# Spirale d'Ekman

La spirale d’Ekman, spirale logarithmique, représente l’hodographe théorique (selon l’immersion) du courant de dérive qui est induit par la tension d’un vent permanent, soufflant à la surface d’un océan homogène de profondeur infinie, et soumis à l’effet Coriolis.
Cette dénomination a été adoptée ensuite dans les différentes disciplines concernées par l’étude des fluides en rotation près d’une frontière solide. Ce modèle de spirale est utilisé notamment en météorologie pour définir une estimation de l’épaisseur de la couche limite planétaire de l’écoulement dynamique atmosphérique près du sol à partir d’une formulation équivalente à celle de la couche limite benthique de l’écoulement océanique près du fond.

## Historique

Lors de l’expédition Fram (1893-1896), pour tenter de rejoindre le Pôle Nord, le norvégien Fridtjof Nansen observa que son navire pris dans le pack arctique dérivait systématiquement à droite de la direction du vent.
L’analyse des observations, faite après l’expédition, montrait que la vitesse de dérive du navire et des glaces de mer de la banquise (il n’y a pas d’icebergs dans cette partie de l’Arctique) était de l’ordre de 2 % de celle du vent, mais dans une direction variant de 20° à 40° à droite de ce dernier. Nansen fit part de ces résultats au Suédois Vilhelm Bjerknes, alors professeur de mécanique des fluides à l’Université d’Oslo et pionnier de la météorologie moderne, qui invita un de ses étudiants, le suédois Vagn Walfrid Ekman, à se pencher sur cette question pour expliquer cet écart de direction.
Ekman soutint ainsi sa thèse en 1902 en examinant l’effet de la friction du vent à la surface supposée plane d’un océan homogène à viscosité constante. Il démontra que cette dérive, vers la droite de la direction du vent, était liée à l’équilibre entre la tension du vent en surface (force de frottement) et la force de Coriolis agissant sur le transport de toute la masse d’eau mise en mouvement, appelé aussi transport d’Ekman. Ekman définit ainsi la spirale qui porte son nom ; celle-ci donne en surface un courant de dérive dévié de 45° à droite de la direction du vent dans l’hémisphère nord (à gauche dans l’hémisphère sud).

## Surface air-eau

La spirale est une conséquence de la force de Coriolis, de la viscosité du fluide et de la friction de la surface frontière. La figure de droite montre la structure en hélice spiralée du courant de dérive selon l'immersion, dont la projection dans le plan horizontal donne la spirale d'Ekman. On a un vent (bleu) qui met en mouvement la surface de l'eau par friction (rouge). La force de Coriolis (jaune) fait dévier vers la droite (hémisphère nord) le courant ainsi induit et donne un transport de l'eau selon la flèche rose. Cette couche de surface fait bouger la couche sous-jacente mais à une vitesse inférieure à cause de la dissipation par viscosité. Ce nouveau déplacement est lui aussi dévié vers la droite par la force de Coriolis. La couche affectée par la spirale s'appelle couche d'Ekman et son épaisseur dépend de la viscosité de la mer.
Les équations qui relient ces forces sont :
    ${\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\0&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}$
Où
* p est la pression
* u et v sont les vitesses dans les directions x et y ;
* f est le paramètre local de la force de Coriolis ;
* $\ K_{m}$ est le coefficient de diffusion de viscosité.
Cette spirale théorique n'est jamais observée dans la nature. Cependant en mer, une structure spiralée du courant de dérive ou courant d'Ekman a été observée par plusieurs auteurs surtout dans les eaux stratifiées en densité où la thermocline joue un rôle d'écran au transfert de la quantité de mouvement. En d'autres termes, la viscosité est réduite par ce fort gradient vertical de température. Dans ces conditions de stratification, il a été mis en évidence une cohérence très significative, notamment en régime transitoire (coup de vent), entre le vent et le courant dans la couche de mélange avec génération simultanée d'une oscillation d'inertie.
Par contre, dans les zones peu stratifiées, notamment en hiver au moment de la formation en surface des eaux de fond par refroidissement, la turbulence engendrée ne permet pas de constater de relation nette entre vent et courant.

## Dans l'atmosphère

Un fluide comme l'air qui se trouve dans un référentiel en rotation subit deux forces: la différence de pression qui le force à se déplacer vers les pressions les plus basses et la force de Coriolis. Le mouvement est imprimé initialement par la force de pression, la masse d'air "chutant" dans le puits de dépression. La force de Coriolis, qui n'est pas une force réelle mais le résultat de la rotation de la Terre sur le mouvement d'une particule telle que vue par un observateur au sol, "dévie" substantivement ce mouvement perpendiculairement au déplacement de l'air. C'est ce qu'on voit dans la partie gauche supérieure de la figure ci-contre et c'est approximativement ce qui se passe dans la troposphère au-dessus de la couche où la friction du sol s'exerce (500 m à 3 km d'épaisseur selon le terrain).
Dans l'hémisphère nord, la déviation est vers la droite en regardant vers le centre dépressionnaire. À l'équilibre, le courant circule le long des isobares, sans friction. Ce phénomène est décrit par les équations du vent géostrophique qui révèle en particulier la périodicité de telles structures : une onde de Rossby.
Cependant, dans la couche limite, la friction s'ajoute à la balance des forces (partie en bas gauche du dessin) mais dans la direction opposée au déplacement. Ceci ralentit la masse d'air qui par conséquent tombe dans le puits dépressionnaire (de même qu'un satellite en orbite basse en panne de moteur tomberait sur la surface de la terre par friction avec son atmosphère). La partie droite du dessin nous montre la variation de la vitesse en amplitude et en direction en fonction de l'altitude. La friction est maximale au sol et son effet, propagé par la viscosité du fluide, diminue à zéro graduellement en s'élevant. Donc la direction des vents tourne vers la gauche, en faisant face au centre dépressionnaire dans l'hémisphère nord, entre le sommet de la couche limite et le sol. La couche dans laquelle se produit la spirale est aussi appelée la couche d'Ekman.

## Conséquences et phénomènes connexes
### Couche d'Ekman

La couche d'Ekman est l'épaisseur dans le fluide où la force sur les particules est la somme du gradient de pression, de la force de Coriolis et de la traînée de turbulence. Il existe plusieurs endroits où la solution aux équations différentielles régissant la spirale sont réels. Ils incluent le bas de l'atmosphère, dans ce qui est la couche limite planétaire, près de la surface des océans et du fond marin. À ces endroits, la condition limite est :
    ${\text{à }}z=0:\quad A{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau ^{x}\quad {\text{et}}\quad A{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau ^{y},$
Où:
* $\ \tau ^{x}$ et $\ \tau ^{y}$ sont les composants de stress de la surface ;
* $\ \tau$, est le champ de vents à la surface considérée ;
* $\ u_{g}$ et $\ v_{g}$ sont les vents géostrophiques dans les directions $\ x$ et $\ y$ avec $\ z\to \infty :u\to u_{g},v\to v_{g}.$.
L'étendue de la couche d'Ekman peut facilement être observée en laboratoire dans un réservoir cylindrique en rotation rempli d'eau et dans lequel on laisse tomber une goutte de colorant. Une de ses applications simples est le paradoxe des feuilles de thé où l'on remarque que les feuilles se retrouvent au centre au fond de la tasse au lieu d'être dispersées vers la paroi externe lorsque le thé est agité par un mouvement rotatif.
Dans l'atmosphère, la solution des équations surestime l'effet du vent parce qu'il ne tient pas compte de la diminution rapide des vents près de la surface. Il faut alors diviser la couche limite en deux, quelques mètres au-dessus du sol et le reste, et appliquer une formule de diminution des vents à chaque section.
Dans l'océan, l'épaisseur de la couche d'Ekman est difficile à observer. Elle n'atteint que de 10 à 20 mètres à la surface et les instruments étaient trop grossiers pour observer le profil du flux jusqu'aux années 1980$^,$. De plus, les vagues modifient le flot en surface ce qui cause du bruit dans les données.

### Transport d'Ekman

Le norvégien Harald Ulrik Sverdrup a tenté d'appliquer cette théorie à un bassin océanique, au sein d'une circulation anticyclonique subtropicale. Il a ainsi montré que l'eau s'emplit au centre de ce grand circuit subtropical et que cela provoque la naissance d'une convergence au centre du bassin. Cette convergence forme un dôme en surface qui peut s'élever d'un mètre au-dessus du niveau moyen de l'océan. Dans le cas d'une circulation cyclonique, le phénomène inverse s'effectue, créant une zone de divergence au centre de cette circulation, associée à une remontée d'eau profonde pour compenser la masse d'eau de surface chassée sur les bords de cette circulation.