# Erreur quadratique moyenne

En statistiques, l’erreur quadratique moyenne d’un estimateur ${\hat {\theta }}$ d’un paramètre $\theta$ de dimension 1 (mean squared error ($\operatorname {MSE}$), en anglais) est une mesure caractérisant la « précision » de cet estimateur. Elle est plus souvent appelée « erreur quadratique » (« moyenne » étant sous-entendu) ; elle est parfois appelée aussi « risque quadratique ».
L’erreur quadratique moyenne est définie par :
Définition — $\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\mathbb {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]$

## Propriétés
### Signe

Corollaire — Un carré étant toujours positif, on a évidemment $\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})\geq 0$.

### Expression

On peut exprimer l’erreur quadratique moyenne en fonction du biais et de la variance de l’estimateur :
Théorème — $\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})^{2}+\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})$
Rappelons d’abord que $\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\mathbb {E} ({\hat {\theta }})-\theta$ et $\mathbb {E} ({\hat {\theta }})$ sont des constantes, ce qui permet d’utiliser la linéarité de l’espérance : $\mathbb {E} (c_{1}X+c_{2})=c_{1}\mathbb {E} (X)+c_{2}$.
${\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\mathbb {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]&=\mathbb {E} \left[\left({\hat {\theta }}-\mathbb {E} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})\right)^{2}\right]\\&=\mathbb {E} \left[\left({\hat {\theta }}-\mathbb {E} ({\hat {\theta }})\right)^{2}+2\left({\hat {\theta }}-\mathbb {E} ({\hat {\theta }})\right)\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})^{2}\right]\\&=\mathbb {E} \left[\left({\hat {\theta }}-\mathbb {E} ({\hat {\theta }})\right)^{2}\right]+2\mathbb {E} \left({\hat {\theta }}-\mathbb {E} ({\hat {\theta }})\right)\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})^{2}\\&=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})+2\left(\mathbb {E} ({\hat {\theta }})-\mathbb {E} ({\hat {\theta }})\right)\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})^{2}\\&=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Biais} ({\hat {\theta }})^{2}\end{aligned}}$

### Minimisation

Théorème — Soit ${\bar {\theta }}$ un estimateur sans biais du paramètre $\theta$, tel que $\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})>0$ (si l’erreur quadratique moyenne est nulle, elle est déjà minimale, voir section « Signe » ci-dessus).
Parmi tous les estimateurs proportionnels à ${\bar {\theta }}$, l’erreur quadratique moyenne est minimale pour l’estimateur ${\check {\theta }}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\frac {\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}{\bar {\theta }}$.
Cette erreur quadratique moyenne minimale vaut $\operatorname {MSE} ({\check {\theta }})={\frac {\theta ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}$.
Par définition de l’estimateur sans biais, $\mathbb {E} ({\bar {\theta }})=\theta$, d’où $\operatorname {Var} ({\bar {\theta }})=\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})$.
Soit ${\hat {\theta }}_{\alpha }=\alpha {\bar {\theta }}$, donc :
* par linéarité de l’espérance, $\mathbb {E} ({\hat {\theta }}_{\alpha })=\mathbb {E} (\alpha {\bar {\theta }})=\alpha \mathbb {E} ({\bar {\theta }})=\alpha \theta$ ;
* par homogénéité de la variance, $\operatorname {Var} ({\hat {\theta }}_{\alpha })=\operatorname {Var} (\alpha {\bar {\theta }})=\alpha ^{2}\operatorname {Var} ({\bar {\theta }})=\alpha ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})$ ;
d’où $\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }}_{\alpha })=(\alpha \theta -\theta )^{2}+\alpha ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})=(\alpha -1)^{2}\theta ^{2}+\alpha ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})$.
En dérivant par rapport à $\alpha$, on trouve $\operatorname {MSE} '({\hat {\theta }}_{\alpha })=2(\alpha -1)\theta ^{2}+2\alpha \operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})=2\left(\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})\right)\alpha -2\theta ^{2}$.
Comme on a supposé $\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})>0$, cette dérivée est une fonction affine de coefficient directeur strictement positif, donc elle s’annule en $\alpha _{0}={\frac {\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}$, est strictement négative pour $\alpha <\alpha _{0}$, et est strictement positive pour $\alpha >\alpha _{0}$, donc $\alpha _{0}$ est le minimum de $\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }}_{\alpha })$.
    L’erreur quadratique moyenne est donc minimale pour ${\hat {\theta }}_{\alpha _{0}}={\frac {\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}{\bar {\theta }}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\check {\theta }}$.
Ce minimum vaut :
    ${\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\check {\theta }})&=\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }}_{\alpha _{0}})\\&=(\alpha _{0}-1)^{2}\theta ^{2}+\alpha _{0}^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})\\&=\left(-{\frac {\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}\right)^{2}\theta ^{2}+\left({\frac {\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}\right)^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})\\&={\frac {\theta ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})^{2}+\theta ^{4}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}{\left(\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})\right)^{2}}}\\&={\frac {\left(\theta ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})\right)\left(\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})+\theta ^{2}\right)}{\left(\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})\right)^{2}}}\\&={\frac {\theta ^{2}\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}\end{aligned}}$
Remarque : la valeur de $\theta$ étant inconnue par nature (sinon, on n’en chercherait pas un estimateur), cette formule n’a d’intérêt pratique que si le coefficient ${\tfrac {\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})}}$ se simplifie en une constante indépendante de $\theta$, c’est-à-dire si et seulement si $\operatorname {MSE} ({\bar {\theta }})$ est proportionnel à $\theta ^{2}$ (voir exemple plus bas).

## Utilité
### Comparaison d’estimateurs

Si les deux estimateurs à comparer sont sans biais, l’estimateur le plus efficace est simplement celui dont la variance est la plus petite. De même, si un estimateur a à la fois un plus grand biais (en valeur absolue) et une plus grande variance qu’un autre estimateur, ce dernier est évidemment meilleur.
Cependant, si un estimateur a un plus grand biais (en valeur absolue) mais une plus petite variance, la comparaison n’est plus immédiate : l’erreur quadratique moyenne permet alors de trancher.
Comparons les deux estimateurs les plus courants de la variance :
    $s_{n-1}^{2}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}$ et $s_{n}^{2}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}={\frac {n-1}{n}}s_{n-1}^{2}$
Pour un tirage avec remise et une loi de probabilité dont on suppose que le kurtosis normalisé est nul (ex. : la loi normale), les calculs montrent que (voir Greene, section C.5.1) :
    $\mathbb {E} (s_{n-1}^{2})=\sigma ^{2}$ d’où $\operatorname {Biais} (s_{n-1}^{2})=0$,
    $\operatorname {Var} (s_{n-1}^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}$ d’où $\operatorname {MSE} (s_{n-1}^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}$ ;
    $\mathbb {E} (s_{n}^{2})={\frac {n-1}{n}}\mathbb {E} (s_{n-1}^{2})={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$ d’où $\operatorname {Biais} (s_{n}^{2})=-{\frac {\sigma ^{2}}{n}}$,
    $\operatorname {Var} (s_{n}^{2})=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}\operatorname {Var} (s_{n-1}^{2})=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}{\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}={\frac {2(n-1)\sigma ^{4}}{n^{2}}}$ d’où $\operatorname {MSE} (s_{n}^{2})={\frac {(2n-1)\sigma ^{4}}{n^{2}}}$.
L’estimateur $s_{n-1}^{2}$ est sans biais mais a une plus grande variance (plus faible efficacité) que l’estimateur $s_{n}^{2}$.
La comparaison des erreurs quadratiques moyennes donne :
    $\operatorname {MSE} (s_{n}^{2})-\operatorname {MSE} (s_{n-1}^{2})=\sigma ^{4}\left({\frac {2n-1}{n^{2}}}-{\frac {2}{n-1}}\right)=-{\frac {(3n-1)\sigma ^{4}}{n^{2}(n-1)}}<0$
L’estimateur biaisé $s_{n}^{2}$ est donc meilleur en termes d’erreur quadratique moyenne.
Toujours dans le cas d’un tirage avec remise et d’un kurtosis nul, en appliquant le théorème de minimisation donné plus haut à l’estimateur sans biais $s_{n-1}^{2}$, on trouve que l’estimateur $s_{n+1}^{2}={\frac {n}{n+1}}s_{n}^{2}={\frac {n-1}{n+1}}s_{n-1}^{2}$ est l’estimateur minimisant l’erreur quadratique moyenne, cette dernière valant alors ${\frac {2\sigma ^{4}}{n+1}}$.

### Convergence de l'estimateur

Il est possible de déterminer si un estimateur est convergent en probabilité à partir de son erreur quadratique moyenne, on a en effet:
Théorème — $\left[\left(\lim _{n\to \infty }\mathbb {E} ({\hat {\theta }})=\theta \quad \mathbf {et} \quad \lim _{n\to \infty }\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})=0\right)\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=0\right]\Rightarrow {\hat {\theta }}{\xrightarrow {p}}\theta$
La démonstration est faite à la page convergence de variables aléatoires.

## Généralisation

Dans un cadre plus général pour un modèle multiparamétrique où l'on cherche à estimer plusieurs paramètres ou pour estimer une fonction $f(\theta )$ de un ou plusieurs paramètres, l'erreur quadratique moyenne pour un estimateur $\delta$ de $f(\theta )$ est défini par:
Définition — $\mathbb {E} \left[^{t}(\delta -f(\theta ))A(\delta -f(\theta ))\right]$
où A est une matrice symétrique définie positive (qui définit donc un produit scalaire).