# Approximation de Bernstein

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue f définie sur le segment [0, 1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cette preuve constructive du théorème d'approximation de Weierstrass est due à Sergueï Natanovitch Bernstein.

## Définition

La n-ième approximation de f est le polynôme
    $P_{n}(f)=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)B_{k}^{n},$
où les $B_{k}^{n}$ sont les polynômes de Bernstein :
    $B_{k}^{n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}.$
On construit donc P$_n$(f) à partir des valeurs de f aux points 0, $^1$⁄$_n$, …, $^{(n–1)}$⁄$_n$ et 1 mais, en ces points, la valeur de P$_n$(f) peut être différente de celle de f, autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.
La convergence uniforme de P$_n$(f) vers f s'énonce donc de la façon suivante : $\forall \varepsilon >0\quad \exists N\quad \forall n\geq N\quad \forall x\in [0,1]\qquad |f(x)-P_{n}(f)(x)|\leq \varepsilon .$
Il convient de noter que si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres(n,x), alors P$_n$(f)(x) n'est rien d'autre que l'espérance de f(X/n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée à la fraction du nombre de succès obtenus sur la répétition de n expériences aléatoires identiques et indépendantes de Bernouilli de probabilité de succès x. La convergence simple de P$_n$(f) vers f est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre $^X$⁄$_n$ et x, on en déduit la convergence uniforme.

## Démonstration

Les opérateurs linéaires P$_n$ sur C([0, 1]) étant positifs (en), il suffit, d'après le théorème d'approximation de Korovkin, de vérifier la convergence pour les trois fonctions monomiales f$_0$(x) = 1, f$_1$(x) = x et f$_2$(x) = x$^2$.
Or P$_n$(f$_0$) = f$_0$, P$_n$(f$_1$) = f$_1$ et P$_n$(f$_2$) = f$_2$ + (f$_1$ – f$_2$)/n, ce qui conclut.

## Vitesse de convergence

Soit f une fonction continue sur [0;1], et ω le module de continuité de f. Alors on a l'inégalité :
    $\|f-P_{n}(f)\|_{\infty }\leq {\frac {9}{4}}\;\omega \left(n^{-1/2}\right)$
Où $\|\cdot \|_{\infty }$ représente la norme « infini ».
Soit δ > 0 et x ∈ [0;1]. Soit k ∈ {0,...,n}. Il y a deux cas possibles pour k :
* Si $|x-k/n|\leq \delta$.
Dans ce cas, $|f(x)-f(k/n)|\leq \omega (\delta )$. Vu que Bn k(y) ≥ 0 pour tout y ∈ [0;1], on a :
    $\left|\sum _{k=0,|x-k/n|\leq \delta }^{n}(f(x)-f(k/n))B_{k}^{n}(x)\right|\leq \omega (\delta )\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x)=\omega (\delta )$
* Si $|x-k/n|\geq \delta$.
Soit $M=\left\lfloor {\frac {|x-k/n|}{\delta }}\right\rfloor$. On pose y$_j$ = x + j k/n-x/M+1 pour j ∈ {0,...,M+1}.
On remarque alors que pour j ∈ {0,...,M}, on a |y$_{j+1}$ – y$_j$| < δ. Ainsi :
    ${\begin{aligned}|f(x)-f(k/n)|&\leq \sum _{j=0}^{M}|f(y_{j+1})-f(y_{j})|\leq (M+1)\omega (\delta )\leq \omega (\delta )\left(1+{\frac {1}{\delta }}\left|x-{\frac {k}{n}}\right|\right)\\\quad &\leq \omega (\delta )\left(1+{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$
Ainsi, pour tout x ∈ [0;1], on peut écrire :
    ${\begin{aligned}|f(x)-P_{n}(f)(x)|&\leq \left|\sum _{k=0,|x-k/n|\leq \delta }^{n}(f(x)-f(k/n))B_{k}^{n}(x)\right|+\left|\sum _{k=0,|x-k/n|\geq \delta }^{n}(f(x)-f(k/n))B_{k}^{n}(x)\right|\\\quad &\leq \omega (\delta )+\left|\sum _{k=0,|x-k/n|\geq \delta }^{n}\omega (\delta )\left(1+{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right)B_{k}^{n}(x)\right|\leq \omega (\delta )\left(2+{\frac {1}{\delta ^{2}}}\sum _{k=0,|x-k/n|\geq \delta }^{n}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{2}B_{k}^{n}(x)\right)\\\quad &\leq \omega (\delta )\left(2+{\frac {x(1-x)}{n\delta ^{2}}}\right)\leq \omega (\delta )\left(2+{\frac {1}{4n\delta ^{2}}}\right)\end{aligned}}$
Finalement, choisir δ = 1/√n permet de conclure.
Ce résultat permet d'assurer une certaine vitesse de convergence de la suite de polynômes de Bernstein vers la fonction f, en fonction du module de continuité de f.