# Fonction totient de Jordan

En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J$_k$ — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un (k + 1)-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J$_1$.

## Calcul

La fonction J$_k$ est multiplicative et vaut
$J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right),$
où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.
On peut définir plus généralement J$_k$ pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule.

## Propriétés

La formule
$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}$
se réécrit en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Id$_k$(n) = n$^k$
$J_{k}*{\mathbf {1} }={\rm {Id}}_{k}$
ou encore, par inversion de Möbius
$J_{k}=\mu *{\rm {Id}}_{k}$
ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour J$_k$.
Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative — or Id$_k$ et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.
Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de J$_k$ à tout nombre complexe k : par exemple J$_0$ = δ$_1$.

## Fonction totient et séries de Dirichlet

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Id$_k$ est ζ(s – k), on en déduit celle de J$_k$ :
$\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}.$
Un ordre moyen de J$_k$(n) est ${\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}.$
La fonction psi de Dedekind (en) est
$\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}.$
Ses généralisations, les fonctions multiplicatives J$_k$/J$_1$ et J$_{2k}$/J$_k$, sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.
Formule de Gegenbauer :
$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n).$

## Ordres de groupes de matrices

L'ordre du groupe linéaire GL(m, ℤ/nℤ) est
$|{\rm {GL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).$
Celui du groupe spécial linéaire SL(m, ℤ/nℤ) est
$|{\rm {SL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).$
Celui du groupe symplectique Sp(2m, ℤ/nℤ) est
$|{\rm {Sp}}(2m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).$
Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

## Exemples

L'OEIS donne des listes explicites pour J$_2$ ( A007434), J$_3$ ( A059376), J$_4$ ( A059377), J$_5$ ( A059378) et J$_6$ à J$_{10}$ ( A069091 à  A069095).
Des quotients par J$_1$ sont J$_2$/J$_1$ ( A001615), J$_3$/J$_1$ ( A160889), J$_4$/J$_1$ ( A160891), J$_5$/J$_1$ ( A160893), J$_6$/J$_1$ ( A160895), J$_7$/J$_1$ ( A160897), J$_8$/J$_1$ ( A160908), J$_9$/J$_1$ ( A160953), J$_{10}$/J$_1$ ( A160957) et J$_{11}$/J$_1$ ( A160960).
Des exemples de quotients J$_{2k}$/J$_k$ sont J$_4$/J$_2$ ( A065958), J$_6$/J$_3$ ( A065959) et J$_8$/J$_4$ ( A065960).