# Méthode de Tschirnhaus

La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.

## Principe de la méthode

Tschirnhaus rappelle d'abord que toute équation de degré n
    $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$
se ramène classiquement à une équation sans terme de degré n – 1, par un changement de variable de la forme $x=y+b_{0}$. En effet, le coefficient du terme en $y^{n-1}$ du polynôme
    $(y+b_{0})^{n}+a_{n-1}(y+b_{0})^{n-1}+\dots +a_{1}(y+b_{0})+a_{0}$
est $nb_{0}+a_{n-1}$ donc il suffit, pour que ce coefficient soit nul, de choisir $b_{0}$ égal à $-{\frac {a_{n-1}}{n}}$.
Cela lui donne l'idée, pour annuler plus de termes, d'introduire une inconnue auxiliaire y qui n'est plus une translatée de x mais un polynôme, en posant :
    $x^{k}=b_{k-1}x^{k-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}+y$
où k (strictement inférieur à n) est le nombre de termes à annuler, et le choix des coefficients $b_{k-1},\dots ,b_{1},b_{0}$ est expliqué ci-dessous.
Cette transformation se nomme transformation de Tschirnhaus.
En éliminant x entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré n et d'inconnue y dont les coefficients dépendent des k coefficients b$_i$. On tente alors de déterminer les coefficients $b_{i}$ de façon à obtenir une équation en y plus simple à résoudre, par exemple (pour k = n – 1) de la forme :
    $y^{n}-c=0$.
Pour cela, dans l'équation en y, on pose égaux à 0 tous les coefficients des monômes de degré 1 à n – 1. On obtient ainsi un système de n – 1 équations à n – 1 inconnues $b_{n-2},\dots ,b_{1},b_{0}$. Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans l'équation :
    $x^{n-1}-b_{n-2}x^{n-2}-\dots -b_{1}x-(b_{0}+y)=0$,
où y prend successivement pour valeur l'une des n racines n-ièmes de c.
Tschirnhaus ramène ainsi (sur l'exemple n = 3) la résolution d'une équation de degré n à celle de n équations de degré n – 1. Cependant, sa méthode fournit n(n – 1) valeurs pour x, qu'il faut tester pour détecter, parmi elles, les n solutions effectives. En précisant son idée, on peut trouver directement ces n solutions (une par valeur de y).
La méthode ci-dessus permet à Tschirnhaus de donner, pour les solutions d'une équation cubique, une nouvelle formule, différente de celle de Cardan. Il retrouve aussi cette dernière par un autre changement de variable : xy = y$^2$ + a, réinventant ainsi la substitution de Viète.

## Application à la résolution des équations cubiques

Considérons une équation de degré 3, sans perte de généralité de la forme
    $x^{3}+px+q=0$
avec $p\neq 0$. Posons, comme indiqué ci-dessus :
    $x^{2}=ax+b+y$.
Le système
    ${\begin{cases}x^{3}+px+q&=0\\x^{2}&=ax+b+y\end{cases}}$
est équivalent au système
    ${\begin{cases}(a^{2}+b+y+p)x&=-(q+ab+ay)\\x^{2}&=ax+b+y\end{cases}}$
qui admet des solutions x si et seulement si
    $(q+ab+ay)^{2}=-a(q+ab+ay)(a^{2}+b+y+p)+(b+y)(a^{2}+b+y+p)^{2}$.
Cette condition se réécrit :
    $y^{3}+(3b+2p)y^{2}+(3b^{2}+4pb+p^{2}+pa^{2}-3qa)y+b^{3}+2pb^{2}+p^{2}b+pa^{2}b-3qab-q^{2}-pqa-qa^{3}=0\quad (*)$.
On détermine a et b de façon qu'elle ne contienne plus de terme en y$^2$ ni en y :
    ${\begin{aligned}&{\begin{cases}3b+2p&=0\\3b^{2}+4pb+p^{2}+pa^{2}-3qa&=0\end{cases}}\\\Leftrightarrow &{\begin{cases}b&=-{\frac {2p}{3}}\\a&={\frac {3}{p}}\left({\frac {q}{2}}+\delta \right){\text{ avec }}\delta ^{2}={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}.\end{cases}}\end{aligned}}$
Ce choix de a et b permet de simplifier l'équation $(*)$, qui devient alors$^,$ :
    $y^{3}=\left({\frac {6\delta }{p}}\right)^{3}{\frac {pa}{3}}$.
On termine la résolution en choisissant une racine cubique z de ${\frac {pa}{3}}$, en posant $y_{k}={\frac {6\delta }{p}}z\,\mathrm {j} ^{k}$ pour $k=0,1,2$, et en calculant, pour chacune de ces trois valeurs, les deux solutions de l'équation du second degré $x^{2}=ax+b+y_{k}$. On obtient ainsi en général 6 valeurs distinctes, dont les 3 solutions de $x^{3}+px+q=0$ font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 6 valeurs.

## Méthode particulière pour les équations du quatrième degré

Considérons une équation de degré 4, sans perte de généralité de la forme
    $x^{4}+px^{2}+qx+r=0$
avec $q\neq 0$. Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :
    $x^{2}=ax+b+y$.
Le système
    ${\begin{cases}x^{4}+px^{2}+qx+r&=0\\x^{2}&=ax+b+y\end{cases}}$
admet des solutions x si et seulement si
    $y^{4}+(4b+2p)y^{3}+Ay^{2}+By+C=0\quad (**)$
avec
    $A=6b^{2}+6bp+pa^{2}-3qa+p^{2}+2r$,
    $B=4b^{3}+6pb^{2}+2b(pa^{2}-3qa+p^{2}+2r)+2r(2a^{2}+p)-q(a^{3}+pa+q)$,
    $C=b^{4}+2pb^{3}+b^{2}(pa^{2}-3qa+p^{2}+2r)+b\left[2r(2a^{2}+p)-q(a^{3}+pa+q)\right]+ar(a^{3}+pa-q)+r^{2}$.
L'équation $(**)$ est bicarrée si
    ${\begin{cases}4b+2p&=0\\B&=0,\end{cases}}$
ce qui équivaut à
    ${\begin{cases}b=-{\frac {p}{2}}\\-qa^{3}+(4r-p^{2})a^{2}+2pqa-q^{2}&=0.\end{cases}}$
Pour résoudre $x^{4}+px^{2}+qx+r=0$, il suffit donc de :
* trouver une solution a de l'« équation cubique résolvante (en) » $-qa^{3}+(4r-p^{2})a^{2}+2pqa-q^{2}=0$ ;
* calculer A et C pour ce choix de a et pour $b=-{\frac {p}{2}}$ ;
* trouver les quatre solutions $y_{k}$ ($k=0,1,2,3$) de l'équation bicarrée $y^{4}+Ay^{2}+C=0$ obtenue ;
* pour chacune de ces quatre valeurs, trouver les deux solutions $x_{k,j}$ ($j=0,1$) de $x^{2}-ax-b-y_{k}=0$.
On obtient ainsi 8 valeurs $x_{k,j}$, dont les 4 solutions de $x^{3}+px+q=0$ font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs.

## Équation du cinquième degré

Voir à ce propos l'article Radical de Bring.

## Remarque historique

Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683.