# Théorème de Hille-Yosida

En théorie des semi-groupes, le théorème de Hille-Yosida est un outil puissant et fondamental reliant les propriétés de dissipation de l'énergie d'un opérateur non borné $A:D(A)\subset X\longrightarrow X$ à l'existence et l'unicité et la régularité des solutions d'une équation différentielle (E)
    ${\begin{cases}x'(t)=Ax(t)\\x(0)=x_{0}\end{cases}}$.
Ce résultat permet notamment de donner l'existence, l'unicité et la régularité des solutions d'une équation aux dérivées partielles plus efficacement que le théorème de Cauchy-Lipschitz-Picard, plus adapté aux équations différentielles ordinaires.

## Semi-groupes

La théorie des semi-groupes doit son origine à l'étude du flot d'une équation différentielle ordinaire autonome en dimension finie ainsi que de l'exponentielle d'opérateurs.

### Définitions

   Soit $X$ un espace de Banach ; on dit que la famille d'opérateurs linéaires $\left(S(t)\right)_{t\geq 0}$ est un semi-groupe (fortement continu) si :
   * $\forall t\geq 0,~S(t)\in {\mathcal {L}}(X)$
   * $S(0)=\mathrm {Id} _{{\mathcal {L}}(X)}$
   * $\forall (s,t)\geq 0,~S(s+t)=S(s)\circ S(t)$
   * $\forall x\in X,~\lim _{t\rightarrow 0^{+}}S(t)x=x$
La condition 4 est équivalente à ce que $\forall x\in X,~t\mapsto S(t)x~\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},X)$.
Si on remplace 4 par : $\lim _{t\rightarrow 0^{+}}\|S(t)-Id\|_{{\mathcal {L}}(X)}=0$ on dit que $\left(S(t)\right)_{t\geq 0}$ est uniformément continu.
On retrouve (vaguement) avec cette définition la notion de famille à un paramètre de difféomorphismes bien connue en théorie des équations différentielles ordinaires.
   On définit le générateur infinitésimal $(A,D(A))$ d'un semi-groupe fortement continu $\left(S(t)\right)_{t\geq 0}$ comme l'opérateur non borné $A:D(A)\subset X\longrightarrow X$ où :
       $D(A)=\left\{x\in X,~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {S(t)x-x}{t}}{\text{ existe}}\right\}$
       $\forall x\in D(A),~Ax=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {S(t)x-x}{t}}$
   Dans le cas où $D(A)=X$ et $A\in {\mathcal {L}}(X)$ la famille d'opérateurs $\left(e^{tA}\right)_{t\geq 0}$ (définie classiquement par sa série) est un semi-groupe fortement continu de générateur infinitésimal $A$: c'est pourquoi on note parfois abusivement $S(t)=e^{tA}$.
   On dit que le semi-groupe $\left(S(t)\right)_{t\geq 0}$ est de contraction si $\forall t\geq 0,~\|S(t)\|_{{\mathcal {L}}(X)}\leq 1$.

### Propriétés des semi-groupes de contraction

Théorème 1 — Soit $X$ un espace de Banach, $\left(S(t)\right)_{t\geq 0}$ un semi-groupe de contraction sur $X$ et $(A,D(A))$ son générateur infinitésimal. Alors :
* $\forall x\in X$ le flot $t\mapsto S(t)x\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},X)$
* $\forall x\in D(A)$ et $\forall t\geq 0$ on a $S(t)x\in D(A)$, le flot $t\mapsto S(t)x\in {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ^{+},X)$ et vérifie $x'(t)=Ax(t)$
* $(A,D(A))$ est fermé de domaine dense.
Théorème 2 (Caractérisation des générateurs infinitésimaux) — Soit $A:D(A)\subset X\longrightarrow X$ un opérateur non borné sur $X$. On a l'équivalence :
* $(A,D(A))$ est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction
* $D(A)$ est dense et pour toute condition initiale $x_{0}\in D(A)$ il existe une unique solution $t\mapsto x(t)\in {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ^{+},X)$ de (E).
De plus, sous cette hypothèse, la solution $x(t)$ est à valeurs dans $D(A)$ et vérifie $\|x(t)\|_{X}\leq \|x_{0}\|_{X}$ ainsi que $\|x'(t)\|_{X}\leq \|Ax(t)\|_{X}\leq \|Ax_{0}\|_{X}$ (inégalités d'énergie).
On commence à voir apparaître le lien entre le problème (E) et la notion de semi-groupe. Pour préciser, il faut maintenant introduire la notion d'opérateur dissipatif.

## Opérateurs dissipatifs
### Définitions

* Un opérateur $(A,D(A))$ est dissipatif si $\forall x\in D(A),\forall \lambda >0,~\|x-\lambda Ax\|\geq \|x\|$. Dans le cas où $X=H$ est hilbertien on montre que A est dissipatif si et seulement si $\forall x\in D(A),\,{\mathfrak {Re}}(\langle Ax,x\rangle _{H})\leq 0$.
Remarque: Si $(A,D(A))$ est un opérateur dissipatif alors $\forall \lambda >0$ l'opérateur $(\mathrm {Id} -\lambda A)$ est injectif car $(I-\lambda A)x=0\Rightarrow 0\leq \|x\|\leq \|(I-\lambda A)x\|=0\Rightarrow x=0$.
* Si de plus $\forall \lambda >0$, $\mathrm {Id} -\lambda A$ est surjectif on dit que $(A,D(A))$ est maximal-dissipatif (ou m-dissipatif). On peut montrer que $\forall \lambda >0$, $\mathrm {Id} -\lambda A$ est surjectif si et seulement si
    $\exists \lambda _{0},\mathrm {Id} -\lambda _{0}A~{\text{surjectif}}$.
En pratique pour montrer qu'un opérateur est m-dissipatif on montre d'abord à la main qu'il est dissipatif et on résout ensuite un problème variationnel pour une valeur $\lambda _{0}$ bien choisie (par exemple avec le théorème de Lax-Milgram, voir exemple de l'équation de la chaleur traité plus bas).
Dans ce cas l'opérateur $(\mathrm {Id} -\lambda A)$ est un isomorphisme (a priori non continu) de $L(D(A),X)$ et on note $J_{\lambda }=(\mathrm {Id} -\lambda A)^{-1}$, qu'on appelle la résolvante de A. De plus,
    $\|J_{\lambda }y\|_{X}\leq \|(\mathrm {Id} -\lambda A)[J_{\lambda }y]\|_{X}\leq \|y\|_{X}$, $J_{\lambda }\in {\mathcal {L}}\left((X,\|.\|_{X}),(D(A),\|.\|_{X})\right)$.
Nous allons voir que cette propriété de continuité peut être améliorée (on va rendre moins fine la topologie sur $(D(A),\|.\|_{X})$ en munissant $D(A)$ d'une norme $\|.\|_{D(A)}$).

### Propriétés des opérateurs m-dissipatifs

Propriété 1: si $(A,D(A))$ est m-dissipatif alors c'est un opérateur fermé.
Corollaire 1 : pour $x\in D(A)$ on pose $\|x\|_{D(A)}=\|x\|_{X}+\|Ax\|_{X}$. Alors $\|.\|_{D(A)}$ est une norme pour laquelle $D(A)$ est un espace de Banach et $A\in {\mathcal {L}}\left((D(A),\|.\|_{A}),(X,\|.\|_{X})\right)$.
Propriété 2 : si $H$ est un espace hilbertien et $A:D(A)\subset H\longrightarrow H$ est m-dissipatif alors il est à domaine dense.
Propriété 3 : réciproquement si $A:D(A)\subset H\longrightarrow H$ est de domaine dense, dissipatif, fermé et tel que son adjoint $(A^{*},D(A^{*}))$ est dissipatif alors $(A,D(A))$ est m-dissipatif.
Corollaire 3 : toujours dans le cadre hilbertien
* si $(A,D(A))$ est dissipatif autoadjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif,
* si $(A,D(A))$ est anti-adjoint à domaine dense alors il est m-dissipatif.
Remarque : dans ce dernier résultat, la condition de dissipativité n'est pas nécessaire car $(A,D(A))$ anti-adjoint entraîne que $\langle Ax,x\rangle _{H}=0$ donc la dissipativité, voir l'exemple de l'équation des ondes plus bas.

## Théorème de Hille-Yosida
### Énoncé

Théorème 3 (Hille-Yosida) — Soit $X$ un espace de Banach et $A:D(A)\subset X\longrightarrow X$ un opérateur non borné. On a l'équivalence
* $(A,D(A))$ est m-dissipatif à domaine dense
* $(A,D(A))$ est le générateur infinitésimal d'un semi-groupe de contraction
Le point 1 du théorème précédent peut être réécrit en termes de résolvante :
* ' $(A,D(A))$, opérateur fermé à domaine dense, vérifie $(0,+\infty )\subset \rho (A)$ et $\|R_{\lambda }\|_{{\mathcal {L}}(X)}\leq {\frac {1}{\lambda }}$ pour tout $\lambda >0$.
Ainsi sous ces hypothèses et d'après le théorème 2 pour toute condition initiale $x_{0}\in D(A)$ il existe une unique solution forte $t\mapsto x(t)$ dans ${\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},(D(A),\|.\|_{D(A)}))\cap {\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ^{+*},(X,\|.\|_{X}))$. Lorsque la condition initiale est prise quelconque dans X on a une solution faible $t\mapsto x(t)=S(t)x$ de classe seulement ${\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{+},(X,\|.\|_{X}))$ (et on montre que toute solution faible est limite dans $X$ de solutions fortes).

### Régularité des solutions

On constate que la régularité de la solution est étroitement liée au choix de la condition initiale en fonction du domaine de A : il est donc naturel de penser qu'en imposant plus de « régularité » à $x_{0}$ on obtienne plus de régularité sur les solutions. Plus précisément on pose pour $k\geq 2$, $D(A^{k})=\{x\in D(A^{k-1}),~Ax\in D(A^{k-1})\}$. Alors on a le théorème suivant.
Théorème 4 — On peut munir les $D(A^{k})$ des normes $\|x\|_{D(A^{k})}=\sum _{i=0}^{k}\|A^{i}x\|$ pour lesquels ce sont des espaces de Banach. De plus si la condition initiale $x_{0}\in D(A^{k})$ alors la solution est de classe ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{+*},X)$ et ${\mathcal {C}}^{k-i}(\mathbb {R} ^{+*},D(A^{i}))$ pour $i=1...k$ et au sens des topologies précédentes.

## Exemples
### L'équation de la chaleur

On se donne $\Omega$ un ouvert borné de classe ${\mathcal {C}}^{2}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et on cherche à résoudre l'équation de la chaleur
    ${\begin{cases}\partial _{t}u(x,t)-\Delta u(x,t)=0\\u(x,0)=u_{0}(x)\end{cases}}$
sur $(x,t)\in \Omega \times [0,+\infty ]$ pour une condition initiale donnée.
On peut réécrire cette équation aux dérivées partielles sous la forme d'une équation différentielle ordinaire $y'(t)=Ay(t)$ en posant $X=H=L^{2}(\Omega )$, $y(t)=u(.,t)\in H$ et en définissant $(A,D(A))$ par $D(A)=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )$ et $Ax=\Delta x$ pour tout $x\in D(A)$. Nous sommes dans le bon cadre pour utiliser la théorie des semi-groupes et le théorème de Hille-Yosida ; reste à montrer que l'opérateur A est m-dissipatif.
Il est bien connu que le laplacien est un opérateur autoadjoint :
    $\langle Au,v\rangle _{H}=\int _{\Omega }(\Delta u)v=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }u(\Delta v)=\langle u,Av\rangle _{H}$
par double intégration par parties, et que $D(A)$ est dense dans $L^{2}(\Omega )$, il suffit donc de montrer qu'il est dissipatif ou de façon équivalente que $\Re (\langle Ax,x\rangle _{H})\leq 0$. Or tout $x\in D(A)=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ est de trace nulle, donc en intégrant par parties $\Re (\langle Ax,x\rangle _{H})=-\int _{\Omega }\|\nabla x\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\leq 0$.
Le corollaire 3 et le théorème de Hille-Yosida permettent enfin de conclure quant à l'existence-unicité et la régularité des solutions. On remarque de plus que
    ${\frac {d}{dt}}\left(\|y(t)\|_{H}^{2}\right)=2\langle y'(t),y(t)\rangle _{H}=2\langle Ay(t),y(t)\rangle _{H}\leq 0$
On retrouve, bien sûr, le côté dissipatif et irréversible de l'équation de la chaleur.

### L'équation des ondes

L'équation des ondes homogène se formule dans un domaine $\Omega$ suffisamment régulier (c'est-à-dire ${\mathcal {C}}^{2}$ en pratique) et sur un intervalle de temps $[0,T)$ (avec $T>0$) selon
    $\left\{{\begin{array}{rcll}u_{tt}(t,x)-\Delta u(t,x)&=&0&\forall (t,x)\in (0,T)\times \Omega \\u(0,x)&=&f(x)&\forall x\in \Omega \\u_{t}(0,x)&=&g(x)&\forall x\in \Omega \end{array}}\right.$
On se place dans la théorie des semi-groupes en mettant l'équation précédente au premier ordre en temps. On pose alors
    ${\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&I\\\Delta &0\end{array}}\right)$, ${\mathcal {Y}}=\left({\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right)$
(avec $v=u'$) et
    ${\mathcal {Y}}_{0}=\left({\begin{array}{c}f\\g\end{array}}\right).$
L'équation devient alors
    $\left\{{\begin{array}{rcll}{\mathcal {Y}}'(t)&=&{\mathcal {A}}{\mathcal {Y}}(t)\\{\mathcal {Y}}(0)&=&{\mathcal {Y}}_{0}\end{array}}\right.$.
Le domaine du Laplacien étant $D(\Delta )=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$, celui de ${\mathcal {A}}$ est $D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )$ sur $H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )$. Les conditions initiales seront alors prises dans $H$. Le produit scalaire dans $H$ est défini pour tout couple $(u,v)$ dans $H$ ($u=(u_{1},u_{2})$ et $v=(v_{1},v_{2})$) par $(u,v)_{H}=(\nabla u_{1},\nabla v_{1})_{L^{2}(\Omega )}+(u_{2},v_{2})_{L^{2}(\Omega )}.$
Reste à vérifier que nous sommes bien dans les conditions d'application du théorème de Hille-Yosida :
* $D({\mathcal {A}})$ est dense dans $H$.
* ${\mathcal {A}}$ est fermé.
* ${\mathcal {A}}$ est dissipatif. Ce point mérite une preuve.
On utilise la caractérisation $(i')$ du théorème. Soient $\lambda >0$ et $(f,g)\in H$. L'équation résolvante s'écrit en $(u,v)$
    $(*)\left\{{\begin{array}{rcl}\lambda u-v&=&f\\\lambda v-\Delta u&=&g\end{array}}\right.$
d'où $(\lambda ^{2}I-\Delta )u=\lambda f+g$ qui admet une unique solution dans $u\in H_{0}^{1}(\Omega )$ via Lax-Milgram (car d'une part $\lambda ^{2}>0$ et d'autre part les valeurs propres du Laplacien sont strictement négatives donc $(\lambda ^{2}I-\Delta )$ est un opérateur elliptique dont la forme bilinéaire associée vérifie les hypothèses du théorème de Lax-Milgram). Et alors $v=\lambda u-f$ est dans $H_{0}^{1}(\Omega )$.
L'estimation de l'opérateur résolvant $R_{\lambda }$ vient du produit scalaire de $(*)_{2}$ par $v$ en remplaçant $u$ par sa valeur dans $(*)_{1}$:
    ${\begin{array}{rcl}\lambda (\|v\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2})&=&(\nabla f,\nabla u)_{L^{2}(\Omega )}+(g,v)_{L^{2}(\Omega )}\\&\leq &(\|g\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|\nabla f\|_{L^{2}(\Omega )}^{2})^{1/2}(\|v\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2})^{1/2}.\end{array}}$
D'où, puisque $(u,v)=R_{\lambda }(f,g)$, on obtient l'estimation attendue $\|R_{\lambda }\|\leq {\frac {1}{\lambda }}$. Le semi-groupe engendré par ${\mathcal {A}}$ est donc un semi-groupe de contraction.
On peut utiliser le Corollaire 3 pour montrer que ${\mathcal {A}}$ est m-dissipatif en montrant que ${\mathcal {A}}$ est anti-adjoint. On a alors pour tout couple $(u,v)$ dans $D({\mathcal {A}})$
${\begin{array}{rcl}({\mathcal {A}}u,v)_{H}&=&(\nabla u_{2},\nabla v_{1})_{L^{2}(\Omega )}+(\Delta u_{1},v_{2})_{L^{2}(\Omega )}\\&=&-(u_{2},\Delta v_{1})_{L^{2}(\Omega )}-(\nabla u_{1},\nabla v_{2})_{L^{2}(\Omega )}\\&=&-(u,{\mathcal {A}}v)_{H}.\end{array}}$
Ainsi, ${\mathcal {A}}$ est anti-adjoint et à domaine dense donc m-dissipatif.

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Théorème de Lumer-Phillips (en)