# Fonction affine

En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
$f(x)=ax+b$
où les paramètres $a$ et $b$ ne dépendent pas de $x$.
Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont $a$ est la pente et $b$ l'ordonnée à l'origine.
Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.
Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.
La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.
Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique, une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.

## Propriété caractéristique

Une fonction affine $f$ est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de $x$ et les accroissement de $f(x)$. En effet, si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont deux réels, l'accroissement $f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})$ est proportionnel à $x_{1}-x_{2}$. Le coefficient de proportionnalité est $a$.
Une fonction $f$ est affine si et seulement si il existe $a$ tel que pour tout réels $x_{1},x_{2}$, $f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})$.
Si pour tout réels $x_{1},x_{2}$, $f(x_{1})-f(x_{2})=a(x_{1}-x_{2})$. Alors en particulier pour $x_{2}=0$ :
$f(x_{1})-f(0)=ax_{1}$
et donc $f(x)=ax+f(0)$, $f$ est affine.
Réciproquement, si $f$ est affine :
$f(x_{2})-f(x_{1})=ax_{2}+b-ax_{1}-b=ax_{2}-ax_{1}=a(x_{2}-x_{1}).$
Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient $a$ :
    $a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ si $x_{1}\neq x_{2}$.
On en déduit : $f'(x)=a$. La dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur — ou coefficient de proportionnalité — de la fonction affine.
L'ordonnée à l'origine $b$ peut se calculer de la manière suivante :
    $b={\frac {x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{2}-x_{1}}}$ si $x_{1}\neq x_{2}$.
$x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})=x_{2}(ax_{1}+b)-x_{1}(ax_{2}+b)=ax_{2}x_{1}+bx_{2}-ax_{2}x_{1}-bx_{1}=b(x_{2}-x_{1}).$
Si l'on connaît l'expression de $f$, alors on a que $b=f(0)$.

## Résolution d'équations et d'inéquations

Supposons $a,b$ réels et $a$ non nul.
* L'unique solution de l'équation $ax+b=0$ est le réel $-{\frac {b}{a}}$.
* L'ensemble des solutions de l'inéquation $ax+b\geq 0$ est l'intervalle réel $\left[-{\frac {b}{a}},+\infty \right[$ si $a>0$, $\left]-\infty ,-{\frac {b}{a}}\right]$ si $a<0$.

## Exemples

* Exemple de l'abonnement téléphonique.
    Le prix de l'abonnement mensuel est $A$ et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre $x$ de minutes de communication dans le mois :
$f\,\colon x\mapsto A+0{,}1~x$.
* Longueur d'un ressort.
    Si au repos le ressort a une longueur $L_{0}$ et si sa raideur est $k$, alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).
$L\,\colon f\mapsto L_{0}+{\frac {f}{k}}$.
Dans ce cas, le coefficient directeur est $1/k$ et l'ordonnée à l'origine $L_{0}$.

## Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite dont l'équation est
$y=ax+b$
La droite coupe l'axe des ordonnées pour $y=b$ (d'où le nom d'ordonnée à l'origine). Lorsque $b$ est nul, la droite passe par l'origine du repère cartésien.
La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel $a$. Si $a>0$, la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si $a<0$, elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de $a$ carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

## Détermination des coefficients

Si $M(x_{1},y_{1})$ et $N(x_{2},y_{2})$ sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation $y=ax+b$, alors :
    $a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$,
    $b=y_{1}-ax_{1}=y_{2}-ax_{2}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}$.
Si $a=0$ alors la fonction est constante et si $b=0$ alors la fonction est linéaire.