# Espace de Schwartz

En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace ${\mathcal {S}}$ des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual ${\mathcal {S}}^{\prime }$ de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces ${\mathcal {S}}$ et ${\mathcal {S}}^{\prime }$ jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

## Définition

Une fonction f fait partie de l'espace ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ sont dites déclinantes.
Pour deux multi-indices $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}$, on définit les semi-normes $\|\cdot \|_{\alpha ,\beta }$ par
    $\|f\|_{\alpha ,\beta }=\|x^{\alpha }D^{\beta }f\|_{\infty }$
où $D^{\beta }f$ est la dérivée d'ordre $\beta$ de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme
    ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})\mid \forall (\alpha ,\beta )\ \|f\|_{\alpha ,\beta }<+\infty \}$.
S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre ${\mathcal {S}}$.

## Propriétés
### Topologie

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes $(\|.\|_{\alpha ,\beta })_{\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$, équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes $({\mathcal {N}}_{p})_{p\in \mathbb {N} }$ définie par :
    ${\mathcal {N}}_{p}(.)=\sum _{|\alpha |,|\beta |\leq p}\|.\|_{\alpha ,\beta },\,p\in \mathbb {N} .$
L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.
La convergence d'une suite de ${\mathcal {S}}$ se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions $(\phi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge dans ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ vers une fonction $\phi$ si $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ et si
    $\forall p\in \mathbb {N} \quad \lim _{n\to \infty }{\mathcal {N}}_{p}(\phi _{n}-\phi )=0.$
Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées ${\mathcal {S}}'$.

### Exemples

* L'espace ${\mathcal {S}}$ contient l'espace ${\mathcal {D}}$ des fonctions C$^∞$ à support compact. Cet espace, aussi noté $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})$, est dense dans ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
* Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
    $x\mapsto x^{\alpha }e^{-a\|x\|^{2}}\in {\mathcal {S}}$ pour tout multi-indice α et tout réel $a>0$.
* L'espace ${\mathcal {S}}$ est un sous-espace vectoriel des différents espaces L$^p$ pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L$^∞$. En effet, le complété de ${\mathcal {S}}$ pour la norme $\lVert \cdot \rVert _{\infty }$ est l'espace ${\mathcal {C}}_{0}(\mathbb {R} )$ des fonctions continues nulles à l'infini.

### Opérations sur l'espace de Schwartz

* L'espace ${\mathcal {S}}$ est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
* L'espace ${\mathcal {S}}$ est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de ${\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N}).$ En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction $f$ de ${\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N})$, l'opérateur défini par $\phi \mapsto f\phi$ est continu de ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ dans lui-même.
On définit l'espace ${\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N})$ des multiplicateurs de ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ comme le sous-ensemble des fonctions de ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})$ dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.
       $\forall \alpha \in (\mathbb {N} ^{N})\quad \exists C_{\alpha }>0,\exists N_{\alpha }\in \mathbb {N} \quad \forall x\in \mathbb {R} ^{N}\quad |(\partial ^{\alpha }f)(x)|\leq C_{\alpha }(1+|x|)^{N_{\alpha }}.$
On appelle ${\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N})$ l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.
* La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de ${\mathcal {S}}$. Cet automorphisme ${\mathcal {F}}$ est donné par$\left({\mathcal {F}}f\right)\left(\xi \right)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(x){\rm {e}}^{-2{\rm {i}}\pi \xi x}{\rm {d}}x$où $\xi x=\sum _{k=1}^{N}\xi _{k}x_{k}.$ L'automorphisme inverse est ${\mathcal {\bar {F}}},$ donné par$\left({\mathcal {\bar {F}}}f\right)\left(\xi \right)=\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(x){\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \xi x}{\rm {d}}x.$Le théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ de la structure préhilbertienne induite par $L^{2}(\mathbb {R} ^{N})\supset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}),$ la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ dans lui-même.
* La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec ${\mathcal {E}}'$ : pour toute distribution à support compact $T\in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{N})$ et fonction de Schwartz $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}),$ on a
    $T\ast \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}).$
* Plus généralement, on note ${\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})$ l'ensemble des convoleurs de ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}),$ c'est-à-dire l'ensemble des distributions $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{N})$ telles que $g\mapsto g\ast T$ envoie continûment ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ dans ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N}).$ Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})$ (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle ${\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})$ l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution, ${\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})$ est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})$ et ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})$ sont des modules unitaires.