# Produit (catégorie)

Dans une catégorie, le produit d'une famille d'objets est sa limite, lorsqu'elle existe. Il est donc caractérisé par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable.

## Définition

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie et $(X_{i})_{i\in I}$ une famille d'objets de ${\mathcal {C}}$. On cherche un couple $(X,(\pi _{i})_{i\in I})$, où X soit un objet de ${\mathcal {C}}$ et $(\pi _{i})_{i\in I}$ une famille de morphismes $\pi _{i}:X\to X_{i}$, tel que pour tout objet Y de ${\mathcal {C}}$ et pour toute famille de morphismes $f_{i}:Y\to X_{i}$, il existe un unique morphisme $f:Y\to X$ tel que pour tout indice i, on ait $\pi _{i}\circ f=f_{i}$.
Si un tel couple $(X,(\pi _{i})_{i\in I})$ existe, on dit que c'est un produit des $(X_{i})_{i\in I}$. On dit aussi, moins rigoureusement, que X est un produit des $(X_{i})_{i\in I}$. Les morphismes $\pi _{i}$ sont appelés les projections canoniques et les morphismes $f_{i}$ les composantes de $f$.
Étant donné une catégorie ${\mathcal {C}}$ et une famille $(X_{i})_{i\in I}$ d'objets de ${\mathcal {C}}$, les couples $(Y,(\lambda _{i})_{i\in I})$, où Y est un objet de ${\mathcal {C}}$ et $(\lambda _{i})_{i\in I}$ une famille de morphismes $\lambda _{i}:Y\to X_{i}$, sont les objets d'une catégorie ${\mathcal {C}}'$, les morphismes (selon ${\mathcal {C}}'$) de l'objet $(Y,(\lambda _{i})_{i\in I})$ vers l'objet $(Y',(\lambda '_{i})_{i\in I})$ étant les morphismes (selon ${\mathcal {C}}$) f de Y dans Y' tels que, pour tout i, $\lambda '_{i}\circ f=\lambda _{i}$ (le morphisme identité de $(Y,(\lambda _{i})_{i\in I})$ dans la catégorie ${\mathcal {C}}'$ étant le morphisme identité de Y dans la catégorie ${\mathcal {C}}$). La définition du produit revient alors à dire qu'un produit de la famille $(X_{i})_{i\in I}$ d'objets de ${\mathcal {C}}$ est un objet final de la catégorie ${\mathcal {C}}'$. Comme deux objets finaux d'une catégorie sont isomorphes dans cette catégorie, deux produits $(X,(\pi _{i})_{i\in I})$ et $(X',(\pi '_{i})_{i\in I})$ d'une même famille d'objets de ${\mathcal {C}}$ sont toujours isomorphes dans ${\mathcal {C}}'$, donc, a fortiori, les «produits» X et X' sont isomorphes dans ${\mathcal {C}}$. Réciproquement, si X et X' sont deux objets isomorphes de ${\mathcal {C}}$, si X est un «produit» d'une famille d'objets de ${\mathcal {C}}$, alors X' est lui aussi un «produit» de cette famille. Tout ceci montre que le produit est défini à isomorphisme près.
Dans toute catégorie, le produit des $(X_{i})_{i\in I}$, lorsqu'il existe, représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien $\prod _{i\in I}Hom(Y,X_{i})$.

## Produit et somme

La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie duale.

## Exemples

* Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille d'ensembles est leur produit cartésien, muni des projections respectives.
* Le produit indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
* Dans la catégorie des magmas, des monoïdes ou des groupes, le produit est le produit direct. Il se construit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Le produit commute donc avec le foncteur d'oubli.
* Lorsque A est un anneau commutatif, dans la catégorie des A-modules, le produit est le produit direct. La catégorie des K-espaces vectoriels ainsi que la catégorie des groupes commutatifs en sont des cas particuliers.
* Le produit d'une famille de corps (resp. corps commutatifs) n'existe pas forcément dans la catégorie des corps (resp. corps commutatifs). Par exemple, si K désigne un corps (commutatif) à 2 éléments et L un corps (commutatif) à 3 éléments, le produit de K et de L n'existe pas dans la catégorie des corps ni dans celle des corps commutatifs. En effet, les projections d'un tel produit M seraient respectivement des homomorphismes de M dans K et dans L. Or tout homomorphisme de corps est injectif, donc M serait isomorphe à la fois à un sous-corps d'un corps à 2 éléments et à un sous-corps d'un corps à 3 éléments, ce qui est impossible.
* Dans la catégorie des espaces topologiques, le produit s'obtient en construisant la topologie produit (topologie de la convergence simple) sur le produit cartésien.
* Le produit fibré est une version plus sophistiquée du produit.