# Factorisation aurifeuillienne

En théorie des nombres, une factorisation aurifeuillienne, nommée d'après Léon-François-Antoine Aurifeuille, est un cas particulier de factorisation algébrique d'entiers provenant d'une factorisation (accidentelle) d'un polynôme cyclotomique.

## Définition

Les polynômes cyclotomiques eux-mêmes sont irréductibles (dans ${\mathbb {Q} }[X]$), mais il peut néanmoins arriver qu'on dispose de factorisations systématiques de leurs valeurs sur certains entiers. On appelle factorisation aurifeuillienne du polynôme cyclotomique P une formule de la forme $P(b^{cn+d})=Q_{n}(b)R_{n}(b)$ (où b est un entier fixé, la base, et Q et R sont des polynômes non constants), valable pour tout n. Une telle factorisation provient en général de ce que le polynôme $b^{d}X^{n}-1$ possède des facteurs autres que ceux donnés par les polynômes cyclotomiques (en 2004, Andrew Granville a démontré qu'avec une définition convenablement précisée, il n'en existait pas d'autres). Les exemples qui suivent illustrent ce phénomène.

## Exemples

* Les nombres de la forme $2^{4k+2}+1$ peuvent s'écrire :
       $2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1)$.
* De même, puisque $\Phi _{3}(-X)=X^{2}-X+1$, on a $\Phi _{3}(-3x^{2})=9x^{4}-3x^{2}+1=(3x^{2}+1)^{2}-9x^{2}$ ; prenant b=x=3, on en déduit la factorisation aurifeuillienne
       $3^{6k+3}+1=(3^{2k+1}+1)(3^{2k+1}-3^{k+1}+1)(3^{2k+1}+3^{k+1}+1)$.
* Les nombres de la forme $b^{n}-1$ ou $\Phi _{n}(b)$, avec $b=s^{2}\cdot t$ et $t$ sans facteur carré ont une factorisation aurifeuillienne si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie :
** $t\equiv 1{\pmod {4}}$ et $n\equiv t{\pmod {2t}}$
** $t\equiv 2,3{\pmod {4}}$ et $n\equiv 2t{\pmod {4t}}$.
* Les formules suivantes donnent les facteurs aurifeuilliens de b$^n$ ± 1 obtenus par le projet Cunningham pour les bases b ≤ 24 (qui ne sont pas des puissances d'autres bases) comme produits de trois facteurs F, L et M, avec L = A - B et M = A + B : nombre = F * (A - B) * (A + B) = F * L * M
    b Nombre F A B 2 2$^{4k+2}$ + 1 1 2$^{2k+1}$ + 1 2$^{k+1}$ 3 3$^{6k+3}$ + 1 3$^{2k+1}$ + 1 3$^{2k+1}$ + 1 3$^{k+1}$ 5 5$^{10k+5}$ - 1 5$^{2k+1}$ - 1 5$^{4k+2}$ + 3(5$^{2k+1}$) + 1 5$^{3k+2}$ + 5$^{k+1}$ 6 6$^{12k+6}$ + 1 6$^{4k+2}$ + 1 6$^{4k+2}$ + 3(6$^{2k+1}$) + 1 6$^{3k+2}$ + 6$^{k+1}$ 7 7$^{14k+7}$ + 1 7$^{2k+1}$ + 1 7$^{6k+3}$ + 3(7$^{4k+2}$) + 3(7$^{2k+1}$) + 1 7$^{5k+3}$ + 7$^{3k+2}$ + 7$^{k+1}$ 10 10$^{20k+10}$ + 1 10$^{4k+2}$ + 1 10$^{8k+4}$ + 5(10$^{6k+3}$) + 7(10$^{4k+2}$) + 5(10$^{2k+1}$) + 1 10$^{7k+4}$ + 2(10$^{5k+3}$) + 2(10$^{3k+2}$) + 10$^{k+1}$ 11 11$^{22k+11}$ + 1 11$^{2k+1}$ + 1 11$^{10k+5}$ + 5(11$^{8k+4}$) - 11$^{6k+3}$ - 11$^{4k+2}$ + 5(11$^{2k+1}$) + 1 11$^{9k+5}$ + 11$^{7k+4}$ - 11$^{5k+3}$ + 11$^{3k+2}$ + 11$^{k+1}$ 12 12$^{6k+3}$ + 1 12$^{2k+1}$ + 1 12$^{2k+1}$ + 1 6(12$^k$) 13 13$^{26k+13}$ - 1 13$^{2k+1}$ - 1 13$^{12k+6}$ + 7(13$^{10k+5}$) + 15(13$^{8k+4}$) + 19(13$^{6k+3}$) + 15(13$^{4k+2}$) + 7(13$^{2k+1}$) + 1 13$^{11k+6}$ + 3(13$^{9k+5}$) + 5(13$^{7k+4}$) + 5(13$^{5k+3}$) + 3(13$^{3k+2}$) + 13$^{k+1}$ 14 14$^{28k+14}$ + 1 14$^{4k+2}$ + 1 14$^{12k+6}$ + 7(14$^{10k+5}$) + 3(14$^{8k+4}$) - 7(14$^{6k+3}$) + 3(14$^{4k+2}$) + 7(14$^{2k+1}$) + 1 14$^{11k+6}$ + 2(14$^{9k+5}$) - 14$^{7k+4}$ - 14$^{5k+3}$ + 2(14$^{3k+2}$) + 14$^{k+1}$ 15 15$^{30k+15}$ + 1 15$^{14k+7}$ - 15$^{12k+6}$ + 15$^{10k+5}$ + 15$^{4k+2}$ - 15$^{2k+1}$ + 1 15$^{8k+4}$ + 8(15$^{6k+3}$) + 13(15$^{4k+2}$) + 8(15$^{2k+1}$) + 1 15$^{7k+4}$ + 3(15$^{5k+3}$) + 3(15$^{3k+2}$) + 15$^{k+1}$ 17 17$^{34k+17}$ - 1 17$^{2k+1}$ - 1 17$^{16k+8}$ + 9(17$^{14k+7}$) + 11(17$^{12k+6}$) - 5(17$^{10k+5}$) - 15(17$^{8k+4}$) - 5(17$^{6k+3}$) + 11(17$^{4k+2}$) + 9(17$^{2k+1}$) + 1 17$^{15k+8}$ + 3(17$^{13k+7}$) + 17$^{11k+6}$ - 3(17$^{9k+5}$) - 3(17$^{7k+4}$) + 17$^{5k+3}$ + 3(17$^{3k+2}$) + 17$^{k+1}$ 18 18$^{4k+2}$ + 1 1 18$^{2k+1}$ + 1 6(18$^k$) 19 19$^{38k+19}$ + 1 19$^{2k+1}$ + 1 19$^{18k+9}$ + 9(19$^{16k+8}$) + 17(19$^{14k+7}$) + 27(19$^{12k+6}$) + 31(19$^{10k+5}$) + 31(19$^{8k+4}$) + 27(19$^{6k+3}$) + 17(19$^{4k+2}$) + 9(19$^{2k+1}$) + 1 19$^{17k+9}$ + 3(19$^{15k+8}$) + 5(19$^{13k+7}$) + 7(19$^{11k+6}$) + 7(19$^{9k+5}$) + 7(19$^{7k+4}$) + 5(19$^{5k+3}$) + 3(19$^{3k+2}$) + 19$^{k+1}$ 20 20$^{10k+5}$ - 1 20$^{2k+1}$ - 1 20$^{4k+2}$ + 3(20$^{2k+1}$) + 1 10(20$^{3k+1}$) + 10(20$^k$) 21 21$^{42k+21}$ - 1 21$^{18k+9}$ + 21$^{16k+8}$ + 21$^{14k+7}$ - 21$^{4k+2}$ - 21$^{2k+1}$ - 1 21$^{12k+6}$ + 10(21$^{10k+5}$) + 13(21$^{8k+4}$) + 7(21$^{6k+3}$) + 13(21$^{4k+2}$) + 10(21$^{2k+1}$) + 1 21$^{11k+6}$ + 3(21$^{9k+5}$) + 2(21$^{7k+4}$) + 2(21$^{5k+3}$) + 3(21$^{3k+2}$) + 21$^{k+1}$ 22 22$^{44k+22}$ + 1 22$^{4k+2}$ + 1 22$^{20k+10}$ + 11(22$^{18k+9}$) + 27(22$^{16k+8}$) + 33(22$^{14k+7}$) + 21(22$^{12k+6}$) + 11(22$^{10k+5}$) + 21(22$^{8k+4}$) + 33(22$^{6k+3}$) + 27(22$^{4k+2}$) + 11(22$^{2k+1}$) + 1 22$^{19k+10}$ + 4(22$^{17k+9}$) + 7(22$^{15k+8}$) + 6(22$^{13k+7}$) + 3(22$^{11k+6}$) + 3(22$^{9k+5}$) + 6(22$^{7k+4}$) + 7(22$^{5k+3}$) + 4(22$^{3k+2}$) + 22$^{k+1}$ 23 23$^{46k+23}$ + 1 23$^{2k+1}$ + 1 23$^{22k+11}$ + 11(23$^{20k+10}$) + 9(23$^{18k+9}$) - 19(23$^{16k+8}$) - 15(23$^{14k+7}$) + 25(23$^{12k+6}$) + 25(23$^{10k+5}$) - 15(23$^{8k+4}$) - 19(23$^{6k+3}$) + 9(23$^{4k+2}$) + 11(23$^{2k+1}$) + 1 23$^{21k+11}$ + 3(23$^{19k+10}$) - 23$^{17k+9}$ - 5(23$^{15k+8}$) + 23$^{13k+7}$ + 7(23$^{11k+6}$) + 23$^{9k+5}$ - 5(23$^{7k+4}$) - 23$^{5k+3}$ + 3(23$^{3k+2}$) + 23$^{k+1}$ 24 24$^{12k+6}$ + 1 24$^{4k+2}$ + 1 24$^{4k+2}$ + 3(24$^{2k+1}$) + 1 12(24$^{3k+1}$) + 12(24$^k$)
* La factorisation suivante des nombres de Lucas $L_{10k+5}$ peut aussi être considérée comme aurifeuillienne :
       $L_{10k+5}=L_{2k+1}\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}-5F_{2k+1}+1)\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}+5F_{2k+1}+1)$
    où $L_{n}$ est le $n$-ème nombre de Lucas, et $F_{n}$ est le $n$-ème nombre de Fibonacci.

## Historique

En 1871, Aurifeuille découvrit la factorisation de $2^{4k+2}+1$ pour k = 14 $^,$
    $2^{58}+1=(2^{29}+2^{15}+1)(2^{29}-2^{15}+1)=536838145\cdot 536903681.\,\!$
Le second facteur est premier, et l'autre vaut $5\times 107367629,$ ce dernier nombre étant premier. Cette factorisation (qui avait échappé à Fortuné Landry) est un cas particulier de l'identité de Sophie Germain $4x^{4}+y^{4}=(2x^{2}+2xy+y^{2})(2x^{2}-2xy+y^{2})$, mais en 1878, Édouard Lucas signala que Aurifeuille avait obtenu des factorisations analogues pour tous les b premiers