# Équivalent

En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.
Par exemple, avec $f:x\mapsto x^{2}+3x$, alors quand $x$ tend vers l'infini, le terme $3x$ devient insignifiant devant le terme $x^{2}$ ; on écrit alors $f(x){\underset {\overset {x\rightarrow +\infty }}{\sim }}$ $x^{2}$, et on dit que $f$ est équivalente à $x^{2}$ en $+\infty$.
Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.

## Pour les suites
### Définitions

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites à valeurs réelles ou complexes.
On dit que $(u_{n})$ est équivalente à $(v_{n})$, et on note $u_{n}\ {\underset {\overset {n\rightarrow \infty }}{\sim }}\ v_{n}$ (ou $u_{n}\sim v_{n}$ s’il n’y a pas d’ambiguité sur la variable d’indice) si la suite $(u_{n}-v_{n})$ est négligeable devant la suite $(v_{n})$.
En utilisant la notation de Landau « petit o », ceci s'écrit : $u_{n}=v_{n}+o(v_{n})$, et se traduit par l'existence d'une suite $(\varepsilon _{n})$ qui tend vers zéro et vérifie $u_{n}=(1+\varepsilon _{n})v_{n}$ à partir d'un certain rang.

### Exemples

* Un équivalent de la somme partielle $H_{n}$ d'ordre $n$ de la série harmonique est $\ln n$ :
$\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}\sim \ln n$
* Un équivalent de la factorielle de $n$ est donné par la formule de Stirling : $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({n \over {\mathrm {e} }}\right)^{n}$
* Pour $\pi _{n}$ la suite dont le $n$-ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$, le théorème des nombres premiers établit que :
$\pi _{n}\sim {\frac {n}{\ln n}}$
* Pour $P_{n}$ le nombre de façon de décomposer $n$ en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors :
$P_{n}\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}$
* Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang$^,$.

### Propriétés

* Dans le cas où la suite $v_{n}$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors :
$u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }{\frac {u_{n}}{v_{n}}}=1.$
Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.
* Si deux suites sont équivalentes, alors elles ont la même limite, mais la réciproque est fausse ;
* La relation $\sim$ est une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes ;
* Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.

## Pour les fonctions
### Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $A$ de $\mathbb {R}$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, et soit $a$ un point adhérent à $A$ ($a$ peut être un réel, $+\infty$ ou $-\infty$).
On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $a$, et on note $f\;{\underset {\overset {a}}{\sim }}\;g$ s'il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage $V$ de $a$ telle que :
* $\lim _{a}\varepsilon =0$ ;
* $\forall x\in (V\cap A),~f(x)=(1+\varepsilon (x))g(x).$

### Exemples

* Un équivalent en $\pm \infty$ d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré ;
* $\sin x{\underset {\ {\overset {x\to 0}}}{\sim }}\tan x{\underset {\ {\overset {x\to 0}}}{\sim }}\ x$
* ${\sqrt {1+x}}{\underset {\ {\overset {x\to 0}}}{\sim }}\ 1+{\frac {x}{2}}{\underset {\ {\overset {x\to 0}}}{\sim }}\ 1$

### Propriétés

* Si $g$ est non nulle au voisinage de $a$, alors : $f\;{\underset {\overset {a}}{\sim }}\;g\Leftrightarrow \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$
Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence.
* Si $\ell$ est une constante non nulle : $f\;{\underset {\overset {a}}{\sim }}\;\ell \Leftrightarrow \lim _{a}f=\ell$
* Si $f\;{\underset {\overset {a}}{\sim }}\;0$, alors $f$ est nulle sur un voisinage de $a$ ;
* La relation $\sim$ est une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes ;
* Si $f$ et $g$ sont équivalentes en $a$ alors :
** Elles sont de même signe « localement autour de $a$», c'est-à-dire sur un voisinage de $a$ ;
** Elles admettent la même limite en $a$ ou bien elles n'admettent pas de limite.
* Les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation $\sim$ . Cependant, l'addition et la composition d'équivalents sont généralement fausses (voir opérations sur les équivalents).

### Remarques

* On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions :
** définies sur une partie $A$ d'un espace topologique autre que $\mathbb {R}$ ;
** à valeurs dans un espace vectoriel normé sur $K$, ou même dans un espace vectoriel topologique sur $K$ avec $K$ un corps valué autre que $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$.
* La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.