OpenLLM-France/wikimedia huggingface dataset:
# Vidzeme

La Vidzeme (en letton la Terre du Milieu$^,$$^,$$^,$, de vidus, « milieu », et zeme, « terre », car elle correspond au centre de l'ancienne Livonie) est la région qui recouvre les régions Nord et Est de la Lettonie. Elle est constituée de collines de faible altitude.
Sa superficie est de 23 000 kilomètres carrés, soit 35 % de la Lettonie.

## Subdivisions administratives

Avant la réforme territoriale du 1er juillet 2009, cette région comprenait les Rajons suivant :
* Riga (y compris les Lielpilsēta de Riga et de Jurmala) ;
* Aluksnes ;
* Cēsis ;
* Gulbene ;
* Limbažu ;
* Madona ;
* Valka ;
* Valmiera.
Depuis 2009, la région est découpée en municipalités.
# Victor Berco

Victor Berco est un footballeur moldave né le 20 avril 1979. Il joue au poste d'attaquant.

## Biographie

Victor Berco reçoit 15 sélections en équipe de Moldavie entre 2001 et 2007, sans inscrire de but.
Il joue son premier match en équipe nationale le 28 mars 2001, contre la Suède, dans le cadre des éliminatoires du mondial 2002. Il reçoit sa dernière sélection le 7 février 2007, en amical contre la Roumanie.
Avec le club du Zimbru Chișinău, il prend part à 14 matchs de Ligue des champions, inscrivant 5 buts.

## Palmarès

* Champion d'Autriche en 1999 avec le Sturm Graz
* Vainqueur de la Coupe d'Autriche en 1999 avec le Sturm Graz
* Champion de Moldavie en 1998, 1999 et 2000 avec le Zimbru Chișinău
* Vainqueur de la Coupe du Kazakhstan en 2007 avec le Kairat Almaty
# Vesuvio Films

Vesuvio Films est une maison cinématographique italienne fondée à Naples, active de 1909 à 1914 durant la période du muet.

## Histoire

Fondée par Augusto Turchi en 1909, Vesuvio Films est l'une des premières compagnies de productions cinématographiques fondée à Naples. Le siège social et l'usine étaient situées via Purgatorio dans la zone de Poggioreale.
La direction artistique de la société a été confiée au musicien Romolo Bacchini, qui a réalisé de nombreux films. Une autre personnalité importante de la maison est le réalisateur Gennaro Righelli, qui y réalisa entre 1911 et 1913 les premiers films de sa carrière.
En 1912, elle fut reprise par Ferdinando Bietenholz de Turin, l'ancien agent commercial de la compagnie, qui en reprit également la direction artistique.
Active jusqu'en 1914, Vesuvio Films a produit une cinquantaine de films en grande partie consacrés à des documentaires dont La vita negli abissi del mare co-produite avec Ambrosio Film de Turin).

## Filmographie partielle

* 1909 : Conrad de Souabe (Corradino di Svevia) de Romolo Bacchini
* 1911 : L'eroica fanciulla di Derna de Gennaro Righelli
* 1911 : La portatrice di pane (it) de Romolo Bacchini
* 1911 : Norma de Gerolamo Lo Savio
* 1912 : Il Decamerone de Gennaro Righelli
* 1912 : Una lotta nelle tenebre de Gennaro Righelli
* 1913 : Hussein il pirata de Gennaro Righelli
* 1913 : Il capriccio di un principe de Gennaro Righelli
# Vieille kafana de la famille Šterić à Osipaonica

La vieille kafana de la famille Šterić à Osipaonica (en serbe cyrillique : Стара кафана породице Штерић у Осипаоници ; en serbe latin : Stara kafana porodice Šterić u Osipaonici) se trouve à Osipaonica, sur le territoire de la Ville de Smederevo et dans le district de Podunavlje, en Serbie. Elle est inscrite sur la liste des monuments culturels de grande importance de la République de Serbie (identifiant n$^o$ SK 556).

## Présentation

La kafana (auberge) a été construite au milieu du XIXe siècle sur l'ancienne route de Carigrad (en serbe : Carigradski drum), qui reliait Belgrade à Istanbul, au carrefour des routes vers Smederevo, Požarevac et Velika Plana.
Au moment de sa construction, elle formait un bâtiment important de style traditionnel avec un plan rectangulaire de 25 m sur 18. Le bâtiment était construit selon la technique des colombages avec un remplissage de briques ; le toit à quatre pans était recouvert de tuiles. Un porche-galerie s'étendait tout le long de la façade sur rue, soutenu par des piliers en bois et, sous une partie de l'édifice, se trouvait une cave.
Au fil du temps, la kafana a subi de nombreux changements et, à la fin du XXe siècle, la moitié du bâtiment a été complètement rasé.
# Tarentola caboverdiana

Tarentola caboverdiana est une espèce de geckos de la famille des Phyllodactylidae.

## Répartition

Cette espèce est endémique de l'île de Santo Antão au Cap-Vert.

## Étymologie

Cette espèce est nommée en référence au lieu de sa découverte, les îles du Cap-Vert.

## Taxinomie

Les sous-espèces Tarentola caboverdiana substituta, Tarentola caboverdiana nicolauensis et Tarentola caboverdiana raziana ont été élevées au rang d'espèces par Vasconcelos, Perera, Geniez, Harris & Carranza en 2012.

## Publication originale

* Schleich, 1984 : Die Geckos der Gattung Tarentola der Kapverden (Reptilia: Sauria: Gekkonidae). Courier Forschungsinstitut Senckenberg, vol. 68, p. 95-106.
# Salt Island

Salt Island est une petite île unie à Holy Island, elle-même proche d'Anglesey du comté de Gwynedd dans le nord du Pays de Galles.

## Histoire

L'île a pris son nom grâce à une usine de traitement de l'eau de mer afin d'extraire le sel de mer. Au début du XVIIIe siècle, le sel de mer était souvent mélangé à du sel de roche (souvent introduit en contrebande sur l'île) pour accroître la production de l'usine. Celle-ci a cessé son activité en 1775.
Un autre bâtiment qui ne se trouvait aussi sur l'île était l'hôpital le Stanley Sailor's Hospital. Cet hôpital a été créé en 1871 par un philanthrope local et initialement prévu pour les marins, avant qu'il devienne rapidement un hôpital général. Il a été repris par le National Health Service en 1948 et a fermé ses portes en 1987.

## Port et phare

La jetée principale de l'île, celle de l'Amirauté, a été mise en service en 1821 et a servi, dès le début, au trafic des ferrys. L'île fait partie du port de Holyhead qui est desservi par l'Irish Ferries et la Stena Line en direction de l'Irlande pour Dublin et Dun Laoghaire
L'accès de l'île, dans son ensemble, est strictement surveillé et il est pratiquement impossible pour les piétons d'y entrer.
Il y a eu trois phares sur l'île. Le phare d'Holyhead Mail construit en 1821 en est la phare actuel.
# Space Godzilla

Space Godzilla (スペースゴジラ, SupēsuGojira) est un kaiju qui apparaît en premier lieu en 1994 dans le film Godzilla vs Space Godzilla.

## Description

SpaceGodzilla ressemble beaucoup à son homologue terrestre, mais avec plusieurs différences majeures. En plus d'une musculature considérablement accrue, d'un visage plus bestial avec des défenses, d'une longue queue et d'un rugissement perçant et aigu (une version ralentie et plus aiguë du rugissement de Gigan), SpaceGodzilla présente plusieurs caractéristiques qui sont le résultat de la fusion avec un organisme cristallin dans l'espace. Au lieu des épines dorsales de Godzilla, SpaceGodzilla possède des rangées de cristaux blancs qui courent le long de sa queue et de son dos. Il possède également une crête de cristaux jaune-or sur le sommet de sa tête, trois grands cristaux à l'extrémité de sa queue et deux cristaux massifs sortant de ses épaules, qui servent à puiser de l'énergie dans l'environnement qui l'entoure. SpaceGodzilla est principalement de couleur bleu marine avec un ventre rouge-violet foncé.

## Films

* 1994 : Godzilla vs Space Godzilla, de Kensho Yamashita
# Parc provincial de Brudenell River

Le parc provincial de Brudenell River (en anglais : Brudenell River Provincial Park) est un des vingt-cinq parcs provinciaux de l'Île-du-Prince-Édouard, au Canada. Nommé d'après la rivière Brudenell, il est le plus grand parc de la province avec 5,63 kilomètres carrés.
# The Moment After

The Moment After (VF: L´instant d´après) est un film américain réalisé par Wes Llewellyn, sorti en 1999.
Interprété notamment par Kevin Downes, David A. R. White et Brad Heller, le film a fait l'objet d'une suite, The Moment After 2: The Awakening, sortie en 2006, avec les mêmes interprètes.

## Synopsis

Adam Riley (David A. R. White) et Charles Baker (Kevin Downes) sont des agents du FBI travaillant ensemble sur le terrain. Au siège du FBI, les agents reçoivent des explications, une nouvelle affectation et un dossier contenant des noms de personnes disparues sans explication. Leur mission consiste donc à interroger les proches, dont M. Fulton (Mike Wilson), Peggy (Judith Peterson) une infirmière et Catherine (Angela Robinson Witherspoon), la femme de George (Troy Winbush). En effet, les deux enfants de George, Troy et Tanya, font partie des disparus. Au moment, où les deux agents partent en mission, Charles est appelé par l'hôpital où sa femme a fait une fausse couche.

## Fiche technique

* Titre original : The Moment After
* Titre québécois : Une seconde après
* Réalisation : Wes Llewellyn
* Scénario : Kevin Downes, Amanda Llewellyn, Wes Llewellyn
* Photographie : Philip Hurn
* Musique : Marc Fantini
* Production : Kevin Downes, Brad Heller, Wes Llewellyn, David A.R. White
* Sociétés de production : TMA Productions, Christiano Film Group, Signal Hill Pictures
* Sociétés de distribution : Sony Pictures Home Entertainment (États-Unis)
* Pays de production : États-Unis
* Langue originale : anglais
* Format : couleur - Ratio 1.85 : 1
* Genre : Drame, Science-fiction, Thriller
* Durée : 89 min
* Date de sortie :
** États-Unis : 4 juillet 1999

## Distribution

* Kevin Downes : Charles Baker
* David A. R. White : Adam Riley
* Brad Heller : Jacob Krause
* David Morin : Agent spécial Thomas
* Mike Wilson : Mr Fulton
* Amanda Llewellyn : Mme Fulton
* Kevin Copeland : John
* John Gilbert : Peter McCollum
* Teres Byrne : D$^r$ Claire Holt
* Gregg Binkley : D$^r$ Jason Hersch
# Maladie des stries bactériennes

La maladie des stries bactériennes ou brûlure bactérienne (en anglais, Bacterial leaf streak ou BLS) est une maladie bactérienne des céréales et d'autres espèces de la famille des Poaceae (graminées). Elle est causée par une espèce de bactéries du genre Xanthomonas : Xanthomonas translucens, dont on distingue différents pathovars nommés différemment en fonction des plantes-hôtes affectées dont ils sont spécifiques : Xanthomonas translucens pv. undulosa, Xanthomonas campestris pv. translucens, Xanthomonas campestris pv. oryzae, etc.
Cette maladie cause des dommages importants aux cultures de blé, mais aussi de riz, de triticale et d'orge, partout dans le monde, mais elle est plus problématique dans le sud de l'Amérique. Elle peut aussi s'attaquer à d'autres plantes herbacées.
# Mustapha Achab

Mustapha Achab est un joueur professionnel de football né le 29 septembre 1969 à Casablanca. Il évoluait au poste de gardien de but.

## Biographie

Il a participé aux Jeux olympiques d'été de 1992 à Barcelone avec l'équipe nationale du Maroc. L'équipe marocaine est éliminée dès le premier tour après trois rencontres jouées par le joueur pour son pays. Le 11 octobre 1992, il est titulaire au poste de gardien dans les cages du Maroc lors d'un match comptant pour les qualifications de la Coupe du monde 1994, rencontre remporté 5-0 par le Maroc contre l'Éthiopie$^,$.
Il a ouvert sa propre académie de football aux États-Unis à Boston.
| Caps | Date | Match | Lieu | Score | Compétition |
| 1 | 28/07/1991 | Côte d’Ivoire - Maroc | Abidjan | 2 - 0 | Elim. CAN 1992 |
| 2 | 11/10/1992 | Maroc - Ethiopie | Casablanca | 5 - 0 | Elim. CM 1994 |
| 3 | 17/01/1996 | Arménie - Maroc | Vitrolles | 0 - 6 | Amical |
| X | 23/01/1996 | France Oly. - Maroc | Aix | 1 - 0 | Amical |
# Mustapali

Mustapali est un village de la commune de Viljandi du comté de Viljandi en Estonie. Au 31 décembre 2011, il compte 41 habitants.
# Moulins à vent du Campo de Cartagena

Les moulins à vent du Campo de Cartagena (espace naturel au Nord de Carthagène, en Espagne) sont un ensemble de constructions édifiées principalement pour la mouture grâce à l'énergie éolienne. Il y en a dans toutes les communes de cette plaine : Cartagena, Fuente Álamo, La Unión, Los Alcázares, Mazarrón, San Javier, San Pedro del Pinatar, Torre-Pacheco et aussi dans certaines communes rurales de Murcie situées au sud de la Sierra de Carrascoy, comme Sucina.

## Typologie

La majeure partie de ces moulins ont été construits entre le 18e et le 19e siècle mais la plupart d'entre eux tombent en ruines car ils sont abandonnés. Leur caractéristique principale est l'usage de la voile latine à la place des pales. On distingue quatre types de moulins :
* les moulins à farine ;
* les moulins à sel ;
* les moulins à huile ;
* les moulins dédiés à l'extraction de l'eau.

## Protection et restauration

Après une longue période pendant laquelle ils ont été laissés à l'abandon, cet ensemble de moulins à vent a reçu le 4 décembre 1986 la protection juridique au titre de bien d'intérêt culturel en Espagne. Le 26 juin 1998, ils sont inscrits dans la catégorie culturelle de la liste indicative du patrimoine mondial de l'UNESCO, au sein d'un ensemble dénommé « Moulins à voiles de la Méditerranée ».
Le 16 septembre 2014, les moulins à vent du Campo de Cartagena sont inscrits sur la liste rouge du patrimoine en danger de l'association Hispania Nostra.

### Interventions

Malgré leur abandon, certains de ces moulins ont été restaurés.
* À Carthagène : le vieux moulin de Zabala, entre 1999 et 2019, et ceux de la Puebla, la Palma, le Pozo Estrecho et d'Alumbres.
* Des restaurations ont aussi été faites à Torre-Pacheco en 1991 comme celles du moulin Pasico, à Hortichuela ou encore celui du Tío Pacorro en 1997.

## Galerie

* Moulin de la Ezequiela de San Pedro del Pinatar
* Vieux moulin de Zabala à Perín
* Moulin en ruines à Cabo de Palos
* Moulin en ruines à Galífa
# Mulan (homonymie)

Mulan peut faire référence à :
* xian de Mulan (木兰), une subdivision administrative de la province du Heilongjiang en Chine ;
* Hua Mulan, l'héroïne d'une légende chinoise ;
* La Ballade de Mulan ;
* Mulan, la guerrière légendaire, film hong-kongais, chinois et américain, de Jingle Ma et Wei Dong ;
* Mulan, un long-métrage d'animation des studios Disney sorti en 1998, qui s'inspire de la légende de Hua Mulan.
** Mulan 2 : La Mission de l'Empereur, suite en vidéo du précédent ;
** Mulan, le personnage principal de Disney ;
** Mulan, film en prises de vues réelles de Disney sorti en 2020.
# Musée Long

Le musée Long (chinois : 龙美术馆 ; pinyin : lóng měishùguǎn ; litt. « musée d'art du Dragon » ; anglais : Long Museum) est un musée d'art privé dont le siège est situé à Shanghai, en Chine. Son annexe du Bund-Ouest à Shanghai, est le plus grand musée privé de Chine.
Le musée, fondé par Liu Yiqian (zh) (刘益谦) et son épouse Wang Wei (zh) (王薇), est implanté sur trois sites, à Shanghai, dans le nouveau district de Pudong depuis le 18 décembre 2012 (浦东馆), et à Bund Ouest (西岸馆), dans le district de Xuhui, depuis le 29 mars 2014, et, depuis 2016, dans le district de Jiangbei de la municipalité de Chongqing (重庆馆). Un quatrième site, à Wuhan, capitale de la province de Hubei, sera inauguré en 2018.

## Publication

* (en) M K Lau Collection. et Long Museum, Rendering change: a new China under the brush, Dadu Museum of Art, 2015, 71 p. (OCLC 951559952)
# Musée Longgang de la culture Hakka

Le Musée Longgang de la culture Hakka (Chinois simplifié : 龙岗客家民俗博物馆 ; chinois traditionnel : 龍崗客家民俗博物館 ; pinyin : Lónggǎng Kèjiā Mínsú Bówùguǎn) est situé dans le district de Longgang, Shenzhen, Chine. Il contient un groupe d’architectures Hakka, qui fut construit à l’origine par le peuple Hakka de Xinging.
# Mumbai Cyclothon 2010

La toute 1re édition du Mumbai Cyclothon a eu lieu le 21 février 2010. La course fait partie de l'UCI Asia Tour 2010.
La victoire revient à Juan José Haedo à l'issue d'un effort solitaire.

## Classement final

| | Coureur | Pays | Équipe | | Temps |
| 1. | Juan José Haedo | Argentine | Team Saxo Bank | en | 2 h 15 min 15 s |
| 2. | Dirk Müller | Allemagne | Team Nutrixxion Sparkasse | + | 30 s |
| 3. | Tobias Erler | Allemagne | Tabriz Petrochemical Team | | 37 s |
| 4. | Baden Cooke | Australie | Team Saxo Bank | | 45 s |
| 5. | Philipp Mamos | Allemagne | Team Nutrixxion Sparkasse | | 45 s |
| 6. | Jaan Kirsipuu | Estonie | CKT TMIT-Champion System | | 45 s |
| 7. | Stuart O'Grady | Australie | Team Saxo Bank | | 2 min 45 s |
| 8. | Leif Lampater | Allemagne | Équipe nationale d'Allemagne | | 2 min 45 s |
| 9. | Ahmad Haidar Anuawar | Malaisie | Marco Polo | | 2 min 45 s |
| 10. | Hossein Askari | Iran | Tabriz Petrochemical Team | | 2 min 45 s |
# Moyenne de Riesz

En mathématiques, les moyennes de Riesz sont certaines moyennes des termes d'une série. Elles ont été introduites par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro$^,$. Les moyennes de Riesz ne doivent pas être confondues avec celles de Bochner-Riesz (en) ni avec les moyennes fortes de Riesz.

## Définition

La moyenne de Riesz d'une série de terme général $s_{n}$ est définie par :
    $s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}$
et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :
    $R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k},$
où $(\lambda _{n})~$ est une suite arbitraire telle que $\lambda _{n}\to \infty$ et $\lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1$ quand $n\to \infty$.
Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}s_{n}$. Typiquement, une série est sommable lorsque la limite $\lim _{n\to \infty }R_{n}$ existe, ou la limite $\lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )$ existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

## Cas particuliers

Soit $s_{n}=1$ quel que soit $n$. Alors
    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}~\mathrm {d} s={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.$
Ici, on doit prendre $c>1$ ; $\Gamma$ est la fonction gamma et $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances $\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}$ converge pour $\lambda >1$. Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.
Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant $s_{n}=\Lambda (n)$ où $\Lambda (n)$ est la fonction de von Mangoldt. Alors
    $\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}~\mathrm {d} s={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.$
De nouveau, on doit prendre $c>1$. La somme sur $\rho$ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et $\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}$ converge pour $\lambda >1$.
Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.
# Moyenne de Lehmer

En mathématiques, la moyenne de Lehmer d'une famille $(x_{1},\dots ,x_{n})$ de nombres réels strictement positifs, portant le nom de Derrick Henry Lehmer, est une moyenne définie par:
    $L_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}},$
où p est un réel quelconque.
La moyenne de Lehmer pondérée par une famille $(m_{1},\dots ,m_{n})$ de poids positifs est définie par :
    $L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.$
Elle n'est autre que la moyenne de $(x_{1},\dots ,x_{n})$ pondérée par la famille $(m_{1}x_{1}^{p-1},\dots ,m_{n}x_{n}^{p-1})$.
La moyenne de Lehmer propose une alternative à la moyenne de Hölder habituelle pour relier le minimum et le maximum en passant par la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique.

## Propriétés

La moyenne de Lehmer d'ordre p + 1 d'un n-uplet de nombres positifs est supérieure ou égale à la moyenne (de Hölder) d'ordre p si et seulement si p est supérieur ou égal à 1, et inversement:
    ${\begin{cases}\forall (x_{1},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p+1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\geqslant M_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})&\Longleftrightarrow p\geqslant 1,\\\forall (x_{1},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p+1}(x_{1},\cdots ,x_{n})\leqslant M_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})&\Longleftrightarrow p\leqslant 1.\end{cases}}$
La moyenne de Lehmer ne respecte pas l'inégalité de Minkowski pour tout ordre:
    ${\begin{cases}\forall (x_{1},\cdots ,x_{n}),(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p}(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\leqslant L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})+L_{p}(y_{1},\cdots ,y_{n})&\Longleftrightarrow 1\leqslant p\leqslant 2,\\\forall (x_{1},\cdots ,x_{n}),(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{*n},L_{p}(x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n})\geqslant L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})+L_{p}(y_{1},\cdots ,y_{n})&\Longleftrightarrow 0\leqslant p\leqslant 1.\end{cases}}$
La dérivée de $p\mapsto L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})$
    ${\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}},$
étant positive, cette fonction est croissante ; on a donc l’implication
    $p\leqslant q\Longrightarrow L_{p}({x_{1},\cdots ,x_{n}})\leqslant L_{q}(x_{1},\cdots ,x_{n})$
La dérivée de la moyenne pondérée de Lehmer est :
    ${\frac {\partial L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\partial p}}={\frac {(\sum mx^{p-1})(\sum mx^{p}\ln {x})-(\sum mx^{p})(\sum mx^{p-1}\ln {x})}{(\sum mx^{p-1})^{2}}}$

## Cas particuliers

* $\lim _{p\to -\infty }L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})$ est le minimum de $(x_{1},\cdots ,x_{n})$.
* $L_{0}(x_{1},\cdots ,x_{n})$ est la moyenne harmonique.
* $L_{\frac {1}{2}}(x_{1},x_{2})$ est la moyenne géométrique de $x_{1}$ et $x_{2}$.
* $L_{1}(x_{1},\cdots ,x_{n})$ est la moyenne arithmétique.
* $L_{2}(x_{1},\cdots ,x_{n})$ est la moyenne contre-harmonique.
* $\lim _{p\to \infty }L_{p}(x_{1},\cdots ,x_{n})$ est le maximum de $(x_{1},\cdots ,x_{n})$.
# Munch

Sur les autres projets Wikimedia :

## Patronyme

Munch est un nom de famille notamment porté par :
* Peter Andreas Munch (1810-1863), historien et philologue norvégien ;
* Louis Auguste Munch (1839-1890), imprimeur-lithographe français ;
* Edvard Munch (1863-1944), peintre norvégien ;
* Elna Munch (1871-1945), mathématicienne danoise ;
* Ernest-Geoffroy Munch (1888-1944), chef d'orchestre et chef de chœur alsacien ;
* Charles Munch (1891-1968), chef d'orchestre français ;
* Jean-Pierre Munch (1926-1996), coureur cycliste français ;
* Philippe Munch (né en 1959), illustrateur ;
* Laurits Munch-Petersen (1973-), réalisateur danois.

## Autres

* Munch, personnage du jeu vidéo Oddworld
* Munch, série télévisée française de Valérie Tong Cuong, diffusée en novembre 2016
* Munch, film norvégien de Henrik Martin Dahlsbakken sorti en 2023