# Modèle de Janssen

Ce modèle a été introduit par H. A. Janssen en 1895 puis développé par John William Strutt Rayleigh en 1906 pour expliquer la loi de pression dans les silos à grains$^,$. En effet, il permet de répondre au phénomène d'éclatement de silo qui peut apparaître lorsque ce dernier est trop rempli. Ce modèle repose cependant sur des hypothèses fortes$^,$, d'autres modèles plus précis rendent mieux compte du phénomène.

## Hypothèses

On considère un cylindre de rayon $R$ rempli de grains sur une hauteur $H$. La première hypothèse est de considérer le milieu granulaire comme un milieu continu de masse volumique $\rho$. Ensuite il vient 2 autres hypothèses :
* Une contrainte verticale $p_{z}$ engendre une contrainte horizontale $p_{r}$ qui lui est directement proportionnelle : $p_{r}=Kp_{z}$. Le coefficient de Janssen $K$ prend en charge l'effet des voûtes qui se forment à l'intérieur du milieu granulaire. Notons qu'on aurait $K=1$ si la pression était isotrope, comme c'est le cas par exemple pour un fluide
* Contre la paroi nous sommes à la limite de l’équilibre, soit en notant $\mu _{s}$ le coefficient de frottement, nous avons la relation entre les réactions normale et tangentielle : $T=\mu _{s}N$

## Bilan des forces

Considérons une petite tranche de silo de hauteur $dz$ (surface $S=\pi R^{2}$ et surface latérale $dS_{l}=2\pi Rdz$). En projection sur ${\vec {e}}_{z}$, l'équilibre s'écrit :
$dT-dP+p_{z}(z)S-p_{z}(z+dz)S=0$
La 3e loi de Newton donne : $dN=p_{r}(z)dS_{l}$
On en déduit donc avec les 2 hypothèses de Janssen : $dT=\mu _{s}Kp_{z}(z)dS_{l}$. En injectant ce résultat dans l'équation d'équilibre et en y ajoutant l'expression du poids $dP=\rho gSdz$ nous avons :
$\mu _{s}Kp_{z}(z)dS_{l}-\rho gSdz-{\frac {dp}{dz}}dzS=0$
En simplifiant par $Sdz$ nous obtenons finalement l'équation différentielle vérifiée par la contrainte verticale :
${\frac {dp_{z}}{dz}}-{\frac {p_{z}}{\lambda }}=-\rho g$
Avec la longueur caractéristique : $\lambda ={\frac {R}{2K\mu _{s}}}$

## Profil de pression dans le silo

La contrainte verticale $p_{z}$ vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre que l'on résout aisément avec la condition en haut de l'empilement : $p_{z}(H)=0$ :
$p_{z}(z)=\lambda \rho g(1-e^{-{\frac {H-z}{\lambda }}})$
Un tel profil signifie que la pression dans le silo sature. En effet, à une hauteur $z$ fixée si l'on fait tendre $H{\xrightarrow}\infty$ c'est-à-dire lorsque l'on remplit indéfiniment le silo, la contrainte sature $p_{z}{\xrightarrow}\lambda \rho g$. En reprenant la 1re hypothèse de Janssen, on comprend ce qu'il se passe physiquement : lorsque l'on verse une masse de grain, une partie se répercute verticalement et l'autre latéralement (effet de "voûtes") et c'est cette dernière qui est responsable de l'éclatement des silos. Souvent la partie latérale du silo, contrairement au fond, n'est pas fabriquée pour résister à des charges importantes.

## Masse apparente au fond du silo

Reprenons l'expression de la contrainte verticale, mais cette fois-ci au fond du silo :
$p_{z}(0)=\lambda \rho g(1-e^{-{\frac {H}{\lambda }}})$
Si l'on désire la masse apparente au fond du silo, celle-ci s'exprime comme $m_{app}={\frac {p_{z}(0)S}{g}}$ soit :
$m_{app}=\lambda \rho S(1-e^{-{\frac {H}{\lambda }}})$
En notant $m_{c}=\lambda \rho S$ la masse critique et en remarquant que la masse théorique versée s'exprime comme $m_{th}=H\rho S$, on obtient l'expression de la masse apparente en fond de silo en fonction de la masse théoriquement versée dans celui-ci :
$m_{app}=m_{c}(1-e^{-{\frac {m_{th}}{m_{c}}}})$
Physiquement, ce résultat signifie que même si l'on remplit indéfiniment le silo, la masse que l'on mesurerait au fond ne dépasserait pas la masse critique $m_{c}$. Dans un souci de conservation de la masse, on comprend bien que si l'on ne retrouve pas la masse versée au fond du tube c'est qu'une partie de celle-ci est absorbée par la partie latérale du silo.

## Phénomènes de voûtes

Dans cette partie nous allons étudier des cas limites. Pour plus de simplicité, nous notons $\delta =H-z$ la profondeur dans l'empilement. La pression dans celui-ci vaut donc en fonction de la profondeur :
$p_{z}(\delta )=\lambda \rho g(1-e^{-{\frac {\delta }{\lambda }}})$
Lorsque $\delta \ll \lambda$ (faibles profondeurs) : $p_{z}(\delta )\approx \rho g\delta$ autrement dit la masse apparente est proche de la masse versée, les zones inférieures subissent classiquement le poids des zones supérieures.
Lorsque $\delta \gg \lambda$ (grandes profondeurs) : $p_{z}(\delta )\approx \lambda \rho g$ autrement dit la masse apparente est proche de la masse critique, les zones inférieures ne subissent plus le poids des zones supérieures.
En conséquence, on donne un sens physique à la longueur $\lambda$ : elle caractérise la position (en profondeur) des voûtes. Au-dessus de celles-ci on subit le poids de la colonne de grains alors qu'en dessous on en est protégé.