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# Lorena Rojas

Lorena Rojas, née Seydi Lorena Rojas Gonzalez le 10 février 1971 à Mexico et morte le 16 février 2015 à Miami (Floride), est une actrice et chanteuse mexicaine.

## Biographie

Elle commence sa carrière en 1990 en interprétant un rôle dans la telenovela de Televisa Alcanzar una estrella, dont le succès conduit les producteurs à diffuser une suite l'année suivante. De 1992 à 1997, elle joue dans plusieurs productions de Televisa, dont Buscando el paraiso, Bajo un mismo rostro et El alma no tiene color.
En 1998, elle signe un contrat avec une chaîne concurrente, TV Azteca, et joue dans Azul tequila aux côtés de Mauricio Ochmann. En 2001, elle retrouve Ochmann dans Como en el cine et sort un premier disque, Como yo no hay ninguna, comprenant des chansons de Richard Daniel Roman.
En 2003, elle passe à Telemundo et joue dans la telenovela Ladrón de corazones, partageant la vedette avec Manolo Cardona. En 2005, elle est l'une des principaux interprètes de El cuerpo del deseo, qui obtient un bon succès international. En 2006 paraît son deuxième album, Deseo.
En 2008, elle apprend qu'elle souffre d'un cancer du sein, ce qui ne l'empêche pas de poursuivre sa carrière. Les années suivantes, elle joue dans Pecados ajenos (2008), Entre el amor y el deseo (2010), Rosario (2012-2013) et Demente criminal (2014). Son troisième album, Hijos de sol, sort en 2014, quelques mois avant son décès.

## Filmographie
### Films

* 1992 : Más que alcanzar una estrella : Paulina
* 1993 : El triste juego del amor : Teresa
* 1994 : La quebradita : Rita
* 1995 : Me tengo que casar/Papá soltero : Bambi
* 2001 : Corazones rotos : Teresa

### Telenovelas

* 1990 : Alcanzar una estrella : Sara del Río
* 1991 : Alcanzar una estrella II : Sara del Río
* 1992 : Baila conmigo : Rosario
* 1993-1994 : Buscando el paraíso : Lolita
* 1995 : Bajo un mismo rostro : Carolina Zurbarán Castro
* 1996 : Canción de amor : Ana
* 1997 : El alma no tiene color : Ana Luisa Roldán de Del Álamo
* 1998 : Tentaciones : Julia Muñoz / Julia Segovia
* 1998 : Azul tequila : Catalina
* 1999-2000 : El candidato : Beatriz Manrique
* 2001-2002 : Como en el cine : Isabel "Chabela" Montero
* 2003 : Ladrón de corazones : Verónica Vega
* 2005-2006 : El cuerpo del deseo : Isabel Arroyo Macedo Vda. de Donoso / Vda. de Corona / De Cerinza
* 2007-2008 : Pecados ajenos : Natalia Ruíz de Mercenario
* 2010-2011 : Entre el amor y el deseo : Claudia Fontana Martínez
* 2013 : Rosario : Priscila Pavón

### Séries télévisées

* 2004 : Zapata: amor en rebeldía : Rosa Escandón
* 2014 : Demente criminal : Verónica García
# Vitoševac

Vitoševac (en serbe cyrillique : Витошевац) est une localité de Serbie située dans la municipalité de Ražanj, district de Nišava. Au recensement de 2011, elle comptait 1 076 habitants.
Vitoševac est officiellement classé parmi les villages de Serbie.

## Démographie
### Évolution historique de la population

Évolution démographique :
| 1948 | 1953 | 1961 | 1971 | 1981 | 1991 | 2002 | 2011 |
| 2 132 | 2 227 | 2 193 | 2 000 | 1 828 | 1 535 | 1 277 | 1 076 |
# Mieścisko (Grande-Pologne)

Mieścisko (prononciation : [mjɛɕˈt͡ɕiskɔ]) est un village de Pologne, située dans la voïvodie de Grande-Pologne. Elle est le chef-lieu de la gmina de Mieścisko, dans le powiat de Wągrowiec.
Il se situe à 11 kilomètres au sud-est de Wągrowiec (siège du powiat) et à 48 kilomètres au nord-est de Poznań (capitale régionale).
Le village possède une population de 2 500 habitants.

## Géographie

Dans une région agricole, Mieścisko se situe à l'est de la voïvodie, à la limite de celle de Couïavie-Poméranie.
La rivière Wełna traverse le village.

## Histoire

En 1474, le roi Casimir IV Jagellon a donné les droits de ville à Mieścisko. De 1793 à 1919, Mietschisko fait partie de l'arrondissement de Wongrowitz dans le district de Bromberg de la province de Posnanie. De 1975 à 1998, Mieścisko faisait partie du territoire de la voïvodie de Poznań.

## Monument

* l'église Saint-Michel, construite en 1875-1876.
# Ptahchepsès (vizir de Niouserrê)

Ptahchepsès était le vizir du pharaon Niouserrê de la Ve dynastie égyptienne.
Ce personnage haut en couleur eut une destinée extraordinaire qui symbolise assez bien la capacité de progression et de promotion sociale que l'Égypte antique pouvait offrir à ses habitants. Évolution sociale grandement facilitée lorsque l'on gravitait dans l'entourage royal, et c'était le cas de Ptahchepsès.

## Généalogie

Sa tombe retrouvée dans la nécropole royale d'Abousir nous apprend qu'il avait débuté comme « simple » manucure et barbier du roi, ce qui en soi est déjà une position privilégiée car en contact intime avec la personne royale. Il séduisit une de ses filles, autre « privilège » rare pour un simple notable et finit par devenir le plus important personnage de l'État après Pharaon lorsque celui-ci lui attribua la charge inestimable du gouvernement et de la responsabilité du royaume.
Gendre du roi, vizir du roi, il s'intégra à la famille royale et dirigea une véritable administration de fonctionnaires et de scribes qui contrôlait l'ensemble du pays. En tant que juge suprême, il présidait au tribunal royal et rendait la justice au nom de Pharaon lui-même.
De son épouse Khâmerernebti, fille aimée du roi et de la reine Rêpoutnoub, il eut au moins deux fils, Khâfini et Ptahchepsès (II ou « le jeune »).

## Sépulture

Son mastaba est l'un des plus grands et des plus aboutis édifices du genre et comporte un dispositif complexe de salles et de cours destinées à son culte funéraire ainsi qu'à sa royale épouse qui fut inhumée avec lui dans son caveau.
# Céline Mancellon

Céline Mancellon, née le 31 juillet 1977 à Valréas, est une écrivaine française de romance et d'urban fantasy.

## Biographie

Après avoir travaillé en tant qu'assistante de direction dans une association sportive et sociale durant plusieurs années, maman de quatre enfants, Céline Mancellon vit de sa plume depuis 2012. Son premier roman, Temps de Lune : mon ami le loup édité chez Sharon Kena et désormais chez la Collection Infinity, a été nommé au prix Masterton 2012. Cette série raconte, avec beaucoup d'humour, les péripéties de l'héroïne, Elizabeth Barrem, qui, après avoir emménagé dans une nouvelle ville, se rend compte qu'elle est peuplée de loups-garous et qu'elle-même n'est pas totalement humaine. La saga littéraire est actuellement composée de trois tomes mais l'auteure a annoncé une suite et des spin-off. Elle reste, à ce jour, son œuvre la plus populaire en urban fantasy.
Cependant, c'est sa romance New Adult, Bad Romance, éditée chez Milady en 2016 et vendue à plus de 10 000 exemplaires en quelques semaines qui la fait connaître auprès de son lectorat.
# Loi fondamentale

La loi fondamentale d'un État désigne sa constitution, parfois pour en indiquer le caractère provisoire.

## Au singulier

* Loi fondamentale de la Hongrie
* Loi fondamentale de la République fédérale d'Allemagne pour la constitution allemande de 1949 (Grundgesetz) ;
* pour les constitutions des régions administratives spéciales en Chine (基本法, Jībénfǎ) ou en Corée du Nord (기본법, Kibonpŏp) :
** Loi fondamentale de la région administrative spéciale de Hong Kong ;
** Loi fondamentale de la région administrative spéciale de Macao ;
** Loi fondamentale de la région administrative spéciale de Sinuiju ;
* Loi fondamentale du royaume des Pays-Bas pour la constitution néerlandaise de 1815 (Grondwet).

## Au pluriel

* Lois fondamentales du royaume de France pour les coutumes auxquelles étaient soumis les rois de France ;
* Lois fondamentales de l'État (Royaume) pour la constitution (Leyes Fundamentales del Ėstado (Reino)) de l’Espagne franquiste ;
* Lois fondamentales russes de 1906 pour la constitution promulguée par le tsar Nicolas II en 1906 ;
* Lois fondamentales d'Israël pour les textes constitutionnels israéliens, formant progressivement une constitution de fait ;
* Lois fondamentales du royaume de Suède pour les quatre textes formant la constitution suédoise (Grundlagar).
# Lorenzo Tiepolo (homonymie)

Lorenzo Tiepolo est un nom et prénom portés par plusieurs personnalités italiennes :
* Lorenzo Tiepolo, 46e doge de Venise élu en 1268.
* Lorenzo Tiepolo, peintre de la famille d'artistes italiens des Tiepolo
# Loi sur l'identification des criminels

La Loi sur l'identification des criminels est une loi pénale canadienne dont l'objectif est le bertillonnage des prévenus, c'est-à-dire l'identification par empreintes digitales, photographies et autres mensurations.
L'obligation de comparaître pour le bertillonnage en vertu de la Loi sur l'identification des criminels est l'une des deux obligations principales énoncées dans une citation à comparaître à la formule 9 de l'annexe de la partie XXVII du Code criminel, l'autre étant la date de la première comparution devant le tribunal. Donc toute personne arrêtée et citée à comparaître devant le tribunal doit passer par l'étape de l'identification judiciaire de cette loi.
Certains avocats de la défense et prévenus ont déjà exprimé des réserves quant au titre de la loi dans la mesure où elle vise d'abord et avant tout l'identification de prévenus qui n'ont pas encore été déclarés coupables par un tribunal et qui ne sont pas encore considérés comme de véritables criminels aux yeux du droit canadien.
# Lješnica (Berane)

Lješnica (en serbe cyrillique : Љешница) est un village du nord-est du Monténégro, dans la municipalité de Berane.

## Démographie
### Évolution historique de la population

Évolution démographique :
| 1948 | 1953 | 1961 | 1971 | 1981 | 1991 | 2003 |
| 95 | 105 | 103 | 80 | 63 | 55 | 60 |

### Pyramide des âges (2003)

Pyramide des âges de la ville de Lješnica :
Pyramide des âges de la ville de Lješnica en 2003 (population totale : 60) :HommesClasse d’âgeFemmes4  ?9 0  80 et plus0 0  75-790 1 70-740 2 65-692 1 60-642 0 55-591 2 50-543 3 45-492 0 40-440 6 35-391 4 30-340 3 25-291 3 20-244 0 15-190 0 10-141 0 5-91 3 0-41 :
# Lješnica

Lješnica est un toponyme qui peut désigner :

## au Monténégro

* Lješnica, un village situé dans la municipalité de Berane ;
* Lješnica, un village situé dans la municipalité de Bijelo Polje ;
# Lophophorus

Le genre Lophophorus (ou Lophophores) regroupe plusieurs espèces d'oiseaux de la famille des Phasianidés.

## Liste d'espèces

D'après la classification de référence (version 2.2, 2009) du Congrès ornithologique international (ordre phylogénique) :
* Lophophorus impejanus – Lophophore resplendissant
* Lophophorus sclateri – Lophophore de Sclater
* Lophophorus lhuysii – Lophophore de Lhuys
* Lophophorus impejanus
* Lophophorus lhuysii
* Lophophorus sclateri
Lophophorus impejanus vit entre 2 500 et 4 000 mètres d'altitude, de l'est de l'Afghanistan au Bhoutan. C'est l'emblème du Népal. Il est chassé pour sa viande et sa crête.
# Lophorina

Lophorina est un genre de passereaux, de la famille des Paradisaeidae.

## Étymologie

Le nom Lophorina est construit sur les mots grecs λόφος / lóphos (« crête, touffe, aigrette ») et ῥίς, ῥινός / rhís, rhinós (« nez »). Il signifie littéralement « nez à aigrettes », ce qui fait référence aux touffes de plumes présentes au-dessus de et derrière chaque narine de l'espèce L. superba (longtemps la seule connue).

## Liste des espèces

Selon la classification de référence du Congrès ornithologique international (14.2, 2024)$^,$ :
* Lophorina superba (Pennant, 1781) — Paradisier superbe
* Lophorina latipennis Rothschild, 1907 — ?
* Lophorina minor Ramsay, 1885 — Paradisier de Ramsay
# Loagha

Loagha est une localité située dans le département de Kongoussi de la province du Bam dans la région Centre-Nord au Burkina Faso. Lors du recensement de 2006, on y a dénombré 1 789 habitants.
# Loaded Dice (chanson)

Loaded Dice est une chanson des Surrenders. Premier single paru en 1988 sous le label Rubber Records en Australie, le morceau a été classé plusieurs semaines dans les charts indépendants australiens, ce qui était une première pour un groupe français à l'époque.
Le mini-Lp dont elle est extraite a été classé n$^o$ 1 dans les charts Radios du magazine Nineteen durant l’été 1986.
Elle est cosignée par Michel Bonneval (ex-Gamine) et François Labaye.
La face B comportait une reprise de Cinnamon Girl (de Neil Young) en version Live.
# Louis Gaulis

Louis Gaulis (Londres, 20 mars 1932 - Tyr, 29 mars 1978) est un comédien suisse, auteur dramatique, romancier et poète.

## Biographie

Louis Gaulis passe son enfance à Genève, avant d'y entamer des études d'ethnologie. Il se consacre ensuite au théâtre. Il fonde avec des amis (dont le comédien Bernard Haller) le cabaret du Moulin à Poivre, installé dans l'arrière salle d'un café de Genève. À la fois acteur, auteur et musicien, il écrit sa première pièce, Noces de paille, qui y est jouée en 1956. En 1958, il est l'un des fondateurs du théâtre de Carouge (Genève, Suisse) avec Philippe Mentha et François Simon. Jusqu'en 1962, il en sera aussi un des comédiens. Durant sa carrière, il adapte de nombreuses pièces de théâtre, écrit des poèmes, des chansons ou des nouvelles. À partir de 1972, il collabore avec la Croix rouge internationale et effectue des missions au Bangladesh, au Vietnam, à Chypre et au Liban. Il est tué lors d'une mission au Liban le 29 mars 1978.

## Œuvres

* Noces de paille (1956), pièce de théâtre
* Capitaine Karagheuz (1959), pièce de théâtre en un prologue, cinq tableaux et un épilogue, Éditions de l'Aire, Vevey
* Le Serviteur absolu (1967), pièce de théâtre, Éditions de l'Aire, Vevey
* La fin d'une corvée de bois, (1974), recueil de nouvelles, Éditions l'Âge d'homme, Lausanne
* Six poèmes pour Chypre (1975), Chr. Georgiou & Sons Ltd., Limassol
* Zig-Zag Street (1979), roman, Ed. Fontainemore-Journal de Genève

## Famille

Il a épousé l’artiste-peintre française Henriette de Foras, dont il a eu une fille, Marie Gaulis (1965-2019), écrivain, qui relate dans Lauriers Amers (2009) la mort de son père au Liban.
# Louis Gaulard Dumesny

Louis Gaulard Dumesny est un chanteur d'opéra français du XVIIe siècle. Il possédait une voix de ténor léger et une tessiture de haute-contre.

## Biographie

Sa biographie est très lacunaire. Il fait ses débuts en 1677 avec un petit rôle dans l'opéra de Jean-Baptiste Lully, Isis. Il crée ensuite toute une série de rôles de haute-contre dans les opéras du compositeur dont ceux d'Atys, de Thésée, Persée, Amadis, Renaud, Acis et Achille. Après la mort de Lully, il crée encore plusieurs rôles dans divers opéras, notamment Énée et Lavinie de Pascal Collasse, Jason dans Médée de Marc-Antoine Charpentier, L'Europe galante d'André Campra, Issé et Amadis de Grèce d'André Cardinal Destouches.
Réputé pour ses qualités d'acteur et la puissance de sa voix, il devait, dit-on, mémoriser entièrement ses rôles car il ne lisait pas la musique.
# Louis Chéry

Louis Chéry, né en 1790 à Thionville et mort le 8 janvier 1871 à Paris, est un peintre français.

## Biographie

Élève de Pierre Bouillon et de David, il expose au Salon de 1843 à 1851.
Il meurt célibataire à son domicile de la rue de Sèvres, à l'âge de 81 ans.

## Œuvres exposées aux Salons parisiens

* Cheval au vert, au Salon de 1843
* Ecurie, au Salon de 1848
* Portrait d’enfant, au Salon de 1849
* Portrait d’enfant, au Salon de 1850
# Louis Clarke

Louis Alfred « Pinky » Clarke (né le 23 novembre 1901 à Statesville (Caroline du Nord) – mort le 24 février 1977 à Fishkill) était un athlète américain, spécialiste du sprint.
Étudiant à l'université Johns-Hopkins, il remporte le championnat NCAA sur 100 yards en 1923. L'année suivante, il remporte la médaille d'or sur relais 4 × 100 m, en contribuant au record du monde porté à 41 s 0.
# Loi des 10 heures

La loi des 10 heures est un décret instauré en France le 2 mars 1848 par le Gouvernement provisoire de 1848.
Il fixe la journée de travail à 10h à Paris et 11h en province ; il interdit le marchandage.
Ce décret fut supprimé le 9 septembre 1848. La loi ne fut cependant pas abolie mais la durée légale fut fixée à 12h alors qu'elle n'était précédemment pas limitée.

## Sources

* François Jarrige et Bénédicte Reynaud, « La durée du travail, la norme et ses usages en 1848 », Genèses, n$^o$ 85,‎ avril 2011, p. 70-92 (lire en ligne)
# Louis d'Évreux (homonymie)

Plusieurs membres de la dynastie capétienne ont été nommés ou surnommés Louis d'Évreux :
* Louis d'Évreux (1276-1319), comte d'Évreux, fils du roi de France Philippe III le Hardi et demi-frère de Philippe IV le Bel, fondateur de la maison d'Évreux
* Louis d'Étampes († 1400), comte d'Étampes, parfois aussi appelé Louis d'Évreux, comte d'Étampes.
# Louis de Bourzès

Durand Louis de Bourzès est un homme politique français né en 1742 à Millau (Aveyron) et mort le 2 janvier 1817 à Paris.

## Biographie

Ancien officier, chevalier de l'ordre royal et militaire de Saint-Louis, il est maire de Millau et député de l'Aveyron de 1791 à 1792.

## Sources

* « Louis de Bourzès », dans Adolphe Robert et Gaston Cougny, Dictionnaire des parlementaires français, Edgar Bourloton, 1889-1891 [détail de l’édition]
# Juan Carlos Ramírez

Juan Carlos Ramírez Ayala (né le 22 mars 1972 à Medellín en Colombie) est un joueur de football international colombien, qui évolue au poste de milieu de terrain.

## Biographie
### Carrière en sélection

Avec l'équipe de Colombie, il dispute 24 matchs (pour aucun but inscrit) entre 1999 et 2005. Il figure notamment dans le groupe des sélectionnés lors de la Copa América de 1999 et de 2001.
Il participe également à la Gold Cup de 2005.

## Palmarès
### Colombie

* Copa América (1) :
** Vainqueur : 2001.
# NGC 2054

NGC 2054 est un groupe de quatre étoiles située dans la constellation d'Orion. L'astronome américain George Phillips Bond a enregistré la position de ce groupe d'étoiles le 6 octobre 1850.
# Nasser Makarem Shirazi

Nasser Makarem Shirazi (en persan : ناصر مکارم شیرازی), né le 25 février 1927 à Chiraz, est l'un des plus influents ayatollahs en Iran. Il est un guide spirituel pour de nombreux musulmans chiites duodécimains.

## Biographie
### Débuts

Il est né et a grandi dans une famille religieuse. Il termine ses études primaires et secondaires à Chiraz.
Nasser Makarem Shirazi commence ses études islamiques à l’école « Aqa Babakhane » de Chiraz à l'âge de 14 ans et dans un courte période de temps, il termine les études préliminaires telles que la grammaire, la morphologie, la logique, et de la rhétorique, qui sont nécessaires pour passer au niveau supérieur d'études islamiques. Ensuite, il étudie sur la jurisprudence et la science des Usul al-Fiqh. Il termine ses études préliminaires, moyennes et supérieures en quatre ans. À l’âge de dix ans, il est admis au séminaire islamique de Qom, ville où il étudie pendant presque cinq ans. Il étudie auprès de l'ayatollah Hossein Tabatabai Borujerdi.

### À Nadjaf (Irak)

En 1950, Nasser Makarim Shirazi émigre à Nadjaf (en Irak). Là-bas, il est admis au séminaire scientifique de la ville. Ses professeurs sont Muhsin al-Hakim (en), Abu al-Qasim al-Khoei, Abd al-Hadi al-Shirazi (en) et d’autres professeurs de l’époque. À l’âge de vingt quatre ans, il obtient l'ijtihad par deux ayatollahs de Nadjaf.

### Retour à Qom

En 1950, il regagne Qom. Il dispense des cours d'usul al-fiqh et de la jurisprudence au niveau supérieur. Il joue un rôle important dans la Révolution islamique en Iran.
Shirazi est décrit comme un conservateur. Lors des manifestations consécutives à la mort de Mahsa Amini en 2022-2023, il critique l'approche répressive du gouvernement sur la « question du hijab ».

## Principaux ouvrages

* Problèmes sexuels de la jeunesse
* Le message du Coran
* Universal gouvernement du Mahdi
* Cinquante leçons de principes de croyance pour les jeunes
* La vie sous la grâce de l'éthique
* Commentaire sur le Coran (Tafsir Nemooneh)
# Mieścisko (Mazovie)

Mieścisko (prononciation : [mjɛɕˈt͡ɕiskɔ]) est un village polonais de la gmina de Gniewoszów dans le powiat de Kozienice de la voïvodie de Mazovie dans le centre-est de la Pologne.
Il se situe à environ 2 kilomètres au sud-est de Gniewoszów (siège de la gmina), 23 kilomètres au sud-est de Kozienice (siège du powiat) et à 102 kilomètres au sud-est de Varsovie (capitale de la Pologne).
Le village possède approximativement une population de 85 habitants en 2006.

## Histoire

De 1975 à 1998, le village appartenait administrativement à la voïvodie de Radom.
# Bataille rangée

Une bataille rangée est une bataille où les deux parties se battent à un endroit choisi et de temps à autre ont la possibilité de se désengager, soit avant le début de la bataille, soit peu après les premiers échanges armés$^,$.

## Histoire

Au Moyen Âge, la majorité des opérations militaires consistent à éviter la bataille rangée à l'issue incertaine : guerres de siège et courses (appelées saillies, ces chevauchées dans la campagne visent à surprendre l'ennemi dans des escarmouches, des embuscades ou effectuer des razzias) lui sont préférées, permettant d'affaiblir militairement (perte d'hommes, de matériel) et économiquement (demande de rançons, sacs, pillages) l'adversaire. La bataille rangée est souvent très courte (une dizaine de minutes) et peu meurtrière, la majorité des morts ayant lieu pendant la poursuite des fuyards.

## Types de combattants

Il existe trois types de combattants :
* cavalerie montée constituée de petits groupes tactiques appelés « conrois » commandés par un seigneur ;
* cavalerie démontée : combat à pied des cavaliers, le cheval étant trop vulnérable aux flèches ;
* infanterie disposée en ligne de front, en cercle ou en bloc.
# Crochet avec pique

Le crochet avec pique est un symbole typographique. Il est apparu pour la première fois pour.

## Unicode

Unicode pour ⁅ : U+2045.
Unicode pour ⁆ : U+2046.

## HTML

Code HTML pour ⁅ : &#x2045;.
Code HTML pour ⁆ : &#x2046;.
# Crochet de Lie

Un crochet de Lie est une loi de composition interne [∙, ∙] sur un espace vectoriel, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur de deux endomorphismes u et v, noté [u, v] = uv – vu, est l'un des exemples les plus simples.
Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

## Définition générale

Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est encore un vecteur : $\forall x,y\in V,\quad [x,y]\in V$), vérifiant les propriétés suivantes :
* bilinéarité :
** $\forall x,x',y\in V,\lambda ,\mu \in K,[\lambda x+\mu x',y]=\lambda [x,y]+\mu [x',y]$,
** $\forall x,y,y'\in V,\lambda ,\mu \in K,[x,\lambda y+\mu y']=\lambda [x,y]+\mu [x,y']$ ;
* l'application bilinéaire [∙, ∙] est alternée : $\forall x\in V,\quad [x,x]=0$ ;
* relation de Jacobi : $\forall x,y,z\in V,[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.$

### Remarques

Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique (et la réciproque est vraie si la caractéristique du corps est différente de 2). Tout crochet de Lie est donc antisymétrique : $\forall x,y\in V,[x,y]=-[y,x]$.
Si l'on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie $[\lambda x+x',y]=-[y,\lambda x+x']$ on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante :$[\lambda x+x',y]=\lambda [x,y]+[x',y]$.
Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

## Crochet de Lie de deux champs de vecteurs

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f lisse,
    $[X,Y]\cdot f=X\cdot (Y\cdot f)-Y\cdot (X\cdot f)$
On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [∙, ∙] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs.
Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.