# Inégalité de Sundman

L'inégalité de Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste :
* $\ T>{\frac {L^{2}+J^{2}}{2I}}$
${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=4T-2V$, [notations ci-dessous]
elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.

## Notations

* Le mass scalar product est utilisé : $x=({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{\vec {r}}_{N})$
    $x'\cdot x''=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}<{\vec {r}}'_{i},{\vec {r}}''_{i}>}$
* Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (grâce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.
* $I=x\cdot x$ est le moment d'inertie par rapport à G.
La moitié de sa dérivée temporelle ${\dot {I}}/2==J=x\cdot {\dot {x}}$
* Le théorème du viriel est :${\dot {J}}=2T+V=2H_{o}-V$
où $2T={\dot {x}}\cdot {\dot {x}}$ est 2.E(cinétique) toujours positive ; et $\ V(x)$, l'énergie gravitationnelle des N points, toujours négative.
Bien sûr, le Lagrangien est T- V.
L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ({y} est l'ensemble des quantités de mouvement)
* Le moment cinétique orbital total est :${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}$ = cste (isotropie d'espace)
L'inégalité $L^{2}<\sum _{i=1}^{3}{{\vec {L}}_{i}}^{2}<2I\cdot T$ conduit à :
$\ T>L^{2}/2I$, le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge (Leibniz 1689).

## L'inégalité de Sundman

Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :
* $\ T>L^{2}/2I+J^{2}/2I$
On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate (resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la « déformation de la configuration » (par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit).

## Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan

On peut utiliser la notation ABC pour le triangle, et les formules usuelles des distances mutuelles ; on pose D = max(a, b, c) et d = min(a, b, c).
On déclare P(x) == (x-m1)(x-m2)(x-m3) == x^3- M.x^2+ P.x -M3^3
Il s'ensuit que : $I.M=[a^{2}/m_{1}+b^{2}/m_{2}+c^{2}/m_{3}]\cdot M_{3}^{3}$
Donc $I<[{\frac {P}{M}}]D^{2}$
et $I>[{\frac {m_{3}^{2}}{M}}]d^{2}$.
Soit :
$A\cdot {\sqrt {I}}<d<D<B\cdot {\sqrt {I}}$
Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne : ${\frac {C}{-V}}<d<D<{\frac {D}{-V}}$
Et par conséquent $\ I\cdot V^{2}$ jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.

### Théorème de Jacobi

Pour un système stable (les cercles périgée inf d(t) et apogée sup D(t) existent), Eo est négative. Démonstration : I" =4T + 2 V ⇒ viriel 2<T>=-<V> = -Eo/2 >0
et si Eo>0, le système est ouvert : D→infty : en effet I" >0. Démonstration : on utilise la fonction de Sundman (voir plus loin)
Attention : si Eo<0, cela n'implique pas que le système soit stable ! En effet, deux étoiles peuvent indéfiniment se rapprocher, et la troisième partir à l'infini doucement.

### Théorème de Weierstrass (généralisé par Sundman)

Il n'y a de collision triple stricte que si L = 0. Démonstration : pour avoir I(t0) =0, V(t0)= -infty, donc d'après le viriel I"(t) >0 près de to, donc I(t) décroit de manière monotone I'(t)<0 : alors l'inégalité de Sundman donne 2L^2 Ln[I(t1)/I(t)] < cste ; donc I(t) reste borné sauf si L=0

### Fonction de Sundman

On introduit par généralisation du problème à 2 corps les notations :
$\ a==-GP/2E_{0}$, appelé demi-grand axe, constant.
$\ p==ML^{2}/GP$, appelé paramètre, constant.
$\ R=={\sqrt {MI/P}}$, en gros la taille, variable.
$\ r==-GP/V$, environ la petite taille, variable.
avec les inégalités usuelles de convexité :
$\ 0<d<r<R<D$ (soit $\ IV^{2}>G^{2}P^{3}/2M$)
$|BC|<R\cdot {\sqrt {P/M\cdot {\frac {m_{2}+m_{3}}{m_{2}m_{3}}}}}$
Le viriel devient : ${\ddot {R^{2}}}/2R=={\ddot {R}}+({\dot {R}})^{2}/R=(GM/R)(1/r-1/a)$
La fonction de Sundman S(t) est :
$2S(t)=R/a+p/R+{\dot {R}}^{2}/(GM/R)$
L'inégalité de Sundman devient : $\ R/r-S(t)>0$ ⇒
${\dot {S}}(t)={\frac {dLnR}{dt}}\cdot [R/r-S(t)]$ ,
donc R varie comme S(t).

#### conséquences

L'inégalité triangulaire s'écrit : $\ t==2R/r-R/a-p/R>0$
d'où $R/r>{\sqrt {p/a}}$, soit
* $\ V^{2}-(L^{2}/2I)(-E_{o})>0$
D'autre part on en déduit $\ r<2a$, ce qui semble naturel, mais fait intervenir la décomposition d'Eckart des vitesses :
${\dot {\vec {r_{i}}}}={\vec {L_{o}}}/I\wedge {\vec {r_{i}}}+\lambda {\vec {r_{i}}}$
avec $\lambda ^{2}==GM/R^{2}\cdot [t/R]$,
donc en fait, ce n'est pas si simple à démontrer (les chimistes appellent ce référentiel tournant le référentiel d'Eckart ; en astronomie c'est le SAM de Saari).
le cas intéressant est celui dit de la binaire de Hill : si p>> a, le système tourne très vite à |énergie| faible, alors le système restera toujours une binaire serrée autour de laquelle tourne la troisième étoile (qui peut ou non s'échapper).
L'habitude veut que l'on représente les iso (R/r) qui ressemblent vaguement à la surface de Hill du problème restreint(m3<< m1 et m2), dans le référentiel où AB est pris comme axe des x, et C joue le rôle de troisième étoile ; mais cette représentation est un peu fallacieuse, car elle ne met pas en exergue le rôle symétrique des trois masses.