# Fougère de Barnsley

La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere.

## Construction

La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines. La formule pour une application affine est la suivante :
    $f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$
Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.
| w | a | b | c | d | e | f | p | Partie générée |
| ƒ$_1$ | 0 | 0 | 0 | 0.16 | 0 | 0 | 0.01 | Tige |
| ƒ$_2$ | 0.85 | 0.04 | −0.04 | 0.85 | 0 | 1.60 | 0.85 | Petites folioles |
| ƒ$_3$ | 0.20 | −0.26 | 0.23 | 0.22 | 0 | 1.60 | 0.07 | Grandes folioles de gauche |
| ƒ$_4$ | −0.15 | 0.28 | 0.26 | 0.24 | 0 | 0.44 | 0.07 | Grandes folioles de droite |
Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :
    $f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}$
    $f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}$
    $f_{3}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}$
    $f_{4}(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}$

### Programmation de la fonction

Le premier point tracé est à l'origine (x$_0$ = 0, y$_0$ = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :
ƒ$_1$
    x$_{n+1}$ = 0
    y$_{n+1}$ = 0.16 y$_n$.
Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations
ƒ$_2$
    x$_{n+1}$ = 0.85 x$_n$ + 0.04 y$_n$
    y$_{n+1}$ = −0.04 x$_n$ + 0.85 y$_n$ + 1.6.
Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.
ƒ$_3$
    x$_{n+1}$ = 0.2 x$_n$ − 0.26 y$_n$
    y$_{n+1}$ = 0.23 x$_n$ + 0.22 y$_n$ + 1.6.
Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).
ƒ$_4$
    x$_{n+1}$ = −0.15 x$_n$ + 0.28 y$_n$
    y$_{n+1}$ = 0.26 x$_n$ + 0.24 y$_n$ + 0.44.
Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).

### Variétés mutantes

En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales.
Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae$^,$.
Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.
Coefficients de la fougère Cyclosorus :
| w | a | b | c | d | e | f | p |
| ƒ$_1$ | 0 | 0 | 0 | 0,25 | 0 | -0,4 | 0,02 |
| ƒ$_2$ | 0,95 | 0,005 | -0,005 | 0,93 | −0.002 | 0,5 | 0,84 |
| ƒ$_3$ | 0.035 | −0.2 | 0,16 | 0,04 | -0,09 | 0,02 | 0,07 |
| ƒ$_4$ | −0.04 | 0.2 | 0,16 | 0,04 | 0,083 | 0,12 | 0,07 |