# Méthode de Laplace

En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon de Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :
    $\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x\,$
où f est une fonction deux fois dérivable, M est un grand nombre réel et les bornes a et b peuvent éventuellement être infinies.

## Principe de la méthode

Pour M > 0, si l'on suppose que la fonction f admet un unique maximum au point $x_{0}$ alors pour M grand, seuls les points au voisinage de x$_0$ contribuent de façon significative à l'intégrale :
    $\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x.\,$
Si M est négatif, en considérant –M et –f on peut se ramener à considérer les maximums de –f donc les minimums de f.

## Méthode de Laplace, cas général

Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises. Le point x$_0$ ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et f(x) ne peut s'approcher de la valeur f(x$_0$) qu'au voisinage de x$_0$.
Par application du théorème de Taylor, au voisinage de x$_0$, f(x) s'écrit :
    $f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+O\left((x-x_{0})^{3}\right)$.
Puisque f admet un maximum en x$_0$, qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale, $f\,'(x_{0})=0$ et $f\,''(x_{0})<0$, on a alors dans un voisinage de x$_0$ :
    $f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}$
Et pour l'intégrale :
    $\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x\approx \mathrm {e} ^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}\,\mathrm {d} x$
La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes a et b par -∞ et +∞ et l'on a alors :
$\int _{a}^{b}\!\mathrm {e} ^{Mf(x)}\,\mathrm {d} x\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}\mathrm {e} ^{Mf(x_{0})}{\mbox{ quand }}M\to \infty$
Le remplacement des bornes par -∞ et +∞ est numériquement valide car, quel que soit $k\in \mathbb {N} ,\,\mathrm {e} ^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}$ est un $o\left((x-x_{0})^{-k}\right)$
Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où x$_0$ est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de x$_0$ ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de f auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour
    $I(\lambda )=\int _{\mathcal {C}}f(z)\mathrm {e} ^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z\,$

## Exemple : formule de Stirling

La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :
Pour N grand :$N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}\mathrm {e} ^{-N}\,$
Par définition de la fonction gamma, on a
    $N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{N}\,\mathrm {d} x.\,$
Avec le changement de variable x = Nz on obtient :
    ${\begin{aligned}N!&=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}N\,\mathrm {d} z=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-Nz}z^{N}\,\mathrm {d} z\\&=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-Nz}\mathrm {e} ^{N\ln z}\,\mathrm {d} z=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{N(\ln z-z)}\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}$
En considérant la fonction f(z) = ln(z) – z, qui est deux fois dérivable :
    $f'(z)={\frac {1}{z}}-1\,,\ f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.\,$
on voit que f atteint son maximum en z = 1 et sa dérivée seconde vaut –1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace :
    $N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}\mathrm {e} ^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}\mathrm {e} ^{-N}.\,$