# Ellipsoïde de Bessel

L'ellipsoïde de Bessel (encore appelé Bessel 1841) est un ellipsoïde de référence utilisé pour l'Europe. Friedrich Wilhelm Bessel l'a calculé en 1841 à partir d'un important recueil de données topographiques à travers l'Europe (incluant la Russie) et l'Inde.
Sa conception repose au total sur la longueur de dix arcs de méridien et 38 mesures précises de latitudes et longitudes. Les dimensions de cet ellipsoïde furent exprimées (conformément aux procédés de calcul numérique de l'époque) par leur logarithme.

## Historique

Au XIXe siècle, les déviations de la verticale sont considérées comme des erreurs aléatoires. Nous savons à présent, qu’en plus d’autres erreurs dans la méridienne de Dunkerque à Barcelone, une déviation de la verticale défavorable donna une valeur erronée de la latitude de Barcelone et un mètre trop court par comparaison avec une définition plus large déduite de la moyenne d’un grand nombre d’arc. Quoi qu'il en soit, la définition théorique du mètre était inaccessible et trompeuse à l’époque de Delambre et Méchain, car la Terre est une boule qui peut grossièrement être assimilée à un sphéroïde aplati, mais qui en diffère dans le détail de telle façon à empêcher toute généralisation et toute extrapolation à partir de la mesure d’un seul méridien.
La méridienne de Delambre et Méchain avait eu comme double objectif de standardiser les poids et mesures par l’établissement du système métrique décimal et de lier la détermination de la valeur de ses unités à la figure de la Terre$^,$. La longueur du Mètre des Archives avait été déterminée sur la base de la mesure d'une portion de l'arc du méridien de Paris en admettant un aplatissement de 1/334 selon un calcul de Pierre Simon de Laplace qui avait combiné les données de la méridienne de Delambre et Méchain avec celle de l'expédition géodésique française en Équateur. En 1841, Bessel propose son ellipsoïde de référence et un aplatissement de la Terre beaucoup plus proche de la réalité que celui qui avait été employé pour calculer la longueur du mètre à partir de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain. En effet, Bessel entreprend un nouveau calcul des dimensions du sphéroïde terrestre, dans lequel il part de dix arcs mesurés avec l'exactitude suffisante. Par l'emploi de la méthode des moindres carrés, le calcul conduit à un résultat de 1/299,15 pour l'aplatissement de la Terre que l'on regarde longtemps comme le plus probable qui puisse être basé sur les matériaux existant alors$^,$$^,$.

## Rayons de courbure et grands axes de l'ellipsoïde

De par les références choisies pour sa conception, l'ellipsoïde de Bessel épouse avec une bonne précision le géoïde et sa courbure moyenne à travers l'Eurasie, ce qui l'a fait adopter comme canevas de base dans plusieurs campagnes topographiques. Comparé à l'ellipsoïde terrestre global, connu aujourd'hui au décimètre près, ses axes a (équatorial) et b (polaire) sont plus courts d'environ 700 m.
Résultant de la valeur des grands axes, nous donnons ici l'aplatissement f = (a – b)/a et par comparaison le World Geodetic System WGS84 utilisé pour le système GPS.
* Ellipsoïde de Bessel de 1841 (défini par log a et f):
** a = 6 377 397,155 m
** f = 1 / 299,152 815 351 323 3 (0,003 342 773 154 ± 0,000 005)
** b = 6 356 078,963 m
* Ellipsoïde terrestre WGS84 (défini par a et f):
** a = 6 378 137,0 m
** f = 1 / 298,257 223 563
** b = 6 356 752,3 m

## L'ellipsoïde de Bessel en topographie

Des années après sa publication en 1841, l'ellipsoïde de Bessel restait toujours de loin le plus récent : aussi fut-il systématiquement choisi des décennies durant pour établir le canevas topographique de plusieurs pays. Ce n'est qu'avec la publication des ellipsoïdes de Clarke vers 1880 puis, avec l'émergence de nouvelles techniques de mesure géophysiques (entre autres celles de Hayford dans les années 1910 et 1920) que quelques états se tournèrent vers une base plus récente. Celles-ci sont malgré tout influencées également par la courbure locale des régions qui ont servi à les dresser, et s'écartent autant des données contemporaines, fournies par les satellites, que la tentative pionnière de Bessel.
Vers 1950, environ 50 % des triangulations en Europe et près de 20 % de celles des autres continents reposaient sur l'ellipsoïde de Bessel ; les principales alternatives étaient l'ellipsoïde de référence d'Hayford de 1908 («Ell. internat. 1924 », retenu pour l'Amérique et l'initiative « European Datum » anglo-allemande de 1950) et l'ellipsoïde de Krassowski (adopté pour l'Europe de l'est).

## Développements ultérieurs

En 1799, la distance du pôle Nord à l'équateur, extrapolée à partir de la mesure de l'arc du méridien de Paris entre Dunkerque et Barcelone, est déterminée comme équivalant à 5 130 740 toises. Même avec les instruments disponibles lors de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain, l'erreur de 2 km dans la détermination de la longueur du quadrant terrestre est exagérée. Adrien-Marie Legendre en comparant leurs résultats à ceux de leurs prédécesseurs soupçonne que les irrégularités de l'attraction gravitationnelle locale sur le fil à plomb jouent un rôle. En effet, alors que l'erreur due à la négligence des déviations de la verticale est responsable d'environ 95 % de l'erreur totale, l'erreur dans la mesure de la longueur du méridien représente moins de 2 % de l'erreur totale et l'erreur due à une hypothèse erronée sur la forme de la Terre contribue à environ 3 % de l'erreur totale. Si le travail minutieux de Méchain et Delambre était la seule source d'erreur, le mètre actuel ne serait trop long que de moins de 4 μm au lieu d'être trop court de 197 μm. L'essentiel de la différence est dû à la non-prise en compte des déviations de la verticale ; ce qui était hors de la portée de Delambre et Méchain car le champ de gravité de la Terre n’avait pas encore été étudié.
Le pendule réversible construit par les fils de Johann Georg Repsold, selon les indications de Bessel, favorise l’essor de l’étude du champ gravitationnel de la Terre. Dès 1864, le pendule réversible de Repsold-Bessel est utilisé en Suisse par Emile Plantamour.
Dans une de ses premières séances, au commencement de l'année 1862, la Commission géodésique suisse décide de comprendre la détermination de la pesanteur effectuée dans différents points de la Suisse, au nombre des opérations qui se rattachent à la mesure de l'arc de méridien traversant le centre de l'Europe, l'arc géodésique de Struve. L'appareil utilisé pour ces déterminations est le pendule à réversion dont l'idée première revient à Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger et sur la construction duquel Friedrich Wilhelm Bessel donne des indications très précieuse dès 1826. L'exécution d'un pendule à réversion, construit selon les principes indiqués par Bessel, est confiée aux célèbres artistes de Hambourg, les frères Repsold, et comme il est convenu que les premières observations soient faites à Genève, l'instrument y est envoyé à l'automne 1864. Émile Plantamour réalise ses premières expériences avec cet appareil entre la fin de l'année 1864 et le début de l'année 1865. De tels pendules ont également été construits par les frères Repsold pour la Prusse, l'Autriche, l'Italie, l'Espagne, les États-Unis, la Russie et la France.
Toutefois, les résultats obtenus avec ces gravimètres ne peuvent être considérés que comme provisoires. En effet, ils ne prennent pas en compte les mouvements que les oscillations du pendule impriment à son plan de suspension. Les mouvements du plan de suspension constituent un facteur majeur d’erreur de mesure de la durée des oscillations et de la longueur du pendule. En effet, la détermination de la gravité par le pendule est soumise à deux types d’erreur systématique, la résistance de l’air et les mouvements que les oscillations du pendule impriment à son plan de suspension. Ces mouvements sont particulièrement amples avec le pendule de Repsold, car il a une importante masse, afin de contrecarrer l’effet de la viscosité de l’air. Alors que Émile Plantamour procède à une série d’expériences avec cet appareil, Adolphe Hirsch trouve le moyen de mettre en évidence les mouvements du plan de suspension du pendule par un ingénieux procédé d’amplification optique. Isaac-Charles Élisée Cellérier (8.01.1818 – 2.10.1889), un mathématicien genevois, et Charles Sanders Peirce mettent indépendamment au point une formule de correction qui permettra d’utiliser les observations faites avec ces gravimètres$^,$.
En 1875, la Commission permanente de l’Association pour la mesure des degrés en Europe réunie à Paris décide d’adopter le pendule réversible utilisé en Suisse et de répéter à Berlin, la détermination de la gravité au moyen des différents appareils utilisés dans chaque pays, afin de les comparer et d’obtenir l’équation de leurs échelles. Comme la figure de la Terre peut être déduite des variations de la longueur du pendule, la direction de l’United States Coast Survey donne dès 1875 à Charles Sanders Peirce l’instruction de se rendre en Europe, afin d’étudier les gravimètres utilisés dans les différents pays européens et de réviser les anciennes déterminations de la pesanteur de façon à les mettre en relation avec celles effectuées en Amérique.
Lors de l'exposition universelle de 1889, parmi les nombreux instruments géodésiques présentés par la maison Brunner Frères, la plupart réalisés pour le Bureau des longitudes, on peut admirer un pendule réversible conçu par Gilbert Étienne Defforges sur le modèle du pendule réversible construit par les frères Repsold pour Émile Plantamour. En 1892, Gilbert Étienne Defforges mesure au Bureau international des poids et mesures, au moyen d'un pendule réversible construit par la maison Brunner frères, la valeur de l'intensité de la pesanteur terrestre qui servira à définir l'accélération normale de la pesanteur terrestre lors de la 3ème Conférence générale des poids et mesures à Paris en 1901.
En 1799, la longueur du mètre avait été calculée en extrapolant la longueur du quart de méridien à partir de la mesure de la méridienne de Delambre et Méchain en utilisant un aplatissement de la Terre de 1/334 obtenu en combinant les données de l’arc de Dunkerque à Barcelone et celui du Pérou$^,$. Pierre-Simon de Laplace avait également trouvé une valeur concordante de 1/336 pour l'aplatissement de la Terre en se basant sur seulement 15 mesures de la pesanteur. En 1901, Friedrich Robert Helmert trouve essentiellement par la gravimétrie, des paramètres de l'ellipsoïde remarquablement proches de la réalité, soit un demi-grand axe égal à 6 378 200 m pour un aplatissement de la Terre de 1/298,3. Ceci alors que l'analyse des premiers résultats issus des mesures par satellites fixeront cette dernière valeur à 1/298,25.