# Loi du χ² non centrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du χ$^2$ non centrée est une loi de probabilité qui généralise la loi du χ². Cette loi apparait lors de tests statistiques, par exemple pour le maximum de vraisemblance.

## Motivations

Soit X$_i$, k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes $\mu _{i}$ et variances $\sigma _{i}^{2}$. Alors la variable aléatoire
    $\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
suit une loi du χ$^2$ non centrée. Elle dépend de deux paramètres : k qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de X$_i$), et λ qui est en lien avec la moyenne des variables X$_i$ par la formule :
    $\lambda =\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}.$
$\lambda$ est parfois appelé le paramètre de décentralisation. Certaines références définissent λ différemment, comme la moyenne de la somme ci-dessus ou comme sa racine carrée.
Cette loi apparait en statistique multivariée, elle est issue de la loi normale multidimensionnelle. Comme la loi du χ² est le carré de la norme du vecteur aléatoire défini à partir des variables de loi ${\mathcal {N}}(0_{k},I_{k})$ (c'est-à-dire le carré de la distance entre l'origine et un point donné par cette loi), la loi du χ$^2$ non centrée est le carré de la norme d'un vecteur aléatoire de loi ${\mathcal {N}}(\mu ,I_{k})$. Ici 0$_k$ est le vecteur nul de longueur k, $\mu =(\mu _{1},...,\mu _{k})$ et I$_k$ est la matrice unité de taille k.

## Définition

La densité de probabilité est donnée par :
    ${\begin{cases}f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\dfrac {{\rm {e}}^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$
où Y$_q$ est de loi du χ² à q degrés de liberté.
De cette représentation, la loi du χ$^2$ non centrée est vue comme une loi mélange de loi du $\chi ^{2}$. Supposons que la variable J suit une loi de Poisson avec moyenne λ/2, et que la loi conditionnelle de Z sachant J = i est la loi du χ$^2$ à k+2i degrés de liberté. Alors la loi (non conditionnelle) de Z est la loi du χ$^2$ non centrée à k degrés de liberté, et avec paramètre de décentralisation $\lambda$.
D'une autre part, la densité peut être écrite sous la forme
    $f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})$
où I$_ν$(z) est la fonction de Bessel modifiée du premier type donnée par
    $I_{a}(y)=(y/2)^{a}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (a+j+1)}}.$
En utilisant la relation entre les fonctions de Bessel et hypergéométrique, la densité peut également être écrite sous la forme :
    $f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x/4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}.$
Siegel (1979) considère plus particulièrement le cas k=0 (0 degré de liberté), dans ce cas la loi est atomique en 0.

## Propriétés
### Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments est donnée par
    $M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\right)}{(1-2t)^{k/2}}}.$

### Moments

Les premiers moments sont :
    $\mu _{1}^{'}=k+\lambda$
    $\mu _{2}^{'}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )$
    $\mu _{3}^{'}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$
    $\mu _{4}^{'}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )$
Les premiers moments centrés sont :
    $\mu _{2}=2(k+2\lambda )\,$
    $\mu _{3}=8(k+3\lambda )\,$
    $\mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,$
Le n-ième cumulant est
    $K_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,$
Ainsi
    $\mu _{n}^{'}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}}(k+j\lambda )\mu _{n-j}^{'}.$

### Fonction de répartition

En utilisant encore la relation entre les lois du χ$^2$ centrée et non centrée, la fonction de répartition peut s'écrire sous la forme
    $P(x;k,\lambda )={\rm {e}}^{-\lambda /2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}Q(x;k+2j)$
où Q(x ; k) est la fonction de répartition de la loi du χ$^2$ à k degrés de liberté donnée par :
    $Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$
    et où γ(k,z) est la fonction gamma incomplète.
La fonction Q de Marcum Q$_M$(a,b) peut également être utilisée pour formuler la fonction de répartition :
    $P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$

#### Approximation

Sankaran propose plusieurs formes approchées de la fonction de répartition. Dans un article précédent, il formule l'expression suivante :
    $P(x;k,\lambda )\approx \Phi \left[{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\right]$
où
    $\Phi (\cdot )\,$ est la fonction de répartition de la loi normale,
    $h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\,,$
    $p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}},$
    $m=(h-1)(1-3h)\,.$
Cette approximation ainsi que d'autres sont données dans un livre ultérieur.
Pour approcher la loi du χ$^2$, le paramètre de décentralisation λ est égal à zéro.

## Liens avec d'autres lois

* Si V est de loi du χ², $V\sim \chi _{k}^{2}$, alors $V$ est également de loi du χ$^2$ non centrée : $V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$.
* Si $V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )$, $V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)$, et V$_1$ et V$_2$ sont indépendantes, alors ${\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}$ est de loi de Fisher non centrée : ${\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )$.
* Si $J\sim {\mathcal {P}}({\frac {\lambda }{2}})$, où ${\mathcal {P}}$ désigne la loi de Poisson, alors $\chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )$
* Approximation par la loi normale : si $V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )$, alors ${\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)$ en probabilité lorsque $k\to \infty$ ou $\lambda \to \infty$.

### Transformations

Sankaran (1963) étudie les transformations de la forme $z=[(X-b)/(k+\lambda )]^{1/2}$. Il analyse le développement des cumulants de z de l'ordre de $O((k+\lambda )^{-4})$ et montre que les choix suivants de b donnent les résultats raisonnables suivants :
* $b=(k-1)/2$ rend le second cumulant de z approximativement indépendant de λ,
* $b=(k-1)/3$ rend le troisième cumulant de z approximativement indépendant de λ,
* $b=(k-1)/4$ rend le quatrième cumulant de z approximativement indépendant de λ.
De plus, une transformation plus simple, $z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}$, peut être utilisée comme fonction de stabilisation de variance qui produit une variable aléatoire de moyenne $(\lambda +(k-1)/2)^{1/2}$ et de variance $O((k+\lambda )^{-2})$.
L'utilisation de ces transformations peut être altérée par le fait de considérer les racines carrées de nombres négatifs.
Différentes lois du χ et χ$^2$ :
| Lois | en fonction de variables de loi normale |
| loi du χ² | $\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$ |
| loi du χ² non centrée | $\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$ |
| loi du χ | ${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$ |
| loi du χ non centrée | ${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$ |