# Exponentielle intégrale

En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée Ei, est définie par :
    ${\mbox{Ei}}:{\begin{cases}\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} \\x\mapsto {\mbox{Ei}}(x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t\,=\int _{-\infty }^{x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\end{cases}}$
Comme l'intégrale de la fonction inverse ($t\mapsto {\frac {1}{t}}$) diverge en 0, cette définition doit être comprise, si x > 0, comme une valeur principale de Cauchy.

## Lien avec le logarithme intégral

La fonction Ei est liée à la fonction li (logarithme intégral) par :
${\rm {Ei}}(x)=\operatorname {li} \left(\mathrm {e} ^{x}\right).$

## Développement en série de Ei

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :
    ${\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\cdot k!}},$
où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

## Les fonctions E$_n$

L'exponentielle intégrale est reliée à une autre fonction, notée E$_1$ définie, pour x > 0, par :
    ${\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$
On dispose alors de la relation, pour x > 0 :
    ${\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).$
Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :
    ${\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.$
En effet, on peut montrer que, pour x > 0 :
    ${\rm {E}}_{1}(x)=-\gamma -\ln(x)+{\rm {Ein}}(x)$
et
    ${\rm {Ei}}(-x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(x).$
La relation donnée pour E$_1$ permet d'étendre cette fonction sur tout ouvert simplement connexe du plan complexe ne contenant pas 0, en prenant une détermination du logarithme sur ce plan. On prend généralement comme ouvert le plan complexe privé des réels strictement négatifs.
Plus généralement, on définit, pour tout entier n strictement positif, la fonction E$_n$ par :
    ${\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{x}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{\left(1+{\frac {t}{x}}\right)^{n}}}\,\mathrm {d} t={\rm {e}}^{-x}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-xt}}{(1+t)^{n}}}\,\mathrm {d} t$
Ces fonctions sont reliées par la relation :
    $\mathrm {E} _{n}(x)={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{x}}-{\frac {n}{x}}\mathrm {E} _{n+1}(x)$

## Calcul de E$_1$

La fonction E$_1$ ne possède pas d’expression à l’aide des fonctions élémentaires usuelles, d’après un théorème dû à Liouville. Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E$_1$(x) en double précision.

### Pour x compris entre 0 et 2,5

On a :
    $\mathrm {E_{1}} \left(z\right)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\qquad \left(\left|\arg z\right|<\pi \right).$
Cette série convergente peut théoriquement être utilisée pour calculer E$_1$(x) pour tout réel x > 0 mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour x > 2,5 à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.

### Pour x > 40

Il existe une série divergente permettant d'approcher E$_1$ pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties, qui donne le développement asymptotique suivant :
    $\mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\frac {N!}{(-z)^{N}}}\mathrm {E} _{N+1}(z)$
avec $\mathrm {E} _{N+1}(z)=o({\rm {e}}^{-z})$ quand z tend vers $+\infty$.
Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.

## Exponentielle intégrale réciproque

On peut exprimer la réciproque de l'exponentielle intégrale par le développement en série entière suivant:
    $\forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \mathrm {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}$
où μ est la constante de Ramanujan-Soldner et (P$_n$) est la suite de polynômes définie par la relation de récurrence :
    $P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).$
Pour $n>0$, $\deg P_{n}=n$ et on a la formule :
    $P_{n}(x)=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\mathrm {Ei} (t+x)-\mathrm {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.$