# Oscillation pendulaire de marée

Un satellite, comme Éole, a dû être stabilisé, car sinon ses antennes ne pointaient pas convenablement vers les émetteurs. On a dû réduire les oscillations dues aux forces de marée. C'est ce problème qui va être abordé.

## Problème plan

La Terre est supposée sphérique, donc le potentiel d'une masse m, à la distance r vaut: - mgR²/r.
Soit un haltère A(masse M), AB =d, B (masse m), satellisée circulairement à la distance OG = r, OBGA en ligne droite.
Trouver la vitesse de rotation. Trouver la tension de la barre (effet de marée). Que se passe-t-il si l'angle (GO,GB) = $\theta$ ?
La réponse à ces 3 questions préparera au problème redoutable du contrôle d'attitude des satellites.
* Vitesse de rotation :
comme il est bien connu, la force de gravitation contrairement à la force de pesanteur ne passe pas par G et ne vaut pas (M+m). g(G). Le théorème du centre de masse est bien sûr valide :
-(M+m)V²/r = - gR²[M/(r+a)² + m/(r-b)²] d'où V
approximativement : V² = gR.(R/r)[1 + 3 c²/r² +o(1/r²)], où
on a posé : J = (Ma² +mb²) := (M+m)c².
* Tension de marée :
B est plus attirée gravitationnellement que A et étant plus près de O devrait tourner plus vite que G, mais est retenu par la tension T :
- m $\omega ^{2}$ (r-b) = -mgR²/(r-b)² +T :
soit T = 3m $\omega ^{2}$ b au plus bas ordre.
Le même raisonnement tenu pour A donne Le même résultat. Si cette tension n'existait pas, le satellite se désagrègerait, par effet dit de marée (gravitation différentielle au niveau de A et B).
* Couple de rappel :
Si le satellite est incliné d'un angle $\theta$, au niveau de G il existe un moment des forces en A et B qui vont provoquer un pivotement du satellite : J ${\ddot {\theta }}$ = Moment.
Ce moment vaut : m.GB ^ g(B) + M.GA ^ g(A) = m.GB ^ g'(B) + M.GA ^g'(A), où l'on a posé g'(M) := g(M)-g(G), gravité différentielle.
A l'ordre le plus bas, le calcul donne : Moment = - 3J $\omega ^{2}$ sin$\theta$.cos$\theta$
D'où dans R(G en translation):
J ( $\omega$t +$\theta$)" = Moment
d'où 1/2 J $({\dot {\theta }})^{2}$ + 3 J/4 $\omega ^{2}$.(1-cos(2$\theta$)) = cste.
Il en résulte que les positions OBGA et OAGB sont stables, mais les positions AB orthogonal à OG sont instables.
Les petites oscillations ont une pulsation $\omega {\sqrt {}3)$, ce qui est un des théorèmes de Lure. On parlera d'oscillations pendulaires de marée en $\omega {\sqrt {}3)$.
Ce résultat peut être généralisé à n'importe quel pivotement plan d'un solide quelconque : en effet, dans ce cas, dit 2D, un corps solide se caractérise dynamiquement seulement par J et sa masse totale. Or on peut toujours avoir un corps en haltère de même J et de même masse.
D'autre part, le calcul du moment des forces de gravitation n'a fait intervenir pour chaque masse que la quantité m GB² : donc pour la somme des masses, on retrouve la même quantité pour le moment.
Le théorème de Lure reste vrai : $\omega {\sqrt {}3)$

## Problème 3D

* Le mouvement képlérien de G n'est pas remis en cause :
$M{\ddot {\vec {OG}}}={\vec {R}}(gravitation)=M{\vec {g(G)}}(1+o(c^{2}/r^{2}))$
avec c << r.Nous supposerons ce mouvement circulaire pour simplifier, avec loi de Kepler ordinaire $\omega ^{2}r^{3}=gR^{2}$
* Il reste le mouvement de rotation 3D autour de G, ce qu'on appelle l"attitude du satellite".
Le référentiel est choisi: R'(G origine ,${\vec {\omega }}$= vecteur rotation). On pose OG = r u, et k ^ u = v.
Il faut calculer le torseur des forces d'inertie de Coriolis, celui des forces d'inertie axifuges, celui des forces de gravitation.