# Décomposition de Schur

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme
où U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

## Démonstration

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :
   Soient $E$ un $\mathbb {C}$-espace vectoriel de dimension $n$ muni d'un produit scalaire et $v$ un endomorphisme sur $E$, alors $\exists (f_{1},...,f_{n})$ une base orthonormée de $E$ et une famille $(\varphi _{ik})_{1\leq i,k\leq n}\in \mathbb {C}$ telle que $\forall i,\;v(f_{i})=\sum _{k=i}^{n}\varphi _{ik}f_{k}$.
Dans le cas où $v$ est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où $v$ est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension $n\geq 1$ de $E$ le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :
Si la matrice $M_{v}$ associée à $v$ dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir $f_{n+1}$ un vecteur propre normé de $M_{v}$. On pose $F={\text{Vect}}(f_{n+1})^{\perp }$ et on considère l'application linéaire ${\tilde {v}}=\pi _{F}\circ v|_{F}$ où $\pi _{F}$ est le projecteur orthogonal sur $F$ et $v|_{F}$ la restriction de $v$ à $F$. Comme ${\tilde {v}}$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $F$ qui est de dimension $n$, l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée $(f_{1},...,f_{n})$ de $F$ dans laquelle la matrice $M_{\tilde {v}}$ associée à ${\tilde {v}}$ est triangulaire supérieure. Il est alors clair que $(f_{1},...,f_{n},f_{n+1})$ forme une base orthonormée dans laquelle la matrice $M_{v}$ associée à $v$ est triangulaire supérieure.
Si la matrice $M_{v}$ associée à $v$ dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité $0<{\text{rang}}(v)<n+1$. On pose alors $F={\text{ker}}(v)^{C}$ et on considère l'application linéaire ${\tilde {v}}=\pi _{F}\circ v|_{F}$ où $\pi _{F}$ est le projecteur orthogonal sur $F$ et $v|_{F}$ la restriction de $v$ à $F$. Comme $1\leq {\text{dim}}(F)={\text{rang}}(v)<n+1$ on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée $(f_{1},...,f_{{\text{dim}}(F)})$ de $F$ dans laquelle la matrice $M_{\tilde {v}}$ associée à ${\tilde {v}}$ est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée $(f_{1},...,f_{{\text{dim}}(F)},f_{{\text{dim}}(F)+1},...,f_{n+1})$ de $E$. Comme ${\text{Vect}}(f_{{\text{dim}}(F)+1},...,f_{n+1})={\text{ker}}(v)$, il est clair que la matrice $M_{v}$ associée à $v$ est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.

## Propriétés

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M$^,$.
A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.
Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

## Cas réel

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit
avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.
Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.