# Métrique de Cayley-Klein

En mathématiques, une métrique de Cayley-Klein est une métrique définie sur le complémentaire d'une quadrique fixée d'un espace projectif, la quadrique absolue, à l'aide du birapport. Cette métrique a été construite par Arthur Cayley en 1859 ; la construction fut complétée par Felix Klein entre 1871 et 1873. Les métriques de Cayley-Klein fournissent un cadre unifié aux différentes géométries euclidiennes et non euclidiennes, en y définissant la notion de distance par la même construction dans tous les cas.

## Historique

Parmi les idées ayant servi de base à la construction de Cayley-Klein, on trouve l'« algèbre des jets (en) » créée par Karl von Staudt en 1847, une approche de la géométrie ne faisant pas intervenir de distances ou d'angles, et n'utilisant que les notions de division harmonique et de birapport. En 1853, Edmond Laguerre obtint un autre résultat important (en), montrant que l'angle entre deux droites (en géométrie euclidienne) peut être calculé à partir d'un birapport. Finalement, en 1859, Arthur Cayley formula dans son article On the theory of distance des relations exprimant les distances à partir de calculs (en géométrie projective) liés à une quadrique définie par lui comme l'absolu de la géométrie étudiée$^,$. Felix Klein, dans des articles de 1871 et 1873, puis dans une série d'ouvrages, reprit le travail de von Staudt, en supprima les dernières références à la distance euclidienne, et le combina à la théorie de Cayley pour définir la nouvelle métrique comme le logarithme d'un birapport, éliminant le risque d'une définition circulaire, et montrant que les géométries non euclidiennes pouvaient, comme la géométrie euclidienne, être définies à partir de cette métrique.
La géométrie de Cayley-Klein (suivant les principes du programme d'Erlangen) est l'étude du groupe des isométries pour cette métrique ; on démontre qu'il s'agit du sous-groupe des transformations projectives laissant globalement invariante la quadrique absolue ; chaque choix de quadrique correspond à une des géométries classiques (euclidienne, hyperbolique, elliptique, etc.).

## Définition

On fixe une quadrique Q d'un espace projectif E sur le corps des complexes ; Q est appelée la quadrique absolue de la géométrie qu'on veut définir. Si a et b sont deux points distincts de E, non dans Q, la droite (a,b) intersecte Q en deux autres points p et q. La distance de Cayley–Klein d(a,b) est proportionnelle au logarithme du birapport (a,b ; p,q) : $d(a,b)=C\ln(a,b;p,q)$, où $C$ est une constante.
Si le birapport est positif, $C$ est réel (cela correspond à une géométrie hyperbolique ; la valeur 1/2 donne une courbure $K=-1$) ; sinon, il faut prendre $C$ complexe (on est alors dans le cas d'une géométrie elliptique).
Pour des calculs algébriques (et en utilisant une forme plus moderne de représentation), on se place en coordonnées homogènes, et on fixe une forme quadratique $Q$ ; on note $B$ la forme bilinéaire associée, appelée dans ce contexte forme polaire de $Q$, définie par $B(u,v)={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)$. La quadrique absolue a alors pour équation $Q(x)=0$ (plus précisément, $Q(x)=\sum q_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0$, $x$ étant un point de coordonnées $x_{i}$, avec $\alpha ,\beta \in \{1,2,3\}$ dans le cas du plan et $\alpha ,\beta \in \{1,2,3,4\}$ dans l'espace ; de plus, la matrice de $Q$ étant symétrique, on a $q_{\alpha \beta }=q_{\beta \alpha }$) ; on démontre alors que la distance de Cayley–Klein entre les points $x$ et $y$ est:
    $d=C\ln {\frac {B(x,y)+{\sqrt {B^{2}(x,y)-Q(x)Q(y)}}}{B(x,y)-{\sqrt {B^{2}(x,y)-Q(x)Q(y)}}}}$ ; avec ces notations, $B(x,y)=\sum q_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }$.
Prenant $C=1/2$ pour simplifier, on en déduit que dans le cas hyperbolique :
    $d=\operatorname {argch} {\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}$,
et dans le cas elliptique (en prenant $C=i/2$) :
    $d=\operatorname {arccos} {\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}$.

## Formes normales de la quadrique absolue

Dans le cas réel, toute quadrique définie par l'équation $Q(x)=\sum q_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0$ peut être mise par changement (linéaire) de variable sous la forme $Q(X)=\sum \epsilon _{i}X_{i}^{2}=0$, avec $\epsilon _{i}\in \{0,1,-1\}$ (réduction de Gauss), le nombre des $\epsilon _{i}$ de chaque type ne dépendant pas du changement de variable, d'après la loi d'inertie de Sylvester. On obtient dans l'espace euclidien usuel la classification suivante (voir l'article quadrique et les articles détaillés pour des illustrations) :
    I. Quadriques régulières.
       1. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0$. Surface vide.
       2. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0$. Surfaces topologiquement semblables à la sphère.
          a) Ellipsoïde (pas d'intersection avec le plan de l'infini).
          b) Paraboloïde elliptique (tangente avec le plan de l'infini).
          c) Hyperboloïde à deux nappes (sécante avec le plan de l'infini).
       3. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0$. Surfaces topologiquement semblables à la bouteille de Klein.
          a) Hyperboloïde à une nappe (sécante avec le plan de l'infini).
          b) Paraboloïde hyperbolique (tangente avec le plan de l'infini).
    II. Cônes.
       1. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$. « Cônes » vides.
          a) Cône réduit à son sommet.
          b) Cylindre vide (sommet dans le plan à l'infini).
       2. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0$. « Cônes » ordinaires.
          a) Cône
          b) Cylindre elliptique (sommet dans le plan à l'infini)
          c) Cylindre parabolique (droite double dans le plan à l'infini)
          d) Cylindre hyperbolique (deux droites dans le plan à l'infini)
    III. Couples de plans.
       1. $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0$. Plans imaginaires conjugués.
          a) Intersection à distance finie.
          b) Plans parallèles.
       2. $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$. Plans réels.
          a) Intersection à distance finie.
          b) Plans parallèles.
          c) Un plan à distance finie et le plan de l'infini.
    IV. Plan double.
       1. $x_{1}^{2}=0$.
          a) Plan double à distance finie.
          b) Plan de l'infini compté deux fois.
Les transformations projectives bijectives (les collinéations) laissant ces formes invariantes sont liées aux transformations de Möbius. Ces formes amènent à des équations simples pour la distance de Cayley-Klein ; le plan euclidien a ainsi pour absolu les droites isotropes $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0$ (ou , si l'on préfère, les points cycliques $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0,\ x_{3}=0$). De même, le plan hyperbolique a pour absolu le cercle unité $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0$, et comme distance de Cayley-Klein $d=\operatorname {argch} {\frac {x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}{\sqrt {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}}}}}$.

## Relativité restreinte

Dans ses conférences de 1919 et 1920 (publiées à titre posthume en 1926) sur l'histoire des mathématiques, Klein écrivait :
   « Le cas $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0$ (ou $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0$, pour rester en trois dimensions et utiliser des coordonnées homogènes) a récemment acquis une signification particulière à travers la théorie de la relativité. »
Autrement dit, la conique (ou quadrique) absolue de la géométrie hyperbolique, $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0$ ou $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0$, correspond aux intervalles $x^{2}+y^{2}-t^{2}$ ou $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$ de l'espace-temps, et les transformations laissant la quadrique absolue invariante sont en correspondance avec les transformations de Lorentz. De même, les équations du cercle ou de la sphère unité en géométrie hyperboliquecorrespondent à des vitesses physiques $\left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}=1$ ou $\left({\tfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\tfrac {dz}{dt}}\right)^{2}=1$, qui, en relativité, sont bornées par la vitesse de la lumière c, donc pour tout vecteur-vitesse physique v, le rapport v/c doit rester à l'intérieur de la sphère unité, qui forme l'absolu de cette géométrie.
D'autres aspects de cette relation entre la métrique de Cayley–Klein pour l'espace hyperbolique et celle de l'espace de Minkowski en relativité restreinte furent mis en évidence par Klein en 1910, ainsi que dans l'édition de 1928 de ses conférences sur la géométrie non euclidienne.

## CK-géométrie affine

En 2008, Horst Martini et Margarita Spirova ont généralisé le premier des théorèmes de Clifford sur les cercles (en) et d’autres théorèmes de géométrie euclidienne en utilisant la géométrie affine associée à une métrique de Cayley-Klein : l’idée est d’appliquer la même construction à des coniques absolues dégénérées (formées du produit d’une droite et de la droite de l’infini) ; le rôle joué par les complexes en géométrie euclidienne est dévolu aux complexes fendus dans leurs constructions.