# Décomposition de Bruhat

En mathématiques, la décomposition de Bruhat (introduite par François Bruhat pour les groupes classiques et par Claude Chevalley en général) G = BWB de certains groupes algébriques G en cellules peut être considérée comme une expression générale du principe d'élimination de Gauss-Jordan, qui permet d'écrire une matrice générique comme produit d'une matrice triangulaire supérieure et d'une matrice triangulaire inférieure – mais avec des cas exceptionnels. Elle est liée à la décomposition en cellules de Schubert des variétés de drapeaux généralisées : voir le groupe de Weyl pour ce thème.
Plus généralement, tout groupe admettant une BN-paire a une décomposition de Bruhat.

## Définitions

* G est un groupe algébrique réductif connexe sur un corps algébriquement clos ;
* B est un sous-groupe de Borel de G ;
* W = N$_G$(T)/T est le groupe de Weyl de G correspondant à un tore maximal T de B.
La décomposition de Bruhat de G est la décomposition
    $G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB$
de G comme union disjointe de doubles classes de B paramétrées par les éléments du groupe de Weyl W. (NB : bien que W ne soit pas en général un sous-groupe de G, la classe wB est toujours bien définie car le tore maximal T est contenu dans B.)

## Exemples

Soit G le groupe linéaire général GL$_n$ des matrices $n\times n$ inversibles à coefficients dans un corps algébriquement clos, qui est un groupe réductif. Alors le groupe de Weyl W est isomorphe au groupe symétrique S$_n$ sur n lettres, avec les matrices de permutation comme représentants. Dans ce cas, on peut prendre pour B le sous-groupe des matrices inversibles triangulaires supérieures. La décomposition de Bruhat dit alors que l'on peut écrire n'importe quelle matrice inversible A comme un produit U$_1$PU$_2$ où U$_1$ et U$_2$ sont triangulaires supérieures et P est une matrice de permutation. En écrivant cela comme P = U$_1$$^{−1}$AU$_2$$^{−1}$, cela signifie que toute matrice inversible peut être transformée en une matrice de permutation via une série d'opérations sur les lignes et les colonnes, où l'on ne s'autorise à ajouter un multiple de la ligne i (resp. la colonne i) à la ligne j (resp. colonne j) si i > j (resp. i < j ). Les opérations sur les lignes correspondent à U$_1$$^{–1}$, les opérations de colonne correspondent à U$_2$$^{–1}$.
Le groupe spécial linéaire SL$_n$ des matrices $n\times n$ (inversibles) de déterminant 1 est un groupe semi-simple et donc réductif. Dans ce cas, W est toujours isomorphe au groupe symétrique S$_n$. Cependant, le déterminant d'une matrice de permutation est la signature de la permutation, donc pour représenter une permutation impaire dans SL$_n$, on peut prendre l'un des éléments non nuls comme étant –1 au lieu de 1. Ici B est le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1, donc l'interprétation de la décomposition de Bruhat dans ce cas est similaire au cas de GL$_n$.

## Géométrie

Les cellules de la décomposition de Bruhat correspondent à la décomposition cellulaire de Schubert (en) des variétés de drapeaux généralisées. La dimension de la cellule correspondant à un élément w du groupe de Weyl est la longueur (en) de cet élément. La dualité de Poincaré contraint la topologie de la décomposition cellulaire, et donc l'algèbre du groupe de Weyl ; par exemple, la cellule de dimension maximale est unique (elle représente la classe fondamentale (en)) et correspond à l'élément le plus long d'un groupe de Coxeter (en).

## Calculs

Le nombre de cellules de dimension k donnée dans la décomposition de Bruhat est le coefficient de degré k du q-polynôme du diagramme de Dynkin associé.

## Doubles cellules de Bruhat

Avec deux sous-groupes de Borel opposés, on peut considérer l'intersection des cellules de Bruhat pour chacun d'eux : une telle intersection est appelée une double cellule de Bruhat :
    $G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1}B\cap B_{-}w_{2}B_{-})$