# Caractère de Dirichlet

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes.
Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique.

## Définitions

Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (ℤ/nℤ)$^×$ de l'anneau ℤ/nℤ. Dans le corps ℂ des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté c.
Il existe deux définitions d'un caractère de Dirichlet :
* Un caractère de Dirichlet modulo n$^,$ est un caractère du groupe fini (ℤ/nℤ)$^×$, c'est-à-dire un morphisme de groupes de (ℤ/nℤ)$^×$ dans le groupe multiplicatif ℂ* des complexes non nuls.
Dans la seconde définition, un caractère de Dirichlet est un type particulier de fonction arithmétique, c'est-à-dire d'application de l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs dans ℂ :
* Un caractère de Dirichlet modulo n est une fonction arithmétique qui est :
** complètement multiplicative ;
** n-périodique ;
** nulle sur les entiers non premiers avec n.
Les caractères χ de la première définition sont en bijection avec les caractères χ' de la seconde : si la classe dans ℤ/nℤ d'un entier d appartient à U alors χ'(d) est l'image par χ de cette classe et sinon, χ'(d) = 0.
Si d est un diviseur de n, tout caractère de Dirichlet modulo d peut être vu comme un caractère de Dirichlet modulo n, par composition avec la projection (ℤ/nℤ)$^×$ → (ℤ/dℤ)$^×$.
* caractère de Dirichlet non principal modulo 6On dit qu'un caractère de Dirichlet modulo n est primitif s'il ne vient pas d'un caractère de Dirichlet modulo un diviseur strict de n ; dans ce cas, n est appelé le conducteur du caractère$^,$. C'est le cas en particulier si son noyau est trivial, mais l'inverse est faux : il y a par exemple un caractère primitif pour n = 12 de noyau non trivial.
* Le caractère de Dirichlet valant 1 sur les entiers premiers avec n et 0 ailleurs est appelé caractère principal (ou caractère de conducteur 1) modulo n.
* Caractère de Dirichlet principal modulo 3Le caractère de Dirichlet principal modulo 1 (valant 1 sur tous les entiers) est dit caractère trivial.

## Propriétés
### Propriétés élémentaires

L'ensemble Û des caractères modulo n forme un groupe abélien fini isomorphe à U. En particulier :
* Groupe ${\widehat {U}}$ des caractères u modulo 5Les valeurs non nulles du caractère sont des racines φ(n)-ièmes de l'unité. En effet, l'ordre de U est φ(n), où φ désigne l'indicatrice d'Euler.
* Le produit de deux caractères est un caractère.
* Le conjugué d'un caractère est son caractère inverse pour la multiplication. Autrement dit (pour tout caractère et tout élément de U) : l'image de l'inverse est le conjugué de l'image.
* Les caractères de Dirichlet forment une base orthonormale du ℂ-espace vectoriel ℂ$^U$ des fonctions de U dans ℂ, pour le produit hermitien < , > défini par :$\forall f,g\in \mathbb {C} ^{U}\quad \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\varphi (n)}}\sum _{x\in U}{\overline {f(x)}}g(x).$

### Analyse harmonique

La transformée de Fourier d'une fonction f de ℂ$^U$ est la fonction ${\widehat {f}}$ de Û dans ℂ définie par :
$\forall \chi \in {\widehat {U}}\quad {\widehat {f}}(\chi )={\frac {1}{\sqrt {\varphi (n)}}}\sum _{x\in U}f(x){\overline {\chi (x)}}.$
La théorème de Plancherel exprime l'égalité suivante :
$\forall f\in \mathbb {C} ^{U}\quad f={\frac {1}{\sqrt {\varphi (n)}}}\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}{\widehat {f}}(\chi )\chi .$

### Symbole de Legendre

Les caractères à valeurs réelles sont les morphismes de U dans {–1, 1} (les seules racines réelles de l'unité). Le caractère principal est le morphisme trivial. Les caractères non principaux à valeurs réelles sont les éléments d'ordre 2 du groupe Û, isomorphe à U. Il en existe dès que l'ordre du groupe est pair, donc dès que n > 2 d'après la proposition suivante.
* Si n est strictement plus grand que 2, alors U est d'ordre pair. En effet, si n est divisible par un nombre premier p > 2 alors φ(n) est divisible par le nombre pair p – 1, et sinon, n est égal à 2$^r$ où r est un entier strictement supérieur à 1 et φ(n) est égal à 2$^{r–1}$.
La proposition suivante généralise la construction du symbole de Legendre, qui correspond au cas particulier où n est premier et impair.
* Si n est une puissance d'un nombre premier impair alors il existe un unique caractère non principal à valeurs réelles. En effet, dans ce cas, U (donc aussi Û) est non seulement d'ordre pair mais cyclique (cf. § « Cas où n n'est pas premier » de l'article « Anneau ℤ/nℤ ») donc possède un unique élément d'ordre 2.

## Théorème de la progression arithmétique
### Séries L de Dirichlet

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction zêta de Riemann et apparaissent comme prééminentes dans l'hypothèse de Riemann généralisée.
La série L de Dirichlet d'un caractère $\chi \in {\widehat {U}}$, notée $L(s,\chi )$ est définie, pour tout nombre complexe $s$ de partie réelle > 1, par la série absolument convergente :
$\forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad L(s,\chi ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$

#### Exemple

    Si $\chi$ est le caractère principal modulo 3 illustré plus haut, alors $L(s,\chi )=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {0}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {0}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\dots$.
Par prolongement analytique, la fonction L peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

### Produit eulérien

La fonction χ étant complètement multiplicative, un calcul similaire à celui effectué par Euler pour la fonction zêta permet de transformer la série L en un produit infini indexé par l'ensemble ${\mathcal {P}}$ des nombres premiers. Un tel produit porte le nom de « produit eulérien ».
$\forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad L(s,\chi )=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{1-p^{-s}\chi (p)}}$
De même que celui d'Euler, ce produit infini est absolument convergent, si bien que la série suivante l'est aussi et fournit — comme pour la fonction ζ, qui correspond à χ = 1 — une branche de son logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 1, notée $\log L$, telle que $\exp(\log L(s,\chi ))=L(s,\chi )$ :
    $\log L(s,\chi )=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\left(p^{-s}\chi (p)\right)^{k}}{k}}=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi (p^{k})}{kp^{ks}}}$.

### Application

L'objectif initial des caractères de Dirichlet est de dénombrer les nombres premiers dans une classe m de U, ce qui revient à démontrer le théorème de la progression arithmétique.
On définit une fonction ω de S × U dans ℂ, où S désigne le demi-plan complexe des nombres dont la partie réelle est strictement supérieure à 1 :
$\forall u\in U\quad \forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad \omega (s,u)={\frac {1}{\varphi (n)}}\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}{\overline {\chi (u)}}\;\log L(s,\chi )$
Le théorème de Plancherel (voir supra) permet d'exprimer ω sous une autre forme, grâce à laquelle la valeur en (s, m) fournit suffisamment d'informations pour conclure :
$\forall u\in U\quad \forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad \omega (s,u)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\quad \sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p^{k}\in u}{\frac {1}{kp^{ks}}}.$
Fixons $s$, notons $h(u)$ la série (absolument convergente) de droite, et calculons la transformée de Fourier de $h$.
${\sqrt {\varphi (n)}}\,{\widehat {h}}(\chi )=\sum _{u\in U}h(u){\overline {\chi (u)}}=\sum _{u\in U}\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p^{k}\in u}{\frac {\overline {\chi (u)}}{kp^{ks}}}=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\overline {\chi (p^{k})}}{kp^{ks}}}=\log L(s,{\overline {\chi }})$
D'après la formule de Plancherel, $h$ est donc égale à la transformée de Fourier (définie comme ci-dessus mais en intervertissant U et Û) de la fonction $\chi \mapsto {\frac {1}{\sqrt {\varphi (n)}}}\log L(s,\chi )$, c'est-à-dire à $u\mapsto \omega (s,u)$.

## Histoire

Les caractères de Dirichlet et leurs séries L furent introduits par Dirichlet, en 1831, en vue de prouver son théorème sur l'infinité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. L'extension aux fonctions holomorphes fut accomplie par Bernhard Riemann.