# Polynôme d'Askey-Wilson

En mathématiques, les polynômes d'Askey-Wilson (ou q-polynômes de Wilson) sont une famille particulière de polynômes orthogonaux. Ils ont été introduits par Richard Askey et James A. Wilson en 1985, et sont nommés d'après eux. Ces polynômes sont des q-analogues d'une autre famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Wilson (en).
La famille des polynômes d'Askey-Wilson comprend de nombreux autres polynômes orthogonaux comme cas particuliers, soit en une variable, soit comme cas limite, dans le cadre décrit par le schéma d'Askey (en). Les polynômes d'Askey-Wilson sont à leur tour des cas particuliers des polynômes de Macdonald (ou des polynômes de Koornwinder) pour certains systèmes affines de racines (en).

## Définition

Les polynômes d'Askey-Wilson sont définis par :
    $p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&a{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }&a{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]$
où $\phi$ est une fonction hypergéométrique de base (en), $x=\cos(\theta )$ et $(\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot )_{n}$ est le q-symbole de Pochhammer étendu par la formule $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{r};q)_{n}$. Ce sont des polynômes de degré n en $x=\cos \theta$.

## Symétrie

Les polynômes $p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)$ sont symétriques en les paramètres $a,b,c,d$. Pour $x=(a+a^{-1})/2$, ils prennent la valeur particulière
    $p_{n}((a+a^{-1})/2;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}$,
et de même $x(b+b^{-1})/2,(c+c^{-1})/2$ et $(d+d^{-1})/2$. Pour des entiers $m,n$ positifs ou nuls, il y a vérifient la relation de dualité
    ${\frac {p_{n}((a^{-1}q^{-m}+aq^{m})/2;a,b,c,d\mid q)}{p_{n}((a^{-1}+a)/2;a,b,c,d\mid q)}}={\frac {p_{m}(({\check {a}}^{-1}q^{-n}+{\check {a}}q^{n})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}{p_{m}(({\check {a}}^{-1}+{\check {a}})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}}$
pour $a=q^{-1/2}({\check {a}}{\check {b}}{\check {c}}{\check {d}})^{1/2}$ et $ab={\check {a}}{\check {b}}$, $ac={\check {a}}{\check {c}}$, $ad={\check {a}}{\check {d}}$.

## Orthogonalité

Pour $0<q<1$, et pour quatre nombres réels $a,b,c,d$ vérifiant $|a|,|b|,|c|,|d|<1$, on a la relation d'orthogonalité :
    $\int _{-1}^{1}p_{n}(x)p_{m}(x)w(x)\,{\rm {d}}x=h_{n}\,\delta _{n,m},$
avec
    $h_{0}:={\frac {(abcd;q)_{\infty }}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty }}}\,,\quad {\frac {h_{n}}{h_{0}}}:={\frac {1-abcdq^{n-1}}{1-abcdq^{2n-1}}}\,{\frac {(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{n}}{(abcd;q)_{n}}}.$
Pour des valeurs plus générales des paramètres, il existe une relation sous forme d'une intégrale de contour. Le cas particulier de l’équation pour $n=m=0$ est appelé l'intégrale d'Askey-Wilson.

## Spécialisation des paramètres

Par la spécialisation de certains paramètres, on retrouve d'autres familles de polynômes orthogonaux (comme ci-dessus, $x=\cos \theta$) :
* Polynômes de Al-Salam-Chihara :
    $Q_{n}(x;a,b\mid q):=p_{n}(x;a,b,0,0\mid q)$.
* Polynômes de q-Jacobi continus :
    $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)\propto \,p_{n}(x;q^{\frac {1}{2}},q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,p_{n}(x;q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},q^{\alpha +{\frac {3}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {3}{2}}}\mid q^{2})$.
* Polynômes q-ultrasphériques continus :
    $C_{n}(x;\beta \mid q):={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\,p_{n}(x;\beta ^{\frac {1}{2}},\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}}\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\beta ;q)_{k}(\beta ;q)_{n-k}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }$.
* Polynômes de q-Hermite continus :
    $H_{n}(x\mid q):=(q;q)_{n}\,C_{n}(x;0\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }$.
* Polynômes de Tchebychev :
    $p_{n}(x;1,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,\cos n\theta ,\quad p_{n}(x;q,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}$,
    $p_{n}(x;q,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\,,\quad p_{n}(x;1,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\cos(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\cos {\frac {1}{2}}\theta }}$.

### Cas limites

* Polynômes de Wilson :
    $W_{n}(y^{2};a,b,c,d)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-3n}p_{n}({\tfrac {1}{2}}(q^{{\rm {i}}y}+q^{-{\rm {i}}y});q^{a},q^{b},q^{c},q^{d}\mid q)$.
* Polynômes de Jacobi :
    $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\lim _{q\uparrow 1}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)$.
* Polynômes ultrasphériques :
    $C_{n}^{\lambda }(x)=\lim _{q\uparrow 1}C_{n}(x;q^{\lambda }\mid q)$.
* Polynômes d'Hermite :
    $H_{n}(x)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-n/2}H_{n}((1-q)^{1/2}x\mid q^{2})$.