# Lemme de Schwarz

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le principe de réflexion de Schwarz (en).

## Énoncé

Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :
* $f(0)=0$
* $\forall z\in \mathrm {D} \quad |f(z)|\leq 1$.
Alors on a :
$|f(z)|\leq |z|$
$z$
$|f'(0)|\leq 1$
Si, de plus, il existe un élément non nul $z_{0}$ de D vérifiant $|f(z_{0})|=|z_{0}|$, ou bien si $|f'(0)|=1$, alors il existe un nombre complexe $a$ de module 1 tel que $f(z)=az$ pour tout $z$ appartenant à $D$.

## Preuve

La preuve est une application directe du principe du maximum.
Appliquons le principe du maximum à la fonction
    $g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&{\mbox{si }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{si }}z=0,\end{cases}}$
holomorphe sur D (l'holomorphie en 0 provient du fait que f(0) = 0 et du fait que f est développable en série entière). Pour tout r < 1, si D$_r$ = {z : |z| ≤ r} désigne le disque fermé de rayon r > 0 centré en l'origine, la fonction |g| sur D$_r$ atteint son maximum en un point du bord de D$_r$. Étant donné z appartenant à D, il existe donc, pour tout r ∈ ]|z|, 1[, un complexe z$_r$ de module r tel que
    $|g(z)|\leq {\underset {\overline {D_{r}}}{\max }}|g(z)|=|g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}$.
Lorsque $r\rightarrow 1$, on obtient $|g(z)|\leq 1$.
Supposons maintenant que |f(z$_0$)| = |z$_0$| pour z$_0$ non nul dans D, ou supposons que |f′(0)| = 1. Alors, |g(z$_0$)| = 1 ou |g(0)| = 1 par définition de g. Ainsi, par le principe du maximum, g(z) est égale à une constante a
avec |a| = 1. Finalement, f(z) = az, comme voulu.

## Lemme de Schwarz-Pick

Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick, nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité :
   Soit f : D → D une fonction holomorphe. Alors, pour tout z$_1$, z$_2$ ∈ D,
       $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$
   et, pour tout z ∈ D,
       ${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}$.
La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme
    ${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1$
envoie le disque unité dans lui-même. Fixons z$_1$ et posons
    $M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}$
où M et φ sont des transformations de Möbius. Puisque M(z$_1$) = 0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(f(M$^{−1}$(z))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne
$\left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|$.
Maintenant, en posant z$_2$ = M$^{−1}$(z) (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue :
    $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$.
Afin de prouver la seconde partie, divisons par |z$_1$ – z$_2$| l'inégalité obtenue
$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\left|{\frac {1}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {1}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$.
En faisant tendre z$_2$ vers z$_1$, on obtient la seconde inégalité du lemme.
L'expression
    $d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|$
est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité a lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.
Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :
   Soit f : H → H une fonction holomorphe. Alors, pour tout, z$_1$, z$_2$ ∈ H,
       $\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}$.
C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z − i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W ∘ f ∘ W$^{−1}$ est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W ∘ f ∘ W$^{−1}$ et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout z ∈ H,
    ${\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}$.
Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire
    $f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$
avec a, b, c, d ∈ R, et ad − bc > 0.