# Espace monotonement normal

En mathématiques, un espace monotonement normal est un espace topologique vérifiant une certaine propriété de séparation, plus forte que la normalité complète.

## Définition

Un espace T$_1$ X est dit monotonement normal lorsqu'il vérifie les propriétés équivalentes suivantes$^,$$^,$$^,$ :
* il existe une base d'ouverts de X et une application H qui à tout ouvert U de la base et tout point x de U associe un ouvert H(x, U), telle que :
** H(x, U) est inclus dans U et contient x,
** et si H(x, U) rencontre H(y, V) alors x appartient à V ou y à U ;
* il existe une application H qui associe plus généralement un ouvert H(x, U) à tout ouvert U et tout point x de U, qui vérifie les deux mêmes conditions et qui est croissante par rapport à U ;
* il existe une application G qui à tous fermés disjoints A et B associe un ouvert G(A, B), telle que
** $A\subset G(A,B)\subset {\overline {G(A,B)}}\subset X\setminus B{\text{ et}}$
** $\left(A\subset A'{\text{ et }}B\supset B'\right)\Rightarrow G(A,B)\subset G(A',B')$
    (G peut alors être choisie telle que G(A, B) et G(B, A) soient toujours disjoints, en remplaçant chaque G(A, B) par G(A, B)\G(B, A)) ;
* il existe une application G qui associe plus généralement un ouvert G(A, B) à toutes parties A et B « séparées » — c'est-à-dire telles que A ∩ B = ∅ = B ∩ A — et qui vérifie les deux mêmes conditions.
On a évidemment 2 ⇒ 1 et 4 ⇒ 3.
1 ⇒ 2 : à partir d'une application H vérifiant 1 (définie seulement pour les ouverts d'une base), on peut construire H' vérifiant 2, en définissant H'(x, U) (pour tout ouvert U contenant x) comme la réunion des H(x, V), pour tous les ouverts V de la base inclus dans U et contenant x.
2 ⇒ 4 en prenant pour G(A, B) la réunion des H(x, X\B) quand x parcourt A.
3 ⇒ 2 en partant d'un G qui vérifie la condition supplémentaire G(A, B) ∩ G(B, A) = ∅ et en posant H(x, U) = G({x}, X\U).

## Exemples

La première des quatre définitions équivalentes est commode pour traiter les trois exemples suivants :
* tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est monotonement normal, l'axiome du choix étant ici indispensable ;
* tout espace métrisable est monotonement normal ;
* la droite de Sorgenfrey (ni ordonnable, ni métrisable) aussi.
* Tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est monotonement normal : soit (X, ≤) totalement ordonné. Pour tout intervalle ouvert ]c, d[ et tout point x de ]c, d[, on pose H(x, ]c, d = ]G$_c$(x), D$_d$(x)[, les bornes G$_c$(x) et D$_d$(x) étant définies comme suit, à l'aide d'un bon ordre ≼ sur X préalablement choisi (indépendant de ≤) :
** si ]c, x[ est vide alors G$_c$(x) = c et sinon, G$_c$(x) = l'élément de ]c, x[ le plus petit pour ≼ ;
** de même, si ]x, d[ est vide alors D$_d$(x) = d et sinon, D$_d$(x) = l'élément de ]x, d[ le plus petit pour ≼.
    Si x appartient à ]c, d[ mais pas à ]e, f[ et si y appartient à ]e, f[ mais pas à ]c, d[, avec par exemple x < y, montrons par l'absurde que ]G$_c$(x), D$_d$(x)[ et ]G$_e$(y), D$_f$(y)[ ne peuvent avoir un point commun z : on aurait alors x ≤ e < z < d ≤ y donc ]x, d[ non vide et par conséquent D$_d$(x) ∈ ]z, d[ ⊂ ]e, y[ d'où, par définition, G$_e$(y) ≼ D$_d$(x) et de même, ]e, y[ non vide d'où D$_d$(x) ≼ G$_e$(y), si bien que finalement D$_d$(x) serait égal à G$_e$(y), ce qui contredirait l'existence de z.
* Tout espace métrisable est monotonement normal : il suffit de poser, pour toute boule ouverte B(y, R) contenant x : H(x, B(y, R)) = B(x, r) pour un r > 0 tel que B(x, 2r) ⊂ B(y, R) ;
* La droite de Sorgenfrey aussi : il suffit de poser, pour tout intervalle [a, b[ contenant x : H(x, [a, b = [x, b[.

## Propriétés

La première ou la deuxième des quatre définitions équivalentes montre que la normalité monotone est héréditaire, c'est-à-dire qu'elle passe aux sous-espaces.
La troisième justifie le nom de « monotonement normal » et a pour conséquence que X est collectivement normal$^,$.
Soit (A$_i$)$_{i∈I}$ une famille discrète de fermés de X. Pour tout i, la réunion B$_i$ de tous les A$_j$ pour j ≠ i est fermée (puisque (A$_i$)$_{i∈I}$ est localement finie) et si G vérifie la définition 3 avec la condition supplémentaire G(A, B) ∩ G(B, A) = ∅, l'ouvert G(A$_i$, B$_i$) contient A$_i$ et les G(A$_i$, B$_i$) sont disjoints.
On déduit de ces deux propriétés :
   Tout espace monotonement normal est héréditairement collectivement normal.
En particulier, il est héréditairement normal, autrement dit complètement normal, ce qui se déduit aussi directement de la dernière des quatre définitions équivalentes.
Toute image d'un espace monotonement normal par une application continue fermée est monotonement normale$^,$.
$G'(S,T)=Y\setminus f\left(X\setminus G(f^{-1}(S),f^{-1}(T))\right).$
Une conjecture de Jacek Nikiel (pl), démontrée par Mary Ellen Rudin, fournit une forme de réciproque : tout espace compact monotonement normal est l'image continue d'un compact ordonnable.