# Fonction de Clausen

En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers (en), est définie par l'intégrale suivante :
    $\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\ln |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t$.
Plus généralement, on définit, pour Re(s) > 1 :
    $\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}$.

## Propriétés

* Les fonctions de Clausen sont impaires et 2π-périodiques, donc nulles sur πℤ.
* $\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\int _{0}^{\pi -\theta }\ln |2\cos(s/2)|\,\mathrm {d} s$.
* La fonction Cl$_n$ pour n ∈ ℕ* est reliée au polylogarithme Li$_n$ par :
** $\forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2m}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))$ ;
** $\forall m\in \mathbb {N} \quad \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\operatorname {Re} (\operatorname {Li} _{2m+1}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))$.
* Pour tout entier m ≥ 2, $\operatorname {Cl} _{m}(2\theta )=2^{m-1}{\Bigl\operatorname {Cl} _{m}(\theta )-(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m}(\pi -\theta ){\Bigr )}$.
* $\operatorname {Li} _{2}(\exp(\mathrm {i} \theta ))=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+\mathrm {i} \operatorname {Cl} _{2}(\theta )$
    pour 0 ≤ θ ≤ 2π, où ζ est la fonction zêta de Riemann.

## Accélération du calcul de la série

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :
    ${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\ln |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$,
pour |θ| < 2π.
Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :
    ${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\ln \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\ln \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$.
La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle.

## Valeurs particulières

    $\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K$
où K est la constante de Catalan. Plus généralement :
    $\operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)$
où β est la fonction bêta de Dirichlet.
La valeur maximale de Cl$_2$ est la constante de Gieseking (de)$^,$ :
    $\mathrm {G} =\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3}{2}}\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)\approx 1{,}015$.
Le volume hyperbolique (en) du complément du nœud en huit (en) est le double de cette constante$^,$ :
    $V=2\mathrm {G} =2{\sqrt {3}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}\sum _{k=n}^{2n-1}{\frac {1}{k}}\approx 2{,}03$ ( A091518).

## Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen

Plus généralement, on peut définir deux clases de fonctions de Clausen généralisées :
    $\operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}$
    $\operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}$
La définition est valide pour tout complexe z tel que Re(z) >1. Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique.
Pour z entier positif, les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :
    $\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}$
    $\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}$
    $\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}$
    $\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}$
Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées $\operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,$ et parfois appelées fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher, d'où la notation GL), qu'on peut définir par :
    $\mathrm {Gl} _{n}(\theta )={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })+\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })\right)&\mathrm {si} \ n\ \mathrm {pair} \\{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })-\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })\right)&\mathrm {si} \ n\ \mathrm {impair} \end{cases}}$