# Dimension homologique

En algèbre, la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules. On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules. La dimension de Krull (respectivement homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens (resp. semi-simples, réguliers au sens de von Neumann (en)), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, régulier au sens de von Neumann). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie$^,$.

## Résolutions

* Soit $M$ un R-module. La suite exacte$\longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$est appelée une résolution gauche de $M$. Si pour tout $i$, le module $E_{i}$ est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si $E_{n}\neq 0$ et $E_{i}=0$ pour tout $i>n$, cette résolution est dite de longueur $n$. S'il n'existe pas de tel entier $n$, cette résolution est dite de longueur infinie.
* La suite exacte$\longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0$est appelée une résolution droite de $M$. Si pour tout $i$, le module $E^{i}$ est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective.
* Tout R-module $M$ admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module $M$ admet également des résolutions injectives.

## Dimensions d'un module

* Dans ce qui suit, ${\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ et l'on prend pour convention que pour tout $n\in \mathbb {Z}$, $-\infty <n<+\infty$, $-\infty +n=-\infty$ et $+\infty +n=+\infty$.
* Soit $M$ un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée $dp_{R}\left(M\right)$ (resp. $di_{R}\left(M\right),df_{R}\left(M\right)$) est la borne inférieure dans ${\overline {\mathbb {Z} }}$ des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de $M$.
* On a $dp_{R}\left(0\right)=di_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty$.
* Pour que $M$ soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que $dp_{R}\left(M\right)\leq 0$ (resp. $di_{R}\left(M\right)\leq 0,df_{R}\left(M\right)\leq 0$).

## Dimensions d'un anneau

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

### Dimension homologique

* Soit $_{R}Mod$ la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales :
* $\sup \left\{dp_{R}\left(M\right):M\in \!_{R}Mod\right\}$
* $\sup \left\{di_{R}\left(M\right):M\in \!_{R}Mod\right\}$
* Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit $dgg(R)$. Cette quantité est la borne supérieure dans ${\overline {\mathbb {Z} }}$ des quantités $n$ pour lesquelles il existe deux R-modules à gauche $M$ et $N$ tels que $Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0$ (voir l'article Foncteur dérivé).
On définit de même la dimension globale à droite de R, notée dans ce qui suit $dgd(R)$.
* Lorsque $dgg(R)$=$dgd(R)$ (c'est évidemment le cas lorsque R est commutatif), leur valeur commune est appelée la dimension globale de R et est notée $dg(R)$.
* La notion de dimension globale s'étend au cas d'une catégorie abélienne quelconque ${\mathfrak {C}}$ de sorte que, si ${\mathfrak {C=}}_{R}Mod$ (resp. ${\mathfrak {C=}}Mod_{R}$), cette dimension $dg\left({\mathfrak {C}}\right)$ coïncide avec la quantité $dgg(R)$ (resp. $dgd(R)$) définie plus haut.

### Dimension faible

Les quantités suivantes sont égales :
* $\sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in _{R}Mod\right\},$
* $\sup \left\{df_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.$
Leur valeur commune est appelée la dimension globale faible de R, notée $dgf(R)$ dans ce qui suit. Cette quantité est la borne supérieure dans ${\overline {\mathbb {Z} }}$ des quantités $n$ pour lesquelles il existe un R-module à droite $M$ et un module à gauche $N$ tels que $Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0$ (voir l'article Foncteur dérivé).

## Propriétés

* On a $dg(0)=dgf(0)=-\infty$.
* On a $dgf\left(R\right)\leq dgg\left(R\right)$ avec égalité si R est noethérien à gauche.
* Si R est noethérien, on a $dgf(R)=dgg(R)=dgd(R)=dg(R)$.
* Soit $A$ un anneau commutatif ; alors $dg(A\left[X\right])=dg(A)+1$ (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si $K$ est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), $dg(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n$.
* Soit R un anneau commutatif, $S\subset R$ un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et $T$ le localisé $S^{-1}R$. On a $dg(T)\leq dg(R)$ et $dgf(T)\leq dgf(R)$.
* Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si $dg(R)=1.$
* Un anneau commutatif intègre R est un anneau de Prüfer (en) si, et seulement si $dgf(R)\leq 1$.
* Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer, et vérifie donc $dgf(R)\leq 1$. En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite $dg(R)>1$.

## Anneaux réguliers

* Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulier s'il est régulier à gauche et à droite$^,$.
* Si $dgg(R)<+\infty$, R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie.
* Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé $T=S^{-1}R$ de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de $R\left[X_{1},...,X_{n}\right]$.
* Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie, donc R est régulier à gauche.