# Liste des petits groupes

La liste mathématique suivante décrit les groupes finis (abéliens ou non abéliens) d'ordre inférieur ou égal à 20, à isomorphisme près.
Nombre de groupes pour chaque ordre de 1 à 20 :
| Ordre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Nombre de groupes abéliens | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| Nombre de groupes non abéliens | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 9 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| Nombre total de groupes$^,$ | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 5 | 2 | 2 | 1 | 5 | 1 | 2 | 1 | 14 | 1 | 5 | 1 | 5 |

## Terminologie et notations

* Z$_n$ : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté C$_n$, il est isomorphe à Z/nZ).
* D$_{2n}$ : le groupe diédral d'ordre 2n.
* S$_n$ : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets.
* A$_n$ : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets.
* Dic$_n$ : le groupe dicyclique d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions Q$_{4n}$).
La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; G$^n$ désigne le produit direct de n copies du groupe G. G ⋊ H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).
Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Z$_n$, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.
Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.
La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

## Petits groupes abéliens

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques.
| Ordre | Groupe | Sous-groupes | Propriétés |
| 1 | groupe trivial = Z$_1$ = S$_1$ = A$_2$ | - | de nombreuses propriétés triviales |
| 2 | Z$_2$ = S$_2$ = D$_2$ | - | simple, plus petit groupe non trivial |
| 3 | Z$_3$ = A$_3$ | - | simple |
| 4 | Z$_4$ | Z$_2$ | - |
| 4 | groupe de Klein = Z$_2$ × Z$_2$ = D$_4$ | Z$_2$ (3) | plus petit groupe non cyclique |
| 5 | Z$_5$ | - | simple |
| 6 | Z$_6$ = Z$_3$ × Z$_2$ | Z$_3$ , Z$_2$ | |
| 7 | Z$_7$ | - | simple |
| 8 | Z$_8$ | Z$_4$ , Z$_2$ | - |
| 8 | Z$_4$ × Z$_2$ | Z$_2$$^2$, Z$_4$ (2), Z$_2$ (3) | |
| 8 | Z$_2$$^3$ | Z$_2$$^2$ (7) , Z$_2$ (7) | les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les Z$_2$ × Z$_2$ sous-groupes aux droites de ce plan |
| 9 | Z$_9$ | Z$_3$ | |
| 9 | Z$_3$$^2$ | Z$_3$ (4) | |
| 10 | Z$_{10}$ = Z$_5$ × Z$_2$ | Z$_5$ , Z$_2$ | |
| 11 | Z$_{11}$ | - | simple |
| 12 | Z$_{12}$ = Z$_4$ × Z$_3$ | Z$_6$ , Z$_4$ , Z$_3$ , Z$_2$ | |
| 12 | Z$_6$ × Z$_2$ = Z$_3$ × Z$_2$$^2$ | Z$_6$ (3), Z$_3$, Z$_2$ (3), Z$_2$$^2$ | |
| 13 | Z$_{13}$ | - | simple |
| 14 | Z$_{14}$ = Z$_7$ × Z$_2$ | Z$_7$ , Z$_2$ | |
| 15 | Z$_{15}$ = Z$_5$ × Z$_3$ | Z$_5$ , Z$_3$ | |
| 16 | Z$_{16}$ | Z$_8$ , Z$_4$ , Z$_2$ | |
| 16 | Z$_2$$^4$ | Z$_2$ (15) , Z$_2$$^2$ (35) , Z$_2$$^3$ (15) | |
| 16 | Z$_4$ × Z$_2$$^2$ | Z$_2$ (7) , Z$_4$ (4) , Z$_2$$^2$ (7) , Z$_2$$^3$, Z$_4$ ×Z$_2$ (6) | ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe) |
| 16 | Z$_8$ × Z$_2$ | Z$_2$ (3) , Z$_4$ (2) , Z$_2$$^2$, Z$_8$ (2) , Z$_4$ × Z$_2$ | |
| 16 | Z$_4$$^2$ | Z$_2$ (3), Z$_4$ (6) , Z$_2$$^2$, Z$_4$ × Z$_2$ (3) | |
| 17 | Z$_{17}$ | - | simple |

## Petits groupes non abéliens

On ne connaît pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit-Thompson) ; le plus petit est le groupe A$_5$, d'ordre 60.
| Ordre | Groupe | Sous-groupes | Propriétés |
| 6 | S$_3$ = D$_6$ | Z$_3$ , Z$_2$ (3) | plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral |
| 8 | D$_8$ | Z$_4$, Z$_2$$^2$ (2) , Z$_2$ (5) | groupe des symétries du carré |
| 8 | groupe des quaternions = Q$_8$ = Dic$_2$ | Z$_4$ (3), Z$_2$ | plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes |
| 10 | D$_{10}$ | Z$_5$ , Z$_2$ (5) | groupe des symétries du pentagone régulier |
| 12 | D$_{12}$ = D$_6$ × Z$_2$ | Z$_6$ , D$_6$ (2) , Z$_2$$^2$ (3) , Z$_3$ , Z$_2$ (7) | groupe des symétries de l'hexagone régulier |
| 12 | A$_4$ | Z$_2$$^2$ , Z$_3$ (4) , Z$_2$ (3) | plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow) |
| 12 | Dic$_3$ = Z$_3$⋊Z$_4$ | Z$_2$, Z$_3$, Z$_4$ (3), Z$_6$ | |
| 14 | D$_{14}$ | Z$_7$, Z$_2$ (7) | groupe des symétries de l'heptagone régulier |
| 16 | D$_{16}$ | Z$_8$, D$_8$ (2), Z$_2$$^2$ (4), Z$_4$, Z$_2$ (9) | groupe des symétries de l'octogone régulier |
| 16 | D$_8$ × Z$_2$ | D$_8$ (2), Z$_4$ × Z$_2$, Z$_2$$^3$ (2), Z$_2$$^2$ (11), Z$_4$ (2), Z$_2$ (11) | |
| 16 | groupe de quaternions généralisé Q$_{16}$ = Dic$_4$ | | |
| 16 | Q$_8$ × Z$_2$ | | groupe hamiltonien |
| 16 | Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16 | | |
| 16 | Le groupe modulaire (en) d'ordre 16 | | |
| 16 | Z$_4$⋊Z$_4$ | | |
| 16 | Le groupe engendré par les matrices de Pauli | | ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z$_4$ × Z$_2$$^2$, mais ne lui est pas isomorphe |
| 16 | G$_{4,4}$ = Z$_2$$^2$⋊Z$_4$ | | |