# L-théorie algébrique

En mathématiques, la « L-théorie algébrique » est l'équivalent de la K -théorie pour des formes quadratiques. Le terme a été inventé par C. T. C. Wall, qui a utilisé L car c'était la lettre après le K . La théorie L algébrique, également connue sous le nom de « théorie K hermitienne », est importante dans la théorie de la chirurgie.

## Définition

On peut définir des L -groupes pour tout anneau d'involution R : les L -groupes quadratiques $L_{*}(R)$ (Wall) et les L -groupes symétriques $L^{*}(R)$ (Mishchenko, Ranicki).

### Dimension paire

Les L-groupes de dimension paire $L_{2k}(R)$ sont définis comme les groupes de Witt de formes ε-quadratiques sur l'anneau R avec $\epsilon =(-1)^{k}$ . Plus précisément, $L_{2k}(R)$ est le groupe abélien de classes d'équivalence $[\psi ]$ et de formes ε-quadratiques non dégénérées $\psi \in Q_{\epsilon }(F)$ sur R, où les R-modules F sous-jacents sont libres de génération finie. La relation d'équivalence est donnée par stabilisation par rapport aux formes ε-quadratiques hyperboliques :
    $[\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}$ .
L'addition dans $L_{2k}(R)$ est défini par
    $[\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].$
L'élément zéro est représenté par $H_{(-1)^{k}}(R)^{n}$ pour tout $n\in {\mathbb {N} }_{0}$ . L'inverse de $[\psi ]$ est $[-\psi ]$ .

### Dimension impaire

La définition des L-groupes de dimension impaire est plus compliquée ; de plus amples détails et la définition des L-groupes de dimension impaire peuvent être trouvés dans les références mentionnées ci-dessous.

## Exemples et applications

Les L -groupes d'un groupe $\pi$ sont les L-groupes $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$ de l'anneau $\mathbf {Z} [\pi ]$ . Dans les applications à la topologie, $\pi$ est le groupe fondamental $\pi _{1}(X)$ d'un espace $X$ . Les L -groupes quadratiques $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$ jouent un rôle central dans la classification chirurgicale des types d'homotopie $n$ -variétés dimensionnelles de dimension $n>4$, et dans la formulation de la conjecture de Novikov.
La distinction entre les L-groupes symétriques et les L-groupes quadratiques, indiquée par des indices supérieurs et inférieurs, reflète l'utilisation dans l'homologie et la cohomologie de groupe. La cohomologie de groupe $H^{*}$ du groupe cyclique $\mathbf {Z} _{2}$ traite des points fixes d'une action $\mathbf {Z} _{2}$, tandis que l'homologie de groupe $H_{*}$ traite des orbites d'une action $\mathbf {Z} _{2}$, compare $X^{G}$ (points fixes) et $X_{G}=X/G$ (orbites, quotient) pour la notation d'index supérieur/inférieur.
Les L -groupes quadratiques : $L_{n}(R)$ et les L -groupes symétriques : $L^{n}(R)$ sont liés par une carte de symétrisation $L_{n}(R)\to L^{n}(R)$ qui est un isomorphisme modulo 2-torsion, et qui correspond aux identités de polarisation.
Les L-groupes quadratiques et symétriques sont quadratiques périodiques (le commentaire de Ranicki, page 12, sur la non-périodicité des L-groupes symétriques fait référence à un autre type de L-groupes, défini à l'aide de "complexes courts").
Compte tenu des applications à la classification des variétés, il existe des calculs approfondis des $L$ -groupes quadratiques $L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])$ . Pour des $\pi$ finis, des méthodes algébriques sont utilisées; pour des $\pi$ infinis, on utilise principalement des méthodes géométriques (par exemple la topologie contrôlée).
Plus généralement, on peut définir des L -groupes pour toute catégorie additive avec une dualité de chaîne, comme dans Ranicki (section 1).

### Entiers

Les L -groupes simplement connectés sont aussi les L -groupes des entiers, comme $L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )$ pour $L$ = $L^{*}$ ou $L_{*}.$ Pour les L-groupes quadratiques, ce sont les obstacles chirurgicaux à la chirurgie simplement connexe.
Les L -groupes quadratiques des entiers sont :
    ${\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}$
En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes quadratiques détectent la signature ; en dimension simplement paire (4 k +2), les L -groupes détectent l' invariant Arf (topologiquement l' invariant de Kervaire ).
Les L -groupes symétriques des entiers sont :
    ${\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}$
En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes symétriques, comme les L -groupes quadratiques, détectent la signature ; en dimension (4 k +1), les L -groupes détectent l' invariant de de Rham.