# Théorème de Burnside (groupe résoluble)

En mathématiques, le théorème de Burnside appartient à la théorie des groupes finis. Son énoncé est :
Théorème — Si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre p$^n$q$^m$ est résoluble.
Il est nommé en l'honneur de William Burnside, qui l'a démontré en 1904, à l'aide de la théorie des représentations d'un groupe fini.

## Histoire

À une époque où l'on sait déjà que tout groupe fini ayant pour ordre une puissance de nombre premier est résoluble, Georg Frobenius démontre en 1895 que tout groupe d'ordre p$^n$q, où p et q sont des nombres premiers, est résoluble. Ce résultat est étendu trois ans plus tard par Camille Jordan aux groupes d'ordre p$^n$q$^2$. C'est en 1904 que Burnside démontre le théorème général ci-dessus.
On resta environ soixante-cinq ans sans connaître une démonstration de ce théorème indépendante de la théorie des caractères des représentations. John Griggs Thompson ayant indiqué, sans développer, qu'une telle démonstration pouvait être tirée de l'article contenant la démonstration du théorème de Feit-Thompson et d'un autre article publié par Thompson, David Goldschmitt (en) publia en 1970 une démonstration indépendante des caractères, mais limitée aux groupes d'ordre impair. En 1972, Helmut Bender (de) donna, toujours sans utiliser les caractères, une démonstration du théorème complet. La démonstration était cependant beaucoup plus longue et moins élémentaire que celle de Burnside.

## Démonstration

La démonstration de Burnside utilise beaucoup des outils connus au moment de la rédaction de son article. On trouve les classes de conjugaison découvertes par Burnside, et la théorie des représentations d'un groupe fini est largement utilisée.
Dans la démonstration présentée ci-dessous, on utilise de plus un théorème de Sylow et une propriété des p-groupes. Pour une démonstration plus élémentaire et qui s'appuie plus sur l'article de Burnside, suivre le lien ci-dessous vers Wikiversité.
Raisonnons par l'absurde : G désigne un groupe non résoluble (noté multiplicativement et d'élément neutre noté 1) d'ordre p$^n$q$^m$ minimal.
   * G est un groupe simple de centre {1} et n est non nul.
G n'est bien sûr pas trivial. S'il existait dans G un sous-groupe normal H différent de G et de {1} alors (par minimalité de G), H et G/H seraient résolubles donc G aussi, ce qui est exclu. Donc G est simple.
Si n était nul, G serait un q-groupe fini, donc nilpotent, donc résoluble, ce qui est exclu.
Enfin, G n'est pas abélien (il n'est pas résoluble), donc son centre n'est pas égal à G tout entier. Par simplicité de G, il est égal à {1}.
   * Il existe dans G un élément g dont le nombre de conjugués est de la forme q$^d$ pour un certain d > 0.
L'un des théorèmes de Sylow montre que G contient un sous-groupe S d'ordre p$^n$. Comme S est un p-groupe non trivial, son centre Z(S) est encore non trivial. Fixons alors dans Z(S) un élément g différent de 1. Le nombre de conjugués de g est égal à l'indice du centralisateur de g, qui divise l'indice q$^m$ de son sous-groupe S. Ce nombre est donc de la forme q$^d$. De plus, l'entier d est strictement positif car g est différent de 1 donc non central dans G.
   * Il existe un caractère irréductible χ non trivial, tel que l'entier χ(1) ne soit pas divisible par q et que le complexe χ(g) soit non nul.
Soit (χ$_i$)$_{1≤i≤h}$ la famille des caractères (sur ℂ) irréductibles de G (ici χ$_1$ désigne le caractère trivial). Comme g n'est pas dans la même classe de conjugaison que le neutre 1, la relation d'orthogonalité sur les colonnes de la table des caractères du groupe donne :
$0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g)=1+\sum _{i=2}^{h}\chi _{i}(1)\chi _{i}(g).$
Or les χ$_i$(g) sont des entiers algébriques, comme sommes de racines de l'unité. Si tous les caractères irréductibles non triviaux qui ne s'annulent pas en g prenaient en 1 une valeur multiple de q, on en déduirait que le nombre
$-{\frac {1}{q}}=\sum _{i>2,~\chi _{i}(g)\neq 0}{\frac {\chi _{i}(1)}{q}}\chi _{i}(g)$
est un entier algébrique (comme combinaison linéaire à coefficients dans ℤ d'entiers algébriques), ce qui est absurde. Cette contradiction démontre la proposition.
   * Le nombre complexe q$^d$χ(g)/χ(1) est un entier algébrique.
Soit u l'élément de l'algèbre du groupe G sur les nombres complexes égal à la somme des q$^d$ éléments de la classe de conjugaison c$_g$ de g. D'après le paragraphe Entier algébrique de l'article Algèbre d'un groupe fini, le complexe suivant est alors un entier algébrique :
${\frac {1}{\chi (1)}}\sum _{s\in G}u_{s}\chi (s)={\frac {1}{\chi (1)}}\sum _{s\in c_{g}}\chi (g)={\frac {q^{d}\chi (g)}{\chi (1)}}.$
   * Le nombre complexe χ(g)/χ(1) est un entier algébrique.
En effet, q étant premier avec χ(1), le théorème de Bachet-Bézout montre l'existence de deux entiers a et b tels que :
$aq^{d}+b\chi (1)=1\quad {\text{donc}}\quad {\frac {\chi (g)}{\chi (1)}}=a{\frac {q^{d}\chi (g)}{\chi (1)}}+b\chi (g).$
La valeur recherchée est donc combinaison linéaire à coefficients entiers d'entiers algébriques, ce qui démontre la proposition.
   * L'image de g, par la représentation ρ de caractère χ, est une homothétie.
Notons ζ le nombre complexe χ(g)/χ(1). C'est un entier algébrique non nul, donc sa norme N(ζ) (i.e. le produit de ses conjugués, c'est-à-dire des racines de son polynôme minimal sur ℚ) est un entier relatif non nul. Or ζ est une moyenne arithmétique de racines de l'unité (les valeurs propres de ρ(g)), donc ses conjugués aussi, donc tous sont de module inférieur ou égal à 1. Comme leur produit N(ζ) est de module supérieur ou égal à 1, tous sont en fait de module 1, en particulier ζ, ce qui signifie que les valeurs propres de ρ(g) sont égales, donc que ρ(g) est une homothétie.
   * Conclusion
Soit N le noyau de ρ. L'homothétie ρ(g) est centrale dans Im(ρ) (qui est canoniquement isomorphe à G/N), alors que g n'est pas central dans G. Par conséquent, le sous-groupe normal N du groupe simple G est non trivial, donc égal à G, si bien que la représentation ρ est triviale, ce qui contredit le choix de χ (caractère non trivial).
Cette contradiction démontre le théorème.