# Théorème de Noether (physique)

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.
Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne.
Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

## Énoncés

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.
Un autre énoncé équivalent est :
Théorème — À toute transformation infinitésimale qui laisse le lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.
Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience.

## Démonstrations

Soit $q_{i}(s)$, un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre $s$. Si le lagrangien $L$ est indépendant de $s$, c'est-à-dire $L(q_{i}(s),{\dot {q}}_{i}(s),t)=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ avec $q_{i}=q_{i}(0)$, alors :
    $I(q_{i},{\dot {q}}_{i})=\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}$
est une intégrale première, c'est-à-dire que $I$ est invariant dans le temps : ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=0$.
En effet :
    ${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}=0$
    ${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}$
(en utilisant les équations d'Euler-Lagrange ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}(s)}}$, et ${\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}$)
    ${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{\forall \,s}\right)=0$
    ${\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}\right)=0$.
Remarque : Dans le cas général, on n'a pas nécessairement un unique paramètre $s$ mais plutôt un jeu de paramètres $s_{j}$ auxquels vont correspondre les invariants
$I_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial q_{i}({\vec {s}})}{\partial s_{j}}}.$
Soit un Lagrangien $L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ qui dépend de $N$ coordonnées généralisées $q_{i}=q_{i}(t)$, avec $i=1,\cdots ,N$. Selon le principe de moindre action, l'action $S=\int Ldt$ est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux équations d'Euler-Lagrange :
$\forall i\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0.$
Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées $q_{i}\rightarrow q_{i}'=q_{i}+\alpha .\delta q_{i}$, si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près (c.-à-d. : $L\rightarrow L'=L+\alpha .\delta L=L+\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}F(q_{i},t)$, pour une fonction quelconque $F(q_{i},t)$ qui ne dépend que des coordonnées généralisées et du temps), alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient :
${\begin{aligned}\alpha .\delta L&={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\alpha .\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\alpha .\delta {\dot {q}}_{i}\\&={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\alpha .\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\alpha .\delta q_{i}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\alpha .\delta q_{i}\right)+\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\right]\alpha .\delta q_{i}.\end{aligned}}$
Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtensible via la règle de Leibniz :
${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\cdot \delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta q_{i}\right)\end{aligned}}$
Nous avons donc simplement remplacé ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot \delta q_{i}$ par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur $\alpha$.
Enfin, dans notre dernière ligne, le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour $q_{i}$. Ainsi, par comparaison avec l'hypothèse de départ, on a :
$F(q_{i},t)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.\delta q_{i}.$
On définit la quantité conservée du système :
$C(q_{i},t)=F(q_{i},t)-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.\delta q_{i}$
car
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}C(q_{i},t)=0.$
Dans le cas où la transformation laisse le lagrangien invariant, on a alors $F(q_{i},t)=0$ et on retrouve alors le résultat de la démonstration précédente, qui est moins générale mais plus explicite.

### Exemples

| Propriété du système physique | Symétrie | Invariant |
| Espace homogène | Invariance par translation dans l'espace | Conservation de l'impulsion |
| Espace isotrope | Invariance par rotation dans l'espace | Conservation du moment cinétique |
| Système indépendant du temps | Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps) | Conservation de l'énergie |
| Pas d'identité propre des particules | Permutation de particules identiques | Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein |
| Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées | Invariance par changement de phase | Conservation de la charge électrique |
Détaillons quelques-uns de ces exemples.

#### Quantité de mouvement

Prenons tout d'abord le cas d'une particule libre, on a donc le lagrangien
$L={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {q}}}^{2}$
invariant par translation. On voit bien ici que si on change l'origine des coordonnées, cela ne va pas modifier la physique de notre particule libre. Le lagrangien est donc invariant par la transformation de translation$q_{i}\rightarrow {\tilde {q}}_{i}=q_{i}+\alpha _{i}$
avec les $\alpha _{i}$ les composantes du vecteur décrivant la translation. On voit ici que l'on a, pour une translation infinitésimale d'un vecteur ${\vec {\delta \alpha }}=\delta \alpha _{i}{\vec {e}}_{i}$ , une variation de nos coordonnées généralisées qui vaut $\delta q_{i}={\tilde {q}}_{i}-q_{i}=\delta \alpha _{i}$ . Les quantités conservées associées à cette transformation sont donc
$I_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\frac {\partial q_{j}}{\partial \alpha _{i}}}=\sum _{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta _{ij}=m{\dot {q}}_{i}=p_{i}$avec $\delta _{ij}$ le delta de Kronecker, on retrouve bien les composantes du vecteur quantité de mouvement.

#### Moment cinétique

Considérons maintenant le cas d'un système invariant par rotation, prenons par exemple une particule placée dans un potentiel central $\Phi (r)$, on a alors $L={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {q}}}^{2}-\Phi (r)$. Le système étant invariant par rotation (la norme de la vitesse est invariante par rotation), il semble pertinent de se placer en coordonnées sphériques, pour lesquelles $q=r{\vec {e}}_{r}$ et ${\dot {\vec {q}}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }+r\sin(\theta ){\dot {\phi }}{\vec {e}}_{\phi }$. On a alors
$L={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2}\right)-\Phi (r).$
La transformation associée à la rotation en coordonnées sphériques peut s'écrire comme $(r,\theta ,\phi )\rightarrow (r,{\tilde {\theta }}=\theta +\chi ,{\tilde {\phi }}=\phi +\psi )$, avec $\chi$ et $\psi$ les deux angles caractérisant la transformation. Pour une transformation infinitésimale on a donc $\delta q=r{\vec {e}}_{\theta }\delta \chi +r{\vec {e}}_{\phi }\delta \psi$. On voit donc ici que les deux quantités conservées vont être
$I_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial (r{\dot {\theta }})}}{\frac {\partial q}{\partial \chi }}\cdot {\vec {e}}_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}\qquad \mathrm {et} \qquad I_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial (r\sin(\theta ){\dot {\phi }})}}{\frac {\partial q}{\partial \psi }}\cdot {\vec {e}}_{\phi }=mr^{2}\sin(\theta ){\dot {\phi }}$c'est-à-dire les deux composantes angulaires du moment cinétique ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$, à un signe près pour $L_{\theta }$. Attention cependant aux indices, on a $I_{\theta }=L_{\phi }$ et $I_{\phi }=-L_{\theta }$, et on a bien sûr $L_{r}=0$ par définition du produit vectoriel.

#### Énergie

Si on a cette fois un système qui est invariant dans le temps, on a alors un lagrangien qui est indépendant du temps $L(t+\delta t)=L(t)$, $\partial _{t}L=0$. La transformation est ici une translation dans le temps, et se traduit pour les coordonnées temporelles par $q_{i}(t)\rightarrow {\tilde {q}}_{i}(t)=q_{i}(t+\delta t)=q_{i}(t)+\delta t{\dot {q}}_{i}$
ce qui conduit à la quantité conservée
$I=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}.$Le lagrangien étant conservé aussi, on a la quantité totale
$H=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L$
qui est conservée, or ce n'est rien d'autre que le hamiltonien du système. Le hamiltonien (l'énergie) est donc conservé pour les systèmes indépendants (explicitement) du temps.

## Théorie des champs classique

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même :
Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.
Soit une densité lagrangienne ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]$ où $[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]$ dénote une dépendance de la densité lagrangienne sur $N$ champs scalaires (la preuve peut se généraliser à des champs vectoriels ou tensoriels) $\varphi _{i}(x)$ ($i=1,...,N$) et de leur différentes dérivées partielles en espace et en temps ($\partial _{\mu }$ est l'opérateur de dérivation par rapport à l'indice $\mu \in \{0,...,3\}$ i.e.: $\partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$). Chaque champ dépend d'une unique variable d'espace-temps $x\equiv (x^{0},...,x^{3})$ où $x^{0}$ représente le temps et $x^{j}$ représente une des trois variables d'espace avec $j=1,...,3$. Selon le principe de moindre action, l'intégrale d'action $S[\varphi _{i}(x)]$ doit être stationnaire :
$S\equiv \int {\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]d^{4}x$
$\delta S=0.$
Ce principe d'action stationnaire mène directement aux équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs :
$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}=0$
où la convention d'Einstein sur les indices répétés est utilisée ici. Soit une transformation infinitésimale d'un des champs $\varphi _{i}(x)\rightarrow \varphi _{i}'(x)=\varphi _{i}(x)+\alpha \Delta \varphi _{i}(x)$ où $\Delta \varphi _{i}(x)$ représente la déformation du champ et $\alpha$ est un paramètre infinitésimal (la preuve peut facilement être généralisée avec une déformation de plusieurs champs en même temps). Si la densité lagrangienne est invariante à une quadri-divergence près sous cette transformation infinitésimale, c'est-à-dire que :
${\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}+\alpha \Delta {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}+\alpha \partial _{\mu }J^{\mu }(x)$
pour une certaine fonction $J^{\mu }$. Alors, en comparant les termes au 1er ordre du développement de Taylor de la densité lagrangienne :
${\begin{aligned}\alpha \Delta {\mathcal {L}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}(\alpha \Delta \varphi _{i})+\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)\partial _{\mu }(\alpha \Delta \varphi _{i})\\&=\alpha \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}\right)+\alpha \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)\right]\Delta \varphi _{i}.\end{aligned}}$
Le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour le champ $\varphi _{i}$. On a donc finalement, par comparaison directe :
$\partial _{\mu }J^{\mu }(x)=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}\right)$
Ainsi, la quantité conservée du système est la suivante :
$j^{\mu }\equiv J^{\mu }(x)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}$
car
$\partial _{\mu }j^{\mu }=0.$

## Invariance de jauge et second théorème de Noether

On considère de manière générale pour une densité de lagrangien quelconque ${\mathcal {L}}[\psi _{i},\partial _{\mu }\psi _{i},x^{\mu }]$
dont l'action associée doit être stationnaire pour toute transformation infinitésimale des champs selon le Principe de Hamilton. On a donc
$\delta S=\int {\textrm {d}}^{4}x\;\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi _{i}}}\delta \psi _{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \partial _{\mu }\psi _{i}\right]=\int {\textrm {d}}^{4}x\;\left[\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\right)\delta \psi _{i}+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \psi _{i}\right)\right]=0$
où on a utilisé la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices répétés, et où on a mis de côté les possibles transformations de l'espace-temps (on a pris $\delta x^{\mu }=0$ ). On voit donc que l'on peut reformuler ce résultat de manière générale comme
$[\psi ]_{i}\delta \psi _{i}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \psi _{i}\right),\qquad [\psi ]_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}$
avec $[\psi ]_{i}$ représentant donc les équations du mouvement pour le champ $\psi _{i}$.
On s'intéresse maintenant à une densité de lagrangien invariante sous une transformation de jauge, c'est-à-dire une transformation locale des champs. Dans ce cas on va voir que l'on applique cette fois le second théorème de Noether.
Plus précisément on considère ici une densité de lagrangien invariante sous un groupe de transformation de dimension infinie et dépendant continûment de $\rho$ fonctions $p_{\alpha }(x^{\mu }),\;\;\alpha =1,\;...,\;\rho$ , groupe que l'on notera $G_{\infty \rho }$. On voit que dans le cas d'une telle transformation la variation infinitésimale des champs $\delta \psi _{i}$ dans l'équation ci-dessus se décompose comme
$\delta \psi _{i}=\sum _{\alpha }\left[a_{\alpha i}(\psi _{i},\partial _{\mu }\psi _{i},x^{\mu })\Delta p_{\alpha }(x^{\mu })+b_{\alpha i}^{\nu }(\psi _{i},\partial _{\mu }\psi _{i},x^{\mu })\partial _{\nu }\Delta p_{\alpha }(x^{\mu })\right]$
où la notation $\Delta p_{\alpha }$ dénote le fait que l'on considère un $p_{\alpha }$ infinitésimal. On voit donc que l'on peut reprendre l'équation précédente sous forme intégrale pour obtenir
$\int d^{4}x\,[\psi ]_{i}\left(a_{\alpha i}\Delta p_{\alpha }+b_{\alpha i}^{\nu }\partial _{\nu }\Delta p_{\alpha }\right)=\int d^{4}x\,\left(a_{\alpha i}[\psi ]_{i}-\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\right)\right)\Delta p_{\alpha }+\int d^{4}x\,\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\partial _{\nu }\Delta p_{\alpha }\right)$$\Longrightarrow \qquad \int d^{4}x\left(a_{\alpha i}[\psi ]_{i}-\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\right)\right)\Delta p_{\alpha }=-\int d^{4}x\,\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \psi _{i}+b_{\alpha i}^{\mu }[\psi ]_{i}\Delta p_{\alpha }\right)$or on voit ici que le second terme de la seconde équation est un terme de bord, et les fonctions $p_{\alpha }$ étant arbitraires on peut toujours les choisir de sorte que ce terme s'annule. On obtient alors le second théorème de Noether
Théorème — Si l'action S est invariante sous un groupe de transformation $G_{\infty \rho }$ alors il existe $\rho$ relations $a_{\alpha i}[\psi ]_{i}-\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\right)=0$.

### Exemple

Considérons par exemple la densité de Lagrangien
${\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }+iqA_{\mu })\psi (\partial ^{\mu }+iqA^{\mu })\psi ^{*}-m^{2}\psi \psi ^{*}-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$où $F_{\mu \nu }$ne dépend que des dérivées première de $A_{\mu }$ (dans le cas abélien du moins). Elle est invariante sous la transformation de jauge locale
$\psi \rightarrow {\tilde {\psi }}=e^{iq\theta (x)}\psi ,\qquad \psi ^{*}\rightarrow {\tilde {\psi }}^{*}=e^{-iq\theta (x)}\psi ^{*},\qquad A_{\mu }\rightarrow {\tilde {A}}_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\theta (x)$
où voit qu'ici on a une seule fonction continue $p_{\alpha }$ dans notre groupe de transformation, que l'on a noté $\theta (x)$. Cette transformation correspond sous forme infinitésimale à
$\delta \psi =iq\delta \theta \psi ,\qquad \delta \psi ^{*}=-iq\delta \theta \psi ^{*},\qquad \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\theta$on a alors $a_{\psi }=iq\psi ,\qquad a_{\psi ^{*}}=-iq\psi ,\qquad b_{\psi }=b_{\psi ^{*}}a_{A_{\mu }}=0,\qquad b_{A_{\mu }}^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.$
On en déduit que dans le cas de cette densité de Lagrangien on a la relation
$[\psi ]iq\psi +[\psi ^{*}](-iq\psi ^{*})=\partial _{\mu }\left([A_{\nu }]\delta _{\nu }^{\mu }\right)=\partial _{\mu }[A_{\mu }].$
On voit alors ici que si les équations du mouvement sont satisfaites pour les deux champs de masse $\psi$ et $\psi ^{*}$ on a alors
$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}-\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=0$
or sachant que l'on a ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0$ et ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}=F^{\mu \nu }$ on en déduit qu'ici le courant $J^{\mu }=\partial _{\nu }F^{\mu \nu }$ est conservé. Cela implique notamment que $F^{\mu \nu }$ soit complètement antisymétrique, et donc construit à partir de $\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$.
De même si à l'inverse on impose que les équations de l'électromagnétisme soient satisfaites c'est-à-dire $[A_{\mu }]=0$ on obtient l'équation de conservation du quadri courant électrique usuel
$\partial _{\mu }j^{\mu }=0,\qquad j^{\mu }=iq\left(\psi ^{*}(\partial ^{\mu }+iqA^{\mu })\psi -\psi (\partial ^{\mu }+iqA^{\mu })\psi ^{*}\right).$

## Dans la culture

Dans Le Pyrophore, le narrateur ambitionne de découvrir de « quelles symétries naissent les invariants par le Noether des mers ».