# Surface de Peano

En mathématiques, la surface de Peano est une surface quartique, le graphe de la fonction de deux variables
    $f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).$
Elle a été proposée par Giuseppe Peano en 1899 comme contre-exemple à un critère conjecturé pour l'existence de maxima et de minima de fonctions de deux variables$^,$.

## Description

La surface a été nommée surface de Peano (en allemand : Peanosche Fläche) par Georg Scheffers dans son livre de 1920 intitulé Lehrbuch der darstellenden Geometrie$^,$. Elle a également été appelée le col ou selle de Peano$^,$.
La fonction représentée graphiquement par cette surface est positive entre les deux paraboles $y=x^{2}$ et $y=2x^{2}$ et négative ailleurs. À l'origine, au point tridimensionnel $(0,0,0)$ de la surface qui correspond au point d'intersection des deux paraboles, la surface a un point selle. La surface elle-même a une courbure de Gauss positive dans certaines parties et une courbure négative dans d'autres, séparées par une autre parabole$^,$, ce qui implique que son application de Gauss a une cuspide de Whitney.
Chaque fois que la surface est intersectée par un plan vertical passant par l'origine, la courbe résultante dans le plan d'intersection a un maximum local en ce point. En termes plus paradoxaux, si on déplace un point de l'origine $(0,0)$ sur une ligne droite quelconque, la fonction $(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ diminue au début du déplacement ; néanmoins, le point $(0,0)$ n'est pas un maximum local de la fonction, car se déplacer le long d'une parabole comme $y={\sqrt {2}}\,x^{2}$ entraîne une croissance de cette fonction.

## La courbe comme contre-exemple

En 1886, Joseph-Alfred Serret publie un manuel contenant une proposition de critère pour les points extrémaux d'une surface donnée par $z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)$ :
    « Le maximum ou le minimum a lieu lorsque, pour les valeurs de $h$ et $k$ qui annulent $d^{2}f$ et $d^{3}f$ (les troisième et quatrième termes), $d^{4}f$ (le cinquième terme) a constamment le signe -, ou le signe +. »
Ici, on suppose que les termes linéaires s'annulent et que la série de Taylor de $f$ a la forme
    $z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots$,
où $Q(h,k)$ est une forme quadratique comme $ah^{2}+bhk+ck^{2}$, $C(h,k)$ est une forme cubique avec des termes cubiques en $h$ et $k$, et $F(h,k)$ est une forme quartique avec un polynôme quartique homogène en $h$ et $k$ . Serret suggère que si $F(h,k)$ a un signe constant pour tous les points où $Q(h,k)=C(h,k)=0$, alors la surface a un maximum ou un minimum local en $(x_{0},y_{0})$ . Dans ses notes de 1884 au manuel italien d'Angelo Genocchi sur le calcul infinitésimal : Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, Peano avait déjà fourni différentes conditions correctes pour qu'une fonction ait un minimum local ou un maximum local$^,$. Dans la traduction allemande de 1899 du même manuel, il a fourni cette surface comme contre-exemple à la condition de Serret. Au point $(0,0,0)$, les conditions de Serret sont satisfaites, mais ce point est un point col et pas un maximum local. Une condition proche de celle de Serret a également été critiquée par Ludwig Scheeffer (de), qui a utilisé la surface de Peano comme contre-exemple dans une publication de 1890, attribuée à Peano$^,$.

## Maquettes de la surface

Des maquettes de la surface de Peano figurent dans la collection de modèles et d'instruments mathématiques à l'Université de Göttingen et dans la collection de modèles mathématiques de l'Université technique de Dresde (deux modèles différents). La maquette de Göttingen a été le premier modèle à être ajouté à la collection après la Première Guerre mondiale, et l'un des derniers à être ajoutés à la collection dans son ensemble.