# Modèle d'évaluation des actifs basé sur la consommation

Le modèle d'évaluation des actifs basé sur la consommation (CAPM de consommation ou CCAPM) décrit les décisions simultanées de consommation et de choix de portefeuille en situation d'incertitude. Dans un cadre de choix intertemporel, les actifs financiers servent à lisser la consommation dans le temps.
La fonction d'utilité du consommateur représentatif à la période t est:
    $\sum _{j=o}^{\infty }\delta ^{j}u(c_{t+j})$
où u est l'utilité instantanée, $c_{t+j}$ la consommation à la période $t+j$ et $\delta =1/(1+\rho )$ est le taux subjectif de préférence pour le temps ($\rho$ est le taux d'escompte subjectif).

## Deux périodes

Le consommateur désire maximiser l'utilité intertemporelle espérée:
    $u(c_{t})+\delta E_{t}\left[u(c_{t+1})\right]$
où $E_{t}$ désigne l'espérance mathématique au temps t. Les contraintes budgétaires sont:
    $a_{t}=c_{t}+\sum _{i=1}^{n}x_{it}$
    $a_{t+1}\equiv c_{t+1}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}$
où $x_{jt}$ est l'actif financier j à la période t, n le nombre d'actifs, $a_{t}$ la fortune du consommateur au début de la période t, $r_{jt}$ le taux de rendement de l'actif j à la période t.
En introduisant cette deuxième contrainte dans la fonction d'utilité on peut trouver le maximum en utilisant le lagrangien suivant:
    $L=u(c_{t})+\delta E_{t}\left[u{\bigg\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}{\bigg )}\right]-\lambda (c_{t}+\sum _{j=1}^{n}x_{jt}-a_{t})$
où $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange. Les conditions de premier ordre pour le maximum sont:
    ${\frac {\partial L}{\partial c_{t}}}=u^{\prime }(c_{t})-\lambda =0$
    ${\frac {\partial L}{\partial x_{it}}}=\delta E_{t}\left[u^{\prime }(c_{t+1})(1+r_{it})\right]-\lambda =0\quad i=1,\ldots ,n$
    ${\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=c_{t}-\sum _{j=1}^{n}x_{jt}-a_{t}=0$
où $u^{\prime }(c_{t})$ est la dérivée de $u(c_{t})$.
En prenant les deux premières équations on obtient:
    $u^{\prime }(c_{t})=E_{t}\left[{\bigg{\frac {1+r_{it}}{1+\rho }}{\bigg )}u^{\prime }(c_{t+1})\right]\quad i=1,\ldots ,n$
L'utilité marginale d'une unité de consommation à la période t doit être égale à l'utilité marginale espérée d'une unité épargnée donnant un rendement de $r_{it}$ et consommée à la période t+1.

## Plusieurs périodes

Le modèle devient, en introduisant un actif sans risque $F$ et un revenu exogène $y_{t}$:
    $max\quad u(c_{t})+\sum _{j=1}^{\infty }\delta ^{j}E_{t}[u(c_{t+j})]$
sous la contrainte:
    $\sum _{j=1}^{n}x_{j,t+1}+F_{t+1}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}+(1+r_{ft})F_{t}+y_{t}-c_{t}$
où $r_{ft}$ est le taux d'intérêt sans risque. En utilisant l'équation de Bellman de la programmation dynamique on peut écrire:
    $V(A_{t})=\max _{x_{i,t+1},F_{t+1}}\left\{u(A_{t}+y_{t}-\sum _{j=1}^{n}x_{j,t+1}-F_{t+1})+\delta E_{t}\left[V(A_{t+1})\right]\right\}$
où la variable d'état est:
    $A_{t}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}+(1+r_{ft})F_{t}$
Les conditions de premier ordre sont:
    ${\frac {\partial V}{\partial x_{i,t+1}}}=-u^{\prime }(c_{t})+\delta E_{t}\left[V_{A}(A_{t+1}){\frac {\partial A_{t+1}}{\partial x_{i,t+1}}}\right]=0\quad i=1,\ldots ,n$
    ${\frac {\partial V}{\partial F_{t+1}}}=-u^{\prime }(c_{t})+\delta E_{t}\left[V_{A}(A_{t+1}){\frac {\partial A_{t+1}}{\partial F_{t+1}}}\right]=0$
où $V_{A}$ est la dérivée par rapport à $A_{t+1}$.
En utilisant le théorème de l'enveloppe, on peut écrire ainsi les n premières conditions:
    $V_{A}(A_{t})=u^{\prime }(c_{t})=>E_{t}[V_{A}(A_{t+1})]=E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]$
On obtient alors:
    $u^{\prime }(c_{t})=\delta E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})(1+r_{i,t+1})]\quad i=1,\ldots ,n$
Pour l'actif non risqué on a:
    $u^{\prime }(c_{t})=\delta (1+r_{f,t+1})E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]$
La covariance de deux variables aléatoires x,y est:
    $cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)$
Pour les actifs risqués on peut donc écrire:
    $u^{\prime }(c_{t})=\delta {\big \E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]E_{t}(1+r_{i,t+1})+cov_{t}[u^{\prime }(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]{\big \}}$
Ce résultat montre que le choix du consommateur dépend du rendement espéré et de la covariance avec l'utilité marginale de la consommation.
En soustrayant du résultat de l'actif risqué celui de l'actif sans risque on obtient:
$\delta {\big \E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]E_{t}(1+r_{i,t+1})+cov_{t}[u^{\prime }(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]{\big \}}-\delta (1+r_{f,t+1})E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]=0$
d'où l'on tire:
    $E_{t}(r_{i,t+1})-r_{f,t+1}=-{\frac {cov_{t}[u^{\prime }(c_{t+1}),(1+r_{i,t+1})]}{E_{t}[u^{\prime }(c_{t+1})]}}$
Le rendement supplémentaire d'un actif risqué ayant une corrélation positive avec la consommation doit être élevé car il n'offre pas une bonne protection en cas de nécessité. En effet, pour lisser la consommation il faut disposer d'actifs financiers ayant une corrélation négative avec les dépenses du consommateur.

## Utilité instantanée avec aversion relative au risque constante

On peut écrire le résultat de l'actif risqué de la manière suivante:
    $1=E_{t}[{\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})(1+\rho )}}]E_{t}(1+r_{i,t+1})+cov_{t}[{\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})(1+\rho )}}\,,\,(1+r_{i,t+1})]$
Soit $S_{t+1}$ le facteur d'escompte stochastique:
    $S_{t+1}={\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})(1+\rho )}}$
On a alors:
    $1-cov_{t}[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]=E_{t}(S_{t+1})E_{t}(1+r_{i,t+1})$
    $E_{t}(1+r_{i,t+1})=[E_{t}(S_{t+1})]^{-1}\{1-cov_{t}[S_{t+1},(1+r_{i,t+1})]\}$
Si la fonction d'utilité instantanée est:
    $u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}$
où $\sigma$ est l'indice d'aversion relative au risque (et $1/\sigma$ l'élasticité de substitution intertemporelle) on obtient:
    $S_{t+1}={\frac {1}{(1+\rho )}}g_{t+1}^{-\sigma }$
avec $g_{t+1}=c_{t+1}/c_{t}$ le taux de croissance brut de la consommation. L'équation ci-dessus devient alors:
    $E_{t}(1+r_{i,t+1})=(1+\rho )[E_{t}(g_{t+1}^{-\sigma })]^{-1}\{1-cov_{t}[{\frac {1}{(1+\rho )}}g_{t+1}^{-\sigma },(1+r_{i,t+1})]\}$
Mankiw et Shapiro utilisent l'approximation suivante de la covariance:
    $cov_{t}[{\frac {1}{(1+\rho )}}g_{t+1}^{-\sigma },(1+r_{i,t+1})]\approx {\frac {-\sigma }{(1+\rho )}}cov[g_{t+1},(1+r_{1,t+1})]$
Ils considèrent l'équation suivante, normalisée afin d'obtenir une valeur unitaire pour le beta du marché (dont le rendement est $r_{M,t+1}$ de ce CAPM de consommation ($\beta _{ci}$):
    $r_{i}=a_{o}+a_{2}\beta _{ci}$
avec:
$r_{i}=$ rendement de l'actif risqué i
$a_{o}=(1+\rho )[E_{t}(g_{t+1}^{-\sigma }]^{-1}-1$
$a_{2}={\frac {\sigma cov[(1+r_{M,t+1}),g_{t+1}]}{(1+\rho )[E_{t}(g_{t+1})^{-\sigma }]}}$
$\beta _{ci}={\frac {cov[(1+r_{i,t+1}),g_{t+1}]}{cov[(1+r_{M,t+1},g_{t+1}]}}$
Comme dans le modèle CAPM, le rendement de l'actif risqué i dépend du risque systématique mais celui-ci est donné par la covariance avec le taux de croissance brut de la consommation.

## Vérifications empiriques

En utilisant les données trimestrielles de 464 entreprises entre 1959 et 1982, Mankiw et Shapiro estiment l'équation suivante:
    $r_{i}=a_{o}+a_{1}\beta _{Mi}+a_{2}\beta _{ci}$
où $\beta _{Mi}$ est appelé le coefficient beta de la consommation.
Le modèle CAPM dit que $a_{o}=r_{f}\,;\,a_{1}=E(r_{Mi})-r_{f}\,;\,a_{2}=0$
tandis que pour le modèle CCAPM on a $a_{1}=0\,;\,a_{2}=E(r_{M})-r_{f}$.
Les estimations obtenues indiquent que le modèle CAPM donne de meilleurs résultats que le modèle CCAPM.
D'autres auteurs ont obtenu des résultats négatifs, entre autres Hansen et Singleton.
Par contre, Lettau et Ludvigson trouvent qu'une version conditionnelle du modèle CCAPM qui tient compte du rapport consommation / fortune donne des résultants satisfaisants.