# Produit de solubilité

Le produit de solubilité est la constante d'équilibre correspondant à la dissolution d'un solide dans un solvant.

## Définition

On considère la dissolution d'un solide ionique de formule X$_α$Y$_β$.
La dissolution est décrite par la réaction suivante :
    $\mathrm {X_{\alpha }Y_{\beta }} _{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {\alpha \,X_{({\text{aq}})}^{\beta +}} +\mathrm {\beta \,Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}}$
En utilisant la loi d'action de masse, on obtient la formule :
    $K={\frac {a\left(X_{({\text{aq}})}^{\beta +}\right)^{\alpha }\cdot \,a\left(Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}\right)^{\beta }}{a\left({X_{\alpha }Y_{\beta }}_{({\text{s}})}\right)}}$
    avec a(X) l'activité de l'espèce X.
Le composé ionique étant un solide pur, son activité est égale à 1. Les activités des ions dans un milieu aqueux correspondent à leurs concentrations exprimées en moles par litre (mol L$^{−1}$), divisées par une concentration de référence C$^0$ = 1 mol L$^{−1}$.
    $a\left({X_{\alpha }Y_{\beta }}_{({\text{s}})}\right)=1\qquad ;\qquad a\left(X_{({\text{aq}})}^{\beta +}\right)^{\alpha }=\left({\frac {\left[X^{\beta +}\right]}{C^{0}}}\right)^{\alpha }\qquad ;\qquad a\left(Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}\right)^{\beta }=\left({\frac {\left[Y^{\alpha -}\right]}{C^{0}}}\right)^{\beta }$
Le produit de solubilité est :$K_{\text{s}}=\left({\frac {\left[X^{\beta +}\right]}{C^{0}}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {\left[Y^{\alpha -}\right]}{C^{0}}}\right)^{\beta }$

## Produit de solubilité dans l'eau à 25 °C

Voici quelques exemples de valeurs numériques du produit de solubilité dans l'eau, par ordre de solubilité décroissante :
| Formule | Nom du composé | K$_s$ |
| NaCl | Chlorure de sodium | 32,98 |
| TiBrO$_3$ | Bromate de titane | 1,7 × 10$^{−4}$ |
| PbCl$_2$ | Chlorure de plomb(II) | 1,6 × 10$^{−5}$ |
| Ca(OH)$_2$ | Hydroxyde de calcium | 5,5 × 10$^{−6}$ |
| TiBr | Bromure de titane | 3,4 × 10$^{−6}$ |
| NiCO$_3$ | Carbonate de nickel | 1,3 × 10$^{−7}$ |
| CaC$_2$O$_4$ | Oxalate de calcium | 2 × 10$^{−9}$ |
| MnS | Sulfure de manganèse(II) | 2,5 × 10$^{−13}$ |
| Cu(OH)$_2$ | Hydroxyde de cuivre(II) | 5,0 × 10$^{−19}$ |
| HgS | Sulfure de mercure(II) | 4 × 10$^{−53}$ |
La valeur du produit de solubilité dépend de la température. De façon générale, elle croît avec la température.
Le produit de solubilité est un rapport de concentrations. C'est donc un nombre sans dimension, qui s'exprime sans unité. Il s'agit d'une constante thermodynamique intervenant dans la loi d'action de masse.
Il n'est cependant pas rare que par abus, le produit de solubilité soit noté comme un produit de concentrations, en omettant les concentrations de référence C$^0$ pour simplifier l'écriture. Cet abus de notation demeure malgré tout erroné car il pose un problème d'homogénéité.

## Relation entre le produit de solubilité et la solubilité
### Exemple d'un composé ionique de type XY

Le bromure de cuivre se dissout dans l'eau suivant l'équilibre suivant :
    $\mathrm {CuBr} _{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {Cu^{+}} _{\text{(aq)}}+\mathrm {Br^{-}} _{\text{(aq)}}$
Soit s la solubilité du bromure de cuivre dans l'eau pure. On considère une solution d'eau pure de volume 1 L. La dissolution de $x={\frac {s}{C^{0}}}$ moles de CuBr donne x moles de Cu$^+$ et x moles de Br$^−$. En considérant que le volume de solution ne varie pas au cours de la réaction, on peut décrire la situation de la manière suivante :
| | $\mathrm {CuBr} _{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {Cu^{+}} _{\text{(aq)}}+\mathrm {Br^{-}} _{\text{(aq)}}$ | $\mathrm {CuBr} _{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {Cu^{+}} _{\text{(aq)}}+\mathrm {Br^{-}} _{\text{(aq)}}$ | $\mathrm {CuBr} _{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {Cu^{+}} _{\text{(aq)}}+\mathrm {Br^{-}} _{\text{(aq)}}$ |
| Espèce chimique | CuBr | Cu$^+$ | Br$^−$ |
| t = 0 | x | 0 | 0 |
| Équilibre | 0 | x | x |
Le produit de solubilité du bromure de cuivre s'écrit :
    $K_{\text{s}}={\frac {\left[\mathrm {Cu^{+}} \right]\cdot \left[\mathrm {Br^{-}} \right]}{(C^{0})^{2}}}=5{,}3\times 10^{-9}\qquad \Longrightarrow \qquad K_{\text{s}}\cdot (C^{0})^{2}=s\cdot s=s^{2}=5{,}3\times 10^{-9}\;{\rm {mol^{2}\;L^{-2}}}$.
Donc
    $s={\sqrt {5{,}3\times 10^{-9}}}={\rm {7{,}2\times 10^{-5}\;mol\;L^{-1}}}$.
La masse molaire du bromure de cuivre est
    ${\rm {M_{CuBr}=63{,}55+79{,}90=143{,}45\;g\;mol^{-1}}}$.
La solubilité massique du bromure de cuivre est
    $s_{\mathrm {m} }=s\times \mathrm {M_{CuBr}} =7{,}2\times 10^{-5}\times 143{,}45={\rm {1{,}03\times 10^{-2}\;g\;L^{-1}}}$

### Exemple d'un composé ionique de type X$_2$Y

Le carbonate d'argent se dissout suivant l'équilibre :
    ${\rm {{Ag_{2}CO_{3}}_{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }2\,{Ag^{+}}_{\text{(aq)}}+{{CO_{3}}^{2-}}_{\text{(aq)}}}}$
On considère une solution d'eau pure de volume 1 L et note s la solubilité du carbonate d'argent dans l'eau pure. On pose $x={\frac {s}{C^{0}}}$. La dissolution de x moles de Ag$_2$CO$_3$ donne 2x moles de Ag$^+$ et x moles de CO$_3$$^−$. On peut décrire la situation de la manière suivante :
| | ${\rm {{Ag_{2}CO_{3}}_{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }2\,{Ag^{+}}_{\text{(aq)}}+{{CO_{3}}^{2-}}_{\text{(aq)}}}}$ | ${\rm {{Ag_{2}CO_{3}}_{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }2\,{Ag^{+}}_{\text{(aq)}}+{{CO_{3}}^{2-}}_{\text{(aq)}}}}$ | ${\rm {{Ag_{2}CO_{3}}_{\text{(s)}}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }2\,{Ag^{+}}_{\text{(aq)}}+{{CO_{3}}^{2-}}_{\text{(aq)}}}}$ |
| Espèce chimique | Ag$_2$CO$_3$ | Ag$^+$ | CO$_3$$^{2−}$ |
| t = 0 | x | 0 | 0 |
| Équilibre | 0 | 2x | x |
    $K_{\text{s}}=\left({\frac {\rm {\left[Ag^{+}\right]^{2}\cdot \left[CO_{3}^{2-}\right]}}{(C^{0})^{3}}}\right)=8{,}1\times 10^{-18}$
En supposant que le volume de solution reste 1 L durant toute la réaction, on peut écrire :
    $K_{\text{s}}=(2x)^{2}\cdot (x)=4x^{3}=8{,}1\times 10^{-18}\qquad \Longrightarrow \qquad x={\sqrt[{3}]{\frac {8{,}1\times 10^{-18}}{4}}}$
Donc, il vient :
    $s={\rm {1{,}26\times 10^{-6}\;mol\;L^{-1}}}$.
La masse molaire du carbonate d'argent est
    ${\rm {M_{Ag_{2}CO_{3}}=275{,}7\;g\;mol^{-1}}}$.
La solubilité massique du carbonate d'argent est
    $s_{\mathrm {m} }=C\cdot \mathrm {M_{Ag_{2}CO_{3}}} =1{,}26\times 10^{-6}\times 275{,}7={\rm {3{,}49\times 10^{-4}\;g\;L^{-1}}}$.

### Généralisation

Soit la dissolution d'un composé ionique de formule générale X$_α$Y$_β$.
    $\mathrm {X_{\alpha }Y_{\beta }} _{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {\alpha \,X_{({\text{aq}})}^{\beta +}} +\mathrm {\beta \,Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}}$.
Soit s la solubilité de X$_α$Y$_β$. On pose $x={\frac {s}{C^{0}}}$. La dissolution dans 1 L d'eau pure de x moles de X$_α$Y$_β$ donne αx moles de X$_α$ et βx moles de Y$_β$. On peut décrire la situation de la manière suivante :
| | $\mathrm {X_{\alpha }Y_{\beta }} _{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {\alpha \,X_{({\text{aq}})}^{\beta +}} +\mathrm {\beta \,Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}}$ | $\mathrm {X_{\alpha }Y_{\beta }} _{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {\alpha \,X_{({\text{aq}})}^{\beta +}} +\mathrm {\beta \,Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}}$ | $\mathrm {X_{\alpha }Y_{\beta }} _{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }\mathrm {\alpha \,X_{({\text{aq}})}^{\beta +}} +\mathrm {\beta \,Y_{({\text{aq}})}^{\alpha -}}$ |
| Espèce chimique | ${\mathrm {X_{\alpha }Y_{\beta }} }_{({\text{s}})}$ | ${\mathrm {X} ^{\beta +}}_{({\text{aq}})}$ | ${\mathrm {Y} ^{\alpha -}}_{({\text{aq}})}$ |
| t = 0 | x | 0 | 0 |
| Équilibre | 0 | αx | βx |
    $K_{\text{s}}=\left({\frac {\left[X^{\beta +}\right]}{C^{0}}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {\left[Y^{\alpha -}\right]}{C^{0}}}\right)^{\beta }$
Toujours en supposant le volume de la solution constant durant toute la durée de la réaction,
    $K_{\text{s}}=(\alpha \,x)^{\alpha }\cdot (\beta \,x)^{\beta }$
La relation générale entre le K$_s$ et la solubilité est la suivante :
    $K_{\text{s}}=\alpha ^{\alpha }\cdot \beta ^{\beta }\cdot \left({\frac {s}{C^{0}}}\right)^{\alpha +\beta }$.

## Effet d'ion commun

Quel est le comportement d'un composé que l'on dissout dans une solution qui contient préalablement un ion de ce composé ?
Soit par exemple la dissolution du chlorure d'argent dans une solution d'acide chlorhydrique de concentration molaire 0,1 mol L$^{−1}$ et de volume 1 L. L'acide chlorhydrique étant un acide fort, il se dissocie complètement en cations H$^+$ et anions Cl$^−$. Le chlorure d'argent se dissocie suivant la réaction :
    ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$.
De manière qualitative en utilisant le principe de Le Chatelier, on montre que l'augmentation d'ion chlorure (donc à droite de l'équilibre) provoque un déplacement de l'équilibre vers la gauche. La présence d'ions chlorure diminue la solubilité du chlorure d'argent.
Exemple :
Notons s la solubilité du chlorure d'argent dans l'eau pure et posons $x={\frac {s}{C^{0}}}$.
On considère x moles de chlorure d'argent introduites dans une solution d'1 L d'eau pure.
| | ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$ | ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$ | ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$ |
| Espèce chimique | AgCl | Ag$^+$ | Cl$^−$ |
| t = 0 | x | 0 | 0 |
| Équilibre | 0 | x | x |
    $K_{\text{s}}={\rm {\left({\frac {\left[Ag^{+}\right]}{C^{0}}}\right)\cdot \left({\frac {\left[Cl^{-}\right]}{C^{0}}}\right)}}$
Le volume de solution est considéré invariant au cours de la réaction. Alors,
    $K_{\text{s}}=x\cdot x=x^{2}=1{,}8\times 10^{-10}$.
Il vient :
    $S={\rm {1{,}35\times 10^{-5}\;mol\;L^{-1}}}$.
Si l'on dissout du chlorure d'argent dans la solution d'acide chlorhydrique à 0,1 mol L$^{−1}$, la situation est la suivante :
| | ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$ | ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$ | ${\rm {{AgCl}_{({\text{s}})}{\quad }\rightleftharpoons {\quad }{Ag^{+}}_{({\text{aq}})}+{Cl^{-}}_{({\text{aq}})}}}$ |
| Espèce chimique | AgCl | Ag$^+$ | Cl$^−$ |
| t = 0 | x’ | 0 | 0,1 |
| Équilibre | 0 | x’ | x’+0,1 |
    $K_{\text{s}}={\rm {\left({\frac {\left[Ag^{+}\right]}{C^{0}}}\right)\cdot \left({\frac {\left[Cl^{-}\right]}{C^{0}}}\right)}}$
Toujours en supposant le volume de solution constant durant toute la réaction, on peut considérer que :
    $K_{\text{s}}=x^{\prime }\cdot (x^{\prime }+0{,}1)=1{,}8\times 10^{-10}$
On peut faire l'hypothèse que s' est très faible devant 0,1 mol L$^{−1}$, ainsi :
    $K_{\text{s}}=0{,}1\,x^{\prime }=1{,}8\times 10^{-10}$
D'où :
    $s^{\prime }={\rm {1{,}8\times 10^{-9}\;mol\;L^{-1}}}$
    $s^{\prime }<s$
La solubilité du chlorure d'argent dans une solution d'acide chlorhydrique est inférieure à sa solubilité dans l'eau pure.
Vérification de l'hypothèse de calcul : ${\rm {1{,}8\times 10^{-9}\;mol\;L^{-1}\ll 0{,}1\;mol\;L^{-1}}}$. Il était donc possible de faire l'approximation.