# Trattato d'abaco de Piero della Francesca

Le Trattato d'abaco de Piero della Francesca est un recueil d'exercices d'arithmétique, d'algèbre et de géométrie destiné aux marchands. La datation en est incertaine, mais se situe entre les années 1460 et 1470.

## Introduction

Au XIIe siècle Leonardo Fibonacci introduisit en Italie le système de numération indo-arabe pour les chiffres, en remplacement de la notation romaine. Cette innovation simplifiait les calculs arithmétiques et ces règles ont immédiatement trouvé application dans les arithmétiques marchandes. Les commerçants de l'époque avaient besoin d'être versés en arithmétique pour calculer : prix d'achat, prix de vente, conversions entre différentes unités, car pratiquement chaque ville italienne avait son propre système de poids et mesures et sa propre monnaie. Les conversions exactes étaient de rigueur et les erreurs menaient à la faillite. Les marchands avaient aussi besoin de tenir une comptabilité rigoureuse.
Des scuole dell'abaco ou scuole d'abaco (écoles d'arithmétique) existaient à profusion et utilisaient les textes analogues Fibonacci : Liber abaci (1202) et Pratica geometriae (1220) pour instruire les élèves. Les fils de marchands apprenaient à faire des calculs (essentiellement des variantes de la règle de trois) et les trattati d'abaco (it) (manuels de comptabilité) consistaient en de longues listes de problèmes arithmétiques. Fils aîné de Benedetto de Francesci, un richissime marchand d'étoffes, Piero suivit aussi ces cours et le style de ses futurs textes mathématiques en est directement inspiré : peu de discours, beaucoup d'exemples numériques et des exercices à faire, allant progressivement du plus simple au plus compliqué.
Le premier paragraphe de son Trattato d'abaco est très explicite :
   « Esendo io pregato de dovere scrivere alcune cose de abaco necesarie a' mercanti da tale che i preghi suoi me sono conmandamenti, non conmo presuntuoso ma per ubidire me sforçaro con l'aiutorio de Dio, in parte sactisfare l'animo suo, cioè scrivendo alcune raigioni mercantesche conmo baracti, merriti e compagnie ; cominciando à la regula de le tre cose segundo positioni et, se a Dio piacerà, alcune cose de algebra. »
soit :
   « Ayant été prié d'écrire quelque chose sur ce qui est nécessaire aux marchands, par quelqu'un dont les prières me sont commandement, je m'efforcerai, sans présomption, mais par obéissance, de satisfaire son esprit en partie, avec l'aide de Dieu, en écrivant sur les calculs commerciaux, les règles de troc, de partage et de compagnie ; en commençant par la règle de trois suivant les positions, et s'il plaît à Dieu, un peu d’algèbre. »
Pour illustrer la méthode pédagogique de Piero, la première page est transcrite et traduite, en respectant son style laconique, dans la boîte déroulante ci-dessous.
Transcription du texte italien :
   « Esendo io pregato de dovere scrivere alcune cose de abaco necesarie a' mercanti da tale che i preghi suoi me sono conmandamenti, non conmo presuntuoso ma per ubidire me sforçaro con l'aiutorio de Dio, in parte sactisfare l'animo suo, cioè scrivendo alcune raigioni mercantesche conmo baracti, merriti e compagnie ; cominciando à la regula de le tre cose segundo positioni et, se a Dio piacerà, alcune cose de algebra.
   Dicendo prima alcune cose de rotti, cioè multiplicali partiali et ragionarli tornare l'uno de l'altro. Vere che fusse buono de farse ale libretti, ma faremo ragione che quelli che legerano avino qualche principio. Pero col nome de dio daremo principio al facto nostro pertio dico quando che tu avesse a multiplicare rotti per rotti, si como 2/3 per 4/5 che tu poga 2 sopra al 3 et 4 sopra 5, et per che tu sappi quello 3 che tu poni sotto il 2 se intende essere uno deviso in tre parti & il doi che si pone di sopra si intende doi terci de uno, pero io poni sopra 3 et cosi 5 se intende essere uno deviso in cinque parti & il 4 che poni di sopra al 5 se intende 4 quinti de uno deviso in 5 parti et cosi se intende in tuttu i rotti che quello numero che tu poni disotto se intende essere uno diviso in quelle parti, e quello cho poni di sopra parti de quello uno.
   Exemplo multiplica 2/3 mai 4/5 : tu debbi prima multiplicare 2 e 4 che sono disopra cioè 2 mai 4 fanno 8, poi multiplica quelli desotto 3 mai 5 fanno 15. Poni 8 disopra fa 8/15. Sempre la multiplicatione de quelli de sopra poni desopra a la multiplicationde de quelli desotto. Et similimme e novendo multiplicare 3/5 mai 4/7 : multiplica 3 mai 4 fanno 12, et 5 mai 7 fanno 35. Poni disopra 12 fannon 12/35. cioè 12 parti de uno deviso in 35 parti, & cosi seguita questo ordine de qualle rotto se sia.
   Multiplica 7 2/5 mai 4/11 : prima reduci ad una natura, cioè multiplica 2 mai 11 fanno 22 , & 5 mai 11 fanno 55. Pollo sotto 22, arai 22/55 & ai 7 22/55. Hora multiplica 4 mai 5 fanno 20 che sono 20/55. & questo multiplica con 7 22/55. Multiplica prima 7 mai 20/55. Fanno 140/55 che sono 2 30/55. Poi multiplica 22/55 mai 20/55 fa 440/3025 che sono 8/55. Giognilo con 30/55 fanno 2 38/55. Adunqua ai che ai multiplicato. »
Traduction en Français :
   « Ayant été prié d'écrire sur le calcul quelque chose de nécessaire aux marchands, par quelqu'un dont les prières me sont commandement, je m'efforcerai, non comme un orgueilleux, mais par obéissance, de satisfaire son esprit en partie, avec l'aide de Dieu, en écrivant sur les calculs commerciaux, les règles de troc, de partage et de compagnie ; en commençant par la règle de trois suivant les positions, et s'il plaît à Dieu, un peu d’algèbre.
   En disant d'abord des choses sur les fractions, c'est-à-dire sur les multiples partiels et sur la manière de tourner rationnellement l'un de l'autre. Il est vrai qu'il est bon de se conformer aux livres, et nous reprendrons avec raison les quelques principes ce que ceux que nous avons lus comportent.
   Mais au nom de dieu, nous donnerons comme début à notre action en disant que à chaque fois que tu as à multiplier une fraction par une fraction, comme 2/3 par 4/5, que tu poses le 2 sur le 3 et le 4 sur le 5, et parce que tu sais que le 3 que tu poses sous le 2 veut dire que c'est un divisé en trois parties, et le deux qui se met au dessus veut dire deux tiers de un. Mais je mets 3 au dessus et ainsi 5 veut dire que c'est un divisé en cinq parties, et le 4 que tu mets au dessus du cinq veut dire que c'est 4 cinquièmes de un divisé en cinq parties, et c'est ce que veulent dire les fractions. Quel que soit le numéro que tu mets en dessous, cela veut dire que c'est un divisé dans ce nombre de parties, et celui que tu mets au dessus est le nombre de parties de ce un.
   Par exemple multiplie 2/3 par 4/5 : tu dois d'abord multiplier le 2 et le 4 qui sont au dessus c'est-à-dire 2 fois 4 font 8, puis multiplie ceux de dessous : 3 fois 5 font 15. Mets le 8 au dessus font 8/15. Mets toujours la multiplication de ceux du dessus au-dessus de la multiplication de ceux du dessous. Et c'est tout à fait similaire pour savoir multiplier 3/5 fois 4/7 : multiplie 3 fois 4 font 12, et 5 fois 7 font 35. Mets au-dessus 12 font 12/35. Ce qui veut dire 12 parties de un divisé en 35 parties, et ainsi suis cet ordre quelle que soit la fraction.
   Multiplie 7 + (2/5) par 4/11 : réduis d'abord à une seule nature, c'est-à-dire multiplie 2 par 11 font 22, et 5 fois 11 font 55. Mets-le sous le 22, tu auras 22/55, et tu as 7 + (22/55). Maintenant multiplie 4 fois 5 font 20 qui sont 20/55. Et multiplie cela par 7 + (22/55). Multiplie d'abord 7 par 20/55. Font 140/55 qui sont 2 + (30/55). Puis multiplie 22/55 fois 20/55 font 440/3025 qui sont 8/55. Additionne les avec 30/55 font 2 + (38/55). Alors tu as ce que tu as multiplié. »
Le blason sur le 1re folio identifie le commanditaire de l’œuvre comme un membre de la famille Pichi, de Borgo San Sepolcro. Il s'agissait sans doute d'un marchand important, mais aussi d'un homme s'intéressant à la mathématique, car les exercices de Piero dépassent de très loin les besoins d'une pratique commerciale.
On trouve des exercices sur la résolution d'équations du 3e, 4e et 5e degrés ; de nouveaux théorèmes de géométrie euclidienne ; une formule sur le volume d'un tétraèdre en fonction des longueurs des côtés, etc. Tous sont d'une grande originalité et sont l’œuvre d'un mathématicien exceptionnel, qui, malheureusement, travaillait seul. Ses travaux sont passés anonymement à la postérité grâce au plagiat de Luca Pacioli, qui les publiait sous son propre nom. Piero lui-même est tombé dans un oubli quasi-total pendant près de 450 ans.

## Les pérégrinations du codex

Le seul codex connu du Trattato d'abaco se trouve à la Bibliothèque Laurentienne à Florence (MS. Ashburnham 280/359-291) et date d'environ 1470, mais il n'a été attribué à Piero seulement qu'en 1917.
Une édition critique et reproduction en facsimile du codex a été publiée en 2012 et une copie de chaque page du codex est visible sur Commons.
Giorgio Vasari (1550) dans son livre Les Vies des plus excellents peintres, sculpteurs, et architectes où il parle de Piero, affirme que des écrits de Piero se trouvaient à Borgo San Sepulcro, la ville dont Piero était originaire. La résidence de la famille nobiliaire Franceschi Marini est le Palazzo delle Laudi, à Sansepolcro, et on peut supposer que les textes de Piero étaient conservés dans sa bibliothèque. Deux indices confirment cette hypothèse : dans le Quarterly Review, n$^o$ 131 de 1832 et dans l'édition du livre de Vasari avec notes par G. Marselli (1832-1838) il est affirmé que des manuscrits de Piero sont à ce moment-là présents dans la bibliothèque. Dennistoun, dans son livre Memoirs of the Dukes of Urbino publié en 1851, rapporte que les manuscrits ne sont plus dans la bibliothèque.
C'est alors qu'un personnage très haut en couleur entre en scène : Guillaume Libri, historien des sciences et mathématicien de renom, qui publie son Histoire des sciences mathématiques. Dans ce livre il publie la transcription d'une large partie (f. 62r-79v) de la section « algèbre » d'un Trattato d'abaco d'un auteur anonyme du XVe siècle, toscan d'origine, qui se trouvait dans sa collection personnelle. Or, ce manuscrit s'avère, beaucoup plus tard, être le Trattato d'abaco de Piero.
Il est à noter que Libri, en dehors de ses activités très respectables de savant et grâce à son appartenance à l'Académie des Sciences, avait accès à toutes les bibliothèques de renom en Europe. Il utilisait cette facilité pour constituer une collection impressionnante de livres rares et de manuscrits anciens tout simplement en les volant. Il fut au centre de plusieurs scandales retentissants.
Dans les années 1830, Libri était présent dans la région de San Sepulcro et la disparition des manuscrits suivie de l'apparition d'au moins un manuscrit de Piero dans sa collection sont très probablement liées aux méthodes « peu orthodoxes », comme disaient ses contemporains, pour agrandir sa collection.
En 1847 Libri vend une partie de sa collection de manuscrits au comte Bertram d'Ashburnham, un bibliophile londonien, qui les achète de bonne foi.
Après la mort de Bertram Ashburnham, en 1878, la totalité de sa collection est vendue et la Bibliothèque Laurentienne de Florence qui achète un lot de manuscrits italiens du XVe siècle, parmi lesquels se trouvait le Trattato d'abaco de Piero. C'est seulement en 1911 que le codex est répertorié et en 1917 que G. Mancini l'identifie formellement comme étant le Trattato d'abaco de Piero della Francesca et écrit de sa main.
Le vol du codex par Libri et sa publication d'extraits a permis une évaluation critique de la stature de Piero comme mathématicien, qui est parfaitement objective et « en aveugle ». Elle a été donnée par l'historien de mathématiques, Moritz Cantor, en 1892, quand il publie le tome II de son ouvrage magistral : Vorlesungen über Geschichte de Mathematik, pages 144-150. Uniquement avec les extraits publiés par Libri en 1840, Cantor est tellement impressionné par cet auteur anonyme qu'il lui consacre plus de place que tous ses contemporains ; il le décrit comme un grand arithméticien et, en se basant sur le dernier exercice sur des triangles, estime qu'il est très probablement un grand géomètre aussi.

## Le contenu du Trattato d'abaco

Le Trattato d'abaco est écrit en trois parties distinctes :

### Livre I

Le premier livre est très semblable à d'autres traités utilisés dans des scholia delle abacaos : l'arithmétique des fractions, suivie d'exercices utilisant la règle de trois, plus au moins difficiles.

### Livre II

Le deuxième livre est consacrée à la tentative de résolution d'équations du 3e, 4e et 5e degrés.
Ce type d'équation arrive quand, étant donné le volume d'un polyèdre, tel qu'un Dodécaèdre régulier, il faut calculer la longueur du côté ou calculer le taux d'intérêt composé pour qu'un prêt d'une somme d'argent donné produit un retour donné.
Fibonacci avait désigné six types d'équations polynomiales qui savait résoudre ; dans la classification de Piero il existe 55 types, avec des exemples numériques de leur solution. Ce sont ces problèmes que Libri a publié dans son Histoire des sciences mathématiques et qui a tellement impressionné Moritz Cantor.
Les exemples et sa classification des problèmes par Piero dépassent largement le cadre d'une scolia della'abaco. Son traitement était innovant pour le XVe siècle mais nécessairement incomplet. Pour les équations du 3e et 4e degrés des solutions seront trouvées par Cardan et Tartaglia au XVIe siècle. Le problème sera complètement résolu seulement au XIXe siècle avec les travaux d'Évariste Galois.

### Livre III

* Un polyèdre d'Archimède (f.108v)
Le troisième livre, sur la géométrie des solides, était beaucoup plus avancé que les traités de ses contemporains et que ceux d'Euclide.
Dans les autres Trattato d'abaco de l'époque, le traitement de la géométrie est assez simple et les calculs d'aires et volumes concernent des objets de la vie courante : surface de terrains agricoles, coffres, puits, colonnes, tours, etc. Chez Piero y a seulement deux problèmes « pratiques » avec des objets courants ; dans le reste de cette partie de l'ouvrage, Piero traite exclusivement des propriétés de polygones et polyèdres abstraits.
Cette partie du Trattato d'abaco sera réécrit et considérablement augmenté, vers 1480, pour devenir son Libellus de quinque corporibus regularibus.
Les deux premières sections traitent de la géométrie plane (f.80.r - f.104.v) et de la géométrie à trois dimensions (f.105.r - f.120.v). Les résultats de la première section sont les fondements des démonstrations stéréométriques de la deuxième section. Puis, suivant le plan d'Euclide, il étudie les calculs associés des Cinq solides de Platon (tétraèdre, cube, octaèdre, icosaèdre et dodécaèdre). Piero redécouvre certains polyèdres d'Archimède.
Piero et la divine proportion : D'abord le terme divine proportion semble être introduit par Luca Pacioli en 1509 pour des raisons plus au moins mystiques et a été repris au XIXe siècle sous le nom section dorée et au XXe siècle pour des concepts esthétiques comme de modulor. Piero est très terre-à-terre. Il suit Fibonacci et Euclide et appelle la division d'un segment de cette façon « extrême et moyenne raison ». Comme Euclide, Piero et Fibonacci traitent cette proportion comme une des façons de diviser un segment et ils ne l'attribuent aucun caractéristique extraordinaire.
La division est la suivante : Le segment $ABC$ : $A$______________$B$_____________________$C$ est tel que ${\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}$.
Elle apparaît dans les œuvres de Piero, Fibonacci et Euclide dans l'étude des pentagones :
* Trouvez la longueur du côté et l'aire d'un pentagone inscrit dans un cercle de diamètre 10.
* La longueur du côté d'un pentagone est égal à la longueur du plus grand segment de la corde du pentagone quand celle-ci est divisée en « extrême et moyenne raison ». (f.90.r-v)
* Des problèmes concernant le dodécaèdre (f.110.r) dérivent directement des problèmes sur des pentagones.