# Semi-continuité

En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée ℝ = ℝ ∪ {–∞, +∞} ; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction f est dite semi-continue supérieurement en x$_0$ si, lorsque x est proche de x$_0$, f(x) est soit proche de f(x$_0$), soit inférieur à f(x$_0$). Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente.

## Exemples

Considérons la fonction f définie par f(x) = 0 pour x ≠ 0 et f(0) = 1. Cette fonction est semi-continue supérieurement, mais non semi-continue inférieurement. Plus généralement, la fonction caractéristique d'une partie A d'un espace topologique est semi-continue supérieurement si et seulement si A est fermé et semi-continue inférieurement si et seulement si A est ouvert.
La fonction partie entière f(x) = ⌊x⌋, qui retourne le plus grand entier inférieur ou égal au x donné, est semi-continue supérieurement.
La fonction f définie par f(x) = sin(1/x) pour x ≠ 0 et f(0) = 1 est semi-continue supérieurement (mais n'admet pas de limite à gauche ni à droite en 0).
La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle est semi-continue supérieurement.
L'application rang (taille du plus grand mineur non nul), de M$_{m,n}$(ℝ) dans ℝ, est semi-continue inférieurement, mais pas supérieurement, sauf aux points où elle atteint sa valeur maximum, min(m, n).
L'application longueur d'un arc dans un espace métrique E, ou plus généralement variation totale V$_I$(f) d'une fonction f d'un ensemble totalement ordonné I dans E, est semi-continue inférieurement, sur l'espace de fonctions bornées B(I, E) (muni de la topologie de la convergence uniforme). Cela signifie exactement que pour tout réel positif r, la partie $\{f\in B(I,E)\mid V_{I}(f)\leq r\}$ est fermée dans B(I, E).

## Définitions formelles

Soit X un espace topologique, x$_0$ un point de X et f une fonction de X dans ℝ.

### Semi-continuité supérieure

On dit que f est semi-continue supérieurement en x$_0$ si :
pour tout $t>f(x_{0})$, il existe un voisinage U de x$_0$ tel que$\forall x\in U,~f(x)\leq t~;$
Si on est dans un espace métrique, la propriété suivante suffit :
$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$, où lim sup désigne la limite supérieure d'une fonction en un point.
La fonction f est dite semi-continue supérieurement si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
* f est semi-continue supérieurement en tout point de X ;
* pour tout réel α, l'ensemble de sur-niveau $\{x\in X\mid f(x)\geq \alpha \}$ est fermé ;
* l'hypographe $\{(x,\alpha )\in X\times \mathbb {R} \mid f(x)\geq \alpha \}$ est fermé.

### Semi-continuité inférieure

Les notions de semi-continuité inférieure d'une fonction se définissent de manière analogue, par symétrie car elles reviennent aux notions correspondantes de semi-continuité supérieure de la fonction opposée.
On dit que f est semi-continue inférieurement en x$_0$ si :
pour tout $t<f(x_{0})$, il existe un voisinage U de x$_0$ tel que$\forall x\in U,~f(x)\geq t~;$
Si on est dans un espace métrique, la propriété suivante suffit :
$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$, où lim inf désigne la limite inférieure d'une fonction en un point.
La fonction f est dite semi-continue inférieurement si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
* f est semi-continue inférieurement en tout point de X ;
* pour tout réel α, l'ensemble de sous-niveau $\{x\in X\mid f(x)\leq \alpha \}$ est fermé ;
* l'épigraphe $\{(x,\alpha )\in X\times \mathbb {R} \mid f(x)\leq \alpha \}$ est fermé.
En analyse convexe, où l'épigraphe d'une fonction joue un rôle particulier (il est convexe si et seulement si la fonction est convexe), une fonction semi-continue inférieurement est dite « fermée » (parce que son épigraphe est fermé), mais la notion d'application fermée en topologie générale est différente.

## Propriétés

Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est semi-continue supérieurement et inférieurement en ce point.
Une fonction est semi-continue inférieurement si et seulement si, considérée comme fonction à valeurs dans ℝ muni de la topologie stricte à droite, elle est continue (la semi-continuité supérieure se caractérise de même à l'aide de la topologie stricte à gauche).
Si f et g sont deux fonctions semi-continues supérieurement (resp. inférieurement) en x$_0$, alors f + g l'est aussi. Si de plus les deux fonctions sont à valeurs positives ou nulles, leur produit fg est également semi-continu supérieurement (resp. inférieurement) en x$_0$. Le produit d'une fonction semi-continue supérieurement par un réel négatif est une fonction semi-continue inférieurement.
La borne supérieure f d'une famille (f$_i$)$_{i∈I}$ de fonctions semi-continues inférieurement de X dans ℝ est semi-continue inférieurement. En effet, pour tout réel α, l'ensemble
$\{x\in X\mid f(x)>\alpha \}=\left\{x\in X~\left|~\sup _{i\in I}f_{i}(x)>\alpha \right.\right\}=\bigcup _{i\in I}\{x\in X\mid f_{i}(x)>\alpha \}$
est une réunion d'ouverts, donc un ouvert.
Par contre, même si toutes les fonctions f$_i$ sont continues, f n'est pas nécessairement continue : en fait, sur un espace uniforme, toute fonction semi-continue inférieurement est le sup d'une famille de fonctions continues (si X est un espace métrique, cette famille peut même être choisie dénombrable, donc toute fonction réelle semi-continue sur X est de classe de Baire 1).
Si C est un compact (par exemple un intervalle fermé [a, b] de ℝ) ou même seulement un espace dénombrablement compact et si f : C → ℝ est semi-continue supérieurement, alors f est majorée sur C et atteint sa borne supérieure. La propriété est analogue pour la borne inférieure d'une fonction semi-continue inférieurement. Ces propriétés généralisent le théorème des bornes.

## Semi-continuité faible

Dans le cas où X est un espace vectoriel topologique, on dit que la fonction f est faiblement semi-continue (inférieurement ou supérieurement) lorsque la limite dans la définition de semi-continuité est prise au sens de la topologie faible. Afin d'éviter les ambiguïtés, on écrira parfois fortement semi-continue pour désigner la semi-continuité définie pour la topologie forte.