# Transformation par polaires réciproques

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe construite à l'aide des droites tangentes à la première. La courbe image s'appelle la courbe duale de la courbe de départ.

## Définition

On considère une courbe plane Γ$_0$. La courbe polaire au point M$_0$ (x$_0$(t), y$_0$(t)) de Γ$_0$ par rapport à un cercle (C) (ou de cercle directeur (C)) est l'enveloppe des polaires des points de Γ$_0$ par rapport à (C) ; c'est donc l'ensemble des pôles des tangentes à Γ$_0$ par rapport à (C).

### Equations

La polaire par rapport au cercle de centre O et de rayon r et un point M$_0$ (x$_0$, y$_0$) est la droite des points M (x , y) tels que x$_0$x + y$_0$y = r$^2$.
Si M$_0$(x$_0$(t), y$_0$(t)) est le point courant d'une courbe Γ$_0$, le point courant M(x(t), y(t)) de la polaire de Γ$_0$ est défini, en coordonnées cartésiennes, par
    ${\begin{cases}x(t)={\dfrac {r^{2}}{x_{0}(t)y_{0}'(t)-y_{0}(t)x_{0}'(t)}}y_{0}'(t)\\y(t)=-{\dfrac {r^{2}}{x_{0}(t)y_{0}'(t)-y_{0}(t)x_{0}'(t)}}x_{0}'(t)\end{cases}}$
soit, en coordonnées complexes :
    $z(t)=2r^{2}{\frac {z_{0}'(t)}{z_{0}'(t){\overline {z_{0}(t)}}-z_{0}(t){\overline {z_{0}'(t)}}}}.$
La « polarisation » échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

### Polaire d'une conique

La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.
L'origine étant prise au foyer, on définit la conique par son équation polaire $\rho ={\frac {p}{1-e\cos \theta }}$. Le pôle d'une tangente est situé sur la perpendiculaire à celle-ci passant par le foyer (l'origine). Il a donc pour angle polaire $\theta +V+{\frac {\pi }{2}}$ où $V$ désigne l'angle entre $(OM)$ et la tangente.
On sait maintenant que le pôle est en division harmonique avec le projeté du foyer sur la tangente et l'intersection avec le cercle.
La distance du foyer à la tangente vaut $d=\rho \cos(V+{\frac {\pi }{2}})=-\rho \sin V$ le pôle cherché est donc à la distance ${\frac {R^{2}}{d}}$
Les coordonnées du pôle sont donc $x={\frac {R^{2}}{d}}\cos(\theta +V+{\frac {\pi }{2}})={\frac {R^{2}}{\rho }}\left[{\frac {\sin \theta }{\tan V}}+\cos \theta \right]$
et $y={\frac {R^{2}}{d}}\sin(\theta +V+{\frac {\pi }{2}})={\frac {R^{2}}{\rho }}\left[{\frac {\sin \theta }{\tan V}}+\cos \theta \right]$
Mais $\ \tan V={\frac {\rho }{\rho '}}=-{\frac {1-e\cos \theta }{e\sin \theta }}$
d'où $x={\frac {R^{2}}{p}}(1-e\cos \theta )\left[{\frac {e\sin ^{2}\theta }{1-e\cos \theta }}+\cos \theta \right]={\frac {R^{2}}{p}}(\cos \theta -e)$
et $y=-{\frac {R^{2}}{p}}(1-e\cos \theta )\left[-{\frac {e\sin \theta \cos \theta }{1-e\cos \theta }}-\sin \theta \right]=-{\frac {R^{2}}{p}}\sin \theta$
d'où il résulte sans peine : $\left(x+{\frac {eR^{2}}{p}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {R^{4}}{p^{2}}}.$
On obtient donc bien un cercle de centre $\left({\frac {eR^{2}}{p}},O\right)$ qui est le pôle de la droite d'équation $X=-{\frac {p}{e}}$ c'est-à-dire la directrice.

## Propriétés

* La transformation par polaires réciproques est une involution : la polaire d'une polaire par rapport au même cercle est égale à la courbe de départ.
* La polaire n'est pas à confondre avec la courbe inverse. D'ailleurs, l'inverse de la polaire par rapport au même cercle est la courbe podaire.
* La polaire d'une courbe algébrique est une courbe algébrique dont le degré est égal à la classe de la courbe de départ (c'est-à-dire le degré de l'équation tangentielle).

## Exemples

| Courbe de départ | Position du centre du cercle directeur par rapport à la courbe de départ | Position du centre du cercle directeur par rapport à la polaire | Polaire |
| Droite (polaire du point) | Hors de la droite | Différent du point | Point (pôle de la droite) |
| Conique | | | Conique |
| Conique | Foyer de la conique | | Cercle |
| Conique | À l'intérieur de la conique (i.e. dans une région contenant un foyer) | | Ellipse |
| Conique | À l'extérieur de la conique | | Hyperbole |
| Conique | Sur la conique | | Parabole |
| Cardioïde | Point de rebroussement | Foyer au 8/9e du segment joignant le point double au sommet | Cubique de Tschirnhausen |
| Cardioïde | Centre du cercle conchoïdal | Foyer | Trisectrice de Maclaurin |
| Deltoïde | Centre | Sommet | Cubique duplicatrice |
| Astroïde | Centre | Centre | Cruciforme |
| Cycloïde à centre | Centre | Centre | Épi |
| Spirale sinusoïdale de paramètre α | Centre | Centre | Spirale sinusoïdale de paramètre -α/α+1 |

## Extensions aux surfaces tridimensionnelles

Le concept de polaire réciproque peut être étendu aux surfaces dans l'espace ; la surface transformée devient alors une autre surface$^,$.