# Nombre de Lucas

En mathématiques, les nombres de Lucas sont les termes de la suite de Lucas généralisée associée à la suite de Fibonacci. Cette suite est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :
$L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}$
mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1,
$L_{0}=2,\quad L_{1}=1.$
La suite (L$_n$) est appelée « suite de Fibonacci-Lucas » ou plus simplement « suite de Lucas ».

## Premières valeurs

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la suite A000032 de l'OEIS).

## Propriétés
### Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’or

Le terme général L$_n$ de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or φ par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci :
    $L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}$ ;
Les puissances successives de φ sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, $|L_{n}-\varphi ^{n}|$ est égal à 1/φ$^n$, qui est strictement inférieur à 1/2 pour $n\geqslant 2$ (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que L$_n$ est alors l'entier le plus proche de φ$^n$. Par exemple : φ$^2$ = 2,61809..., φ$^3$ = 4,23606..., φ$^4$ = 6,85410...

### Relations entre les nombres de Lucas et ceux de Fibonacci

Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :
* $\,L_{n}+F_{n}=2F_{n+1}$
* $\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
* $\,L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
* $\,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$, et ainsi la suite $\left({\frac {L_{n}}{F_{n}}}\right)$ converge vers ${\sqrt {5}}$.
* $\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$
* $\,F_{3n}=(L_{2n}+(-1)^{n})F_{n}$
* $\,F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}$
* $\,L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{k}F_{n}$, et donc
* $\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n+2}-F_{n-2}={F_{n-3}+F_{n+3} \over 2}={F_{n+4}-F_{n-4} \over 3}={F_{n-5}+F_{n+5} \over 5}=\dots ={F_{n-k}+F_{n+k} \over F_{k}}$, et
* $\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}={L_{n-3}+L_{n+3} \over 10}={L_{n-5}+L_{n+5} \over 25}={L_{n-7}+L_{n+7} \over 65}=\dots$

### Relation entre L$_n$, F$_n$ et le nombre d’or

En comparant la formule de Binet, $F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}$, et la formule analogue pour la suite de Lucas, $L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}$, on déduit la relation entre L$_n$, F$_n$ et φ :
    $\varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}.$

### Divisibilité des nombres de Lucas

Une première approche de la question de la divisibilité de L$_n$ par un entier a consiste à étudier la suite des restes de L$_n$ modulo a : cette suite (r$_n$) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (r$_{n+2}$ = r$_{n+1}$ + r$_n$) et est donc périodique de période au plus a$^2$ (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation L$_n$ = F$_{2n}$/F$_n$, dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci$^,$.
On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci $F_{n}\geqslant 5$.

### Nombres de Lucas premiers

On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, etc. — suite A005479 de l'OEIS — est infinie.
Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, etc. ( A001606), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2, et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

### Congruences

* $L_{n+4}\equiv L_{n}\mod 5$ (car $L_{n+4}-L_{n}=5F_{n+2}$)
* $L_{n}\equiv 1\mod n$ si n est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant $L_{n}\equiv 1\mod n$ sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.
Soit $p$ un nombre premier impair. Comme $2^{p}L_{p}=(1+{\sqrt {5}})^{p}+(1-{\sqrt {5}})^{p}$ et ${\binom {p}{k}}$ est divisible par $p$ pour $1\leqslant k\leqslant p-1$, $2^{p}L_{p}\equiv 2\mod p$. Or d'après le petit théorème de Fermat $2^{p}\equiv 2\mod p$, on en déduit bien que $L_{p}\equiv 1\mod p$. Pour p=2, $L_{2}=3\equiv 1\mod 2$.