# Convergence absolue

En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe $\sum u_{n}$ converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) $\sum |u_{n}|$ est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.
Dans tous ces contextes, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série $\sum u_{n}$ elle-même.
Par analogie, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L$^1$).
La convergence absolue des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions) : elle implique des propriétés plus fortes que la simple convergence.

## Série numérique absolument convergente

Une série à termes réels ou complexes $\sum a_{n}$ converge absolument quand la série de terme général $|a_{n}|$ converge. Dans ce cas, la série $\sum a_{n}$ converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en
    $\left|\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{+\infty }|a_{n}|$
Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

### Exemple

    La série harmonique alternée $\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ est semi-convergente : on peut retrouver grâce au critère de Leibniz que $\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$ est convergente, pourtant la série $\sum _{n\geq 1}\left\vert {\frac {(-1)^{n}}{n}}\right\vert =\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}$ diverge en tant que série de Riemann de paramètre $1\leqslant 1$.

### Comportement des séries à termes réels

Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.
Si les termes $a_{n}$ de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes $a_{n}^{+}$ partie positive et $a_{n}^{-}$ partie négative du terme $a_{n}$
    $a_{n}^{+}=\max(a_{n},0)\qquad a_{n}^{-}=\max(-a_{n},0)$
Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de $a_{n}$. De sorte que
    $a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-}\qquad |a_{n}|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-}$
Les séries $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ étant à termes positifs, leurs suites des sommes partielles sont croissantes ; elles convergent ou bien tendent vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.
* Lorsque la série $\sum a_{n}$ converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ convergent toutes deux, donc par linéarité la série $\sum a_{n}$ aussi.
* Lorsque la série $\sum a_{n}$ est semi-convergente, nécessairement les deux séries $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ divergent (chacune a une somme infinie). La convergence se fait donc par compensation entre les termes positifs et négatifs.
La propriété « absolue convergence implique convergence » peut ensuite être étendue aux séries à valeurs complexes en séparant de la même façon parties réelle et imaginaire.

### Propriétés des séries absolument convergentes

Si une série à termes réels ou complexes est absolument convergente, elle jouit des propriétés particulières suivantes, valables pour les sommes finies, mais généralement fausses pour les sommes infinies :
* Généralisation de la commutativité (voir Convergence inconditionnelle) : la convergence et la valeur de la somme ne dépendent pas de l'ordre des termes. Ainsi, si σ est une permutation de $\mathbb {N}$, la relation suivante est satisfaite :
    $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$
    Si la série est seulement semi-convergente, le théorème de Riemann montre qu'un changement de l'ordre des termes peut conduire à une série divergente, ou à une série convergente de somme arbitrairement choisie.
* Généralisation de la distributivité : le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, en satisfaisant la relation
    $\left(\sum _{p=0}^{+\infty }a_{p}\right)\left(\sum _{q=0}^{+\infty }b_{q}\right)=\sum _{s=0}^{+\infty }\left(\sum _{n=0}^{s}a_{n}b_{s-n}\right)$
Une autre façon d'obtenir ces propriétés pour des sommes infinies est de considérer la notion de famille sommable, très voisine de la propriété d'absolue convergence pour les séries numériques.

## Extension aux séries à valeurs vectorielles

Considérons le cadre plus vaste d'un espace vectoriel normé E. Une série à termes vectoriels $\sum a_{n}$ converge absolument lorsque la série de terme général $\|a_{n}\|$ converge. Sans autre précision, rien ne permet d'affirmer qu'une limite existe dans E. On peut seulement affirmer que si cette limite existe alors sa norme est majorée par $\sum \|a_{n}\|$.
Dans un espace de Banach, la convergence absolue d'une série implique sa convergence. Il s'agit en fait d'une équivalence : si E est un espace vectoriel normé dans lequel toute série absolument convergente est convergente, alors E est complet.

## Intégrale absolument convergente

De même, une intégrale :
    $\int _{A}f(x)~{\rm {d}}x$
converge absolument si l'intégrale de sa valeur absolue correspondante est finie :
    $\int _{A}|f(x)|~{\rm {d}}x<\infty .$