OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Abbaye de Thame

L’abbaye de Thame est une ancienne abbaye cistercienne située dans le village de Thame, dans le district du South Oxfordshire (Oxfordshire), en Angleterre. Comme la plupart des abbayes britanniques, elle a été fermée par Henry VIII durant la campagne de dissolution des monastères.

## Histoire
### Fondation

Selon les annales de l'abbaye de Waverley, l'abbaye de Thame est fondée le 22 juillet 1138, mais dans un site initial situé assez loin de Thame, dans le lieu-dit Otteley (ou Otley), à Oddington. En effet, le seigneur local, Robert Gait (ou, suivant les orthographes, Gai, Geyt, ou le Gai) demande aux cisterciens de venir s'établir en ce lieu, sous réserve de leur fournir des moines. Aucune abbaye ne fut probablement construite en ce lieu inadapté à la vie monastique, mais seulement une grange. Dès avant 1140, la petite communauté quitte ce premier établissement pour un terrain donné par Alexandre, évêque de Lincoln. La nouvelle fondation prend le nom de sancte Marie de Parco Thame.
Les travaux vont vite et l'église est dédicacée dès 1145. L'abbaye se développe relativement peu au Moyen Âge, mais possède tout de même six granges (quatre dans le comté d'Oxford, à Wyfold, à Stoke Talmage et à Chesterton, plus celle d'Otteley déjà mentionnée, et deux dans le comté de Buckingham, à Saunderton et à Sibdon) et fonde une abbaye-fille en 1281, à Rewley$^,$.

### Liste des abbés de Thame

* Everard, attesté en 1138
* Serlo, attesté en 1148
* William of Ford, attesté en 1184
* Simon, attesté en 1205
* Lawrence, attesté en 1225
* Robert de Tett[esworth], attesté en 1232
* Hillary, attesté en 1243
* Roger de Marcham, attesté en 1252
* Richard Bartone, attesté en 1259
* Roger Houttone, attesté en 1283
* William Strattone, attesté en 1302
* John de Thame, attesté en 1316
* William Steyning, attesté en 1349
* John de Esingdon, attesté en 1355
* Richard de Wath, attesté en 1361
* Henry Towersey, attesté en 1393 et en 1401
* John, attesté en mai 1407 et en 1434
* John Blackthorn, mort en 1457
* Richard Syndesey, élu en 1457
* William Hode, élu en 1464
* Augustine, élu en 1472, attesté en 1478
* John, attesté en 1495 et en 1507
* John Warren, attesté en 1509 et en 1525
* Robert King, élu en 1529, chassé en 1539.

### Dissolution du monastère

En 1526, une visite fait état du très mauvais état dans lequel est le monastère, à la fois en ce qui concerne les bâtiments et le respect de la règle monastique. En 1539, comme de nombreuses autres abbayes anglaises, à la suite de la rupture entre Henry VIII et l'Église catholique, l'abbaye de Thame est fermée lors de la campagne de dissolution des monastères. Il restait à cette époque douze moines et l'abbé.
Après la dissolution, le site de l'abbaye échoit à la famille Wenman, qui fait construire (au milieu du XVIIIe siècle) une maison en réutilisant une partie de l'abbaye. Cette partie a été protégée au titre des monuments classés le 24 avril 1951. La maison est particulièrement connue pour avoir été la dernière demeure de l'ex-chanteur des Bee Gees Robin Gibb.
# Theodore Douglas Robinson

Theodore Douglas Robinson (28 avril 1883, New York - 10 avril 1934), est un homme politique américain.

## Biographie

Fils de Douglas Robinson, Jr. et de Corinne Roosevelt (sœur du président Theodore Roosevelt), et frère de Corinne Alsop Cole, il est membre du Sénat de l'État de New York de 1917 à 1918, puis de 1921 à 1924. Il y est président du Parti progressiste.
Il est secrétaire assistant à la Marine de 1924 à 1929.
Il épouse sa cousine Helen Rebecca Roosevelt (1881-1962), fille de James Roosevelt Roosevelt (en) (demi-frère du président Franklin Delano Roosevelt) et de Helen Schermerhorn Astor (fille de William Backhouse Astor, Jr. (en) et de Caroline Webster Schermerhorn).

## Sources

* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Theodore Douglas Robinson » (voir la liste des auteurs).
# Ubwari

La péninsule d'Ubwari est située à l'est de la République démocratique du Congo dans la province du sud Kivu, sur la côte nord-ouest du lac Tanganyika. La partie ouest de la péninsule est baignée par les eaux de la baie de Burton. Les principales localités de la péninsule sont Ubwari, Kiriza, Kalole, Kakazi, Lubomu.
À son extrémité nord se trouve le cap Banza, dans cette zone, l'activité thermale est très prononcée. Entre 0 et 6 mètres, des évents y ont été découverts, d'où s'échappe de l'eau chaude, dont la température est comprise entre 66 et 103 °C. Une vie s'est développée autour de ces sources hydrothermales, composée de bactéries hyperthermophiles du genre Thermus sp.
Plusieurs expéditions scientifiques, entre autres japonaise et internationale, ont travaillé sur ce site, l'expédition "Tanganydro 96" ayant été la plus riche d'enseignements.
La péninsule d'Ubwari est aussi réputée pour sa faune piscicole, et nombre d'espèces de cichlidés y sont capturées pour l'aquariophilie. Citons les Tropheus sp. black de Kiriza, les Petrochromis sp. texas de l'Ubwari, ou le Neolamprologus longicaudatus.
# Stainton (Cumbria)

Stainton est un village et une paroisse civile de Cumbria, situé dans le nord-ouest de l'Angleterre.
# Ambroise Skarzynski

Ambroise Skarżyński, né le 7 décembre 1787 et mort le 6 juin 1868, est un officier polonais ayant servi durant les guerres napoléoniennes.

## Biographie

Fils Georges Skarżyński de Bibianna Lanckorońska, il est le frère de Casimir Skarżyński. Ambroise Skarżyński commande le 2e escadron du 3e régiment des éclaireurs de la Garde impériale.

## Guerres napoléoniennes

Au cours du combat de Berry-au-Bac, le chef d'escadron Ambroise Skarzynski arrache une lance à un cavalier russe et s'en sert pour mettre hors de combat plusieurs adversaires, imité en cela par d'autres officiers polonais. Il fait prisonnier le prince Nikolai Gagarine. L'Empereur le récompense de cet acte de bravoure en le faisant baron d'Empire.

## Distinctions

* Chevalier de la Légion d'honneur
* Chevalier dans l'Ordre militaire de Virtuti Militari
* Chevalier de l'Empire
# Comté de Cherokee

Huit comtés des États-Unis portent le nom de comté de Cherokee (Cherokee County) :
* Comté de Cherokee, situé dans l'État de l'Alabama ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État de Caroline du Nord ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État de Caroline du Sud ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État de Géorgie ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État de l'Iowa ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État du Kansas ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État de l'Oklahoma ;
* Comté de Cherokee, situé dans l'État du Texas.
# Conference Board of the Mathematical Sciences

La Conference Board of the Mathematical Sciences (en abrégée CBMS ) est une organisation faîtière regroupant dix-sept sociétés professionnelles en sciences mathématiques des États-Unis. Elle et ses sociétés membres sont reconnues par l'Union mathématique internationale comme des sociétés mathématiques nationales de leur pays.
La CBMS a été fondée en 1960 en tant qu'organisation qui a succédé au Policy Committee for Mathematics (fondé par l'American Mathematical Society et la Mathematical Association of America sous le nom de War Policy Committee en 1942) et à la Conference Organization of the Mathematical Sciences de 1958$^,$. En plus de représenter les mathématiques des États-Unis à l'Union mathématique internationale, elle sert de canal de communication entre ses sociétés membres et le gouvernement américain, et coordonne les projets communs de ses sociétés membres.

## Sociétés membres

* AMATYC American Mathematical Association of Two-Year Colleges (en)
* AMS American Mathematical Society
* AMTE Association of Mathematics Teacher Educators
* ASA American Statistical Association
* ASL Association for Symbolic Logic
* AWM Association for Women in Mathematics
* ASSM Association of State Supervisors of Mathematics
* BBA Benjamin Banneker Association
* IMS Institute of Mathematical Statistics
* INFORMS Institute for Operations Research and the Management Sciences
* MAA Mathematical Association of America
* MoMath National Museum of Mathematics
* NAM National Association of Mathematicians (en)
* NCSM National Council of Supervisors of Mathematics
* NCTM National Council of Teachers of Mathematics (en)
* SIAM Society for Industrial and Applied Mathematics
* SOA Society of Actuaries (en)
* TODOS TODOS: Mathematics for All
* WME Women and Mathematics Education

## Direction

* Le directeur du Board est, en 2021, David Bressoud. Chacune des sociétés membres est représentée dans le conseil. La société édite une série de monographies sur l'éducation, la CBMS Issues in Mathematics Education Series sous les auspices de l'AMS.
# Amaury Pernette

Amaury Pernette est un curleur français né le 18 mai 1986.

## Biographie

Amaury Pernette remporte la médaille de bronze au Championnat du monde double mixte de curling 2011 à Saint Paul avec Pauline Jeanneret, obtenant ainsi la première médaille française à des Mondiaux depuis 1973.
# Amaury Ovise

Amaury Ovise est un producteur de cinéma français.

## Biographie

Il fait des études de cinéma à la Femis, département production, dont il sort diplômé en 2009. La même année, il rejoint Kazak Productions, fondé par Jean-Christophe Reymond en 2007.

## Filmographie (sélection)

* 2012 : Les Lézards de Vincent Mariette
* 2014 : Mercuriales de Virgil Vernier
* 2014 : Tristesse Club de Vincent Mariette
* 2015 : Ni le ciel ni la terre de Clément Cogitore
* 2017 : Le Prix du succès de Teddy Lussi-Modeste
* 2017 : Corporate de Nicolas Silhol
* 2017 : Compte tes blessures de Morgan Simon
* 2019 : Les Fauves de Vincent Mariette
* 2023 : Anti-Squat de Nicolas Silhol

## Distinctions
### Palmarès

* César 2020 : César du meilleur court métrage d'animation pour La Nuit des sacs plastiques

### Nominations

* César 2014 : César du meilleur court métrage pour Les Lézards
* César 2016 : César du meilleur premier film pour Ni le ciel ni la terre
* César 2020 : César du meilleur court métrage d'animation pour Make It Soul
# Alice Hollister

Alice Hollister (née le 28 septembre 1885 à Worcester (Massachusetts), morte le 24 février 1973 à Costa Mesa en Californie) est une actrice américaine du cinéma muet, qui apparaît dans 85 films entre 1911 et 1925.

## Biographie

Alice Hollister, née Rosalie Alice Amélie Berger, est la dernière enfant de Pierre Napoléon Berger et de Mary Alphonse Foisy, tous deux descendants de Canadiens français. En 1905 elle travaille en tant qu'artiste et habite chez son frère Henry à Manhattan. En novembre 1905, elle se marie avec George K. Hollister, futur directeur de la photographie, et commence à tourner comme actrice dans des courts-métrages pour la Kalem Company (qu'intègre également son époux) fondée par George Kleine, Samuel Long et Frank J. Marion (K-L-M), qui rejoindra Famous Players-Lasky puis sera absorbé par Vitagraph. En 1913 elle joue pour la première fois au cinéma le rôle d'une vamp dans The Vampire.
Son mari meurt en 1952, et elle meurt en février 1973 à Costa Mesa. Elle est incinérée et ses cendres sont déposées dans le Grand Mausolée du Forest Lawn Memorial Park de Glendale.

## Filmographie partielle

* 1911 : By a Woman's Wit
* 1911 : The Fishermaid of Ballydavid
* 1911 : The Kerry Gow
* 1911 : The Fiddle's Requiem
* 1912 : O'Neill de Sidney Olcott
* 1912 : The Vagabonds
* 1912 : La Colleen Bawn
* 1912 : From the Manger to the Cross
* 1912 : You Remember Ellen
* 1912 : Far from Erin's Isle
* 1912 : Ireland, the Oppressed
* 1912 : The Shaughraun
* 1912 : The Poacher's Pardon
* 1912 : American Tourists Abroad (documentaire)
* 1912 : Driving Home the Cows
* 1912 : A Prisoner of the Harem
* 1912 : Une tragédie du désert (Tragedy of the Desert)
* 1912 : An Arabian Tragedy
* 1913 : The Vampire
* 1914 : The Vampire's Trail
* 1914 : The Storm at Sea
* 1917 : Her Better Self
* 1918 : Loaded Dice
* 1920 : Le Chant du cygne (The Great Lover)
* 1921 : Une voix dans la nuit (A Voice in the Dark) de Frank Lloyd
* 1924 : Duel de femmes
* 1925 : Dansons!
# Alice Honoré

Alice Honoré (née le 20 décembre 1978 à Marseille) est une véliplanchiste française.

## Biographie

Depuis 1990, Alice Honoré pratique le windsurf sur Marseille. Licenciée à l'ASPTT Marseille, elle a participé à de nombreuses compétitions nationales et internationales de 1993 à 2003. Son numéro de voile était F-5. Bien qu'ayant appris le funboard, elle s'est très vite démarquée sur la monotypie « Aloha » notamment en cadet. En 1993, elle est en Pologne vice-championne du Monde derrière Eugénie Raffin puis 3e mondiale en 1994. La même année, elle débute les compétitions en funboard et est tout de suite soutenue par la voilerie North Sails.
En plus de son statut de compétiteur, elle a été vice-présidente de l'association Française de Windsurf (AFW) et a participé avec de nombreuses athlètes à faire découvrir une face féminine du windsurf. Elle a participé à la création d'association visant la promotion des sports de glisse féminins.
En parallèle de sa pratique sportive, elle a été diplômée de l'Institut d'études politiques d'Aix-en-Provence en 1999 et de l'Essec MBA en 2002.
De 2003 à 2012, cette passionnée de sports d'eau a travaillé chez Cabesto à la création de laquelle elle a participé. Depuis 2012, elle a créé You Art Different, une marque de produits revisités par des artistes.

## Palmarès

* Championne de France Funboard 2001
* Championne de France Funboard 2000
* Championne du monde par Equipe IFCA en 1998
* 3e mondiale IFCA en 1997
* 6e mondiale IFCA en 1995
* Championne de France junior Funboard 1994
* Vice Championne de France Cadette 1994
* Vice Championne du Monde Cadette 1993

## Partenaires

* North Sails
* Fanatic
# Concentration (chimie)

En chimie et en physique, la concentration désigne la proportion d'un soluté dans une solution ; on distingue :
* concentration massique, rapport d'une masse par rapport à un volume, exprimée en g/l ;
* concentration molaire, rapport d'une quantité de matière par rapport à un volume, exprimée en mol/l ;
C'est également le nom de l'opération chimique qui consiste à concentrer une solution, c'est-à-dire à augmenter les concentrations des différents solutés qu'elle contient.
# Altos de la Vanega (métro de Maracaibo)

Altos de la Vanega est une station de la ligne 1 du métro de Maracaibo, terminus sud-ouest de la ligne.
# Comté de Geauga

Le comté de Geauga – en anglais : Geauga County – est un des 88 comtés de l’État de l’Ohio, aux États-Unis.
Son siège est fixé à Chardon.
La comté abrite une importante communauté amish.
# American Education: The National Experience, 1783-1876

American Education: The National Experience, 1783-1876(en français, Éducation américaine. L'Expérience nationale (1783-1876)) est un essai de l'historien américain Lawrence Arthur Cremin, publié en 1980 par Harper & Row. Ce livre est le deuxième volume d'une trilogie sur l'histoire des écoles américaines depuis l'indépendance jusqu'en 1876. Ce livre a été récompensé par le prix Pulitzer d'histoire en 1981.

## Éditions

* American Education: The National Experience, 1783–1876, New York, Harper & Row, 1980 (ISBN 978-0060109127).
# Comté de Perry (Missouri)

Le comté de Perry, en anglais : Perry County, est un comté des États-Unis situé dans l'État du Missouri.

## Comtés voisins

Comtés limitrophes du comté de Perry :
| Comté de Sainte Genevieve | | Comté de Randolph |
| Comté de Saint Francois | | Comté de Jackson |
| Comté de Madison | Comté de Cape Girardeau Comté de Bollinger | Comté d'Union |

## Démographie

Lors du recensement de 2010, le comté comptait une population de 18 971 habitants. Elle est estimée, en 2017, à 19 225 habitants.

## Transports

* Interstate 55
* U.S. Route 61
* Missouri Route 51

## Communautés
### Villes

* Altenburg
* Frohna
* Perryville (siège)

### Village

* Biehle
* Lithium
* Longtown

## Tourisme et attractions

Le comté de Perry dénombre environ 650 cavités naturelles sur son territoire, ce qui lui vaut le surnom de « État des grottes ». En particulier Crevice Cave développe plus de 45 kilomètres de galeries (cf. Liste des plus longues cavités naturelles).
# Evenhuis

Evenhuis est un nom de famille. Les personnes notables portant le nom de famille comprennent:
* Gertie Evenhuis (1927-2005), écrivain néerlandais
* Neal Evenhuis (né en 1952), entomologiste américain
* Jiri Evenhuis (né en 1973), designer industriel néerlandais
# Borowiec (Choszczno)

Borowiec est une localité polonaise de la gmina mixte de Drawno, située dans le powiat de Choszczno en voïvodie de Poméranie-Occidentale. Elle se trouve à environ 24 km à l'est de la ville de Choszczno et 81 km à l'est de Szczecin, la capitale régionale.
# Expressivité

Sur les autres projets Wikimedia :
L’expressivité est de manière générale le caractère de ce qui est expressif.
L' expressivité, en génétique, est le degré de l'expression d'un phénotype (son intensité) chez l'individu possédant le génotype correspondant.(anomalie génique ou chromosomique).
L' expressivité, en informatique et dans les théories des langages et des machines logiques, est la capacité d'un langage à décrire une certaine classe de problèmes ou de solutions.
# Expresso das Ilhas

Expresso das Ilhas (« L'Express des îles » en portugais), est un journal hebdomadaire capverdien qui couvre les principales actualités de l'archipel et de chaque île. Le siège du journal est situé dans la capitale capverdienne, Praia. Ce journal a l'un des plus grands tirages du Cap-Vert et est présent sur internet. Le journal est publié en portugais, à l'exception de quelques articles occasionnels en créole capverdien. Il est considéré comme étant de tendance libérale centre droit.

## Description

Le journal est proche du parti politique Mouvement pour la démocratie (MPD), de tendance libérale centre droit, alors que A Semana est proche de l’autre principal parti capverdien, le PAICV, parti de gauche et ancien parti unique$^,$.
Le tirage de ce périodique est d'environ 10 000 exemplaires. Le journal est également diffusé en dehors du pays : son tirage est de 4 000 exemplaires au Portugal et de 1 000 en Angola. Les articles sont en portugais, à l'exception de quelques-uns en créole capverdien. Il propose également un site sur internet.
Expresso das Ilhas est un périodique au contenu généraliste qui aborde notamment l’actualité du pays, et les thèmes des sports, de la météo, des entreprises, des loisirs, etc.

## Histoire

Comme A Semana, Expresso das Ilhas est fondé en 1991$^,$$^,$, dans un contexte favorable aux débats politiques : le monopartisme est en effet aboli dans le pays en septembre 1990 et les premières élections multipartites se déroulent début 1991 : les Élections législatives cap-verdiennes de 1991 en janvier 1991, et les présidentielles en février 1991. Le journal célèbre son 10e anniversaire en 2001 et son 25e anniversaire en 2016.
# Box-office 1984 au Canada et aux États-Unis

Cet article traite du box-office de 1984 au Canada et aux États-Unis.

## Classement

Top 20 des films sortis en 1984 au Canada et aux États-Unis Source : Boxofficemojo.com :
| Rang | Titre | Réalisateur | Recettes |
| 1. | Le Flic de Beverly Hills | Martin Brest | 234 760 478 $ |
| 2. | Ghostbusters | Ivan Reitman | 229 242 989 $ |
| 3. | Indiana Jones et le Temple maudit | Steven Spielberg | 179 870 271 $ |
| 4. | Gremlins | Joe Dante | 148 168 459 $ |
| 5. | Karaté Kid | John G. Avildsen | 90 815 558 $ |
| 6. | Police Academy | Hugh Wilson | 81 198 894 $ |
| 7. | Footloose | Herbert Ross | 80 035 402 $ |
| 8. | À la poursuite du diamant vert | Robert Zemeckis | 76 572 238 $ |
| 9. | Star Trek 3 : À la recherche de Spock | Leonard Nimoy | 76 471 046 $ |
| 10. | Splash | Ron Howard | 69 821 334 $ |
| 11. | Purple Rain | Albert Magnoli | 68 392 977 $ |
| 12. | Amadeus | Miloš Forman | 51 564 280 $ |
| 13. | La Corde raide | Richard Tuggle | 48 143 579 $ |
| 14. | Le Meilleur | Barry Levinson | 47 951 979 $ |
| 15. | Greystoke, la légende de Tarzan | Hugh Hudson | 45 858 563 $ |
| 16. | Les Tronches | Jeff Kanew | 40 874 452 $ |
| 17. | 2010 : L'Année du premier contact | Peter Hyams | 40 400 657 $ |
| 18. | Break Street 84 | Joel Silberg | 38 682 707 $ |
| 19. | Le Palace en folie | Neal Israel | 38 435 947 $ |
| 20. | L'Aube rouge | John Milius | 38 376 497 $ |

## Article connexe

* Box-office par années
# Chuchelna (district de Semily)

Chuchelna est une commune du district de Semily, dans la région de Liberec, en République tchèque. Sa population s'élevait à 1 001 habitants en 2021.

## Géographie

Chuchelna se trouve à 2 km à l'ouest du centre de Semily, à 26 km au sud-est de Liberec et à 85 km au nord-est de Prague.
* Chuchelna : rue principale.
La commune est limitée par Záhoří au nord, par Semily à l'est, par Slaná et Tatobity au sud, et par Radostná pod Kozákovem et Mírová pod Kozákovem à l'ouest.

## Histoire

La première mention écrite du village date de 1410.

## Administration

La commune se compose de trois sections :
* Chuchelna ;
* Komárov ;
* Lhota.

## Galerie

* Maison du Sokol.
* Mairie de Chuchelna.
* Hameau de Kozakov (Komárov).
* La crête de Tabor.

## Transports

Par la route, Chuchelna se trouve à 3 km de Semily, à 37 km de Liberec et à 107 km de Prague.
# Choqa Reza

Choqa Reza (en persan : چقارضا romanisé en Choqā Reẕā) est un village de la province de Kermanshah en Iran. Lors du recensement de 2006, sa population était de 103 habitants pour 22 familles.
# Théorème de la base de Hilbert

En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X$_1$, … , X$_n$] l'est aussi.
Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien.
Soit (D$_n$) la suite d'idéaux de A définie par :
$D_{n}=\{a\in A~|~\exists (a_{0},\ldots ,a_{n-1})\in A^{n}{\text{ tel que }}aX^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in J\}.$
Cette suite (D$_n$) est croissante (car $P\in J\Rightarrow XP\in J$) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les D$_n$ est donc égale à D$_r$.
Pour chaque entier n, l'idéal D$_n$ est de type fini (car A est noethérien) donc possède une famille génératrice finie (a$_{n,i}$) (le second indice, i, parcourt un ensemble fini I$_n$). Pour chacun de ces a$_{n,i}$, soit P$_{n,i}$ un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à a$_{n,i}$.
Montrons que la famille finie (P$_{n,i}$), doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans I$_n$, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille (P$_{n,i}$).
Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d (pour d=0 c'est acquis, le seul polynôme de degré < 0 étant le polynôme nul). Soient q le coefficient dominant de Q et s=min(r,d). Alors q appartient à D$_d$=D$_s$. Il existe en conséquence une famille (μ$_i$) d'éléments de A telle que
$q=\sum _{i\in I_{s}}\mu _{i}a_{s,i}\quad {\text{donc}}\quad \deg \;{\BigQ-\sum _{i\in I_{s}}\mu _{i}X^{d-s}P_{s,i}{\Big )}<d.$
L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille (P$_{n,i}$), ce qui termine la démonstration.