# Copule (mathématiques)

En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'un vecteur aléatoire à valeurs dans $\mathbb {R} ^{d}$ sans se préoccuper de ses lois marginales.

## Aspects probabilistes des copules

Une copule est une fonction de répartition, notée C, définie sur [0, 1]$^d$, dont les marges sont uniformes sur [0, 1]. Une caractérisation est alors que :
* $C(u_{1},...,u_{d})=0$ si une des composantes u$_i$ est nulle,
* $C(1,...,1,u_{i},1,...,1)=u_{i}$,
* C est d- croissante.
En dimension 2, $C(0,v)=C(u,0)=0$ pour tout u et v, $C(u,1)=u$ et $C(1,v)=v$, pour tout u et v, et enfin, la propriété de 2-croissance se traduit par $C(u_{1},v_{1})-C(u_{1},v_{2})-C(u_{2},v_{1})+C(u_{2},v_{2})\geq 0$ pour tout $0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1$ et $0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1$.
L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si (U, V) admet pour fonction de répartition C, $\mathbb {P} (u_{1}<U<u_{2},v_{1}<V<v_{2})=C(u_{1},v_{1})-C(u_{1},v_{2})-C(u_{2},v_{1})+C(u_{2},v_{2})\geq 0,$ la mesure $\mathbb {P}$ étant nécessairement positive.
Le théorème de Sklar dit que si C est une copule, et si $F_{1},...,F_{d}$ sont des fonctions de répartition (univariées), alors $F(x_{1},...,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),...,F_{d}(x_{d}))$ est une fonction de répartition de dimension d, dont les marges sont précisément $F_{1},...,F_{d}$.
Et réciproquement, si F est une fonction de répartition en dimension d, il existe une copule C telle que $F(x_{1},...,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),...,F_{d}(x_{d}))$, où les F$_i$ sont les lois marginales de F.
Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule C est alors unique, et donnée par la relation $C(u_{1},...,u_{d})=F(F_{1}^{-1}(u_{1}),...,F_{d}^{-1}(u_{d}))$. Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire $(X_{1},...,X_{d})$.
La copule d'un vecteur aléatoire $(X_{1},...,X_{d})$ est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire $(F_{1}(X_{1}),...,F_{d}(X_{d}))$, que l'on notera parfois $(U_{1},...,U_{d})$.
Un intérêt de la copule est de simuler une variable aléatoire multivariée à partir de sa copule et de ses lois marginales. Il suffit de générer un échantillon $(U_{1},...,U_{d})$ à partir de la copule et de construire l'échantillon voulu grâce à la relation:
$(X_{1},..,X_{d})=(F_{1}^{-1}(U_{1}),...,F_{d}^{-1}(U_{d}))$
où $F_{i}^{-1}$ désigne la fonction quantile associée à $F_{i}$
$F_{i}^{-1}(q)=\inf \left\{x:F_{i}(x)\geqslant q\right\}$
Etant donné un échantillon $\{{\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}\}$, si ${\hat {F}}_{j}$ désigne la fonction de répartition empirique de la $j$ème composante, et si ${\hat {u}}_{j:i}={\hat {F}}_{i}(x_{j:i})$ (correspondant au rang de $x_{j:i}$ divisé par $n$), la fonction de répartition du vecteur $({\hat {u}}_{1},\cdots ,{\hat {u}}_{d})$, appelée fonction de dépendance empirique ou, copule empirique. La copule est alors vue comme la fonction de répartition des rangs (au facteur $n$ près).

## Quelques copules classiques

Parmi les copules usuelles, la copule produit $\Pi (u_{1},...,u_{d})=u_{1}\cdot u_{2}\cdot ...\cdot u_{d}$ (on parlera aussi de copule indépendante). $(X_{1},...,X_{d})$ a des composantes indépendantes si et seulement si ${\mathcal}\Pi$ est une copule du vecteur $(X_{1},...,X_{d})$.
* Copule indépendante
La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par $M(u_{1},...,u_{d})=\min\{u_{1},....,u_{d}\}$. $M$ est une copule du vecteur $(X_{1},...,X_{d})$ si et seulement s'il existe des transformations croissantes $g_{i,j}$ telles que $X_{i}=g_{i,j}(X_{j})$. Cette copule correspond à la borne supérieure de Fréchet-Hoeffding, au sens où pour toute copule $C$, $C(u_{1},...,u_{d})\leq M(u_{1},...,u_{d})$.
* Copule comonotone
Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules archimédiennes, définies par $C(u_{1},...,u_{d})=\phi ^{-1}(\phi (u_{1})+...+\phi (u_{d}))$, où $\phi$ (appelé générateur de la copule archimédienne) est au moins d – 2 fois continument dérivable, dont la dérivée d'ordre d – 2 est décroissante convexe, et telle que $\phi (1)=0$.
Ce générateur est unique à une constante (positive) multiplicative près. Une sous-classe relativement large est obtenue lorsque $\phi$ est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,
* la copule indépendante obtenue lorsque $\phi (t)=-\log(t)$,
* la copule de Clayton (en) obtenue lorsque $\phi (t)={\frac {t^{-\alpha }-1}{\alpha }}$, avec $\alpha \geq -1$. Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi Gamma. Cette copule est la seule copule archimédienne invariante par troncature,
* la copule de Gumbel obtenue lorsque $\phi (t)=(-\log(t))^{\alpha }$, avec $\alpha \geq 1$.
Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est la seule copule archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c'est-à-dire $C(u_{1}^{n},...,u_{d}^{n})=C^{n}(u_{1},...,u_{d})$, pour tout $n\geq 1$,
* la copule de Frank obtenue lorsque $\phi (t)=-\log {\frac {{\rm {e}}^{-\alpha t}-1}{{\rm {e}}^{-\alpha }-1}}.$ Cette copule est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure.
Ci-dessous sont représentés les graphiques des lois obtenues avec les copules de Frank, Clayton et Gumbel. Pour obtenir ces graphiques en R (langage) voir Orlando et al.$^,$
* Copule de Frank
* Copule de Clayton
* Copule de Gumbel
Ci-dessous sont représentés les copules elliptiques.
* Copule gaussienne
* Copule de Student (t)

## Aspects statistiques

D'un point de vue statistique, les copules apparaissent naturellement comme la loi des rangs. Les copules apparaissent dans les espaces métriques de probabilité ou en logique floue.