# Équation de Scorer

L’équation de Scorer est une relation mathématique développée par le météorologue britannique Richard Scorer pour décrire le comportement des ondes orographiques en aval d'un relief montagneux selon la stabilité de l'air et la force des vents. Cette équation, dérivée de la théorie des ondes de gravité atmosphérique, est très utile en météorologie des montagnes et en aviation pour calculer la magnitude de la turbulence et des rotors en aval de montagnes.

## Définition

Les ondes orographiques ont longtemps été incomprises de la part des pilotes d'avion à moteur. Comme l'air est extrêmement laminaire au-dessus des rotors, une légende voulait que les instruments de l'avion (altimètre et variomètre) étaient tombés en panne et donnaient des indications fausses. En fait, ces instruments fonctionnaient parfaitement et de nombreux pilotes se sont écrasés sur des montagnes. À la suite de ces accidents et des recherches effectuées par Richard Scorer$^,$$^,$ et Paul Queney, l'existence d'ondes puissantes en aval des montagnes a été découverte.
Comme les chaînes de montagnes sont souvent rectilignes, il est possible de développer un modèle en 2 dimensions de ce phénomène. Ce modèle est fondé sur l'équation de Scorer, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre (qui est une équation de Helmholtz), décrivant les ondes de gravité engendrées par un vent fort au-dessus de montagnes. Les dimensions sont notées x et z. La vitesse horizontale du vent est notée u(x,z) et la vitesse verticale est notée w(x,z).
La démonstration de l'équation de Scorer s'appuie sur les équations de Navier-Stokes et l'approximation de Boussinesq. On considère 3 types d'équations :
* La quantité de mouvement : ${d{\vec {u}} \over dt}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}$
* L'énergie ;
* La conservation de la masse : ${\vec {\nabla }}(\rho {\vec {u}})=0$
En plus de l'équation des gaz parfaits : $p=\rho (c_{p}-c_{v})T$
Où :
* ${\vec {u}}$ est le vecteur vitesse du vent ;
* $\rho$ est la masse volumique de l'air ;
* $p$ est la pression atmosphérique ;
* $g$ est l'accélération de la pesanteur ;
* ${\vec {k}}$ est le vecteur normalisé pointé vers le haut.
$c_{p}$ et $c_{v}$ sont les chaleurs spécifiques de l'air à pression constante et à volume constant.
En combinant ces équations, il en résulte l'équation de Scorer de la relation du mouvement vertical des parcelles d'air dans l'onde produite en aval d'une montagne$^,$$^,$ :
       $\Delta w+\ell ^{2}w=0$
Avec le paramètre de Scorer $\ell ^{2}$ défini comme suit :
       $\ell (z)^{2}={N^{2} \over u_{0}^{2}}-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}$
où
* N est la fréquence de Brunt-Väisälä ;
* $u_{0}(z)$ est la vitesse horizontale moyenne à l'altitude z.

## Démonstration de l'équation de Scorer

La démonstration de cette équation s'appuie sur la théorie des perturbations. Chaque quantité physique q est décomposée de la manière suivante :
    $q=q_{0}+q'$
où q$_0$ est la valeur moyenne de la quantité et q' est une perturbation en supposant que :
    $|q'|\ll |q_{0}|$
Lorsque l'on développe les équations de Navier-Stokes, on linéarise et l'on néglige les termes de second ordre de type $q_{1}'q_{2}'$. Cette démonstration est assez longue et peut être consultée dans la boîte déroulante ci-dessous.
On définit
    ${\vec {u}}={\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}'$
comme étant la somme de la vitesse du vent hors perturbation et de la perturbation du vecteur vitesse.
On définit de la même manière la masse volumique, la pression et la température hors perturbation et leurs perturbations respectives.
    $\rho =\rho _{0}+\rho ',\,p=p_{0}+p',\,T=T_{0}+T'$
L'équation de conservation de la masse s'écrit :
    ${\vec {\nabla }}(\rho {\vec {u}})={\partial (\rho u) \over \partial x}+{\partial (\rho w) \over \partial z}=0$
On obtient donc :
    $u{\partial \rho \over \partial x}+\rho {\partial u \over \partial x}+w{\partial \rho \over \partial z}+\rho {\partial w \over \partial z}=0$
On suppose que u$_0$ et ρ$_0$ ne dépendent que de z. On obtient alors :
    $u{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho {\partial u' \over \partial x}+w'{\partial \rho \over \partial z}+\rho {\partial w' \over \partial z}=0$
On note que w$_0$ est nul.
On supprime les termes de second ordre dans cette équation et l'on obtient alors :
    $u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho _{0}{\partial u' \over \partial x}+w'{\partial \rho _{0} \over \partial z}+\rho _{0}{\partial w' \over \partial z}=0$
On peut remplacer les dérivées partielles en z :
    $u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+\rho _{0}{\partial u' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}+\rho _{0}{\partial w' \over \partial z}=0$
On utilise maintenant l'équation des gaz parfaits :
    $p=\rho (c_{p}-c_{v})T$
On définit $R=c_{p}-c_{v}$. On différencie :
    ${dp \over dt}={d\rho \over dt}RT+\rho R{dT \over dt}$
Le mouvement de la parcelle d'air est adiabatique :
    $T\alpha \rho ^{\gamma -1}$
où $\gamma ={c_{p} \over c_{v}}={7 \over 5}$
Donc,
    ${dT \over dt}={T \over \rho }(\gamma -1){d\rho \over dt}$
En remplaçant, on obtient :
    ${\begin{aligned}{dp \over dt}={d\rho \over dt}RT+\rho R{T \over \rho }(\gamma -1){d\rho \over dt}&={d\rho \over dt}RT(1+\gamma -1)\\&={d\rho \over dt}RT{c_{p} \over c_{v}}\end{aligned}}$
On définit la vitesse du son adiabatique :
    $c^{2}=\gamma RT$
On obtient donc :
    ${dp \over dt}=c^{2}{d\rho \over dt}$
On développe l'équation suivante en termes d'advection :
    ${\partial p \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}\left[{\partial \rho \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho \right]$
On est en régime stationnaire :
    $({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})p=c^{2}({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho$
Donc,
    $u{\partial p \over \partial x}+w{\partial p \over \partial z}=c^{2}\left(u{\partial \rho \over \partial x}+w{\partial \rho \over \partial z}\right)$
On rappelle que p$_0$ et ρ$_0$ ne dépendent que de z. À nouveau, on linéarise et supprime les termes de second ordre :
    $u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{\partial p_{0} \over \partial z}=c^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{\partial \rho _{0} \over \partial z}\right)$
On peut remplacer la dérivée partielle en z :
    $u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}=c^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}\right)$
On linéarise à nouveau :
    $u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}=c_{0}^{2}\left(u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}+w'{d\rho _{0} \over dz}\right)$
On obtient donc :
    $c_{0}^{2}u_{0}{\partial \rho ' \over \partial x}=u_{0}{\partial p' \over \partial x}+w'{dp_{0} \over dz}-w'c_{0}^{2}{d\rho _{0} \over dz}$
Ainsi,
    ${u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}={u_{0} \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{\partial p' \over \partial x}+w'{1 \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{dp_{0} \over dz}-w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}$
La dérivée partielle de p' correspond aux ondes acoustiques. On peut donc ignorer ce terme :
    ${u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'\left({1 \over \rho _{0}c_{0}^{2}}{dp_{0} \over dz}-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}\right)$
On rappelle que
    ${dp_{0} \over dz}=-\rho _{0}g$
et donc,
    ${u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'\left(-{g \over c_{0}^{2}}-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}\right)$
Or
    $-{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}-{g \over c_{0}^{2}}={1 \over \theta _{0}}{d\theta _{0} \over dz}$
où θ$_0$ est la température potentielle.
On définit la fréquence de Brunt-Väisälä comme étant :
    $N^{2}={g \over \theta _{0}}{d\theta _{0} \over dz}$
Donc,
    ${u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'{N^{2} \over g}$
On reprend l'équation de conservation de la masse :
    ${\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}+w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}+{u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=0$
On remplace :
    ${\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}+w'{1 \over \rho _{0}}{d\rho _{0} \over dz}+w'{N^{2}u_{0} \over g}=0$
Finalement :
    ${\partial u' \over \partial x}+{\partial w' \over \partial z}={g \over c_{0}^{2}}w'$
L'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
    ${d{\vec {u}} \over dt}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}$
On obtient en étendant la dérivée :
    ${\partial {\vec {u}} \over \partial t}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p-g{\vec {k}}$
On est en conditions stationnaires ${\partial {\vec {u}} \over \partial t}={\vec {0}}$. Donc :
    $({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{1 \over \rho }{\vec {\nabla }}p$
On développe :
    $\left(u{\partial \over \partial x}+w{\partial \over \partial z}\right){\vec {u}}=-{1 \over \rho }\left({\partial p \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial p \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}$
On rappelle que w$_0$ est nul. Donc,
    $(u_{0}+u'){\partial ({\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}') \over \partial x}+w'{\partial ({\vec {u_{0}}}+{\vec {u}}') \over \partial z}=-{1 \over \rho }\left({\partial (p_{0}+p') \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial (p_{0}+p') \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}$
On rappelle que ${\vec {u_{0}}}$ et p$_0$ ne dépendent que de z. Donc,
    $(u_{0}+u'){\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{\partial ({\vec {u}}_{0}+{\vec {u}}') \over \partial z}=-{1 \over \rho }\left({\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial (p_{0}+p') \over \partial z}{\vec {k}}\right)-g{\vec {k}}$
On linéarise et on supprime les termes de second ordre. Donc,
    $u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{\partial {\vec {u}}_{0} \over \partial z}=-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{1 \over \rho }{\partial p_{0} \over \partial z}{\vec {k}}-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g{\vec {k}}$
On remplace les dérivées partielles en z :
    $u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+w'{d{\vec {u}}_{0} \over dz}=-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{1 \over \rho }{dp_{0} \over dz}{\vec {k}}-{1 \over \rho }{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g{\vec {k}}$
On multiplie par ρ :
    $\rho u_{0}{\partial {\vec {u}}' \over \partial x}+\rho w'{d{\vec {u}}_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}{\vec {i}}-{dp_{0} \over dz}{\vec {k}}-{\partial p' \over \partial z}{\vec {k}}-g\rho {\vec {k}}$
On projette suivant ${\vec {i}}$ :
    $\rho u_{0}{\partial u' \over \partial x}+\rho w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}$
On linéarise à nouveau :
    $\rho _{0}u_{0}{\partial u' \over \partial x}+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}$
On peut éliminer u' :
$\rho _{0}u_{0}\left(-{\partial w' \over \partial z}+{g \over c_{0}^{2}}w'\right)+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}=-{\partial p' \over \partial x}$
On projette suivant ${\vec {k}}$ :
    $\rho u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{dp_{0} \over dz}-{\partial p' \over \partial z}-\rho g=-{dp_{0} \over dz}-{\partial p' \over \partial z}-(\rho _{0}+\rho ')g$
On note que :
    ${dp_{0} \over dz}=-\rho _{0}g$
Donc,
    $\rho u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{\partial p' \over \partial z}-\rho 'g$
On linéarise à nouveau :
    $\rho _{0}u_{0}{\partial w' \over \partial x}=-{\partial p' \over \partial z}-\rho 'g$
On rappelle que :
    $-{\partial p' \over \partial x}=\rho _{0}u_{0}\left(-{\partial w' \over \partial z}+{g \over c_{0}^{2}}w'\right)+\rho _{0}w'{du_{0} \over dz}$
et aussi
$-{\partial p' \over \partial z}=\rho _{0}u_{0}{\partial w' \over \partial x}+\rho 'g$
On élimine p en différenciant ces deux équations :
    ${\begin{aligned}-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}&=-{d(\rho _{0}u_{0}) \over dz}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d(u_{0}\rho _{0}) \over dz}{g \over c_{0}^{2}}w'+{u_{0}\rho _{0}g \over c_{0}^{2}}{\partial w' \over \partial z}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'+\rho _{0}{du_{0} \over dz}{\partial w' \over \partial z}\\&=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d(u_{0}\rho _{0}) \over dz}{g \over c_{0}^{2}}w'+{u_{0}\rho _{0}g \over c_{0}^{2}}{\partial w' \over \partial z}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'\end{aligned}}$
On néglige les phénomènes de compressibilité et l'on considère que $c_{0}\approx \infty$.
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d \over dz}\left(\rho _{0}{du_{0} \over dz}\right)w'$
On développe un peu plus :
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-{d\rho _{0} \over dz}u_{0}{\partial w' \over \partial z}-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{d\rho _{0} \over dz}{du_{0} \over dz}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'$
On utilise la loi des gaz parfaits :
    $p_{0}=\rho _{0}RT_{0}\,\Leftrightarrow \,\rho _{0}={p_{0} \over RT_{0}}$
Donc,
    ${d\rho _{0} \over dz}={1 \over RT_{0}}{dp_{0} \over dz}-{dT_{0} \over dz}{p_{0} \over RT_{0}^{2}}$
Donc,
    ${d\rho _{0} \over dz}={\rho _{0}g \over RT_{0}}-{dT_{0} \over dz}{p_{0} \over RT_{0}^{2}}$
On rappelle que $c_{0}^{2}=\gamma RT$ et le fluide est supposé être incompressible :
    ${d\rho _{0} \over dz}\approx 0$
On obtient donc finalement :
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}=-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'$
On considère la deuxième équation :
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}={\partial \rho _{0}u_{0} \over \partial x}{\partial w' \over \partial x}+rho_{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial \rho ' \over \partial z}g$
Sachant que ρ$_0$ et u$_0$ ne dépendent que de z :
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial \rho ' \over \partial z}g$
On rappelle que :
    ${u_{0} \over \rho _{0}}{\partial \rho ' \over \partial x}=w'{N^{2} \over g}$
Donc,
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+g{N^{2}\rho _{0} \over gu_{0}}w'=\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{N^{2}\rho _{0} \over u_{0}}w'$
On écrit que :
    $-{\partial ^{2}p' \over \partial z\partial x}=-{\partial ^{2}p' \over \partial x\partial z}$
Donc,
    $\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{N^{2}\rho _{0} \over u_{0}}w'=-\rho _{0}u_{0}{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\rho _{0}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'=-{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}w'$
Finalement, l'on obtient la formule de Scorer :
    ${\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}}w'-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}\right)w'$
On définit le paramètre de Scorer par :
    $\ell ^{2}={N^{2} \over {u_{0}}^{2}}-{1 \over u_{0}}{d^{2}u_{0} \over dz^{2}}$
Finalement l'équation de Scorer s'écrit :
    ${\partial ^{2}w' \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}w' \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}w'=0$
Cette équation est linéaire en w' = w et peut être résolue analytiquement dans de nombreux cas.

## Solutions analytiques
### Cas d'un terrain sinusoïdal

En cas de terrain sinusoïdal de période L, la solution à l'équation de Scorer sera périodique. On définit $k=2\pi /L$. Soit $\ell$ le paramètre de Scorer.
Dans le cas où $\ell <k$, la vitesse verticale peut être exprimée comme suit :
    $w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos(kx)\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}$
Dans le cas où $\ell >k$, la vitesse verticale peut être exprimée comme suit :
    $w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]$

#### Conditions aux limites

En cas de terrain sinusoïdal de période L, la solution à l'équation de Scorer sera périodique. On définit $k=2\pi /L$.
Au niveau du sol, le vent est tangent à la pente.
La condition aux limites s'écrit donc :
    $w(x,h(x))=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}$
On effectue un développement limité :
    $w(x,0)+{\partial w \over \partial z}h(x)=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}$
On utilise l'équation de continuité :
    ${\partial (u_{0}+u') \over \partial x}+{\partial w \over \partial z}=0$
On note que u_0 ne dépend que de z :
    ${\partial u' \over \partial x}+{\partial w \over \partial z}=0$
En substituant, on obtient donc :
    $w(x,0)-{\partial u' \over \partial x}h(x)=(u_{0}+u'){\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}$
La quantité $u'h(x)$ est une quantité du second ordre. On obtient alors :
    $-{\partial u' \over \partial x}h(x)\approx u'{\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}$
On obtient donc la condition aux limites suivante :
    $w(x,0)=u_{0}{\mathrm {d} h(x) \over \mathrm {d} x}$
On définit : $h(x)=\sin(kx)$
Ainsi, $w(x,0)=u_{0}h_{0}k\cos(kx)$

#### Formulation de l'équation de Scorer

En cas de terrain sinusoïdal de période L, la solution à l'équation de Scorer sera périodique. On exprime la solution sous forme de série de Fourier qui se réduit à 1 terme.
On définit $k=2\pi /L$. On peut donc écrire :
    $w(x,z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}(z)\left(\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)\right)$.
L'équation de Scorer devient alors :
    $\sum _{n\geq 1}\left({\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}\cos(nkx)+{\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}\sin(nkx)-k^{2}[a_{n}(z)\cos(kx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]+\ell ^{2}[a_{n}(z)\cos(nkx)+b_{n}(z)\sin(nkx)]\right)=0$
Les fonctions cosinus et sinus sont linéairement indépendantes. On obtient donc les équations différentielles suivantes :
    ${\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over dz^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})a_{n}(z)=0,\quad {\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over dz^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})b_{n}(z)=0$
La forme de la solution dépend des valeurs de k et $\ell$.
Si la stabilité de l'atmosphère est neutre, on a en première approximation $\ell =0$.

#### Cas où l < k

Dans la boîte déroulante, on démontre la formule ci-dessus.
Comme il a été dit plus haut, ce cas est assez courant. On a alors:
    $a_{n}(z)=\alpha _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}+\alpha '_{n}\mathrm {e} ^{{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}$
Le second terme de la somme est non physique et donc est éliminé. Il en est de même pour b(z). On a donc :
    $a_{n}(z)=\alpha _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}\qquad b_{n}(z)=\beta _{n}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}$
On a donc :
    $w(x,z)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}$
On applique la condition aux limites discutée ci-dessus.
On a donc à z = 0
    $u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]e^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}0}$
Donc,
    $u_{0}h_{0}k\cos(kx)=\left[\sum _{n\geq 1}\left(\alpha _{n}\cos(nkx)+\beta _{n}\sin(nkx)\right)\right]\times 1$
Les fonctions sinus et cosinus sont linéairement indépendantes. Le seul terme non nul est α$_1$. Donc,
    $w(x,z)=h_{0}k\cos(kx)\mathrm {e} ^{-{\sqrt {k^{2}-\ell ^{2}}}z}$

#### Cas où l > k

On écrit :
    $w(x,z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}(z)\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}b_{n}(z)\sin(nkx)$
On rappelle que :
    ${\mathrm {d} ^{2}a_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})a_{n}(z)=0$
    ${\mathrm {d} ^{2}b_{n}(z) \over \mathrm {d} z^{2}}+(\ell ^{2}-k^{2})b_{n}(z)=0$
On a alors :
    $a_{n}(z)=\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]$
De même,
    $b_{n}(z)=\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]$
Dans ce cas, on a :
    $w(x,z)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z]\right]\sin(nkx)$
On exprime les conditions aux limites au niveau du sol et l'on a donc :
    $u_{0}h_{0}k\cos(kx)=w(x,0)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\alpha '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\cos[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]+\beta '_{n}\sin[{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\left[\alpha _{n}\times 1+\alpha '_{n}\times 0\right]\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\left[\beta _{n}\times 1+\beta '_{n}\times 0]\right]\sin(nkx)=\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}\cos(nkx)+\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\sin(nkx)$
On obtient donc pour $n\geq 2$:
    $\alpha _{n}=\beta _{n}=\alpha '_{n}=\beta '_{n}=0$
On peut maintenant reformuler la vitesse verticale en utilisant les formules trigonométriques :
    $w(x,z)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]$
On considère maintenant la condition limite en z = 0. On a donc :
    $u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+B\cos \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+C\sin \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]+D\sin \left[kx-{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}0\right]$
Donc,
    $u_{0}h_{0}k\cos(kx)=A\cos(kx)+B\cos(kx)+C\sin(kx)+D\sin(kx)$
On obtient donc $A+B=u_{0}h_{0}k$ et $C+D=0$.
À cause de la friction, les ondes penchent en amont du flot.
Finalement :
    $w(x,z)=u_{0}h_{0}k\cos \left[kx+{\sqrt {\ell ^{2}-k^{2}}}z\right]$

### Montagne isolée
#### Formulation générale

On suppose que la montagne est représentée par une courbe sorcière d'Agnesi comme suit :
    $h(x)=h_{m}a{a^{2} \over a^{2}+x^{2}}$
On rappelle que la transformée de Fourier (voir l'article théorème des résidus) s'exprime comme suit :
    ${\hat {h}}(\xi )=h_{m}a\mathrm {e} ^{-a\xi }$
Dans la boîte déroulante, on exprime de manière générale le déplacement des lignes de courant $\eta (x,z)$.
L'équation différentielle s'écrit :
    ${\partial ^{2}w \over \partial z^{2}}+(\ell ^{2}-\xi ^{2})w=0$
On considère $\xi >\ell$.
La solution est alors :
    $w(\xi ,z)=\alpha (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}+\beta (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}$
Le premier terme est non physique et donc, l'on a:
    ${\hat {w}}(\xi ,z)=\beta \mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}$
On considère $\xi <\ell$.
La solution est alors :
    ${\hat {w}}(\xi ,z)=\gamma \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}+\delta \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}$
La condition aux limites s'exprime par :
    $w(x,0)=u_{0}h'(x)$
Exprimée dans l'espace de Fourier, cette condition aux limites s'exprime comme suit :
    ${\hat {w}}(\xi ,0)=u_{0}{\hat {h}}'(\xi )$
On rappelle que :
    ${\hat {h}}(\xi )=h_{m}a\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi },\,{\hat {h}}'(\xi )=h_{m}ai\xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi }$
On obtient donc dans le cas $\xi >\ell$
    ${\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi =w(\xi ,0)=\beta (\xi )\mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}0}=\beta (\xi )$
Donc,
    ${\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}$
Dans le cas $\xi <\ell$
On a :
    ${\hat {h}}(\xi )i\xi =w(\xi ,0)=\gamma \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}0}+\delta e^{-i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}0}=\gamma +\delta$
On a donc
    $\gamma ={\hat {h}}(\xi )i\xi -\delta$
Donc,
    ${\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}+\delta \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\right)$
On élimine le deuxième terme car non physique. Donc,
    ${\hat {w}}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {i} \xi \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}$
On rappelle que
    $w=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}$.
Donc,
    ${\hat {w}}=u_{0}\mathrm {i} \xi {\hat {\eta }}$
On obtient donc :
    ${\hat {\eta }}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}$ pour $\xi \geq \ell$
    ${\hat {\eta }}(\xi ,z)={\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}$ pour $\xi \leq \ell$
On effectue la transformation de Fourier inverse et l'on obtient donc :
    $\eta (x,z)=\int _{0}^{\infty }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
Donc en développant, on obtient :
    $\eta (x,z)=\int _{0}^{\ell }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {\eta }}(\xi ,z)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}\mathrm {e} ^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$

#### Cas de la montagne aplatie (sorcière d'Agnesi)

Dans le cas d'une montagne aplatie où $a\ell \gg 1$ le déplacement des lignes de courant s'expriment comme suit :
    $\eta (x,z)=h_{m}a{a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z) \over a^{2}+x^{2}}$
On constate clairement que la vitesse verticale a une périodicité verticale.
Dans ce cas, on a $a\ell \gg 1$
Le premier terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
    $\eta (x,z)\approx \int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
Donc $\ell \gg \xi$ et donc :
    $\eta (x,z)\approx \int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\sqrt {\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
Donc,
    $\eta (x,z)\approx e^{-\ell z}\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi \approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}\int _{0}^{\infty }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi$
On remplace maintenant ${\hat {h}}(\xi )=h_{m}ae^{-\xi a}$ et donc:
    $\eta (x,z)\approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}\int _{0}^{\infty }e^{-a\xi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi$
Donc,
    $\eta (x,z)\approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}{1 \over -a+ix}$
Donc,
    $\eta (x,z)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}{a+ix \over a^{2}+x^{2}}$
Donc,
    $\eta (x,z)=\cos(\ell z)+i\sin(\ell z){a+ix \over a^{2}+x^{2}}$
En prenant la partie réelle, on obtient :
    $\eta (x,z)=h_{m}a{a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z) \over a^{2}+x^{2}}$
On rappelle que $w(x,z)=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}$
On obtient donc :
    ${\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{-\sin(\ell z)(a^{2}+x^{2})-2x[a\cos(\ell z)-x\sin(\ell z)] \over (a^{2}+x^{2})^{2}}$
Donc,
    ${\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{(x^{2}-a^{2})\sin(\ell z)-2xa\cos(\ell z) \over (a^{2}+x^{2})^{2}}$
On remarque que :
    $h'(x)=-h_{m}{2a^{2}x \over (a^{2}+x^{2})^{2}}$
Donc,
    ${\partial \eta \over \partial x}=h_{m}a{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin(\ell z)+h'(x)\cos(\ell z)$
On observe donc une périodicité verticale de la vitesse verticale w. Dans le cas où $N=10^{-2}$ $u_{0}=10$, la périodicité verticale sera $Z=2\pi {u_{0} \over N}=6.28$ km.

#### Cas de la montagne aplatie (courbe de Gauss)

On suppose que la montagne a une forme de courbe en cloche. On suppose que :
    $h(x)=h_{0}e^{-{x^{2} \over a^{2}}}$
Le déplacement des lignes de courant se simplifie comme suit :
    $\eta (x,z)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}h(x)$
La transformée de Fourier de la courbe de Gauss est la suivante :
    ${\hat {h}}(\xi )=a{\sqrt {\pi }}h_{0}{\sqrt {\pi }}e^{-{a^{2}\xi ^{2} \over 4}}$
On rappelle que :
    $\eta (x,z)\simeq e^{-\ell z}\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi \approx \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}\int _{0}^{\infty }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi$
soit
    $\eta (x,z)\simeq \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}{\sqrt {\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{a^{2}\xi ^{2} \over 4}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi$
On constate que le terme sous l'intégrale est la transformée de Fourier d'une courbe gaussienne. En application du résultat précédent, on a :
    $\int _{0}^{\infty }e^{-{a^{2}\xi ^{2} \over 4}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} \xi =e^{-{a^{2} \over x^{2}}}$
Donc,
    $\eta (x,z)\simeq \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \ell z}h(x)$
Dans ce cas, aucune onde de ressaut n'est formée. Cette formule approchée permet aussi d'évaluer l'ascendance au-dessus d'une pente. On remarque que l'effet ascensionnel s'atténue avec la hauteur au-dessus de la colline. Cette formule approchée pourra être utilisée pour estimer la vitesse ascensionnelle lors d'un vol de pente.

#### Cas de la montagne étroite

Dans le cas d'une montagne étroite où $a\ell \ll 1$, le déplacement des lignes de courant s'expriment comme suit :
    $\eta (x,z)={h_{m}a(a+z) \over x^{2}+(a+z)^{2}}$
On constate clairement qu'il n'y a pas d'ondes de ressaut et aussi que la déflexion de l'air n'a pas non plus de périodicité verticale..
Dans la boîte déroulante, on démontre la formule.
Le second terme de l'intégrale est dominant. On a donc :
    $\eta (x,z)\approx \int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}e^{-{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
On a ${\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}\approx {\sqrt {\xi ^{2}}}$. Donc,
    $\eta (x,z)\approx \int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}e^{-{\sqrt {\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi \approx \int _{0}^{\infty }{\hat {h}}e^{-\xi z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
On remplace ${\hat {h}}(\xi )=h_{m}ae^{-a\xi }$ et donc :
    $\eta (x,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-a\xi }e^{-\xi z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =h_{m}a\int _{0}^{\infty }e^{(-a-z+ix)\xi }\mathrm {d} \xi$
Finalement,
    $\eta (x,z)={h_{m}a(-) \over -a-z+ix}$
Donc en prenant la partie réelle, l'on obtient :
    $\eta (x,z)={h_{m}a(a+z) \over x^{2}+(a+z)^{2}}$
On a :
    $u'=-u_{0}{\partial \eta \over \partial z}$
On rappelle que :
    $\eta (x,z)=h_{m}a{z+a \over x^{2}+(z+a)^{2}}$
Donc,
$u'=-u_{0}h_{m}a{x^{2}+(z+a)^{2}-2(z+a)^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}=-u_{0}h_{m}a{x^{2}-(z+a)^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}=u_{0}h_{m}a{(z+a)^{2}-x^{2} \over [x^{2}+(z+a)^{2}]^{2}}$
On note que u' peut devenir négatif et l'on peut même avoir u + u' < 0. Si cela se produit, on n'est plus dans cas linéaire et l'hypothèse $|u'|\ll |u+0|$ n'est plus valide.
De même, l'on a :
    $w=w'=u_{0}{\partial \eta \over \partial x}$
Donc,
    $w(x,z)=-2u_{0}{h_{m}a(a+z)x \over [(a+z)^{2}+x^{2}]^{2}}$
On remarque que :
    $h'(x)={-2h_{m}a^{2}x \over (x^{2}+a^{2})^{2}}$
Donc,
    $w(x,z)=-2u_{0}h'(x){(a+z) \over a}\times {(a^{2}+x^{2})^{2} \over [(a+z)^{2}+x^{2}]^{2}}$

#### Cas général

Lorsque x est grand, le déplacement des lignes de courant peuvent s'exprimer comme suit (Formule 2.68 de Smith) :
    $\eta (x,z)=-{\sqrt {\rho _{0} \over \rho (z)}}h_{0}a{\sqrt {2\pi }}{(\ell ^{2}-\xi _{c}^{2})^{3 \over 4} \over \ell {\sqrt {z}}}e^{-\xi _{c}a}\cos \left({\sqrt {\ell ^{2}-\xi _{c}^{2}}}z+\xi _{c}x-{\pi \over 4}\right)$
avec $\xi _{c}=\ell \left/{\sqrt {\left({z \over x}\right)^{2}+1}}\right.$.
Dans la boîte déroulante, on démontre la formule.
On considère le cas où $a\ell \approx 1$. On rappelle que :
    $\eta (x,z)=\int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi +\int _{\ell }^{\infty }{\hat {h}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi -{\sqrt {\xi ^{2}-\ell ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
On se restreint dans le cas où x est grand. Comme le terme $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}$ oscille rapidement, la seconde intégrale est nulle. On a donc à nouveau :
    $\eta (x,z)\approx \int _{0}^{\ell }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a\xi +i{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi$
On définit la phase :
    $\phi (\xi )=x\xi +{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}z$
Cette intégrale est presque nulle sauf si la dérivée de la phase est nulle.
    ${\mathrm {d} \phi (\xi ) \over \mathrm {d} \xi }=0$
On note que :
    ${\mathrm {d} \phi (\xi ) \over \mathrm {d} \xi }=x+{z \over 2{\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}}{d(\ell ^{2}-\xi ^{2}) \over \mathrm {d} \xi }=x-{z \over {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}}$
On résout donc :
    $x-{z\xi \over {\sqrt {\ell ^{2}-\xi ^{2}}}}=0\,\leftrightarrow \,x^{2}(\ell ^{2}-\xi ^{2})=z\xi \,\leftrightarrow \,-x^{2}\xi ^{2}+z\xi +x^{2}\ell ^{2}=0$
Les solutions sont donc :
    $\xi ={-z\xi \pm {\sqrt {z^{2}+4x^{2}\ell ^{2}}} \over 2z}$
Une seule solution est physique et l'on a :
    $\xi ^{*}={-z\xi +{\sqrt {z^{2}+4x^{2}\ell ^{2}}} \over 2z}$
On effectue un développement limité et l'on a:
    $\phi (\xi ^{*}+\delta \xi )=\phi (\xi ^{*})+{1 \over 2}{\mathrm {d} ^{2}\phi (\xi ) \over \mathrm {d} \xi ^{2}}\delta \xi ^{2}$
On définit ξ$_c$ tel que :
    ${z \over x}={{\sqrt {\ell ^{2}-\xi _{c}^{2}}} \over \xi _{c}}$
Après quelques calculs, l'on obtient :
    $\eta (x,z)=-h_{m}a{\sqrt {2\pi }}{(\ell ^{2}-\xi _{c}^{2})^{3 \over 4} \over \ell {\sqrt {z}}}e^{-\xi _{c}a}\cos \left({\sqrt {\ell ^{2}-\xi _{c}^{2}}}z+\xi _{c}x-{\pi \over 4}\right)$

### Vitesse du vent variable

Le modèle est basé sur le papier de Keller.
Il suppose que la vitesse du vent augmente linéairement avec l'altitude. Deux résultats sont présentés :
* Le cas hydrostatique où le nombre d'onde est suppsé être nul;
* Le cas non hydrostatique où le nombre d'onde est non nul.
On suppose que la vitesse du vent se met sous la forme :
    $u(z)=u_{0}(1+\lambda z)$
L'obstacle est supposé être une sorcière d'Agnesi comme défini ci-dessus. On définit le nombre de Richardson comme suit :
    $Ri={N \over u_{0}\lambda }$
Dans le cas hydrostatique, la vitesse verticale s'exprime comme suit :
    $w(x,z)=h'(x)u_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)+h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)$
Soit $K_{i\mu }$ la fonction de Bessel modifiée d'ordre imaginaire. Dans le cas non hydrostatique, la vitesse verticale s'ecprime comme suit :
    $w(x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{\xi _{j} \over \lambda }{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\cos(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}$
où $\xi _{j}/\lambda$ est un zéro de $K_{i\mu }$.
On corrige légèrement le paramètre de Scorer où
    $\ell ^{2}={N^{2} \over u(z)}-{\beta ^{2} \over 4}$
avec $\beta ={\rho '(z) \over \rho (z)}$
L'équation de Long est réécrite comme suit :
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+(\ell ^{2}-\xi ^{2}){\hat {\psi }}=0$
On suppose que la vitesse du vent augmente avec l'altitude. On écrit:
    $u(z)=u_{0}(1+\lambda z)$
On obtient alors :
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}(1+\lambda z)^{2}}-{\beta ^{2} \over 4}-\xi ^{2}\right){\hat {\psi }}=0$
$\zeta =1+\lambda z$

#### Solution hydrostatique

On considère l'approximation hydrostatique où
    $\beta =\xi =0$
On a alors :
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+{N^{2} \over u_{0}^{2}\zeta ^{2}}{\hat {\psi }}=0$
Donc,
    $\lambda ^{2}{\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+{N^{2} \over u_{0}^{2}\zeta ^{2}}{\hat {\psi }}=0$
On définit le nombre de Richardson comme :
    $Ri={N \over u_{0}\lambda }$
On résout donc :
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+{Ri^{2} \over \zeta ^{2}}{\hat {\psi }}=0$
On définit
    ${\hat {\psi }}={\sqrt {\zeta }}y$
On a :
    ${\hat {\psi }}'={1 \over 2{\sqrt {\zeta }}}y+{\sqrt {\zeta }}y'$
Donc,
    ${\hat {\psi }}''=-{1 \over 4\zeta ^{3 \over 2}}y+2{1 \over 2{\sqrt {\zeta }}}y'+{\sqrt {\zeta }}y''$
On résout donc :
    $-{1 \over 4\zeta ^{3 \over 2}}y+2{1 \over 2{\sqrt {\zeta }}}y'+{\sqrt {\zeta }}y''+{Ri^{2}{\sqrt {\zeta }} \over \zeta ^{2}}y=0$
On multiplie par $\zeta ^{3 \over 2}$. Donc,
    $-{1 \over 4}y+\zeta y'+\zeta ^{2}y''+Ri^{2}y=0$
Donc,
    $\zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}\right)y=0$
On a :
    $\zeta {\mathrm {d} \over \zeta }\left(\zeta {\mathrm {d} \over \mathrm {d} \zeta }y\right)=\zeta {dy \over d\zeta }+\zeta ^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} \zeta ^{2}}.$
On obtient donc :
    $\zeta ^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} \zeta ^{2}}=\zeta {d \over \zeta }\left(\zeta {d \over d\zeta }y\right)-\zeta {\mathrm {d} y \over \mathrm {d} \zeta }$
L'équation devient donc :
    $\zeta {\mathrm {d} \over \zeta }\left(\zeta {\mathrm {d} \over \mathrm {d} \zeta }y\right)+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}\right)y=0$
On définit l'opérateur linéaire :
    $P(y)=\zeta {\mathrm {d} \over \mathrm {d} \zeta }$
On résout donc :
!$P^{2}(y)+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}\right)y=0$
qu'on peut donc factoriser en :
$\left(P+\mathrm {i} {\sqrt {Ri^{2}-1/4}}\right)\times \left(P-i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}\right)y=0$
On obtient donc les équations linéaires :
    $\left(P\pm i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}\right)y=0$
Cela consiste donc à résoudre :
    $\zeta {dy \over d\zeta }\pm i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}y=0\,\Leftrightarrow \,{dy \over y}=\pm i{\sqrt {Ri^{2}-1/4}}{d\zeta \over \zeta }$
Donc,
    $\log(y)=\pm i{\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )$
et
    $y=Ke^{\pm i{\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )}$
La solution s'écrit donc sous la forme :
    $y=K\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )\right)$
La solution est donc :
    ${\hat {\psi }}=K{\sqrt {\zeta }}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(\zeta )\right)$
Après quelques calculs, l'on obtient :
    $\psi (x,z)=h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{1 \over a^{2}+x^{2}}\left[a\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)-x\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)\right]$
On rappelle que $w={\partial \psi \over \partial x}$
Donc,
    $w(x,z)=-h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{2x \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\left[a\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)-x\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)\right]-h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{1 \over a^{2}+x^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)=h'(x)u_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}\cos \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)+h_{0}au_{0}{\sqrt {1+\lambda z}}{x^{2}-a^{2} \over (a^{2}+x^{2})^{2}}\sin \left({\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}\log(1+\lambda z)\right)$

#### Solution non hydrostatique

L'équation à résoudre est la suivante:
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial z^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}(1+\lambda z)^{2}}-{\beta ^{2} \over 4}-\xi ^{2}\right){\hat {\psi }}=0$
On introduit le terme β qui ne correspond pas à l'approximation de Boussines et est non hydrostatique pour pouvoir utiliser le théorème des résidus au sein des calculs.
On pose $\zeta =1+\lambda z$
Donc,
    $\lambda ^{2}{\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({N^{2} \over u_{0}^{2}\zeta ^{2}}-{\beta ^{2} \over 4}-\xi ^{2}\right){\hat {\psi }}=0$
Donc,
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({N^{2} \over \lambda ^{2}u_{0}^{2}\zeta ^{2}}-{\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}\right){\hat {\psi }}=0$
On pose :
    $\kappa ^{2}={\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}$
On résout donc :
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({N^{2} \over \lambda ^{2}u_{0}^{2}\zeta ^{2}}-\kappa ^{2}\right){\hat {\psi }}=0$
Donc,
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}+\left({Ri^{2} \over \zeta ^{2}}-\kappa ^{2}\right){\hat {\psi }}=0$
À nouveau, on pose ${\hat {\psi }}={\sqrt {\zeta }}y$
On rappelle que :
    ${\partial ^{2}{\hat {\psi }} \over \partial \zeta ^{2}}={\sqrt {\zeta }}y''+{1 \over {\sqrt {\zeta }}}y'-{1 \over 4}{1 \over \zeta ^{3 \over 2}}y$
On résout donc :
    ${\sqrt {\zeta }}y''+{1 \over {\sqrt {\zeta }}}y'-{1 \over 4}{1 \over \zeta ^{3 \over 2}}y+\left({Ri^{2} \over \zeta ^{2}}-\kappa ^{2}\right){\hat {\psi }}=0$
On multiplie par $\zeta ^{3 \over 2}$ et donc :
    $\zeta ^{2}y''+\zeta y'-{1 \over 4}y+(Ri^{2}-\kappa ^{2}\zeta ^{2})y=0$
Donc,
    $\zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(Ri^{2}-{1 \over 4}-\kappa ^{2}\zeta ^{2}\right)y=0$
On définit $\mu ={\sqrt {Ri^{2}-{1 \over 4}}}$
Donc,
    $\zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(\mu ^{2}-\kappa ^{2}\zeta ^{2}\right)y=0$
On pose $t=\kappa \zeta$
On obtient donc :
    $\zeta ^{2}y''+\zeta y'+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=0$
Donc,
    $\zeta ^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} \zeta ^{2}}+\zeta {dy \over d\zeta }+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=0$
Donc,
    ${t^{2} \over \kappa ^{2}}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} t^{2}}\left({dt \over \mathrm {d} \zeta }\right)^{2}+{t \over \kappa }{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}\left({\mathrm {d} t \over \mathrm {d} \zeta }\right)+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y={t^{2} \over \kappa ^{2}}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} t^{2}}\kappa ^{2}+{t \over \kappa }{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}\kappa +\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=t^{2}{\mathrm {d} ^{2}y \over \mathrm {d} t^{2}}+t{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+\left(\mu ^{2}-t^{2}\right)y=0$
Ceci est une équation de Bessel modifiée. Comme la solution y est finie à l'infini, la solution est :
    $y(t)=\alpha K_{\mathrm {i} \mu }(t)$
où $K_{\mathrm {i} \mu }$ est la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.
Donc,
    $y(\zeta )=\alpha K_{\mathrm {i} \mu }(\kappa \zeta )$
Donc,
    ${\hat {\psi }}(\xi ,z)=\alpha (\xi ){\sqrt {1+\lambda z}}K_{\mathrm {i} \mu }[\kappa (1+\lambda z)]$
On fait z = 0. On obtient alors :
${\hat {\psi }}(\xi ,0)=\alpha (\xi ){\sqrt {1+\lambda 0}}K_{\mathrm {i} \mu }[\kappa (1+\lambda 0)]=\alpha (\xi )K_{\mathrm {i} \mu }\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2} \over \lambda ^{2}}}\right)=\alpha (\xi )K_{\mathrm {i} \mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}} \over \lambda }\right)$
On suppose que la montagne est une sorcière d'Agnesi. Donc,
    $h(x)=h_{0}{a^{2} \over a+2+x^{2}}$
Sa transformée de Fourier est donc :
    ${\hat {h}}(\xi )=h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }$
La condition aux limites s'écrit $w(x,0)=u_{0}h'(x)$ et donc :
    $\psi (x,0)=u_{0}h(x)$
Donc, sa transformée de Fourier devient :
    ${\hat {\psi }}(\xi ,0)=u_{0}{\hat {}h(\xi )=u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }$
On obtient donc :
    $\alpha (\xi )K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}} \over \lambda }\right)={\hat {\psi }}(\xi ,0)=u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\,\Leftrightarrow \,\alpha (\xi )={u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\lambda \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}$
Donc,
    ${\hat {\psi }}(\xi ,z)={u_{0}h_{0}a\mathrm {e} ^{-a\xi }\lambda \over K_{\mathrm {i} \mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}{\sqrt {1+\lambda z}}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)$
On effectue une transformée de Fourier inverse :
    $\psi (x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\lambda \int _{0}^{\infty }{e^{-a\xi } \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x}\mathrm {d} \xi =u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\lambda \int _{0}^{\infty }{1 \over K_{i\mu }\left[\left({\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}\right)/\lambda \right]}K_{i\mu }\left({{\sqrt {\beta ^{2}/4+\xi ^{2}}}(1+\lambda z) \over \lambda }\right)e^{(ix-a)\xi }\mathrm {d} \xi$
On suppose que β est petit et l'on utilise le théorème des résidus. Soient $\xi _{j}$ chacun des pôles de $K_{i\mu }$.
On a alors :
    $\psi (x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}i{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}e^{(ix-a)\xi _{j}}=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\sin(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}$
La vitesse verticale s'exprime donc comme suit :
    $w(x,z)=u_{0}h_{0}a{\sqrt {1+\lambda z}}\sum _{j=1}^{n}{\xi _{j} \over \lambda }{K_{i\mu }[\xi _{j}(1+\lambda z)/\lambda ] \over K_{i\mu }'(\xi _{j}/\lambda )}\cos(x\xi _{j})e^{-a\xi _{j}}$

### Comparaison des solutions analytiques avec les valeurs mesurées

Les modèles analytiques prédisent à peu près correctement la longueur d'onde des ondes orographiques. On notera que la longueur d'onde varie généralement entre 6 et 20 km et donc, il n'est guère surprenant que les modèles puissent reproduire d'une manière assez précise les données expérimentales. Cependant, ces modèles sous-estiment grossièrement l'amplitude de ces ondes (par un facteur 4). Cette différence est expliquée par la non prise en compte des non linéarités dans le modèle analytique. En particulier les modèles linéaires ne peuvent pas reproduire l'existence d'ascendances extrêmes de l'ordre de 40 m/s qui ont été observées$^,$.

## Extension aux rotors

Scorer aurait une formulation concernant l'existence des rotors.
On suppose que le fluide est incompressible et l'on peut donc définir une fonction ligne de courant $\psi$ telle que
,$u=-{\partial \psi \over \partial z},\qquad w={\partial \psi \over \partial x}$
L'équation de Long simplifiée (qui est non linéaire à la suite des conditions aux limites) s'écrit$^,$ :
    ${\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}\eta =0$
où η est le déplacement des lignes de courant.
Une formulation plus complexe est donnée dans les références$^,$$^,$.
On définit les quantités non dimensionnelles suivantes :
* ${\tilde {x}}={x \over L}$ où L est une longueur de référence comme par exemple la demi largeur de la montagne.
* ${\tilde {z}}={zN_{0} \over u_{0}}$ où N$_0$ est la fréquence de Brunt-Väisälä caractéristique, $u_{0}$ est la vitesse uniforme le long de la ligne de courant.
* ${\tilde {u}}={u \over u_{0}}$
* ${\tilde {w}}={wLN_{0}^{2} \over u_{0}^{2}}$
* ${\tilde {\rho }}={\rho \over \rho _{0}}$ où $\rho _{0}$ est la masse volumique charactéristique.
* ${\tilde {p}}={pN_{0} \over \rho _{0}gu_{0}}$ où g est l'accélération de la gravité.
On définit :
    $\beta ={N_{0}u_{0} \over g}\qquad \mu ={u_{0} \over N_{0}L}$
Il existe une fonction ψ sans dimension telle que
$u=-{\partial \psi \over \partial {\tilde {z}}}\quad w={\partial \psi \over \partial {\tilde {x}}}$
L'équation non linéaire concernant ψ est la suivante :
    ${\partial ^{2}\psi \over \partial {\tilde {z}}^{2}}+\mu ^{2}{\partial ^{2}\psi \over \partial {\tilde {x}}^{2}}-N^{2}(\psi )\left\{{\tilde {z}}-\psi +{\beta \over 2}\left[\left({\partial \psi \over \partial {\tilde {z}}}\right)^{2}+\mu ^{2}\left({\partial \psi \over \partial {\tilde {x}}}\right)^{2}-1\right]\right\}$
$N_{0}\approx 10^{-2}$
$u_{0}\approx 10$
$\beta \approx 10^{-2}$
$\beta \approx 0$
$\mu =0.2$
On revient maintenant à l'équation de Long :
    ${\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}\eta =0$
On suppose que l'onde est périodique de période k. On a donc :
    ${\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}=-k^{2}\delta$
On obtient donc :
    $-k^{2}\eta +{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}+\ell ^{2}\eta =0$
Donc, finalement :
    $-k^{2}\eta +{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}=(k^{2}\ell ^{2})$
Finalement le critère pour la formation de rotors est le suivant$^,$ :
    $\left|{\partial \eta \over \partial z}\right|>1$
Une autre approche simplifiée est donnée par Paul Queney. La variation du déplacement des lignes de courant est beaucoup plus importante suivant z que suivant x. On a donc :
    $\left|{\partial ^{2}\eta \over \partial x^{2}}\right|\ll \left|{\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}\right|$
On peut alors « simplifier » l'équation de Long comme suit comme l'avait fait Paul Queney concernant la théorie de l'œil de chat :
    ${\partial ^{2}\eta \over \partial z^{2}}=0$
Les détails du calcul sont donnés dans l'article Rotor (météorologie).