# Preuve de l'irrationalité de π

Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à démontrer que le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction a/b, avec a et b entiers non nuls. Au XIXe siècle, Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich. La plupart sont des preuves par l'absurde ou par contraposition.
En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que π est non seulement irrationnel, mais transcendant.

## Preuve de Lambert

En 1761, Lambert prouve que π est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en fraction continue généralisée suivant de la fonction tangente :
    $\tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}$
en utilisant les développements en série entière des fonctions cosinus et sinus.
Ensuite, Lambert montre que si x est non nul et rationnel alors tan x est irrationnel. Or, comme tan(π/4) = 1, il en déduit que π/4 est irrationnel et donc que π est irrationnel.
Historiquement, cette démonstration fut le premier pas vers celle de l'impossibilité de la quadrature du cercle.

## Preuve de Hermite

Rédigée en 1873, cette preuve utilise la caractérisation de π comme plus petite solution positive de l'équation cos(x/2) = 0 et montre en fait que π$^2$ lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde.
Hermite définit par récurrence une suite de fonctions réelles A$_n$ :
    $A_{0}=\sin x,\quad A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y)\,\mathrm {d} y$.
Des « formules élémentaires »
    $\int _{0}^{x}f(y)\cos y\,\mathrm {d} y=\left[\sin y\,F(y)+\cos y\,F'(y)\right]_{0}^{x}$
    $\int _{0}^{x}f(y)\sin y\,\mathrm {d} y=\left[\sin y\,F'(y)-\cos y\,F(y)\right]_{0}^{x}$
où f est un polynôme et $F=f-f''+f^{(4)}-\dots$, il déduit que
    $A_{n}(x)=U\sin x+V\cos x,$
où U = W$_n$(x$^2$), W$_n$ étant un polynôme à coefficients entiers de degré égal à la partie entière de n/2.
Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de A$_n$ :
Hermite définit une autre suite de fonctions :
    ${\mathfrak {A}}_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}},\quad {\mathfrak {A}}_{n+1}(x)=-{\frac {{\mathfrak {A}}_{n}'(x)}{x}}$
et il « reconnait immédiatement qu'on aura
    ${\mathfrak {A}}_{n}(x)={\frac {U\sin x+V\cos x}{x^{2n+1}}}$,
U et V étant encore des polynômes dont l'un est de degré n et l'autre de degré n – 1 ».
Il calcule les développements en série entière :
    ${\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+3}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \\[4pt]{\mathfrak {A}}_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}$
avec n!! désignant la double factorielle d'un entier n, dont il tire :
    ${\mathfrak {A}}_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}$,
ce qui lui redonne l'expression de A$_n$ déjà trouvée.
Il en déduit au passage que les fonctions ${\mathfrak {A}}_{n}(x):={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}$ vérifient ${\mathfrak {A}}_{n+1}(x)=-{\frac {{\mathfrak {A}}_{n}'(x)}{x}}$.
Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les fonctions de Bessel de première espèce J$_α$(x) :
    ${\mathfrak {A}}_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)$
mais (voir infra) c'est sans doute cette relation qui lui fournit la formule explicite suivante$^,$ :
    $A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z$.
Si π$^2$/4 = p/q, avec p et q deux entiers alors pour tout entier pair n, le nombre N$_n$ := q$^{n/2}$A$_n$(π/2) est égal à l'entier q$^{n/2}$W$_n$(p/q). Soit :
    $\mathbb {Z} \ni N_{n}=q^{n/2}A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=q^{n/2}{\frac {\left({\frac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos {\frac {\pi z}{2}}\,\mathrm {d} z={\sqrt {\frac {p}{q}}}{\frac {\left({\frac {p}{2{\sqrt {q}}}}\right)^{n}}{n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos {\frac {\pi z}{2}}\,\mathrm {d} z.$
Cependant, le terme de droite est non nul et tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il y a donc contradiction, montrant que π$^2$/4 ne peut pas être rationnel, donc π non plus.

### Lien avec la preuve de Lambert

Comme le signale Hermite$^,$, sa fonction A$_n$(x) = U sin x + V cos x est le numérateur de la n-ième réduite du développement par Lambert de tan x, le dénominateur étant U cos x – V sin x, car ces deux fonctions vérifient la relation de récurrence découverte par Lambert :
    $A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x)$.
Hermite en déduit au passage ce qu'il appelle « l'équation différentielle des transcendantes de Bessel » $A_{n}''(x)-{\frac {2n}{x}}A_{n}'(x)+A_{n}(x)=0$, qui équivaut à l'équation différentielle de Bessel usuelle, via le lien avec J$_{n+1/2}$ signalé ci-dessus.
Hermite ne présente pas sa démonstration comme une fin en soi, mais comme un sous-produit de sa recherche d'une preuve de la transcendance de π, comme il le fit la même année dans sa preuve de la transcendance de e. Il utilise surtout les relations de récurrence pour motiver et obtenir une représentation intégrale convenable.

## Preuve de Cartwright

Cartwright a extrait de la preuve de Hermite un exemple pour un examen de l'université de Cambridge en 1945.
Elle considère directement les variantes suivantes des intégrales ${\mathfrak {A}}_{n}$ de Hermite :
    $I_{n}(x):=\int _{-1}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=2^{n+1}n!{\mathfrak {A}}_{n}(x)$.
Par une double intégration par parties, elle obtient la relation de récurrence
    $\forall n\geq 2,\ x^{2}I_{n}(x)=2n(2n-1)I_{n-1}(x)-4n(n-1)I_{n-2}(x)$.
En posant
    $J_{n}(x):=x^{2n+1}I_{n}(x)$,
cette relation de récurrence devient celle de Lambert (voir supra), aux notations près ($J_{n}(x)=2^{n+1}n!A_{n}(x)$) :
    $J_{n}(x)=2n(2n-1)J_{n-1}(x)-4n(n-1)x^{2}J_{n-2}(x).$
De plus, J$_0$(x) = 2 sin x et J$_1$(x) = −4 x cos x + 4 sin x. Donc, pour tout entier n positif,
    $J_{n}(x)=n!\left(P_{n}(x)\sin x+Q_{n}(x)\cos x\right),$
où P$_n$ et Q$_n$ sont des polynômes « de degré ≤ 2n » (sic) à coefficients entiers.
Cette analyse des polynômes qui apparaissent est moins fine que celle de Hermite, mais va suffire pour démontrer l'irrationalité de π (et non celle de π$^2$).
On prend maintenant x = π/2, et l'on suppose donc qu'il existe deux entiers a et b tels que π/2 = a/b. Alors :
    ${\frac {a^{2n+1}}{n!}}\,I_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=P_{n}\left({\frac {a}{b}}\right)b^{2n+1}.$
Le terme de droite est entier. Cependant, le terme de gauche est non nul et tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Il y a donc contradiction.

## Preuve de Niven

Niven suppose que π est rationnel, donc de la forme π = a /b avec a et b entiers strictement positifs. Pour un entier positif n « à spécifier plus tard », il définit deux polynômes :
    $f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}$
et
    $F(x)=f(x)-f''(x)+f^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x).$
* Il remarque d'abord que F(0) + F(π) est un entier.
    En effet, le polynôme n!f est à coefficients entiers, et nuls en degrés < n. Ainsi, f et ses dérivées prennent des valeurs entières en 0, donc aussi en π puisque f(π – x) = f(x).
* Il établit ensuite que $\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\,\mathrm {d} x=F(0)+F(\pi )$.
    En effet, comme l'avait remarqué Hermite (voir supra), $\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\,\mathrm {d} x=\left[F'(x)\sin x-F(x)\cos x\right]_{0}^{\pi }$.
* Enfin, pour 0 < x < π, $0<f(x)\sin x<{\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}$
    donc 0 < F(0) + F(π) < 1 pour n suffisamment grand, ce qui est impossible.

### Lien avec la preuve de Hermite

La preuve de Niven est plus proche de celle de Hermite qu'elle ne le semble de prime abord :
* d'une part par sa réutilisation de la « formule élémentaire » de Hermite ;
* d'autre part parce qu'un changement de variable z = 1 – 2y/π dans la formule explicite (voir supra) et l'évaluation en x = π/2 donnent :
    $A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{\pi /2}y^{n}(\pi -y)^{n}\sin y\,\mathrm {d} y={\frac {1}{b^{n}2^{n+1}}}\int _{0}^{\pi }f(x)\sin x\,\mathrm {d} x.$

## Preuve de Laczkovich

La preuve de Laczkovich est à la fois une généralisation et une simplification de celle de Lambert : généralisation parce qu'elle porte (comme celle d'Oskar Perron 90 ans plus tôt) sur une famille de fractions continues de Gauss dont celles de Lambert pour tangente et tangente hyperbolique font partie, et simplification parce qu'elle évite les considérations de convergence.
Laczkovich considère la famille de fonctions hypergéométriques f$_k$(x) := $_0$F$_1$(k; –;x$^2$). Ces fonctions entières sont définies pour tout nombre complexe $k\notin -\mathbb {N}$ et l'on a en particulier
    $f_{\frac {1}{2}}(x)=\cos(2x),\quad f_{\frac {3}{2}}(x)={\frac {\sin(2x)}{2x}},\quad f_{k}(0)=1$.
Ces fonctions sont liées aux fonctions de Bessel de première espèce J$_α$ par :
    $\Gamma (k)J_{k-1}(2x)=x^{k-1}f_{k}(x)$ (où Γ désigne la fonction gamma) donc :
* elles vérifient la relation de récurrence :
    $\forall x\in \mathbb {R} \qquad {\frac {x^{2}}{k(k+1)}}f_{k+2}(x)=f_{k+1}(x)-f_{k}(x)$ ;
* f$_k$(x) et f$_{k+1}$(x) ne peuvent pas être simultanément nuls ;
* pour x fixé, f$_k$(x) → 1 quand k → +∞.
Laczkovich redémontre alors que
    pour tout x non nul tel que x$^2$ est rationnel, on a
    $\forall k\in \mathbb {Q} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\qquad f_{k}(x)\neq 0\quad {\text{ et }}\quad {\frac {f_{k+1}(x)}{f_{k}(x)}}\notin \mathbb {Q} .$
Dans le cas contraire, il existerait un nombre y ≠ 0 et deux entiers a et b tels que f$_k$(x) = ay et f$_{k+1}$(x) = by. On peut le montrer en considérant y = f$_{k+1}$(x), a = 0 et b = 1 si f$_k$(x) = 0 ; sinon, on choisit deux entiers a et b tels que f$_{k+1}$(x)/f$_k$(x) = b/a et l'on pose y = f$_k$(x)/a = f$_{k+1}$(x)/b.
On prend maintenant un entier naturel c tel que bc/k, ck/x$^2$ et c/x$^2$ sont entiers et l'on considère la suite
    $g_{n}={\frac {c^{n}\Gamma (k)}{\Gamma (k+n)}}f_{k+n}(x)$.
Alors
    $g_{0}=f_{k}(x)=ay\in \mathbb {Z} y\quad {\text{ et }}\quad g_{1}={\frac {c}{k}}f_{k+1}(x)={\frac {bc}{k}}y\in \mathbb {Z} y.$
La relation de récurrence permet de déduire :
    ${\begin{aligned}g_{n+2}&={\frac {c^{n+2}\Gamma (k)}{\Gamma (k+n+2)}}f_{k+n+2}(x)\\&={\frac {c^{n+2}\Gamma (k)}{\Gamma (k+n+2)}}{\frac {(k+n)(k+n+1)}{x^{2}}}\left(f_{k+n+1}(x)-f_{k+n}(x)\right)\\&={\frac {c^{n+2}\Gamma (k)}{x^{2}\Gamma (k+n)}}\left({\frac {\Gamma (k+n+1)}{c^{n+1}\Gamma (k)}}g_{n+1}-{\frac {\Gamma (k+n)}{c^{n}\Gamma (k)}}g_{n}\right)\\&={\frac {c(k+n)}{x^{2}}}g_{n+1}-{\frac {c^{2}}{x^{2}}}g_{n},\end{aligned}}$
qui est donc une combinaison linéaire de g$_{n+1}$ et g$_n$ à coefficients entiers. Donc tous les g$_n$ sont des multiples entiers de y. Or on sait que g$_n$ est non nul (soit |g$_n$| ≥ |y|) pour n suffisamment grand et que la suite des g$_n$ tend vers 0, ce qui est contradictoire.
En termes des fonctions de Bessel J$_k$, ce résultat se réécrit :
    pour tout x non nul tel que x$^2$ est rationnel, on a
    $\forall k\in \mathbb {Q} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\qquad J_{k-1}(x)\neq 0\quad {\text{ et }}\quad {\frac {xJ_{k}(x)}{J_{k-1}(x)}}\notin \mathbb {Q} .$
En particulier (pour k = 1/2) :
    pour tout x non nul tel que x$^2$ est rationnel, cos x est non nul et x tan x est irrationnel.
Puisque cos(π/2) = 0, ce dernier résultat montre que π$^2$/4 est irrationnel et donc que π est irrationnel.
Une autre conséquence est le résultat de Lambert : la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel.