# Équation d'Hugoniot

L'équation d'Hugoniot, utilisée en mécanique des fluides, décrit le comportement d'un écoulement isentropique stationnaire dans un volume fermé de section lentement variable. Cette dénomination en l'honneur de Pierre-Henri Hugoniot n'est pas universellement utilisée$^,$.

## Écoulement quasi-unidimensionnel

Dans une conduite ou une tuyère la variation lente de l'aire de la section droite permet d'assimiler l'écoulement à un écoulement en une dimension moyennant l'hypothèse :
       $V_{y},V_{z}<<V_{x}$
Soit $A(x)$ l'aire et $f(x,y,z)$ la quantité caractéristique à laquelle on s'intéresse. On écrit cette quantité sous forme d'une partie principale moyenne et d'un écart local à cette valeur :
       $f={\bar {f}}(x)+{\tilde {f}}(x,y,z)$
${\tilde {f}}$ étant supposé en ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ on peut écrire :
       ${\overline {f\,g}}\simeq {\bar {f}}\,{\bar {g}}$
et
       ${\overline {\frac {\partial f}{\partial x}}}\simeq {\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial x}}$
Ces relations vont nous permettre de moyenner les termes de l'équation d'Euler, non linéaire.

## Équations d'Euler instationnaires

Dans le domaine ${\mathcal {D}}$ contenant le fluide, limité par la surface $\partial {\mathcal {D}}$, de normale sortante $\mathbf {n}$ on peut écrire les bilans de conservation pour les équations d'Euler sous la forme suivante :
* on suppose nulle la masse entrante sur les parois :
       ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{A}\rho \,da\,dx=-\int _{\partial {\mathcal {D}}}\rho \mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \,da\simeq -\left[\int _{A(x)}\rho V_{x}\,da\right]_{x_{1}}^{x_{2}}$
    À l'ordre 0 en $\epsilon$ et en utilisant l'expression donnant la moyenne d'un produit :
       $\int _{x_{1}}^{x_{2}}A{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}dx=-\left[A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}$
    Soit en dérivant :
       $A\,{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0$
* en effectuant les mêmes opérations sur la quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité on obtient :
       ${\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x}}$
* de même pour l'équation de l'énergie en utilisant les équations de continuité et de quantité de mouvement :
       ${\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\partial }{\partial x}}(A{\bar {V}})$

## Équations stationnaires

Elles découlent trivialement des précédentes :
* bilan de masse :
       ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0$
* bilan de quantité de mouvement :
       ${\bar {\rho }}\,{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\mathrm {d} {\bar {p}}}{\mathrm {d} x}}$
* bilan d'énergie :
       ${\bar {\rho }}{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {e}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A{\bar {V}})$

## Équation d'Hugoniot

La vitesse du son ${\bar {c}}$ à l'ordre 0 en $\epsilon$ dans le milieu est donnée par:
       ${\bar {c\,}}^{2}=\left.{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial {\bar {\rho }}}}\right|_{S}$
$S$ (et non ${\bar {S}}$) est l'entropie. L'utilisation de cette relation suppose donc une restriction de ce qui suit à un écoulement isentropique, sans onde de choc. Dans notre cas :
       $\mathrm {d} {\bar {p}}={\bar {c\,}}^{2}\mathrm {d} {\bar {\rho }}$
L'équation stationnaire de quantité de mouvement s'écrit alors :
       ${\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}=-{\bar {M}}^{2}\,{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}$
où ${\bar {M}}={\frac {\bar {V}}{\bar {c}}}$ est le nombre de Mach à l'ordre 0.
L'équation de continuité stationnaire peut s'écrire sous la forme :
       ${\frac {\mathrm {d} A}{A}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}=0$
En l'introduisant dans l'équation précédente on obtient l'équation d'Hugoniot :
       ${\frac {\mathrm {d} A}{A}}=({\bar {M}}^{2}-1){\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}$
Cette équation montre que :
* en subsonique une diminution de l'aire entraîne une augmentation de la vitesse,
* en supersonique c'est le contraire.
Cette observation est à la base de la tuyère de Laval.