# Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, énonce que pour tout nombre irrationnel $x$, il existe une infinité de rationnels $h/k$ tels que
$\left|x-{\frac {h}{k}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,k^{2}}}$

## Précisions

* L'hypothèse d'irrationalité de $x$ est indispensable, puisque la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1.
* L'ensemble des couples $(h,k)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$ vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels $h$ et $k$ sont premiers entre eux l'est.
* Les rationnels $h/k$ qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel $x$ (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
* La constante √5 est optimale : pour $x$ égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, √5 par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels $h/k$. En ce sens, le nombre d'or est — de même que tout nombre qui lui est équivalent — « l' »irrationnel qui s'approche le plus mal par des fractions. C'est pourquoi l'on parle parfois de lui comme du plus irrationnel de tous les irrationnels.

## Démonstration

* Optimalité de la constante √5.
Prenons $c={\frac {\sqrt {5}}{\alpha }}$ avec $0<\alpha <1$ et $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. Si $\theta ={\sqrt {5}}k^{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-{\frac {h}{k}}\right)$, alors, on souhaite avoir $|\theta |\leq \alpha$. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve$h^{2}-hk-k^{2}={\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta \,$.Si l'on considère $P(h)=h^{2}-hk-k^{2}$ comme un polynôme en $h$, on a $P(h)=0\Leftrightarrow h={\frac {(1\pm {\sqrt {5}})k}{2}}$, mais, comme $h$ et $k$ sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour $P(k)$. Donc $|h^{2}-hk-k^{2}|\geq 1$.$1\leq \left|{\frac {\theta ^{2}}{5k^{2}}}-\theta ~\right|\leq |\theta |+{\frac {|\theta |^{2}}{5k^{2}}}\leq \alpha +{\frac {\alpha ^{2}}{5k^{2}}}$,soit encore $k^{2}<{\frac {\alpha ^{2}}{5(1-\alpha )}}$, ce qui donne un nombre fini de solutions pour $k$. Comme $h$ doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.
* Démonstration du théorème proprement dit.
Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec ${\frac {a}{b}}$ et ${\frac {a'}{b'}}$ deux termes consécutifs tels que ${\frac {a}{b}}<x<{\frac {a'}{b'}}$. On peut vérifier que :
** soit $b'>{\frac {b{\sqrt {5}}+1}{2}}$
** soit $b'<{\frac {b{\sqrt {5}}-1}{2}}$
    Si $\omega ={\frac {b'}{b}}$, on a $\omega >{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ ou $\omega <{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$. On peut montrer que $1+\omega ^{-2}>{\sqrt {5}}\omega ^{-1}$, d'où
       ${\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)>{\frac {1}{\omega b^{2}}}$.
    Mais d'un autre côté, ${\frac {a'}{b'}}-{\frac {a}{b}}<{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{b'^{2}}}\right)$, ce qui termine l'ébauche de démonstration.
    Une autre approche consiste à montrer que dans le développement en fraction continue d'un irrationnel, sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie l'inégalité annoncée.

## Généralisations

Pour les irrationnels équivalents au nombre d'or, appelés irrationnels nobles, et pour eux seuls, la constante ${\sqrt {5}}$ ne peut être améliorée. Si on les exclut, on a un théorème analogue avec la constante ${\sqrt {8}}$, qui est optimale pour les nombres équivalents à ${\sqrt {2}}$. Si on les exclut à leur tour, une nouvelle constante apparait (valant ${\sqrt {221}}/5$) ; la suite de ces constantes, appelées « nombres de Lagrange », est la partie initiale du « spectre de Lagrange ».