# Polynôme de Bateman

En mathématiques, les polynômes de Bateman constituent une famille de polynômes remarquables, étudiée par le mathématicien anglais Harry Bateman$^,$. Initialement introduits en rapport avec l'étude des fonctions hypergéométriques, ces polynômes constituent une famille orthogonale et à ce titre sont liés à d'autres familles telles les polynômes de Legendre, de Jacobi, de Bernstein, etc.$^,$$^,$ Ils apparaissent naturellement dans plusieurs contextes, tels que l'étude des solutions des équations aux dérivées partielles dans des contextes symétriques.

## Définition

Bateman définit initialement les polynômes $F_{n}$ en termes de la fonction hypergéométrique et d'une série génératrice :
$(1-t)^{z}F\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}},1;t^{2}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)$Une définition équivalente à partir de la fonction hypergéométrique généralisée est :
$F_{n}(z)=_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(z+1)\\1,~1\end{array}};1\right)$
Bateman montre également que ces polynômes satisfont à une relation de récurrence : $(n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z)$, avec $F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z$. En particulier, cette relation établit que le degré de $F_{n}$est exactement $n$.

## Relations aux autres familles et généralisation

Carlitz a montré qu'à un changement de variable près, les polynômes de Bateman coïncident avec les polynômes de Touchard :
$Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)$
Une caractérisation des polynômes de Bateman à partir des polynômes de Legendre $P_{n}$ et des fonctions hyperboliques est donnée par la relation :
$F_{n}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x))$où on interprète le membre de gauche comme un opérateur pseudo-différentiel. Cette dernière écriture se prête naturellement à une généralisation, due à Pasternack, à savoir :$F_{n}^{(m)}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))$
qui possède également une écriture à partir de la fonction hypergéométrique généralisée$^,$, pour tout $m\in \mathbb {C} \setminus \{-1\}$, une relation de récurrence analogue à $F_{n}$, et qui forme encore une famille orthogonale$^,$$^,$.
Enfin, les polynômes de Bateman peuvent être exprimés en fonction des polynômes de Hahn$^,$$^,$ $p_{n}$(ou des polynômes de Wilson, qui les généralisent) après changement de variable, précisément $p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=\mathrm {i} ^{n}n!F_{n}\left(2\mathrm {i} x\right)$.

## Propriétés remarquables

Les polynômes de Bateman forment une famille orthogonale, pour le produit scalaire défini ainsi :
$\langle F_{n},F_{m}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(\mathrm {i} x)F_{n}(\mathrm {i} x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{m,n}$
où $\delta _{m,n}$est la fonction de Kronecker. En particulier, il ne s'agit pas de polynômes orthonormés, mais on peut poser $B_{n}(z)=2\mathrm {i} ^{n}F_{n}(\mathrm {i} z)/{\sqrt {\pi (2n+1)}}$qui vérifient $\langle B_{n},B_{m}\rangle =\delta _{m,n}$, les « polynômes de Bateman normalisés ».

## Premiers polynômes de la famille

On obtient les premiers polynômes de la famille en itérant la relation de récurrence, à partir des deux premières valeurs $F_{0}(z)=1,F_{1}(z)=-z$. Ainsi :
${\begin{aligned}F_{2}(x)&={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}\\F_{3}(x)&=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}\\F_{4}(x)&={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}\\F_{5}(x)&={-{\frac {407}{960}}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}\end{aligned}}$