# Système à minimum de phase

En traitement du signal et en théorie du contrôle, un système linéaire ne dépendant pas du temps est dit à minimum de phase si ce système et son inverse sont stables et causaux. On parle aussi de filtre à minimum de phase.
Pour un système discret, en supposant que la fonction de transfert $H(z)$ est rationnelle, ce système est à minimum de phase si et seulement si tous les pôles et zéros de $H(z)$ sont à l'intérieur du disque unité.
Pour un système continu, la condition pour que ce système soit à minimum de phase est que les pôles et zéros de transmission appartiennent au demi-plan gauche du plan complexe.

## Interprétation

On considère dans ce qui suit un système discret, bien que l'interprétation se généralise pour un système continu.

### Interprétation dans le domaine fréquentiel

Un système à minimum de phase a la propriété d'être le système qui, à une réponse en gain fixée, minimise le temps de propagation de groupe sur l'ensemble des fréquences.
Le déphasage à une pulsation $\omega$ est - à l'ajout d'une constante près - la somme des contributions de chaque zéro de $H(z)$. Soit $a$ un de ces zéros de module différent de 1, regardons de plus près sa contribution au temps de propagation de groupe. On note
    $a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ où }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a).$
$a$ apparaît dans la fonction de transfert par le facteur $1-az^{-1}=1-ae^{-i\omega }$, dont la phase est
    $\phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)$
    $={\mbox{Arg}}\left(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a})+i|a|\sin(\omega -\theta _{a})\right).$
En dérivant l'arc tangente, on obtient que $\phi _{a}(\omega )$ contribue au temps de propagation de groupe par :
    $-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}}{(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}+|a|^{2}\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})}}{\frac {|a|\cos(\omega -\theta _{a})(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))-|a|^{2}\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})}{(1-|a|\cos(\omega -\theta _{a}))^{2}}}$
    $-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {|a|^{2}-|a|\cos(\omega -\theta _{a})}{|a|^{2}-2|a|\cos(\omega -\theta _{a})+1}}$
    $-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {|a|-\cos(\omega -\theta _{a})}{|a|+|a|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}$
Le dénominateur et $\theta _{a}$ restent inchangés par réflexion, c'est-à-dire en remplaçant $a$ par $1/a^{*}$ (les réflexions des zéros de $H(z)$ permettent d'obtenir les autres fonctions de transfert ayant la même réponse en gain). Il y a deux possibilités selon que $a$ se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur du disque unité : le choix $|a|<1$ permet de minimiser le temps de propagation de groupe.

### Interprétation dans le domaine temporel

Un système à minimum de phase répond à une impulsion en concentrant l'énergie près de 0. Pour une réponse en gain fixée, le système à minimum de phase est celui qui minimise :
    $\sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}$
pour n'importe quel $m\in \mathbb {N}$ ($h$ est la réponse impulsionnelle).

## Autres dénominations

* Un système à non minimum de phase est un système causal et stable dont l'inverse est instable. Les systèmes à non minimum de phase retiennent l'attention en théorie du contrôle car le contrôle d'un système en boucle fermé peut poser des problèmes de stabilité.
* Un système à maximum de phase est un système causal dont les zéros se trouvent en dehors du disque unité. Pour un filtre à réponse impulsionnelle finie, on passe d'un système à minimum de phase à un filtre à maximum de phase par la relation $H_{max}(z)=z^{-d}H_{min}(z^{-1})$ ou dans le domaine temporel $h_{max}(n)=h_{min}(d-n)$ avec $d$ le degré du système.
* Un système à phase linéaire est un système dont la réponse en phase est linéaire : le temps de propagation de groupe est constant.