# Rayonnement continu de freinage

Le rayonnement continu de freinage ou bremsstrahlung (prononcé en allemand [ˈbʁɛmsˌʃtʁaːlʊŋ] , de bremsen « freiner » et Strahlung « rayonnement », c.-à-d. « rayonnement de freinage » ou « rayonnement de décélération ») est un rayonnement électromagnétique à spectre large créé par le ralentissement de charges électriques. On parle aussi de rayonnement blanc.
Lorsqu'une cible solide est bombardée par un faisceau d'électrons, ceux-ci sont freinés et déviés par le champ électrique des noyaux de la cible. Or, comme le décrivent les équations de Maxwell, toute charge dont la vitesse varie, en valeur absolue ou en direction, rayonne. Comme l'énergie liée à la décélération des électrons est quantifiée suivant des valeurs fortement rapprochées (comme le prévoit la fonction de distribution de translation associée), cela crée un flux de photons dont le spectre en énergie est quasiment continu.

## Applications

Ce procédé est notamment utilisé pour produire des rayons X, dans les générateurs de rayons X et les synchrotrons. Ces deux sources ne donnent pas le même type de spectre. En effet, le rayonnement synchrotron est purement continu, contrairement à celui d'un tube à rayons X, qui comporte quelques raies spectrales, dû à des transitions électroniques.

## Forme du spectre

L'énergie maximale des photons est l'énergie cinétique initiale E$_0$ des électrons. Le spectre en énergie s'arrête donc à cette valeur E$_0$. Si l'on trace le spectre en longueur d'onde (représentation la plus fréquente), on a un spectre qui commence à λ$_0$ qui vaut
    $\lambda _{0}={\frac {hc}{E_{0}}}$
ou encore
    $\lambda _{0}={\frac {hc}{eU}}$
et dont l'énergie est maximale pour λ$_{max}$ qui vaut
    $\lambda _{\mathrm {max} }={\frac {3}{2}}\lambda _{0}$
où
* h est la constante de Planck ;
* c est la vitesse de la lumière dans le vide ;
* e est la charge électrique élémentaire de l'électron ;
* U est la tension appliquée au tube à rayons X.

## Bremsstrahlung thermique

Dans un plasma, les électrons libres produisent constamment un Bremsstrahlung lorsqu'ils entrent en collision avec des ions. Dans un plasma uniforme contenant des électrons thermiques, la densité spectrale de puissance du Bremsstrahlung émis se calcule à partir de l'équation différentielle :
    ${dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={4{\sqrt {2}} \over 3{\sqrt {\pi }}}\left[n_{e}r_{e}^{3}\right]^{2}\left[{\frac {m_{e}c^{2}}{k_{B}T_{e}}}\right]^{1/2}\left[{m_{e}c^{2} \over r_{e}^{3}}\right]Z_{\mathrm {eff} }E_{1}(w_{m}),$
où $n_{e}$ est la densité des électrons, $r_{e}$ est le rayon classique de l'électron, $m_{e}$ est la masse de l'électron, $k_{B}$ est la constante de Boltzmann et $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide. Les deux premiers facteurs entre crochets à la droite de l'égalité sont sans dimension. L'état de la charge « efficace » d'un ion, $Z_{\mathrm {eff} }$, est une moyenne de la charge de tous les ions :
$Z_{\mathrm {eff} }=\sum _{Z}Z^{2}{n_{Z} \over n_{e}}$ ,
où $n_{Z}$ est le nombre de densité des ions portant une charge de $Z$. La fonction $E_{1}$ est une exponentielle intégrale. La fonction $w_{m}$ se calcule selon :
    $w_{m}={\omega ^{2}m_{e} \over 2k_{m}^{2}k_{B}T_{e}}$
avec $k_{m}$ le nombre d'onde maximum ou de coupure. $k_{m}=K/\lambda _{B}$ quand $k_{B}T_{e}>27,2Z^{2}$eV (pour une seule espèce d'ions ; 27,2 eV est le double de l'énergie d'ionisation de l'hydrogène) où K est un nombre pur et $\lambda _{B}=\hbar /(m_{e}k_{B}T_{e})^{1/2}$ est la longueur d'onde de De Broglie. Sinon, $k_{m}\propto 1/l_{c}$ où $l_{c}$ est la distance classique de Coulomb selon la trajectoire la plus proche.
$dP_{\mathrm {Br} }/d\omega$ est infini à $\omega =0$ et décroît rapidement selon $\omega$. Dans certains cas précis, il est possible de calculer analytiquement la primitive de l'équation différentielle.
Pour le cas $k_{m}=K/\lambda _{B}$, nous avons
    $w_{m}={1 \over 2K^{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}\right]^{2}$ .
Dans ce cas, la densité de puissance, intégrée sur toutes les fréquences, est finie et vaut
    $P_{\mathrm {Br} }={8 \over 3}\left[n_{e}r_{e}^{3}\right]^{2}\left[{k_{B}T_{e} \over m_{e}c^{2}}\right]^{1/2}\left[{m_{e}c^{3} \over r_{e}^{4}}\right]Z_{\mathrm {eff} }\alpha K$ .
La constante de structure fine $\alpha$ apparaît dû à la nature quantique de $\lambda _{B}$. En pratique, une version couramment utilisée de cette formule est :
    $P_{\mathrm {Br} }[{\textrm {W/m}}^{3}]=\left[{n_{e} \over 7.69\times 10^{18}{\textrm {m}}^{-3}}\right]^{2}T_{e}[{\textrm {eV}}]^{1/2}Z_{\mathrm {eff} }$ .
Cette formule est proche de la valeur théorique si K=3,17 ; la valeur K=3 est suggérée par Ichimaru.
Pour des températures très élevées, il faut apporter des corrections relativistes en ajoutant des termes d'ordre k$_B$T$_e$/m$_e$c$^2$.
Si le plasma est optiquement mince, la radiation du Bremsstrahlung quitte le plasma, emportant une partie de son énergie. Cet effet est appelé « refroidissement par Bremsstrahlung ».

## Description par la mécanique quantique

La description entière à l'aide de la mécanique quantique a été exécutée pour la première fois par Bethe et Heitler. Ils supposaient une onde plane pour des électrons qui sont diffusés par le noyau atomique, et ont déduit une section efficace qui lie la géométrie entière de ce phénomène à la fréquence du photon émis. La section efficace, qui montre une symétrie de la mécanique quantique à la création de paires, est:
    ${\begin{aligned}d^{4}\sigma &={\frac {Z^{2}\alpha _{\mathrm {fine} }^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}d\Omega _{f}d\Phi }{|{\vec {q}}|^{4}}}\times \\&\times \left[{\frac {{\vec {p}}_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\right.\\&+{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\\&+2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+{\vec {p}}_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})}}\\&-2\left.{\frac {|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\right].\end{aligned}}$
Où, $Z$ est le numéro atomique, $\alpha _{\mathrm {fine} }\approx 1/137$ la constante de structure fine, $\hbar$ la constante de Planck réduite et $c$ la vitesse de la lumière. L'énergie cinétique $E_{\mathrm {kin} ,i/f}$ de l'électron dans l'état initial et final est liée à son énergie totale $E_{i,f}$ et sa quantité de mouvement ${\vec {p}}_{i,f}$ par la formule :
$E_{i,f}=E_{\mathrm {kin} ,i/f}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+{\vec {p}}_{i,f}^{2}c^{2}}},$
où $m_{e}$ est la masse de l'électron. La conservation de l'énergie donne
$E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,$
où $\hbar \omega$ est l'énergie cinétique du photon. Les directions du photon émis et de l'électron diffusé sont donnés par
${\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle ({\vec {p}}_{i},{\vec {k}}),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle ({\vec {p}}_{f},{\vec {k}}),\\\Phi &={\text{Angle entre les ondes planes }}({\vec {p}}_{i},{\vec {k}}){\text{ et }}({\vec {p}}_{f},{\vec {k}}),\end{aligned}}$
où ${\vec {k}}$ est la quantité de mouvement du photon.
Les différentielles sont données par
${\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}$
La valeur absolue du photon virtuel entre le noyau atomique et l'électron est
${\begin{aligned}-{\vec {q}}^{2}&=-|{\vec {p}}_{i}|^{2}-|{\vec {p}}_{f}|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2|{\vec {p}}_{i}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2|{\vec {p}}_{f}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&+2|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi ).\end{aligned}}$
La validité est donnée par l'approximation de Born
$v\gg {\frac {Zc}{137}}$
où cette relation est vraie pour la vélocité $v$ du électron dans l'état initial et final.
Pour les applications pratiques (par exemple des codes de Monte Carlo) il peut être intéressant de se concentrer sur la relation entre la fréquence du photon émis et l'angle entre ce photon et l'électron entré. Köhn et Ebert ont intégré la section efficace de Bethe et Heitler sur $\Phi$ et $\Theta _{f}$ et ont obtenu:
    ${\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}$
avec
    ${\begin{aligned}I_{1}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}(\Delta _{1}+\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}(\Delta _{1}-\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\right],\\I_{2}&=-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\\&\times \ln {\Bigg{\Big(E_{f}+p_{f}c)(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{f}-p_{f}c)+(\Delta _{1}+\Delta _{2})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)\\&-{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}})){\Big )}{\Big(E_{f}-p_{f}c)(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(-E_{f}-p_{f}c)\\&+(\Delta _{1}-\Delta _{2})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)-{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}})){\Big )}^{-1}{\Bigg )}\\&\times \left[-{\frac {(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2})+p_{f}c(2(\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}(3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}))}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&-{\frac {c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}\\&-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}(2(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c)}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})^{2}}}\\&+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\right],\\I_{4}&=-{\frac {4\pi Ap_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})^{2}}},\\I_{5}&={\frac {4\pi A}{(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\\&\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&\times {\frac {E_{f}[2\Delta _{2}^{2}(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2})]+p_{f}c[2\Delta _{1}\Delta _{2}(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}]}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\{2(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}[(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2})(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2})+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c]\}}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\\&+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}&={\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})^{2}(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}},\end{aligned}}$
et
${\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\mathrm {fine} }^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-{\vec {p}}_{i}^{2}-{\vec {p}}_{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega |{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega |{\vec {p}}_{f}|+2|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}$
Une double intégration différentielle de la section efficace montre, par exemple, que des électrons dont l'énergie cinétique est plus grande que l'énergie au repos (511 keV), émettent des photons en majorité dans la direction située devant eux alors que des électrons de plus petite énergie émettent des photons de façon isotrope (c.-à-d., de façon égale dans toutes les directions).