sont indiqués dans le tableau suivant (à six décimales près).
| n | Facteurs des polynômes de Butterworth $B_{n}(s)$ |
| 1 | $(s+1)$ |
| 2 | $(s^{2}+1.414214s+1)$ |
| 3 | $(s+1)(s^{2}+s+1)$ |
| 4 | $(s^{2}+0.765367s+1)(s^{2}+1.847759s+1)$ |
| 5 | $(s+1)(s^{2}+0.618034s+1)(s^{2}+1.618034s+1)$ |
| 6 | $(s^{2}+0.517638s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.931852s+1)$ |
| 7 | $(s+1)(s^{2}+0.445042s+1)(s^{2}+1.246980s+1)(s^{2}+1.801938s+1)$ |
| 8 | $(s^{2}+0.390181s+1)(s^{2}+1.111140s+1)(s^{2}+1.662939s+1)(s^{2}+1.961571s+1)$ |
| 9 | $(s+1)(s^{2}+0.347296s+1)(s^{2}+s+1)(s^{2}+1.532089s+1)(s^{2}+1.879385s+1)$ |
| 10 | $(s^{2}+0.312869s+1)(s^{2}+0.907981s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.782013s+1)(s^{2}+1.975377s+1)$ |
Les facteurs des polynômes de Butterworth d'ordre 1 à 6 sont indiqués dans le tableau suivant (exact).
| n | Facteurs des polynômes de Butterworth $B_{n}(s)$ |
| 1 | $(s+1)$ |
| 2 | $(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)$ |
| 3 | $(s+1)(s^{2}+s+1)$ |
| 4 | $(s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}s+1)$ |
| 5 | $(s+1)(s^{2}+\varphi ^{-1}s+1)(s^{2}+\varphi s+1)$ |
| 6 | $(s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}s+1)$ |
où la lettre grecque phi ($\varphi$ ou $\phi$) représente le nombre d'or. C'est un nombre irrationnel qui est une solution à l'équation quadratique $x^{2}-x-1=0,$ avec une valeur de$^,$.
$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...$( A001622)
Le $n$ème polynôme de Butterworth peut également être écrit sous la forme d'une somme
    $B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,$
avec ses coefficients $a_{k}$ donnés par la formule de récurrence$^,$ :
    ${\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}$
et par la formule du produit
    $a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,$
où
    $a_{0}=1\qquad {\text{et}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.$
En outre, $a_{k}=a_{n-k}$. Les coefficients arrondis $a_{k}$ pour les 10 premiers polynômes de Butterworth $B_{n}(s)$ sont :
Coefficients de Butterworth $a_{k}$ à quatre décimales :
| $n$ | $a_{0}$ | $a_{1}$ | $a_{2}$ | $a_{3}$ | $a_{4}$ | $a_{5}$ | $a_{6}$ | $a_{7}$ | $a_{8}$ | $a_{9}$ | $a_{10}$ |
| $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $1$ | $1.4142$ | $1$ |
| $3$ | $1$ | $2$ | $2$ | $1$ |
| $4$ | $1$ | $2.6131$ | $3.4142$ | $2.6131$ | $1$ |
| $5$ | $1$ | $3.2361$ | $5.2361$ | $5.2361$ | $3.2361$ | $1$ |
| $6$ | $1$ | $3.8637$ | $7.4641$ | $9.1416$ | $7.4641$ | $3.8637$ | $1$ |
| $7$ | $1$ | $4.4940$ | $10.0978$ | $14.5918$ | $14.5918$ | $10.0978$ | $4.4940$ | $1$ |
| $8$ | $1$ | $5.1258$ | $13.1371$ | $21.8462$ | $25.6884$ | $21.8462$ | $13.1371$ | $5.1258$ | $1$ |
| $9$ | $1$ | $5.7588$ | $16.5817$ | $31.1634$ | $41.9864$ | $41.9864$ | $31.1634$ | $16.5817$ | $5.7588$ | $1$ |
| $10$ | $1$ | $6.3925$ | $20.4317$ | $42.8021$ | $64.8824$ | $74.2334$ | $64.8824$ | $42.8021$ | $20.4317$ | $6.3925$ | $1$ |
Les polynômes de Butterworth normalisés peuvent être utilisés pour déterminer la fonction de transfert pour toute fréquence de coupure de filtre passe-bas $\omega _{c}$, comme suit :
    $H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}$ , où $a={\frac {s}{\omega _{c}}}.$
La transformation en d'autres formes de bandes est également possible, voir filtre prototype (en).

## Comparaisons

Les filtres de Butterworth sont les seuls filtres linéaires dont la forme générale est similaire pour tous les ordres (mis à part une pente différente dans la bande de coupure).
Par comparaison avec les filtres de Tchebychev ou elliptiques, les filtres de Butterworth ont un roll-off plus faible qui implique d'utiliser un ordre plus important pour une implantation particulière. Leur gain est en revanche nettement plus constant dans la bande passante.

## Mise en œuvre

Un filtre de Butterworth dont on connaît la fonction de transfert peut être réalisé électroniquement suivant la méthode de Cauer. Le $k$e élément d'un tel circuit pour $w_{c}=1$ rad/s et une résistance $R_{s}$ de 1 ohm est donné par :
    $C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$ ($k$ impair)
    $L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$ ($k$ pair)
De manière plus générale on définit les coefficients $a_{k}$ tel que :
    $a_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$ (pour tout $k$)
Alors pour la réalisation d'un filtre passe-bas de Butterworth pour $R_{s}$ quelconque :
    $C_{k}={\frac {a_{k}}{(w_{c}\times R_{s})}}$
    $L_{k}={\frac {a_{k+1}\times R_{s}}{w_{c}}}$
Ceci peut-être généralisé pour des passe-haut et des passe-bandes.