# Résidu à l'infini

En analyse complexe, le résidu à l'infini est le résidu d'une fonction holomorphe sur une couronne de rayon extérieur infini. L'infini $\infty$ étant un point ajouté à l'espace localement compact $\mathbb {C}$ pour le rendre compact (il s'agit alors d'une compactification par un point). Cet espace compactifié noté ${\hat {\mathbb {C} }}$ est identifié à la sphère de Riemann.
Soit f une fonction holomorphe sur la couronne $A(0,R,\infty )$.
On définit le résidu à l'infini de la fonction $f$ comme suit :
    $\mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right).$
Intuitivement, on passe de l'étude de $f(z)$ à l'infini à l'étude de $f(1/z)$ à l'origine.
Par ailleurs, pour tout $r>R$, on a :
    $\mathrm {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)~\mathrm {d} z.$
Les relations ci-dessus permettent de renforcer le théorème des résidus pour calculer certaines intégrales réelles.

## Preuve des équivalences

Tel qu'on l'a défini plus haut et en effectuant le changement de variable $w=z^{-1}$ pour passer de $f(w)$ à $f\left(z^{-1}\right)$, on a :
    $\mathrm {Res} (f,\infty )={1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r')}{-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)~\mathrm {d} z$
où l'on a considéré la définition d'un résidu. L'intégrale est indépendante de r' tel que $0<r'<R^{-1}$ et on peut donc considérer en particulier le cas $r'=r^{-1}$ (avec $r>R$ comme indiqué plus haut).
Le membre de droite prouve la première équivalence puisqu'il correspond à $\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$.
On peut développer l'intégrale en considérant la paramétrisation habituelle du cercle : $z=r^{-1}\exp(it)$ :
    $\int _{C(0,1/r)}{-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)~\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }-r^{2}e^{-2it}f\left(re^{-it}\right){i \over r}e^{it}~\mathrm {d} t.$
Or cette dernière expression est égale à :
    $\int _{0}^{2\pi }f\left(re^{-it}\right)\cdot \left(-ire^{-it}\right)~\mathrm {d} t=\int _{C^{*}(0,r)}f(z)~\mathrm {d} z$
où l'exposant * indique que le chemin est parcouru dans le sens opposé (sens anti-trigonométrique). En insérant ce dernier résultat dans l'équation de départ, nous avons finalement :
    $\mathrm {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i}\int _{C(0,r)}f(z)~\mathrm {d} z$
où l'on a utilisé la propriété des intégrales curvilignes indiquant que la valeur de l'intégrale d'une fonction holomorphe le long d'un chemin $\gamma$ est opposée à la valeur de l'intégrale sur ce même chemin parcouru dans le sens opposé $\gamma ^{*}$.

## Application

Ce théorème peut s'avérer efficace dans le calcul d'intégrales définies. Considérons par exemple de calculer par le biais des résidus l'intégrale suivante :
    $I=\int _{-1}^{1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}.$
L'intégrale peut être calculée en utilisant les méthodes habituelles de l'analyse réelle et le résultat est $I=\pi$.
Il existe une détermination holomorphe de ${\sqrt {1-z^{2}}}$ sur l'ouvert $U=\mathbb {C} \backslash [-1,1]$ :
    ${\sqrt {1-z^{2}}}={\sqrt {1-z}}{\sqrt {1+z}}={\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}$
avec $\theta _{1}\in [0,2\pi [$ et $\theta _{2}\in [-\pi ,\pi [$ (c'est la détermination principale).
Soit le contour $\gamma$ entourant la discontinuité et illustré sur la figure.
Il est clair que ce contour est homotope au cercle $C(0,R)$ centré à l'origine et de rayon R>1.
On a donc :
    $I^{*}=\int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\int _{C(0,R)}f(z)~\mathrm {d} z=-2i\pi \mathrm {Res} (f,\infty ).$
Commençons par calculer le résidu à l'infini :
    $\mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$
où l'on a :
    ${-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right)={-1 \over z^{2}}\cdot {1 \over {\sqrt {1-1/z^{2}}}}={-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}.$
Le résidu vaut donc :
    $\mathrm {Res} (f,\infty )=\lim _{z\to 0}z\cdot {-1 \over z{\sqrt {z^{2}-1}}}=i.$
Par conséquent on a :
    $I^{*}=2\pi .$
Il reste à passer à la limite $\epsilon \to 0$ ; en décomposant l'intégrale en quatre chemins illustrés à la figure ci-contre, on a :
    $\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma }f(z)~\mathrm {d} z=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}\circ \gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{\epsilon }\circ \gamma '_{\epsilon }}f(z)~\mathrm {d} z\right).$
Par estimation standard, on montre que le deuxième terme du membre de droite tend vers zéro à la limite. Par ailleurs, lorsque $\epsilon \to 0$, le long de $\gamma _{+}$, $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ tendent vers $\pi$ ; le long de $\gamma _{-}$, $\theta _{1}$ tend vers $\pi$ et $\theta _{2}$ vers $-\pi$, on a donc :
    $\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{+}}{\mathrm {d} z \over {\sqrt {|1-z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{1}/2}{\sqrt {|1+z|}}\mathrm {e} ^{i\theta _{2}/2}}=\int _{+1}^{-1}{-\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
avec $\mathrm {e} ^{i(\pi +\pi )/2}=\mathrm {e} ^{i\pi }=-1$ et
    $\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z=\int _{-1}^{+1}{\mathrm {d} x \over {\sqrt {1-x^{2}}}}=I$
avec $\mathrm {e} ^{i(\pi -\pi )/2}=1$.
On a finalement :
    $I^{*}=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\int _{\gamma _{+}}f(z)~\mathrm {d} z+\int _{\gamma _{-}}f(z)~\mathrm {d} z\right)=2I$
et nous avons bien le résultat espéré, à savoir $I=\pi$.
Il était ici beaucoup plus aisé de passer par l'analyse réelle mais la méthode présentée ci-dessus peut être utilisée dans des cas pour lesquels une forme analytique simple n'existe pas. L'exemple ci-dessus a cependant l'avantage d'être représentatif et relativement simple.