# Cube de Jérusalem

Le cube de Jérusalem est un solide fractal découvert par Eric Baird$^,$. Sa construction est proche de celle de l'éponge de Menger, mais contrairement à celle-ci son rapport d'homothétie n'est pas entier ou fractionnaire et chaque itération crée des éléments autosimilaires de rang n+1 et n+2. Il est nommé ainsi en raison de la ressemblance avec la croix de Jérusalem.

## Définition formelle

Soit le rapport d'homothétie:
    $k={\sqrt {2}}-1$
Soient $f_{i}$ les huit vecteurs de translation pour les positions des huit cubes de rang 1 à la première itération:
    $\bigcup _{i=1}^{8}f_{i}={\Bigl \{\bigla(1-k),b(1-k),c(1-k){\bigr )}{\big /}a,b,c\in \{0,1\}{\Bigr \}}$
Soient $g_{j}$ les douze vecteurs de translation pour les positions des douze cubes de rang 2 à la première itération:
    $\bigcup _{j=1}^{12}g_{j}={\Bigl \{\bigla,b,c{\bigr )}{\big /}a,b,c\in \{0,k,1-k^{2}\}{\mbox{ et exactement un des }}a,b,c{\mbox{ vaut }}k{\Bigr \}}$
L'opération de translation de vecteur v d'un ensemble C de points p de $\textstyle \mathbb {R} ^{3}$ est définie par:
    $T_{v}(C)={\Bigl \p+v{\big /}p\in C{\Bigr \}}{\mbox{ où }}p+v{\mbox{ correspond à }}(p_{0}+v_{0},p_{1}+v_{1},p_{2}+v_{2})$
L'opération d'homothétie de ratio r d'un ensemble C de points p de $\textstyle \mathbb {R} ^{3}$ est définie par:
    $H_{r}(C)={\Bigl \rp{\big /}p\in C{\Bigr \}}{\mbox{ où }}rp{\mbox{ correspond à }}(rp_{0},rp_{1},rp_{2})$
Soit le cube unité:
    $C_{0}={\Bigl \p={\biglx,y,z{\bigr )}\in \left[0,1\right]^{3}{\mbox{ dans }}\mathbb {R} ^{3}{\Bigr \}}$
Le cube de Jérusalem d'itération n est défini par:
    $C_{n}={\Bigl \\bigcup _{i=1}^{8}T_{f_{i}}{\biglH_{k}(C_{n-1}){\bigr )}{\Bigr \}}\bigcup {\Bigl \\bigcup _{j=1}^{12}T_{g_{j}}{\biglH_{k^{2}}(C_{n-1}){\bigr )}{\Bigr \}}$
Le cube de Jérusalem est finalement:
    $C=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }C_{n}$
C'est aussi la limite de $C_{n}$ quand n tend vers l'infini, car nous avons $C_{n}\cap C_{n-1}=C_{n}$

## Construction

La construction du cube de Jérusalem peut se décrire sans expliciter son rapport d'homothétie:
* Débuter par un cube.
* Sur chaque face percer, à travers tout le cube, une croix, de façon à conserver dans les coins du cube initial huit cubes de rang suivant (+1) et dans le prolongement de chaque branche de croix un cube de rang +2 qui s'intercale entre les cubes de rang +1. Chaque cube de rang +2 a une arête alignée et centrée sur une des arêtes du cube initial. Le rapport des côtés d'un cube de rang +1 sur ceux du cube initial est égal au rapport des côtés des cubes de rang +2 sur ceux de rang +1, cette contrainte détermine la longueur et la largeur des branches de la croix.
* Recommencer l'opération sur les cubes de rang +1 et +2
Chaque itération sur un cube ajoute huit cubes de rang +1 et douze cubes de rang +2, soit une multiplication par vingt comme pour l'éponge de Menger mais avec deux tailles de cube différentes.
Après un nombre infini d'itérations, le solide obtenu est le cube de Jérusalem.

## Propriétés

Le rapport d'homothétie pour l'autosimilarité du cube de Jérusalem se calcule à partir de l'observation d'une des faces du cube. On obtient un nombre irrationnel, contrairement à de nombreuses autres fractales qui ont des rapports entiers ou fractionnaires.
Cette particularité implique que le cube ne peut pas se construire sur la base d'un quadrillage.
Ce rapport d'homothétie irrationnel contraste avec l'apparente simplicité de la construction du cube qui ne fait pas appel à des angles autres que des angles droits.

### Calcul du rapport d'homothétie

Soit c$_n$ la longueur du côté du cube composant de rang n.
Dans la largeur d'un cube composant nous avons deux cubes de rang +1 et un cube de rang +2, le côté d'un cube de rang n vaut donc :
    $c_{n}=2c_{n+1}+c_{n+2}$
Par construction nous avons un rapport constant d'un rang à l'autre :
    $k={\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}={\frac {c_{n+2}}{c_{n+1}}}$
Nous en déduisons le rapport d'homothétie k :
    $k={\sqrt {2}}-1\simeq 0,414$

### Dimension de Hausdorff

Pour le calcul de la dimension de Hausdorff du cube de Jérusalem, on reprend le rapport d'homothétie :
    $k={\sqrt {2}}-1$
et en reprenant le schéma de construction du cube, tous disjoints, il vient que la dimension du cube d vérifie :
    $8k^{d}+12k^{2d}=1$
d'où une dimension de Hausdorff qui vaut exactement :
    $d={\frac {\ln({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}})}{\ln({\sqrt {2}}-1)}}\simeq 2,529$
On remarquera qu'elle est inférieure à celle de l'éponge de Menger, d'environ 2,7268.