# Voûte de pont en maçonnerie

La voûte est l’élément constitutif principal des ponts en maçonnerie, construits depuis la période romaine jusqu’à la fin du XIXe siècle, supportant toutes les charges appliquées sur l’ouvrage.

## Terminologie

La voûte est délimitée géométriquement, dans un plan vertical, longitudinal par la ligne d’extrados, située à l’extérieur, et la ligne d’intrados, à l’intérieur. La ligne d’intrados est concave et peut présenter des points anguleux, à la clé en particulier, comme c’est le cas pour les voûtes ogivales. La ligne d’extrados peut, quant à elle, présenter des points d’inflexion, au droit des appuis souvent. Dans le plan transversal, les sections de la voûte sont rectangulaires.
Une voûte repose sur des extrémités, souvent appelées retombées, prolongées elles-mêmes par le corps des piles ou des culées sur lesquelles elle s’appuie.
Les points d'intersection de la ligne d'intrados avec ces verticales s'appellent les naissances ou les reins. La distance qui sépare les culées s'appelle l'ouverture.
La ligne qui joint les naissances s'appelle ligne des naissances ou corde. Elle est presque toujours horizontale.
La distance verticale qui sépare la ligne d'intrados de la ligne des naissances, mesurée au milieu de celle-ci, s'appelle la flèche. Elle se représente par la lettre "f".

## Caractéristiques des voûtes
### Intrados

La forme des voûtes (ou arches) a varié selon les périodes. On distingue plusieurs types de voûtes selon la courbe affectée par la ligne d’intrados$^,$:
* La voûte en plein cintre est constituée d’un demi-cercle complet,
* La voûte en arc de cercle ou segmentaire est constituée d’un demi-cercle incomplet,
* L’ogive est formée de deux arcs de cercle se coupant à la clef,
* L’anse de panier est formée d’un certain nombre d’arcs de cercle, avec des centres et des rayons différents et se raccordant aux points de passage de l’un à l’autre.
* L’ellipse est une courbe mathématique spécifique.
Frise chronologique des caractéristiques des voûtes de ponts en maçonnerie :
| | | | Période romaine | Période romaine | Moyen Âge | Moyen Âge | Renaissance | Renaissance | XVIIe siècle XVIIIe siècle | XVIIe siècle XVIIIe siècle | XIXe siècle | XIXe siècle |
| intrados | Plein cintre | | | | | | | | | | | |
| intrados | Arc de cercle | | | | | | | | | | | |
| intrados | Ogivale | | | | | | | | | | | |
| intrados | Anse de panier | | | | | | | | | | | |
| intrados | Ellipse | | | | | | | | | | | |
| Plus grande portée | Plus grande portée | Plus grande portée | 32 m à Narni en Italie | 32 m à Narni en Italie | 54,26 m Vieille-Brioude | 54,26 m Vieille-Brioude | 31,70 m Pont de Toulouse | 31,70 m Pont de Toulouse | 48,75 m Pont de Lavaur | 48,75 m Pont de Lavaur | 62 m Pont de Gournoir | 62 m Pont de Gournoir |
| Surbaissement (arc de cercle) | Surbaissement (arc de cercle) | Surbaissement (arc de cercle) | faible | faible | faible | faible | faible | faible | 1/15,4 Nemours | 1/15,4 Nemours | 1/8 à 1/10 | 1/8 à 1/10 |
| Appareil de la voûte | Pleine épaisseur | | | | | | | | | | | |
| Appareil de la voûte | Plusieurs rouleaux | | | | | | | | | | | |
| Appareil de la voûte | A anneaux superposés | | | | | | | | | | | |
| Appareil de la voûte | Par redents décalés | | | | | | | | | | | |
| Appareil de la voûte | Par appareils spécifiques | | | | | | | | | | | |
| Cintres | A fermes triangulaires | | | | | | | | | | | |
| Cintres | retroussés | | | | | | | | | | | |
| Cintres | A appuis multiples | | | | | | | | | | | |
| Cintres | Rigides | | | | | | | | | | | |

## Caractéristiques géométriques d’une voûte

Une voûte se définit par son ouverture et son surbaissement. Si l'ouverture de la voûte est désignée par "2a" et la flèche par "f", le surbaissement de la voûte, désigné par la lettre $\sigma$, est le rapport flèche/ouverture soit : $\sigma ={\frac {f}{2a}}$

### La ligne d'intrados

Connaissant l'ouverture et la flèche, on peut déterminer la ligne d'intrados.
S'il s'agit d'un arc de cercle, on rappelle à ce sujet la formule bien connue: $R={\frac {a^{2}+f^{2}}{2f}}$
S'il s'agit d'un arc de parabole ou d’un arc d'ellipse on peut construire la ligne d'intrados soit d'une façon précise, à partir de l'équation de la courbe, soit d’une façon approchée en traçant l'arc de cercle qui s'en rapproche le plus.

### L'épaisseur de la voute

Il reste alors à déterminer l'épaisseur de la voûte. Celle-ci se définit à partir de certaines sections remarquables:
* celle du milieu ou section de clef,
* celles des naissances de la voûte, appelées sections des naissances,
* celles qui sont situées à mi-hauteur de la flèche, appelées sections aux reins.
Les caractéristiques d'un pont en maçonnerie ne peuvent se déterminer par les seules règles de la statique, mais seulement par approximations successives, à partir de dimensions choisies a priori que l'on vérifie; on dit que l'ouvrage est hyperstatique.
Puisque l'étude comporte un tâtonnement, on conçoit l'intérêt qui s'attache à choisir au départ, des dimensions aussi voisines que possible de celles qui seront en définitive retenues. On y parvient aisément grâce à la longue expérience que l'on a de ces ouvrages, qui a permis d'établir des formules empiriques donnant les épaisseurs à prévoir pour les sections remarquables des voûtes: clef, reins et naissances, ainsi que pour les culées et les piles.

#### Épaisseur à la clef

Plusieurs formules permettent de déterminer l'épaisseur à la clef (e$_0$). Celles établies par Croizette-Desnoyers en 1885 sont :
| Type de voûte | Surbaissement (flèche/ouverture) | Ponts-routes | Ponts-rails |
| Voûte en plein cintre | $\textstyle {\frac {1}{2}}$ | e$_0$ = 0,15 + 0,15 $\textstyle {\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,17 $\textstyle {\sqrt {2}}R$ |
| Voûte en arc de cercle | $\textstyle {\frac {1}{4}}$ | e$_0$ = 0,15 + 0,15 ${\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,17$\textstyle {\sqrt {2}}R$ |
| Voûte en arc de cercle | $\textstyle {\frac {1}{6}}$ | e$_0$ = 0,15 + 0,14$\textstyle {\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,16$\textstyle {\sqrt {2}}R$ |
| Voûte en arc de cercle | $\textstyle {\frac {1}{8}}$ | e$_0$ = 0,15 + 0,13$\textstyle {\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,15$\textstyle {\sqrt {2}}R$ |
| Voûte en arc de cercle | $\textstyle {\frac {1}{10}}$ | e$_0$ = 0,15 + 0,12$\textstyle {\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,14$\textstyle {\sqrt {2}}R$ |
| Voûte en arc de cercle | $\textstyle {\frac {1}{12}}$ | e$_0$ = 0,15 + 0,11$\textstyle {\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,13$\textstyle {\sqrt {2}}R$ |
| Voûte en arc d'ellipse | | e$_0$ = 0,15 + 0,15$\textstyle {\sqrt {2}}R$ | e$_0$ = 0,20 + 0,17$\textstyle {\sqrt {2}}R$ |

#### Épaisseur aux reins

A mi-hauteur de la flèche (voir illustration précédente) Paul Séjourné conseille la formule : e$_1$ = $\lambda$.e$_0$ avec pour $\lambda$ les valeurs suivantes :
| Type de voûte | Valeur de $\lambda$ | Commentaires |
| Voûte en plein cintre | $\lambda =2$ | Cette valeur est un peu forte pour les voûtes de faible ouverture, inférieure à 8 m |
| Voûte en arc d'ellipse | $\lambda =1+2\sigma$ | $\sigma$ étant le surbaissement |
| Voûte en arc de cercle | $\lambda =2$ | pour $\sigma >={\frac {1}{4}}$ |
| Voûte en arc de cercle | $\lambda =1+12\sigma ^{2}$ | pour $\sigma <{\frac {1}{4}}$ |

#### Épaisseur aux naissances

Pour les voûtes peu surbaissées ($\textstyle \sigma >=\textstyle {\frac {1}{4}}$), il n'y a généralement pas lieu de connaître l'épaisseur aux naissances qui se confond pratiquement avec les reins, les culées commençant à partir de ceux-ci.
Pour les voûtes surbaissées ($\textstyle \sigma <\textstyle {\frac {1}{4}}$), on utilisera la formule suivante donnée par Paul Séjourné :